Bounds on ternary cyclotomic coefficients
Bartlomiej Bzdega
给出了$A = \max_n |a_{pqr}(n)|$的一个新的上界，其中$a_{pqr}(n)$是三元分圆多项式的系数.我们还证明了这样一个多项式的两个连续系数相差最多一个。
We present a new bound on $A = \max_n |a_{pqr}(n)|$, where $a_{pqr}(n)$ are the coefficients of a ternary cyclotomic polynomial. We also prove that two consecutive coefficients of such a polynomial differ by at most one.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Neighboring ternary cyclotomic coefficients differ by at most one
一个分圆多项式Phi_n（x）称为三元多项式，如果n=pqr，其中p，q和r是不同的奇素因子.三元分圆多项式是最简单的多项式，其系数的行为尚未完全理解。Eli Leher在2007年证明了相邻的三元分圆系数最多相差4。我们表明，事实上，他们最多相差一个。因此，出现在三元分圆多项式中的系数集合由连续整数组成。作为应用，我们以一种更简单的方式重新证明了Bachman在2004年关于具有最优大系数集的三元分圆多项式的一个结果.
Jumps of ternary cyclotomic coefficients
已知三元分圆多项式$Φ_{pqr}(x)=\sum_k a_{pqr}(k)x^k$的两个连续系数相差至多1。本文给出了$k$满足$|a_{pqr}(k)-a_{pqr}(k-1)|=1$的一个判据。利用这一点证明了$n$次三元分圆多项式的非零系数个数大于$n^{1/3}$ .
On a certain family of inverse ternary cyclotomic polynomials
研究了一类逆三元分圆多项式$Ψ_{pqr}$，其中$r\leφ(pq)$是$p$和$q$的正线性组合.我们导出了这类多项式的高度公式，并刻画了这类多项式族中的所有平坦多项式。
The family of ternary cyclotomic polynomials with one free prime
一个分圆多项式Φ n（x）称为三元多项式，如果n=pqr，p，q，r是不同的奇素数.三元分圆多项式是最简单的多项式，其系数的行为尚未完全理解。本文建立了多项式族Φ_{pqr}（x）中系数的一些结果，并给出了一些公式，其中p<q<r，p和q是固定的，r是自由素数。
Non-Beiter ternary cyclotomic polynomials with an optimally large set of coefficients
设l>=1为任意奇数，p，q，r为素数.本文证明了存在无穷多个三元分圆多项式Φ pqr}（x），使得它们的系数集由区间[-（p-l-2）/2，（p+l+2）/2]中的p个整数组成，其中l ^2 +3l+5<= p<q<r.已知不可能有更大的系数范围。Beiter猜想指出Φ_{pqr}的分圆系数a_{pqr}（k）满足|a_{pqr}（k）|<=（p+1）/2，因此上述族与Beiter猜想相矛盾。本文给出了已知的两类具有最优大系数集的三元分圆多项式（G. Bachman）满足Beiter猜想。
Explicit expression for a family of ternary cyclotomic polynomials
本文给出了一类三元分圆多项式：$Φ_{p_{1}p_{2}p_{3}}$的显式表达式，其中$p_{1}<p_{2}<p_{3}$是使得$p_{2} \equiv1 \mod p_{1}$和$p_{3} \equiv1 \mod {p_{1}p_{2}}$的奇素数.作为显式表达式的应用，我们给出了一个精确的公式中的多项式的非零项的数量在家庭中，这反过来又立即表明，密度（非零项/度的数量）大致成反比的$p_{2}$，当$p_{1}$是足够大的。
Ternary cyclotomic polynomials having a large coefficient
