Tautological Classes of the Stack of Rational Nodal Curves
Damiano Fulghesu
这是第二次在一系列的三篇论文中，我们探讨了合理的周环的堆栈组成的节点曲线的属。在这里，我们定义基本类：阶层类和芒福德类。
This is the second in a series of three papers in which we investigate the rational Chow ring of the stack consisting of nodal curves of genus. Here we define the basic classes: the classes of strata and the Mumford classes.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Tautological module and intersection theory on Hilbert schemes of nodal curves
研究了任意维基上一类光滑或平滑曲线族的相对Hilbert格式的相交理论。我们引入了一个添加剂组称为“判别模块”，产生的对角线轨迹，节点滚动，和扭曲，并确定行动的判别或大对角因子对这个组的交叉。我们表明，这足以确定任意多项式的陈类，特别是陈数，重言式向量丛的希尔伯特计划，这是密切相关的枚举几何。最新的版本包括一些新的显式计算和参考的计算机程序，由于G。刘实现了我们的交集演算。
On the tautological rings of stacks of twisted curves
该研究引入扭曲线模栈的tautological环，同时建立了这类环的一些基本性质，为相关代数几何研究提供新的研究对象与基础性质支撑。
Tautological ring of the moduli space of generalised parabolic line bundles on a curve
本文考虑复结点射影曲线的紧化雅可比矩阵的正规化上的重言式环，它包含扩张的Brill-Noether代数类.这种代数等价下代数类的最小$\Q$ -子代数，在乘法映射、Pontrayagin积和傅里叶变换所诱导的映射的扩张下是稳定的，是由正规化曲线的Jacobian的Brill-Noether类和某些自然类的拉回所产生的.
Chow rings of stacks of prestable curves I
本文研究了预稳定曲线的模栈$\mathfrak{M}_{g,n}$的Chow环，并在此栈上定义了重言式类的概念。本文从稳定曲线的模空间$\bar{\mathcal{M}}_{g,n}$的重言环出发，推广了自然态射下重言类的交积和函性公式。本文为论文的第二部分提供了基础。在附录中（与J. Skowera联合），我们发展了一个适当的，但不是必要的投影，推进代数圈的理论。适当的前推对于构造$\mathfrak{M}_{g,n}$的重言式环是必要的，并且其本身是重要的。我们还开发了代数堆栈的操作周群。
Geometry on nodal curves II: cycle map and intersection calculus
我们研究一族节点（或光滑）曲线的相对Hilbert方案，通过它的（双有理）循环映射，去相对对称产品。我们证明了循环图是判别轨迹的爆破，它由具有重点的循环组成。本文在相对Hilbert概型上导出重言丛的Chern类的交演算，它在计数几何中有应用。
Tautological relations in moduli spaces of weighted pointed curves
Pandharipande-Pixton利用稳定亏格的模空间的几何关系，在光滑亏格g曲线的模空间$M_g$上建立重言式Chow类之间的关系。我们研究了一个自然扩张，他们的方法的边界和更一般的Hassett的模空间$\overline M_{g, w}$稳定的节点曲线加权标记点。对这些关系的代数操作将它们带入Faber-Zagier类型的形式。我们表明，他们给Pixton的广义FZ关系时，所有的权重是一个。作为特殊情况，我们给出了$M_g$上泛曲线的n重积的FZ关系的一个公式。
Tautological algebra of the moduli stack of semistable bundles of rank 2 on a general curve
研究一般曲线上的秩2稳定丛模堆栈的拟代数结构，揭示其由除子类生成的性质，扩展经典Porteous公式的应用。
Evolution equation in Hilbert-Mumford calculus
