Remarks on an optimization problem for the $p-$Laplacian
Leandro Del Pezzo, Julián Fernández Bonder
本文对我们[3]最近发表的一篇关于$p-$ Laplace算子的最优化问题的文章作了一些评论和改进。
In this note we give some remarks and improvements on a recent paper of us [3] about an optimization problem for the $p-$Laplace operator that were motivated by some discussion the authors had with Prof. Cianchi.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Remarks on Eigenvalue Problems for Fractional $p(\cdot)$-Laplacian
本文给出了新的变指数分式索伯列夫空间的一些性质和注记。我们还研究了包含新的分数阶$p(\cdot)$ -Laplacian算子的本征值问题。
Some Remarks on Robin-Laplacian Eigenvalues
研究了负Robin边界条件下Laplacian特征值的一些性质。我们将通过形状优化技术证明第一特征值环的单调性。
Remarks on the fractional Laplacian with Dirichlet boundary conditions and applications
我们证明了Dirichlet分数Laplacian在有界区域上的非线性下界和交换子估计。应用包括具有非局部耗散的线性漂移-扩散方程的界和临界面准地转方程的弱解的整体存在性。
A remark on nonlocal Neumann conditions for the fractional Laplacian
我们展示了如何罗宾型的非局部边界条件可以编码在逐点表示的分数算子。值得注意的是，满足齐次非局部诺依曼条件的函数的分数拉普拉斯算子可以表示为具有在边界处具有对数行为的核的区域算子。
Remarks on comparison principles for p-Laplacian with extension to (p,q)-Laplacian
本文将 p-Laplacian 算子的比较原理推广到含 (p,q)-Laplacian 的拟线性方程，证明加入 q-Laplacian 可弱化低阶 Hamiltonian 的假设，并给出多项式增长情形。
Remarks on regularity for $p$-Laplacian type equations in non-divergence form
研究了一类奇异或退化的非散度型方程，用$p$ -Laplacian模型$$-|Du|^γ\left(Δu+(p-2)Δ_\infty^N u\right)=f\ \ \ \ \text{in}\ \ \ Ω.$$研究了全域$γ>-1$和$p>1$中黏性解的局部$C^{1,α}$正则性，并在$p$接近2和$γ$接近0的限制情形下给出了局部$W^{2,2}$估计.
Some remarks on the Krein--von Neumann extension of different Laplacians
我们讨论的克莱因-冯诺依曼扩展的三个拉普拉斯型运营商-离散图，量子图和域。本文给出一类一维椭圆算子，使得对任意$n\in \mathbb N$，无穷多个元素具有$n$维零空间.
Remarks on Local Boundedness and Local Hölder Continuity of Local Weak Solutions to Anisotropic $p$-Laplacian Type Equations
证明了一类特殊的拟线性各向异性$p$ -Laplacian型椭圆型方程的局部有界局部弱解是局部Hölder连续的.建立了一类拟线性各向异性方程局部弱解的齐次局部上界。
Remarks on blow-up phenomena in p-Laplacian heat equation with inhomogeneous nonlinearity
研究了有界光滑区域$p-$上的Laplace热方程$u_t-Δ_p u=ζ(t)f(u)$.利用微分不等式的方法，证明了在适当的条件下，在$ζ, f$和初始数据$u_0$上的爆破结果.我们也给出了每种情况下爆破时间的上界。
Remarks on the validity on the maximum principle for the $\infty$-Laplacian
本文给出了三个反例，证明了最大值原理对系统的经典解和与$\infty$ -Laplacian算子有关的单个方程的经典解一般是不成立的。第一个是$\infty$ -Laplace系统的切向部分，第二个是受线性梯度项扰动的标量$\infty$ -Laplace方程。系统的最大值原理的解释是凸包性质的解释，也是解的模的最大值原理的解释。
Some Remarks on the Fucik Spectrum of the p-Laplacian and Critical Groups
我们计算临界群的变分泛函所产生的拟线性椭圆边值问题跳跃非线性，当方程的渐近极限位于不同区域的平面上的某些曲线的Fucik谱。作为应用，通过Morse理论和扰动参数建立了一些存在性和多重性结果。