令$Φ_n(x)$表示$n$次分圆多项式。在1968年修女马里昂贝特证明$a_n(k)$，系数$x^k$在$Φ_n(x)$，满足$|a_n(k)|\le (p+1)/2$的情况下$n=pqr$与$p<q<r$素数（在这种情况下$Φ_n(x)$被称为是三元）。从那时起，一些结果对建立她的猜想已被证明（例如$|a_n(k)|\le 3p/4$）。然而，在这里我们证明，Beiter的猜想对每一个$p\ge 11$都是假的。我们还证明了，给定任何$ε>0$有无限多个三元组$(p_j,q_j,r_j)$与$p_1<p_2<... $连续素数，使$|a_{p_jq_jr_j}(n_j)|>(2/3-ε)p_j$为$j\ge 1$。
On the number of terms of some families of the ternary cyclotomic polynomials $Φ_{3p_2p_3}$
本文研究了两类特殊的三元分圆多项式的非零项个数，通过将分圆多项式表示为较小的子多项式之和，得到了非零项个数的计算公式，并研究了这些多项式的性质。
On Heights and Diameters of Ternary Cyclotomic and Inclusion-Exclusion Polynomials
本文证明了对于任意奇素数p和整数h，存在足够大的素数q和r，使得对应的循环多项式Φ_{pqr}的高度为h，并揭示了其直径的可能取值。
Constrained ternary integers
如果一个整数$n$由三个不同的奇素数组成，则称它是三进制的。本文给出了三进制整数$n \leq x$的组成素数满足各种约束条件的渐近计数问题。我们应用我们的研究结果的最简单的类（逆）分圆多项式，可以有系数大于1的绝对值，即$n^{th}$（逆）分圆多项式与三元$n$。例如，我们证明了修正后的姐妹贝特猜想对于三进制整数的一部分$\ge 0.925$是正确的。
On Ternary Inclusion-Exclusion Polynomials
从组合的角度来看分圆多项式，会导致一个更大的多项式类，我们称之为包含-排除多项式。这为关于这些多项式的系数的某些类型的问题提供了更合适的设置。在建立了容斥多项式的一些基本性质之后，我们转而详细研究三元容斥多项式的结构。后一子类的例子是分圆多项式$Φ_{pqr}$，其中$p<q<r$是奇素数。我们的主要结果是，$Φ_{pqr}$的系数集仅仅是一串连续的整数，它只依赖于$r$模$pq$的剩余类.
Divisibility criteria and coefficient formulas for cyclotomic polynomials
本文给出多项式被分圆多项式整除的充要条件，推导拉马努金和的新公式，并揭示分圆多项式系数的新性质及指数相差素因子时的递推关系。
Lower bounds for coefficients of certain cyclotomic polynomials
本文证明了关于某些n的第n个分圆多项式系数最大绝对值下界的猜想，并指出该估计本质上是精确的。
A variant of some cyclotomic matrices involving trinomial coefficients
本文利用循环矩阵的理论，研究了有限域上具有二次特征和三项系数的矩阵。
Cyclotomic coefficients: gaps and jumps
我们改进了Hong，Lee，Lee and Park（2012）关于分圆多项式的间隙和Bzdogga（2014）关于分圆多项式系数间跳跃的几个最近结果。除了直接的改进，我们还介绍了一些从未在这方面使用过的新技术。
Coefficients of cyclotomic polynomials
令$a(n, k)$为$n$第分圆多项式的第$k$系数。最近，Ji，Li和Moree证明了对任意整数$m\ge1$，$\{a(mn, k)| n, k\in\mathbb{N}\}=\mathbb{Z}$ .本文改进了这一结果，证明了对任意整数$s>t\ge0$，$$\{a(ns+t, k)| n, k\in\mathbb{N}\}=\mathbb{Z}.$$
Values of coefficients of cyclotomic polynomials II
设a（n，k）是第n个分圆多项式的第k个系数。前两个作者在第一部分中证明，如果m是一个素数幂，n和k的范围在非负整数，那么a（mn，k）假设每一个整数值。这里，这个结果被推广到m是任意的情况。证明使用了倒数分圆多项式的一些性质（参见arXiv：0709.1570）。
On the Middle Coefficient of a Cyclotomic Polynomial
本文给出了以下结果的一个简单的证明：对于$n \geq 3$，$Φ_n(x)$的中间系数要么为零（当$n$是$2$的幂时），要么为奇数.