发展型微分方程将重言式类的相交理论编码在节曲线族的Hilbert格式上。
Generating Functions for Hurwitz-Hodge Integrals
本文给出了一类Hurwitz-Hodge积分的显式生成函数。这些积分重言式类的模空间的容许覆盖，（堆叠）光滑紧化的赫尔维茨计划。容许覆盖及其重言类本身就是有趣的数学对象，但最近它们被证明是研究曲线的模空间的重言环和DM栈的轨道Gromov-Witten理论的有用工具。我们的主要工具是Atiyah-Bott本地化：它的基本理念是将一个有趣的几何问题转化为一个纯粹的组合问题。
Tame nodal stacky curves
本文分析驯顺节点堆叠曲线的性质，特别是扭曲曲线和双扭曲曲线，主要结果包括驯顺堆叠节点的完整分类以及节点堆叠曲线的Picard群和Brauer群的计算。
Chern Classes of the Moduli Stack of Curves
在这里，我们计算的陈类${\bar {\mathcal M}}_{g,n}$，稳定的n点曲线的模量堆栈。特别地，我们证明了这样的类躺在重言式环。
Tautological classes on low-degree Hurwitz spaces
设$\mathcal{H}_{k,g}$为$\mathbb{P}^1$的Hurwitz栈参数化度$k$，亏格$g$覆盖.我们定义的重言式环的$\mathcal{H}_{k,g}$，我们表明，所有的周类，除了可能支持的轨迹上的“因子覆盖”，重言式的余维大致$g/k$时，$k \leq 5$。这里开发的设置也用于我们随后的工作，其中我们证明了新的结果的结构的周环$k \leq 5$。
Arithmetic volumes of moduli stacks of Shtukas
本文研究模堆栈中tautological classes的算术体积及其与Artin L函数导数的关系，并探讨phantom tautological ring的结构及其在函数域Colmez猜想中的应用。
On the Chow ring of the stack of rational nodal curves
本文的目的是计算亏格为0且至多3个结点的结点曲线构成的栈的有理Chow环：它是一个具有10个生成元和11个关系的Q-代数。
The Stack of Rational Nodal Curves
在这一系列的三篇论文中，我们开始研究由亏格为0的节点曲线组成的堆栈的有理Chow环，特别是我们完全确定了由至多3个节点的曲线组成的子堆栈的有理Chow环。在这第一篇论文中，我们构造了堆栈的合理节点曲线和分层的节点，并表明，从通用曲线的堆栈的映射是不可表示的类别的计划。
Cohomology of Moduli Stacks of Principal $\Bbb C^*$-Bundles Over Nodal Algebraic Curves
研究结点曲线上主$\Bbb C^*$-丛模栈，用陈类确定其有理上同调代数。
Geometry and intersection theory on Hilbert schemes of families of nodal curves
我们研究了一族节点（或光滑）曲线的相对Hilbert方案，在任意维的基上，通过它的（双有理）循环映射，到相对对称积。我们证明了循环图是判别轨迹的爆破，它由具有重点的循环组成。我们计算了Hilbert格式中的一些自然循环的爆破或“判别”极化的作用，包括广义对角线和循环，称为“节点涡卷”，支持在奇点上的参数化格式.本文导出了重言式向量丛的陈类的交演算，这类向量丛与枚举几何密切相关。
Logarithmic tautological rings of the moduli spaces of curves
本文定义曲线模空间的对数重言环，借助同调分段多项式与锥叠组合完成亏格0计算，并将标准重言环关系及 Pixton 猜想提升至对数情形。
The integral Chow ring of the stack of at most 1-nodal rational curves
给出了6维不可约表示中至多有1个结点的有理曲线与开集GL（3）的商的叠加.然后，我们使用等变相交理论来计算该堆栈的积分Chow环。
Chow ring of the stack of plane nodal curves
本文计算固定次数平面结点曲线模空间栈的有理周环并用重言类刻画，同时把 Vial 关于 Brauer–Severi 簇周群的结果推广至 $G$-等变情形。
Logarithmic intersections of double ramification cycles