Some remarks on the isoperimetric problem for the higher eigenvalues of the Robin and Wentzell Laplacians
本文考虑了在给定体积$M$的$\mathbb{R}^N$中，关于所有区域的具有Robin边界条件的（$p$ -）Laplacian算子的第$k$个特征值$k \geq 2$的极小化问题.当$k=2$时，我们证明了$p$ -Laplacian的第二特征值是由两个等体积球的不相交并组成的区域最小化的，并且这是具有此性质的唯一区域.对于$p=2$和$k \geq 3$，我们证明了在许多情况下，极小值不能独立于边界条件中的常数$α$的值，或者等价于体积$M$。我们得到了类似的结果与广义Wentzell边界条件$Δu + β\frac{\partial u}{\partial ν} + γu = 0$的拉普拉斯算子。
Some remarks on the homogeneous Boltzmann equation with the fractional Laplacian term
研究了具有分数阶Laplacian项的齐次Boltzmann方程。在傅立叶侧工作，我们求解所得的积分方程，并改进了Y.- K.小周我们用Morimoto，Wang和Yang提出的空间$\mathcal{M}^α$代替初始数据空间。该空间精确地捕获具有有界分数矩的概率测度的傅立叶图像，提供更自然的初始条件。我们证明了一个唯一的全局解的存在性，除了预期的最大增长估计和稳定性估计。作为结果，我们得到了原方程的连续密度解。
Nonlocal Robin Laplacians and some remarks on a paper by Filonov on eigenvalue inequalities
本文的目的是双重的：首先，我们刻画了一类本质上最优的边界算子$Θ$，它在有界Lipschitz域$Ω\subset\bbR^n$，$n\in\bbN$，$n\geq 2$上产生了具有（非局部和局部）Robin型边界条件的$L^2(Ω; d^n x)$中的自伴Laplacian $-Δ_{Θ, Ω}$。其次，我们扩展Friedlander的Neumann和Dirichlet Laplacian特征值之间的非局部罗宾和Dirichlet Laplacian特征值与有界Lipschitz域$Ω$，Filonov介绍了这种类型的问题的方法。
Remark on the global regularity of 2D MHD equations with almost Laplacian magnetic diffusion
二维不可压缩磁流体动力学方程组的经典解是否具有整体适定性是一个难题，至今尚未完全解决.本文建立了具有几乎Laplacian磁扩散的二维不可压MHD方程解的整体正则性。这一结果可以看作是对前人工作的进一步改进和推广。因此，我们的结果更接近于解决具有标准拉普拉斯磁扩散的二维MHD方程的整体正则性问题。
Remark on a special class of Finsler $p$-Laplacian equation
本文研究一类特殊Finsler $p$-Laplacian方程，指出在$(H_M)$条件下Finsler $p$-Laplacian与经典$p$-Laplacian经线性变换等价，为已有文献的核心结论提供了更直接的推导路径，填补了相关文献的表述空白。
Remarks on the global regularity of two-dimensional magnetohydrodynamics system with zero dissipation
研究了具有广义耗散和扩散的二维广义磁流体动力学系统。我们知道，在耗散项和扩散项都是满拉普拉斯算子的经典磁流体力学系统存在唯一的整体强解对。利用二维情况下系统的特殊结构，我们特别证明了当耗散为零但只有具有分数拉普拉斯$β> \frac{3}{2}$幂的磁扩散时，解对保持光滑。
A free boundary optimization problem for the $\infty$-Laplacian
研究了热传导中的一个自由边界最优化问题，该问题由无穷拉普拉斯算子控制，具有较低的温度边界和体积约束。我们得到的存在性和正则性的结果，并推导出几何性质的解决方案和自由边界。
Spectral shape optimization for the Neumann traces of the Dirichlet-Laplacian eigenfunctions
We consider a spectral optimal design problem involving the Neumann traces of the Dirichlet-Laplacian eigenfunctions on a smooth bounded open subset $Ω$ of $\R^n$ . The cost functional measures the amount of energy that Dirichlet eigenfunctions concentrate on the boundary and that can be recovered with a bounded density function . We first prove that, assuming a $L^1$ constraint on densities, the so-called { \it Rellich functions} maximize this functional.Motivated by several issues in shape optimization or observation theory where it is relevant to deal with bounded densities, and noticing th…