A Survey on Coefficients of Cyclotomic Polynomials
分圆多项式在数学的许多领域中起着重要的作用，它的研究有着非常悠久的历史，至少可以追溯到Gauss（1801）。特别是，他们的系数的属性已经深入研究了几个作者，在过去的10年里，在这一领域的研究活动已经爆发。这篇简明的综述试图收集关于分圆多项式系数的主要结果，并为它们的证明提供所有相关的参考资料。Lenstra（1979）、Vaughan（1989）和Thangadurai（2000）曾对这一主题进行过调查。
On Modular Inverses of Cyclotomic Polynomials and the Magnitude of their Coefficients
设p和r是两个素数，n，m是pr的两个不同因子，考虑n阶和m阶分圆多项式.在本文中，我们提出的下限和上界的系数的逆的其中一个模的其他。我们提到一个应用程序的环面为基础的密码。
Some properties of coefficients of cyclotomic polynomials
本文从理论和实验两方面研究了分圆多项式的系数。我们证明了下面的结果。{{ \em如果$n=p_1\ldots p_k$其中$p_i$是奇素数，并且$p_1<p_2<\ldots<p_r<p_1+p_2<p_{r+1}<\ldots<p_t$具有$t\geq 3$奇，则数字$-(r-2),-(r-3),\ldots, r-2, r-1$是分圆多项式$Φ_{2n}$的所有系数。此外，如果$1+p_r<p_1+p_2$，则$1-r$也是$Φ_{2n}$的系数。}在实验部分，在两个实例中，我们提出了计算证据的渐近对称分布之间的积极和消极的系数，并说明由此产生的结构。
Coefficients of (inverse) unitary cyclotomic polynomials
块可除性的概念自然地导致人们引入酉分圆多项式$Φ_n^*(x)$。它们可以写成分圆多项式的某些乘积。我们研究的情况下，$n$有两个或三个不同的素因子使用数值半群，分别巴赫曼的包含-排除多项式。给定$m\ge 1$，我们证明了对于某些$n\ge 1$，每个整数都作为$Φ^*_{mn}(x)$的系数出现。这里，$n$通常将具有许多不同的素因子。我们还考虑了逆酉分圆多项式的多项式$(x^n-1)/Φ_n^*(x),$的类似问题。
Coefficients of Unitary Cyclotomic Polynomials of Order Three
三阶酉分圆多项式是\[ Φ^*_{PQR}(x)=\frac{(x^{PQR}-1)(x^P-1)(x^Q-1)(x^R-1)}{(x^{PQ}-1)(x^{QR}-1)(x^{RP}-1)(x-1)}, \]形式的多项式，其中$P$、$Q$和$R$是三个不同素数$p$、$q$和$r$的幂。固定任何这样的素数三元组生成对应于$P=p^a$、$Q=q^b$和$R=r^c$的所有可能选择的这些多项式的族。我们研究了这类多项式族中多项式的系数。特别是，我们表明，在每个这样的家庭多项式的系数覆盖所有的$\mathbb{Z}$。
Value distribution of cyclotomic polynomial coefficients
设a_n（k）是第n个分圆多项式Phi_n（x）的第k个系数。由于n的范围是整数，a_n（k）仅假定n个值。对于任意这样的值v，我们确定整数n的密度，使得a_n（k）= v，并且我们研究了a_n（k）的平均值。对于1/Phi_n（x）（取x=0）的第k个泰勒系数，第n个倒数分圆多项式的第k个系数，我们得到了类似的结果.我们提出了各种开放的问题。
On the coefficients of the cyclotomic polynomials of order three
我们说一个分圆多项式Phi_{n}（x）有三阶，如果n是三个不同素数的乘积，p<q<r。设A（n）是Phi_{n}（x）的系数的最大绝对值，M（p）是A（pqr）的最大值。1968年，马里恩·贝特修女证明了A（pqr）<=（p+1）/2。在2008年，Yves Gallot和Pieter Moree证明了这个猜想对所有p>=11都是假的，他们提出了修正的贝特猜想：M（p）<= 2 p/3。本文给出了修正的Beiter猜想成立的一个充分条件，并在p=7时予以证明.
Reciprocal cyclotomic polynomials
令$Ψ_n(x)$是首一多项式，其具有恰好所有的非本原单位根$n$作为其简单零点。一个是$Ψ_n(x)=(x^n-1)/Φ_n(x)$，其中$Φ_n(x)$是$n$的第分圆多项式。$Ψ_n(x)$的系数是整数，其与$Φ_n(x)$的系数一样，在绝对值上往往令人惊讶地小，例如，对于$n<561$，$Ψ_n(x)$的所有系数在绝对值上都是$\le 1$。我们建立了$Ψ_n(x)$的系数的各种性质。
Sister Beiter and Kloosterman: a tale of cyclotomic coefficients and modular inverses
对于固定素数$p$，存在分圆多项式$Φ_{pqr}(x)$的最大系数（绝对值）$M(p)$，其中$r$和$q$是满足$r>q>p$的自由素数。贝特修女在1968年发表了$M(p)\le(p+1)/2$。2009年，Gallot和Moree证明了$M(p)\ge 2p(1-ε)/3$对于每个$p$都足够大。本文应用Kloosterman和（“cloister man和”）等模逆分布的工具，对Beiter姐妹猜想的反例进行了量化，并锐化了$M(p)$的上述下界.