我们描述了一个理论的对数周环和重言式子环的代数光滑的代数堆栈，通过推广的概念分段多项式函数。使用这种机器，我们证明了双双分歧周期在于重言式子环的（经典）周环的模空间的曲线，和对数双分歧周期是除（如由Molcho，Pandharipande，和施密特）。
Stacks of uniform cyclic covers of curves and their Picard groups
我们研究亏格h和g的平滑曲线之间n次均匀循环覆盖的堆栈B_{h,g,n}，并且对于h >> g，将其表示为M_g的泛雅可比堆栈上的向量丛的开子堆栈。我们使用这种描述来计算B_{h,g,n}的积分Picard群，表明它是由B_{h,g,n}的重言式类生成的。
Intersections of loci of admissible covers with tautological classes
对于有限群$G$，设$\H_{g,G,ξ}$是稳定曲线的容许$G$ -覆盖$C\to D$的堆叠，其分歧数据为$ξ$，$g(C)=g$和$g(D)=g'$ .有源态射和目标态射$ϕ\colon \H_{g,G,ξ}\to \M_{g,r}$和$δ\colon \H_{g,G,ξ}\to \M_{g',b}$，分别记住曲线$C$和$D$以及覆盖的分支或分支点。本文研究了容许覆盖圈，即$ϕ_* [\H_{g,G,ξ}]$形式的圈.例子包括基本类的轨迹超椭圆或双椭圆曲线$C$标记分歧点。本文的两个主要结果如下：首先，对于与稳定图$A$相关联的胶合态射$ξ_A\colon \M_A\to \M_{g,r}$，我们给出了关于容许$G$ -覆盖空间和$ψ$类的拉回$ξ^*_A ϕ_*[\H_{g,G,ξ}]$的组合公式。这允许我们用重言式类来描述循环$ϕ_*[\H_{g,G,ξ}]$的交集。其次，推-拉$δ_*ϕ^*$发送重言式类重言式类，我们还给出了这个映射的重言式环的标准生成元的组合描述。我们展示了如何使用回调算法计算形式为$ϕ_* [\H_{g,G,ξ}]$的循环的重言式表达式。特别是，我们计算类$[\Hyp_5]$和$[\Hyp_6]$的超椭圆轨迹在$\M_5$和$\M_6$和类$[\B_4]$的双椭圆轨迹在$\M_4$。
The tropicalization of the moduli space of curves
本文证明稳定曲线模叠的骨架自然等同于扩展热带曲线模空间，并构造了与代数重言映射相容的遗忘、粘合与胶合映射。
Cycles in the universal moduli stack of bundles of rank two over genus two curves
本文提出并证明了双曲曲线上的 universal moduli 堆叠的 Chow 环猜想，确定了生成元和关系，并计算了 genus 二曲线的 universal Jacobians 乘积的 Chow 环。
The Chow Ring of the Stack of Rational Curves with at most 3 Nodes
本文给出了亏格为0且至多3个结点的结点曲线构成的叠的有理Chow环：它是一个具有10个生成元和11个关系的Q-代数。
Chow and cohomology rings of moduli stacks of plane quartics
本文研究了四次曲线模栈Hacking模栈的Chow环和上同调环，通过堆叠理论加权吹胀构造了一个光滑proper Deligne-Mumford堆栈，解决了KSBA和K-模空间之间的Calabi-Yau墙交叉问题，并计算了该模栈的Poincaré多项式，证明了循环类映射在有理系数下是同构的，并确定了其Chow环的生成元和关系。
On the Teichmüller stack of homogeneous spaces of SL(2,C)
本文证明了SL（2，C）的齐性空间的Teichmüller栈的一个开子栈，它是特征标簇的栈形式.我们表明，重言式家庭的代表品种，变形的holonomy，总是一个完整的家庭。这是E.讨论了在齐性空间中复结构的形变。
The rational Chow rings of moduli spaces of hyperelliptic curves with marked points
当$n \leq 2g+6$为亏格$g$的$n$点光滑超椭圆曲线时，确定了模空间$\mathcal{H}_{g,n}$的有理Chow环.我们还证明了部分紧化$\mathcal{I}_{g,n}$的Chow环，参数化$n$ -指向的不可约节点超椭圆曲线，是由重言式因子生成的。在此过程中，我们改进了Casnati关于$\mathcal{H}_{g,n}$对于$n \leq 2g+8$是有理的结果，从而证明了$\mathcal{H}_{g,n}$对于$n \leq 3g+5$是有理的.