A remark on Schatten-von Neumann properties of resolvent differences of generalized Robin Laplacians on bounded domains
本文研究了具有光滑边界$\partialΩ$的有界区域$Ω$上两个广义自伴极大耗散或极大累积Robin Laplacian的预解式差的$s$ -数的渐近性质.为此，我们应用最近推出的抽象概念的拟边界三元组和Weyl函数的扩展理论的对称算子连同Krein型预解公式和著名的特征值渐近的拉普拉斯-Beltrami算子$\partialΩ$。证明了两个广义Robin Laplacian的预解式差属于任意阶$p$的Schatten-von Neumann类，其中$p>(dimΩ-1)/3$ .此外，我们还给出了两个广义Robin Laplacian的预解式差属于任意小阶Schatten-von Neumann类的一个简单的充分条件。我们的结果扩展和补充经典定理由于M.Sh.Birman关于Schatten-von Neumann性质的Dirichlet，Neumann和自伴Robin Laplacian的预解式差异。
Optimization results for the higher eigenvalues of the $p$-Laplacian associated with sign-changing capacitary measures
本文证明了有限测度盒中包含的固定测度的$p$ -拟开集中，$p$ -拉普拉斯算子的$k$阶变分特征值的极小化的最优集的存在性.对于与薛定谔势相关的$p$ -Laplacian算子的本征值，得到了类似的存在性结果。为了处理这些非线性形状最优化问题，我们开发了一种通用的方法，它允许处理连续依赖的特征值的$p$ -拉普拉斯算子与符号变化的电容措施下$γ$收敛。
On the optimization of the first weighted eigenvalue of the fractional Laplacian
本文研究分数阶拉普拉斯算子第一特征值在权重函数重排类中的极小化问题，证明极小化权重存在并给出特征函数刻画及多种对称性等定性性质。
Optimization problems in rearrangement classes for fractional $p$-Laplacian equations
本文研究了分数阶 $p$-Laplacian 在重排类中的两个优化问题，证明了主特征值极小值的存在性并探讨了能量泛函最大化，同时给出了优化数据与解之间的逐点关系。
An optimization problem for the first eigenvalue of the $p-$fractional laplacian
本文分析了一个与非定域$p-$ Laplace算子加位势有关的本征值问题。在回顾了这些算子的第一本征值的一些基本性质（相关本征函数的存在性、正性、简单性和孤立性）之后，我们研究了第一本征值对势函数的依赖性，并在某些容许类中建立了一些{ \em最优}势的存在性。
Remarks on functions with bounded Laplacian
$Δψ:=\frac{\partial^2 ψ}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2 ψ}{\partial x_2^2}$是局部有界的并不意味着$D^2ψ$是局部有界的。然而，我们证明，如果$ψ$是不变的旋转下的$\frac{2π}{m}$，为一些$m\geq 3$，和$Δψ$是局部有界的，那么$$\sup_{x\in B_1(0)}\frac{|\nabla ψ(x)|}{|x|}<\infty.$$这是尖锐的，因为有例子的功能$ψ$的$Δψ$是局部有界的，这是不变的旋转下的$π$与$|ψ(x)-ψ(0)|\approx |x|^2 |\log|x||$作为$|x|\rightarrow 0$。这个界限和它的推广可以在不同的情况下使用，特别是在演化方程的奇点形成问题。我们在研究二维不可压缩欧拉方程的某些奇异解时遇到了它（见\cite{E}）。另一个应用是当$Δψ$是一个具有自交点的集合的特征函数时证明$D^2 ψ$的有界性（见第5节）。事实上，如果$Δψ=χ_{A}$和$A$是从一个点发出的扇区的并集，我们可以给出$A$上$D^2 ψ$局部有界的充分必要条件（见第6节）。
On shape optimization problems involving the fractional laplacian
我们关心的是计算最佳形状的问题，涉及$\(-Δ)^{1/2}$。我们专注于能量$J(Ω)$相关的解决方案$u\_Ω$的基本狄利克雷问题$(-Δ)^{1/2} u\_Ω= 1$在$Ω$，$ u = 0$在$Ω^c$。我们表明，经常极小$Ω$的这种能量下的体积约束是磁盘。我们的证明通过明确计算的形状导数（这似乎是全新的分数的上下文中），和一个精致的适应移动平面方法。
A remark on the order of mixed Dirichlet-Neumann eigenvalues of polygons