Nodal Uniformization of G-bundles
本文综述了曲线上主丛的一致化结果。我们提供了一个证明节点曲线的均匀化，这一结果是一个特殊的情况下，工作的Belkale和Fakhruddin奇异曲线的均匀化。我们利用一致化结果构造了一族节线上G丛的模的紧化。同时，我们也解释了如何使用群的等变紧化来紧化固定节曲线上的丛的模栈。
Chow rings of stacks of prestable curves II
我们继续研究[arXiv：2012.09887v2]中开始的预稳定曲线的模量堆叠$\mathfrak{M}_{g,n}$的Chow环。在亏格$0$中，我们证明了$\mathfrak{M}_{0,n}$的Chow环与重言式环重合，并给出了（加性）生成元和关系的完整描述.这推广了Keel和Kontsevich-Manin关于稳定曲线空间的早期结果。我们的论点使用的边界分层的模量叠加一起研究的第一个更高的Chow组的地层，特别是提供了一个新的证明Kontsevich和Manin的结果。
Auslander orders over nodal stacky curves and partially wrapped Fukaya categories
从Brurban和Drozd arXiv：0905.1231的工作可以得出，对于节点曲线$C$，Auslander阶$\mathcal{A}_C$上的模的导出范畴提供了完全复形范畴$\mathrm{Perf}(C)$的范畴（光滑和适当的）分解。在A-方面，从Haupt-Katzarkov-Kontsevich arXiv：1409.8611的工作可以得出，对于在其边界上具有停止点$Λ$的穿孔曲面$X$，部分包裹的类范畴$\mathcal{W}(X,Λ)$提供了紧类范畴$\mathcal{F}(X)$的范畴（光滑的和适当的）分解。受这种类比的启发，我们建立了一个等价的导出范畴的模块Auslander命令在某些节点堆叠曲线和部分包裹的Crackaya类别与穿孔表面的任意属配备停止在其边界。作为应用，我们推导了相干层的导出范畴之间的等价关系（分别为：完美复合体）在这样的节点堆叠曲线上，并且包裹的（相应地，紧致的）任意亏格的穿孔曲面的类。
A moduli stack of tropical curves
我们有助于热带几何的基础，以期制定热带模问题，并与曲线的模空间作为我们的主要例子。我们提出了一个模函子的模空间的曲线，并表明，它是表示的几何堆栈上的有理多面体锥的范畴。在这个框架下，带有标记点的曲线的模空间之间的自然遗忘态射作为泛曲线。我们的热带几何方法允许热带模数问题-曲线或其他模数-被扩展到对数方案。我们使用这个构造一个光滑的热带化态射从代数曲线的模空间到热带曲线的模空间，我们表明，这个态射与所有的重言式态射交换。
Nodal curves with general moduli on K3 surfaces
研究了低亏格K3曲面上节点曲线的模性质。我们证明了一般亏格g曲线C是位于2 p-2次的极化K3曲面S上的d-节点曲线X的归一化，其中p是3和11之间的任意整数，g = p-d在2和p之间。X）到亏格g的曲线的模空间，该亏格g将X的正规化的同构类[C]关联到X。
Homological mirror symmetry for nodal stacky curves
本研究通过将B模型视为栈式射影线的环、推广已有方法使曲线不可约分支具非平凡一般稳定子群，证明了A模型为可逆曲线奇点米尔诺纤维有限商的同调镜像对称，验证了相关猜想，所得中间结果也具独立价值。
A mathematical theory of D-string world-sheet instantons, II: Moduli stack of $Z$-(semi)stable morphisms from Azumaya nodal curves with a fundamental module to a projective Calabi-Yau 3-fold
在D（10）的第二部分D（10.2）中，我们以D（10.1）（arXiv：1302.2054 [math.AG]）为基础，定义了来自一般Azumaya节曲线的$Z$ -半稳定态射的概念，属$\ge 2$，其基本模为投射的Calabi-Yau 3-fold，并证明了固定类型的这种$Z$ -半稳定态射的模栈是紧的。这给了我们一个D弦的反模栈，就像Gromov-Witten理论中稳定映射到基本弦的模栈一样。它为我们提供并准备了一个新的卡-丘三重不变量的基础，这个不变量在超弦理论中捕捉了软D弦世界片的瞬子数。本说明与D（10.1）一起手写，并与同上一起阅读。