给定平面凸区域上具有分段线性边界的Laplacian算子满足混合Dirichlet-Neumann边界条件，给出了其最低特征值优于具有互补边界条件的Laplacian算子的最低特征值的充分条件（即用Neumann代替Dirichlet，反之亦然）.这个结果的应用三角形给出了一个肯定的部分答案最近的猜想。此外，我们证明了类似的味道直角三角形的进一步观察。
Numerical Optimization of Eigenvalues of the magnetic Dirichlet Laplacian with constant magnetic field
本文提出结合梯度下降法和基本解方法，对常数磁场下磁 Dirichlet Laplacian 前七个特征值进行数值优化，发现当磁通量超过目标特征值指标时极小化子始终为圆盘。
An extension problem for the CR fractional Laplacian
我们表明，共形不变的分数幂的次拉普拉斯海森堡群给出的散射算子的扩展问题的西格尔上半空间。值得注意的是，这个扩展问题是不同的研究，其中包括卡法雷利和西尔维斯特。
Some remarks on Campanato Theorem and the Anisotropic Bessel Spaces
本文建立各向异性Campanato定理，证明各向异性Bessel空间连续嵌入Holder空间，并据此构造一类各向异性分数阶Laplacian算子的基本解。
On the Second Eigenvalue of Combination Between Local and Nonlocal $p$-Laplacian
本文研究了算子$-\De_p u -\De_{J,p}u$第二特征值的山路刻画，并研究了与这些特征值有关的形状最优化问题。
Asymptotic shape optimization for Riesz means of the Dirichlet Laplacian over convex domains
对于有界凸域$Ω\subset \mathbb{R}^n$，本文研究了$Ω\subset \mathbb{R}^n$上Dirichlet Laplacian的谱.对于$Λ\geq0$和$γ\geq 0$，令$Ω_{Λ, γ}(\mathcal{A})$表示形状优化问题$$ \sup\{ \mathrm{Tr}(-Δ_Ω-Λ)_-^γ: Ω\in \mathcal{A}, |Ω|=1\}, $$的任何极值集，其中$\mathcal{A}$是$\mathbb{R}^n$中的凸区域的容许族。若$γ\geq 1$和$\{Λ_j\}_{j\geq1}$是趋于无穷大的正序列，则证明了$\{Ω_{Λ_j, γ}(\mathcal{A})\}_{j\geq1}$是有界序列，因此包含收敛子序列.在对$\mathcal{A}$的一个附加假设下，我们刻画了单位测度的$\mathcal{A}$中域间周长的极小化的这种连续性的可能极限.例如，如果$\mathcal{A}$是不超过$m$面的所有凸多边形的集合，则$Ω_{Λ, γ}$在旋转和平移之前收敛到正则$m$ -边形。这是发表在Journal of Spectral Theory（2019）上的论文的修订版，该论文已根据2021年发表的勘误表进行了更新。本文的结果保持不变，但定理2.4和推论5.3的证明作了修改。
A connection between quantum dot Dirac operators and $\overline\partial$-Robin Laplacians in the context of shape optimization problems
本文探讨了量子点狄拉克算子与\overline\partial-Robin拉普拉斯算子在形状优化问题中的联系，并证明了相关不等式在特定边界条件下的有效性。
Some remarks on semi-classical analysis on two-step Nilmanifolds
本文给出了在幂零李群和幂零流形的背景下发展半经典方法的最新结果。本文主要研究两步幂零流形，并给出了与次拉普拉斯算子的本征函数相关的密度序列的弱极限的一些性质。我们强调几何形状对这些性质的影响。
Optimal partitions for Robin Laplacian eigenvalues
本文证明了多相形状最优化问题的最优划分的存在性，该问题是指包含在$R^d$中给定的$D$盒中的、具有$\mathcal H ^ {d-1}$ -可数可求长边界的、互不相交的{ \it开} $k$集合的第一Robin Laplacian特征值之和最小
Some remarks on sub-elliptic equations
本文考虑$R^n$上的Hormander拉普拉斯算子的主本征值问题.在整个$R^n$中研究了一个相关的半线性次椭圆型方程，证明了在适当的条件下，该问题有无穷多个正解。
Elliptic problems involving the 1--Laplacian and a singular lower order term
本文研究一类含1-Laplacian算子$Δ_1 u$且具有$\frac{f(x)}{u^γ}$型奇异项的方程的狄利克雷问题.这里$f\in L^N(Ω)$是非负的，$0<γ\le1$和$Ω$是具有Lipschitz连续边界的有界区域.我们证明了一个方便定义的解的概念的存在性结果。该解作为$p$ -拉普拉斯型问题解的极限而获得。此外，当$f(x)>0$ a.e.，该解决方案满足可能预期的那些特征以及唯一性结果。我们也给出明确的1-维的例子表明，在一般情况下，唯一性不成立。我们注意到$L^\infty$ --散度-测度向量场的Anzellotti理论必须推广到处理这个方程.