A complete degeneration of the moduli of $G$-bundles on a curve
对于半单群G，已知固定节线上的主G-丛的模堆叠是不完备的。求完备化需要紧化群G。然而，在[34]中表明，这不足以完成曲线族上的模量堆叠。在本文中，我描述了如何使用嵌入的循环组LG提供一个完整的堆栈G-丛上的一个一维家庭的曲线退化到一个节点曲线。完成时采用了模块化的解释，灵感来自Gieseker，Seshadri，Kausz和Thaddeus和Martens的工作。
A mathematical theory of D-string world-sheet instantons, I: Compactness of the stack of $Z$-semistable Fourier-Mukai transforms from a compact family of nodal curves to a projective Calabi-Yau 3-fold
在超弦理论的一个合适的体系中，卡-丘空间中的D膜及其最基本的行为可以通过从具有基本模的阿祖马亚空间到卡-丘空间的态射在数学上很好地描述。在该项目的早期工作[L-L-S-Y]（D（2）：arXiv：0809.2121 [math.AG]，与Si Li和Ruifang Song合作）中，我们在D1-膜（即D弦）的情况下探索了这一概念。并为理解这种背景下D弦世界片瞬子的概念奠定了一些基本要素。在这个D（2）的继续中，D（10），我们继续构造从Azumaya节曲线到投射Calabi-Yau 3-fold $Y$的具有基本模的半稳定态射的模栈。在本说明的第一部分中，D（10.1），我们定义了从节曲线得到的1维和宽度为[0]的Fourier-Mukai变换的扭曲中心电荷$Z$的概念以及这种变换的相关稳定性条件，并证明了对于给定的节曲线的紧凑堆叠$C_{\cal M}/{\cal M}$，从固定扭曲中心电荷$c$的族$C_{\cal M}/{\cal M}$到$Y$中的节点曲线的维度为1且宽度为[0]的$Z$ -半稳定傅立叶-Mukai变换的堆叠$FM^{1,[0];Zss}_{C_{\cal M}/{\cal M}}(Y,c)$是紧凑的。对于续篇D（10 - 2）中的应用，$C_{\cal M}/{\cal M}$将包含$C_{\bar{\cal M}_g}/\bar{\cal M}_g$作为…
Étale cohomology of a DM curve-stack with coefficients in G_m
我们计算了几种情形下的平展上同调群H^i（X，G_m），其中X是代数闭域上的1维光滑驯服Deligne-Mumford栈.我们有完整的结果orbicurves（和，更一般地说，扭曲的节点曲线），并在所有的情况下，稳定剂是循环的，我们给一些部分的结果和例子在一般情况下。特别地，我们证明了如果稳定子是阿贝尔的，则H^2（X，G_m）不依赖于X，而仅依赖于基本的圆曲线和一般的稳定子。
Curves with colliding points: logarithmic and stacky
本文引入广义对数扭曲曲线概念，发展其基本理论与结果，研究其模空间及收缩映射，为后续扭曲稳定映射的应用奠定基础。
Genus Two Stable Maps, Local Equations and Modular Resolutions
本研究通过对参数化亏格二预稳定对的阿廷叠进行模胀开构造，局部对角化相关稳定映射模空间的导出对象，消解主分支奇点并使全空间仅含正规交叉奇点，方法有望推广至高亏格。
Counting rational curves on K3 surfaces with finite group actions