Shape Optimization Problems with Internal Constraint
我们考虑形状最优化问题与内部包含约束，形式$$\min\big\{J(Ω)\ :\ \Dr\subsetΩ\subset\R^d,\ |Ω|=m\big\},$$的集合$\Dr$是固定的，可能是无界的，和$J$依赖于$Ω$通过频谱的Dirichlet拉普拉斯算子。我们分析了解的存在性及其定性性质，并提出了一些悬而未决的问题。
A remark on the two-dimensional magneto-hydrodynamics-alpha system
研究了具有分数阶拉普拉斯算子的二维广义磁流体力学- $α$系统的耗散项和扩散项。我们表明，速度和磁场的解决方案对保持其初始的正则性在所有情况下，当功率加起来为1。这解决了一般情况下的全局正则性问题，作者在[33]中指出这是一个问题。
1-Laplacian type problems with strongly singular nonlinearities and gradient terms
我们证明了狄利克雷问题的非负解的最优存在性，不存在性和正则性结果$$ \begin{cases} \displaystyle -Δ_1 u = g(u)|D u|+h(u)f & \text{in}\;Ω,\\ u=0 & \text{on}\;\partialΩ, \end{cases} $$其中$Ω$是$\mathbb{R}^N$的一个开有界子集，$f\geq 0$属于$L^N(Ω)$，$g$和$h$是连续函数，可以在零处爆破。作为一个值得注意的事实，我们展示了如何一个非平凡的两个非线性$g$和$h$之间的相互作用机制产生显着的正则化效果的解决方案。我们的主要结果的锐度进行了讨论，通过使用适当的明确的例子。
Best dispersal strategies in spatially heterogeneous environments: optimization of the principal eigenvalue for indefinite fractional Neumann problems
研究了与Neumann谱分数拉普拉斯算子相关的加权问题的正主特征值。这一分析与种群动力学中生存阈值的研究有关。我们的主要结果涉及这样的阈值的优化相对于分数阶$s\in(0,1]$，$s=1$的情况下，对应于标准的Neumann拉普拉斯算子：当栖息地不是太分散，主要的正特征值不能有局部极小值的$0<s<1$。因此，生存的最佳策略是遵循$s=1$的扩散（即布朗扩散），或者使用尽可能低的$s$（即允许长跳跃的扩散），具体取决于域的大小。此外，我们还表明，在周期性环境中，类似的结果适用于$\mathbb{R}^N$中的标准分数拉普拉斯算子。
Some remarks on the duality method for Integro-Differential equations with measure data
我们处理的存在性，唯一性和正则性的边值问题$$ \begin{cases} {\mathcal L}^s u = μ&\quad \text{in $Ω$}, u(x)=0 \quad &\text{on} \ \ \mathbb{R}^N\backslashΩ, \end{cases} $$其中$Ω$是一个有界域的$\mathbb{R}^N$，$μ$是有界氡测量$Ω$，和${\mathcal L}^s$是一个非局部算子的分数阶$s$的核心$K$是可比的分数拉普拉斯算子之一。
On the Effectless Cut Method for Laplacian Eigenvalues in any dimensions
本文研究了在轴对称双连通域中正鲁宾边界条件下第一拉普拉斯特征值的优化问题，证明球壳在附加几何约束下最大化该特征值，结合已知的混合拉普拉斯特征值等周不等式和赫尔施提出的高维无效切割技术扩展。
Large solutions for fractional Laplacian operators
本文研究了由不同的分数阶拉普拉斯算子驱动的线性和半线性狄利克雷问题。边界数据可以是光滑函数或Radon测量。目标是对在指定域边界上具有奇异性的解进行分类。本文首先讨论了一类具有边界爆破的调和函数的存在性，并利用退化边界迹的概念刻画了这类函数。通过一些分部积分法公式，我们然后提供了一个弱理论的Stampacchia的排序扩展的线性理论的设置，包括这些功能：我们研究的经典问题的存在性，唯一性，连续依赖于数据，正则性和渐近行为的边界。之后，我们发展了半线性问题的理论，通过适应和推广一些子和上解方法。这使得我们能够建立非线性方程椭圆偏微分方程理论中大解的分数阶对应，给出了大解存在的充分条件。最后给出了非局部方向曲率的定义和研究。
On shape optimization with large magnetic fields in two dimensions
本文研究二维强磁场极限下磁拉普拉斯特征值最优区域的对称性，证明若区域第n个特征值小于同面积圆盘，则其弗伦克尔不对称性趋于零，并推广至矩形及磁狄拉克算子。
A Free boundary problem for the $p(x)$- Laplacian