Göttsche给出了光滑射影曲面$S$上点的Hilbert格式的上同调维数公式。当$S$容许有限群$G$作用时，我们刻画了$G$在Hodge结构上的作用.在$S$是K3曲面的情况下，$G$的每个元素都会在$\sum_{n=0}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}H^{i}(S^{[n]},\mathbb{C})q^{n}$上给出迹线。当$G$忠实地和辛地作用于$S$时，所得到的生成函数具有$q/f(q)$的形式，其中$f(q)$是尖点形式。我们将Hilbert点格式的Hodge结构与K3曲面上的积分线性系上重言式曲线族的紧化Jacobian的Hodge结构联系起来作为$G$ -表示。最后，我们给出了一个充分条件的$G$ -轨道的曲线与节点奇点不有助于表示。
A canonical decomposition of generalized theta functions on the moduli stack of Gieseker vector bundles
在本文中，我提出了一个新的几何方法的因式分解规则的广义θ函数。设$X$是具有一个奇点的不可约射影节曲线，$Y$是其归一化。最近，我构造了秩$n$ Gieseker向量丛在$X$上的模栈$GVB(X)$，并证明了它的正规化是$Y$上向量丛的模栈$VB(Y)$上的局部平凡纤维化，其中纤维是$Gl_n$的规范紧化。本文证明了$GVB(X)$上θ线丛的幂的整体瓣空间的一个标准直和分解，这里的和数是两点曲线$Y$上抛物丛的模堆叠上某些线丛的整体瓣空间.
The Chow ring of the universal Picard stack over the hyperelliptic locus
本文确定了超椭圆轨迹上万有 Picard 层的有理 Chow 环及其生成元与关系，并计算了整 Picard 群，证明了其 Brauer 类阶由 $d-g$ 奇偶性决定。
Mutually annihilating matrices, and a Cohen--Lenstra series for the nodal singularity
给出了有限域上相互零化的$n\times n$矩阵$(A, B)$对个数的生成函数，即$AB=BA=0$ .这个生成函数可以被看作是科恩和伦斯特拉所考虑的一系列的奇异模拟。我们表明，这个生成函数有一个因子分解，使它能够亚纯扩展到整个复平面。我们也用它来计数相互零化的幂零矩阵对。本文主要研究了$\mathbb C[u,v]/(uv)$上模的多样性以及具有节点奇点的代数曲线上相干层的模叠加.
The Chow rings of the moduli spaces of curves of genus 7, 8, and 9
本文确定了亏格7、8和9曲线模空间的有理Chow环是重言的，通过分析Hurwitz空间相交理论及特殊覆盖几何，并利用等变相交理论处理亏格9的六边形曲线轨迹。
Rational points of universal curves in positive characteristics
对于$\text{Spec}~\mathbb{F}_p$上光滑曲线的模栈$\mathcal{M}_{g,n/\mathbb{F}_p}$，证明了若$g\geq3$，则$K$上一般曲线的唯一$K$ -有理点是它的$n$重言式点.进一步证明了如果$g\geq4$和$n=0$，则Grothendieck截面猜想对$K$上的一般曲线成立.这是海恩在特性$0$中的工作向正特性的延伸。
Motive of the moduli stack of rational curves on a weighted projective stack
证明了次数有理曲线有理曲线模栈在加权射影栈$n$上的紧支撑动机在任意基域$K$和$\text{char}(K) \nmid a,b$上都是混合Tate型的，并且在Grothendieck栈环上有类$\mathbb{L}^{(a+b)n+1}-\mathbb{L}^{(a+b)n-1}$.特别是，这改善了[HP]的结果关于算术不变的模量堆栈$\mathcal{L}_{1,12n} := \mathrm{Hom}_{n}(\mathbb{P}^1, \overline{\mathcal{M}}_{1,1})$的稳定椭圆纤维化在$\mathbb{P}^{1}$与$12n$节点奇异纤维和显着的维尔斯特拉斯部分。
Stable maps and Hurwitz schemes in mixed characteristic