本文研究了在具有$u-ϕ_0\in W_0^{1,p(\cdot)}(Ω)$的函数类$W^{1,p(\cdot)}(Ω)$中，对给定的有界$ϕ_0\geq 0$，最小化$\int_Ω|\nabla u|^{p(x)}+ λχ_{\{u>0\}} dx$的优化问题. $W^{1,p(\cdot)}(Ω)$是具有$\int_Ω|\nabla u|^{p(x)} dx<\infty$的弱可微函数类。我们证明了每一个解决方案$u$是局部Lipschitz连续的，它是一个解决方案的自由边界问题和自由边界，$Ω\cap\partial\{u>0\}$，是一个规则的表面。
Remarks on a nonlinear nonlocal operator in Orlicz spaces
研究了分数$p$ -Laplacian算子型积分算子$\mathcal{L}u(x)=\int_{\mathbb{R^N}}ψ(u(x)-u(y))J(x-y)\,dy$，以及相应的Orlicz和Sobolev-Orlicz空间的性质.特别是，我们显示了庞加莱不等式和Sobolev不等式，取决于奇异性在原点的内核$J$考虑，这可能是非常弱的。这两个不等式导致紧包含。然后，我们使用这些属性来研究相关的椭圆问题$\mathcal{L}u=f$在有界域$Ω$，和边界条件$u\equiv0$ $Ω^c$ ;这两种情况$f=f(x)$和$f=f(u)$被认为是，包括广义特征值问题$f(u)=λψ(u)$。
Optimization of the principal eigenvalue of the Neumann Laplacian with indefinite weight and monotonicity of minimizers in cylinders
本文研究了带不定权重的 Neumann Laplacian 主特征值优化问题，证明了极小化子的存在性与特征刻画，并揭示了柱体区域中极小化子沿母线方向的单调性。
An optimization problem with free boundary governed by a degenerate quasilinear operator
本文研究了由$p$-Laplacian控制的自由边界最优化问题的最优构形的存在性、正则性和几何性质。
Sharp existence conditions and geometric inheritance for overdetermined free boundary problems of Laplacian and bi-Laplacian type
本文利用经典积分不等式和正则性结果，给出了Laplacian和双Laplacian超定问题中自由边界存在的充要条件或充分条件，并证明了水平集继承C-GNP性质的几何结果。
Some remarks on spatial uniformity of solutions of reaction-diffusion PDE's and a related synchronization problem for ODE's
本文研究了反应扩散PDE解的空间均匀性条件，基于雅可比矩阵和拉普拉斯算子的第一狄利克雷特征值，同时推导了ODE网络同步问题的类比结果。
Asymptotic spherical shapes in some spectral optimization problems
我们研究了一个不确定加权问题的正主特征值的优化，与Neumann Laplacian在一个盒子$Ω\subset\mathbb{R}^N$，这是在调查中出现的生存阈值在人口动态。当试图最小化这样的特征值相对于重量，导致考虑形状最优化问题，这是已知的，不承认球形最佳形状（尽管一些先前陈述的说明）。我们研究了在某些奇异扰动极限下是否可以恢复球形。更确切地说，我们表明，每当负的部分的重量发散，上述形状最优化问题的方法在极限的所谓的频谱下降问题，其中涉及的第一特征值的混合狄利克雷-诺依曼拉普拉斯算子的最小化。我们证明，适当的选择框$Ω$，这第二个问题的最佳形状确实是球形的，而且，对于一般的$Ω$，我们表明，小体积的光谱下降是渐近球形的，中心点的$\partialΩ$具有大的中曲率。
Optimizing the ground state energy of the three-dimensional magnetic Dirichlet Laplacian with constant magnetic field
针对固定体积三维区域中恒定磁场下磁性狄利克雷拉普拉斯算子基态能量极小化问题，通过柱形区域分析揭示几何约束（磁场增强时区域沿磁场方向特定速率伸长），结合数值结果验证预测并提出猜想。
On 1-Laplacian Elliptic Equations Modeling Magnetic Resonance Image Rician Denoising
本文研究了利用总变分（TV）在贝叶斯或广义Tikhonov框架中建模磁共振图像Rician去噪的问题，推导出非线性椭圆方程，涉及1-拉普拉斯算子，并通过修正的一阶贝塞尔函数定义反应项，提出存在性理论和解的性质，采用收敛的近点算法直接求解非光滑非凸优化问题，通过合成和真实MRI数据验证了方法的有效性，并应用于扩散张量图像。
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