本文给出了混合特征完备Hurwitz方案（和栈）的定义。我们遵循R的一个思想。Pandharipande，定义完备Hurwitz栈为亏格g的结点点曲线到亏格h的稳定点曲线的模栈上的泛曲线的d次稳定映射的子栈.这个子栈只是特征为0的Hurwitz覆盖的轨迹的闭包。我们详细描述了减少模2的完整的Hurwitz堆栈的亏格1双覆盖的射影线。结果比你想象中最狂野的梦想还要狂野。最后，我们推测一个可能的关系与工作的阿布拉莫维奇，维斯托利稳定的地图到德利涅芒福德栈。
The Moduli of Singular Curves on K3 Surfaces
本文研究了K3曲面上奇异曲线的模性质。令$\mathcal{B}_g$表示亏格$g$的偏振K3表面$(X,L)$的堆叠，并且令$\mathcal{T}^n_{g,k} \to \mathcal{B}_g$是参数化元组$[(f: C \to X, L)]$的堆叠，其中$f$是在其像上双有理的未分歧态射，$C$是亏格$p(g,k)-n$和$f_*C \in |kL|$的光滑曲线。我们证明了遗忘态射$$η\; : \; \mathcal{T}^n_{g,k} \to \mathcal{M}_{p(g,k)-n}$$在一个分量上是一般有限的，除了$p(g,k)-n$的100个值。我们进一步研究了由$η$图像参数化的曲线的Brill-Noether理论，并找到了一个Wahl型障碍，使带有无序标记的光滑曲线在K3曲面上有一个节点模型，使得标记是节点上的除数.
Arithmetic of the moduli of semistable elliptic surfaces
利用判别式$Δ(X)$的有界高度，证明了一个新的关于$\mathcal{Z}_{\mathbb{F}_q(t)}(\mathcal{B})$的零阶低阶项的半稳定椭圆曲线的计数的尖锐渐近性。精确的计数是通过考虑$\mathbb{P}^{1}$上的非奇异半稳定椭圆纤维化的模量获得的，也称为半稳定椭圆曲面，具有$12n$节点奇异纤维和一个特殊的截面。建立了半稳定椭圆曲面的模函子与态射$\mathcal{L}_{1,12n} \cong \mathrm{Hom}_n(\mathbb{P}^{1}, \overline{\mathcal{M}}_{1,1})$的栈之间的$K$ -点的双射，其中$\overline{\mathcal{M}}_{1,1}$是稳定椭圆曲线的Deligne-Mumford栈，$K$是特征$\neq 2,3$的任意域.对于$\mathrm{char}(K)=0$，我们证明了$K$ -栈的Grothendieck环中的类$\mathrm{Hom}_n(\mathbb{P}^1,\mathcal{P}(a,b))$等于$\mathbb{L}^{(a+b)n+1}-\mathbb{L}^{(a+b)n-1}$ .因此，我们发现模$\mathcal{L}_{1,12n}$的动机是$\mathbb{L}^{10n + 1}-\mathbb{L}^{10n - 1}$，加权$\m…
Moduli of framed formal curves
我们引入框架形式曲线，这是形式的代数曲线的边界组件参数化的穿孔形式盘。研究了节点框架形式曲线的模空间，并赋予其对数结构。我们证明了这个模空间是一个光滑的形式对数栈。我们的建设显着的性质是，框架形式曲线承认一个自然的操作“沿边界胶合”，它在家庭中工作良好，并保持光滑（无论是在正式的和对数意义上），这导致胶合映射的水平上的模。使用框架形式曲线的模空间，我们将小圆盘的操作数E2（以及它的表亲，框架小圆盘操作数）增强为全对数motivic操作数。我们使用这种结构，以获得一个纯粹的代数几何证明的形式链上这些经典的操作（最初证明小磁盘Tamarkin使用分析方法）。我们还恢复和扩展已知的伽罗瓦行动的l-adic上同调的框架和unframed小磁盘，并Drinfeld关联，并将其扩展到积分链的一个更大的组计划：对数motivic伽罗瓦群的行动。我们的方法推广到一个更高的属的背景下，给新的“动机”的丰富（例如，行动的绝对伽罗瓦群和日志动机伽罗瓦群）的操作链的阿亚拉和Lurie，编码的代数结构上的Hochschild上链的任何完全对偶DG类的定向几何bordism操作。
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