Contour Integration and Cyclotomic Apéry-Like Series Involving Generalized Binomial Coefficients
本文通过轮廓积分方法研究了一类涉及广义二项式系数的 cyclotomic 阿佩里型级数，推导出多重 polylogarithms 等表达式，并恢复了一些已知结果。
On a Class of Ternary Inclusion-Exclusion Polynomials
三元包含-排除多项式是\[ Q_{p,q,r}=\frac{(z^{pqr}-1)(z^p-1)(z^q-1)(z^r-1)} {(z^{pq}-1)(z^{qr}-1)(z^{rp}-1)(z-1)}, \]形式的多项式，其中$p$、$q$和$r$是整数$\ge3$，并且成对互质。这类多项式包含，作为其主要子类，对应于限制$p$，$q$和$r$是不同的奇素数的三元分圆多项式。我们的目的是继续研究$Q_{p,q,r}$和$Q_{p,q,s}$的系数之间的关系，用$r\equiv s\pmod{pq}$。更具体地说，我们考虑$1\le s<\max(p,q)<r$的情况，并获得函数$A(p,q,r)$的递归估计-该函数给出$Q_{p,q,r}$的系数的最大绝对值。我们主要结果的一个简单推论是下面的绝对估计。如果$s\ge1$和$r\equiv\pm s\pmod{pq}$，则为$A(p,q,r)\le s$。
Notes On a Borwein and Choi's conjecture of cyclotomic polynomials with coefficients $\pm1$
Borwein和Choi证明了系数为$\pm1$的多项式$P(x)$是分圆的当且仅当$$P(x)=\pm Φ_{p_1}(\pm x)Φ_{p_2}(\pm x^{p_1})\cdots Φ_{p_r}(\pm x^{p_1p_2\cdots p_{r-1}})$$其中$N=p_1p_2\cdots p_{r}$和$p_i$是素数，不一定是相异的。这里$Φ_p(x):=(x^p-1)/(x-1)$是$p-$次分圆多项式。在\cite{1}，他们还证明了猜想$N$奇数或幂2。在本文中，我们引入了一个所谓的$E-$变换，我们证明了猜想的各种情况下，并提出了关键以及一个新的方法来调查的猜想。
Products of cyclotomic polynomials on unit circle
提出了一种处理单位圆上$P(z)=\prod_{d\in D}(1-z^d)^{j_d}$型多项式值的方法。我们用它来改善已知的各种措施的分圆多项式和类似的多项式的系数的界限。
Value distribution of Ramanujan sums and of cyclotomic polynomial coefficients
第n阶分圆多项式的第k个系数的Ramanujan和c_n（k）与a_n（k）是关于第n阶本原单位根的完全对称表达式。对于固定的k，我们研究了c_n（k）的值分布（继A. Wintner）和a_n（k）（部分遵循H. Moller）。特别是我们反驳了1970年的猜想H。Moller关于a_n（k）的平均（在n上）。我们证明了Dence兄弟所考虑的原根中的某些对称函数与c_{p-1}（k）和a_{p-1}（k）在素数上的p范围的行为有关，并研究了它们的值分布。本文是第二作者的硕士论文项目的产物，在第一作者的监督下在Korteweg-de Vries研究所（阿姆斯特丹大学）进行，并以硕士论文风格撰写。我们感谢Yves Gallot提供的数字援助。
Coefficients and higher order derivatives of cyclotomic polynomials: old and new
$n^{th}$分圆多项式$Φ_n(x)$是$n^{th}$原单位根的最小多项式。它的系数是深入研究的主题，并且已知它们的一些公式。这里我们感兴趣的是对所有自然数$n$都有效的公式。在这些主机著名的一些理论对象，如伯努利数，斯特灵数的两种和拉马努金总和使他们的外观，有时甚至在同一时间！在本文中，我们提出了一个调查这些公式，到现在为止，分散在文献中，并介绍了一个统一的方法来推导其中的一些，也导致较短的证明作为副产品。特别是，我们表明，一些公式有一个更优雅的重新解释贝尔多项式。这种方法相当于计算$Φ_n$在某些点的对数导数。进一步证明了任意Kronecker多项式（分圆多项式与单项式的幺半群乘积）在$\pm 1$上的对数导数满足一族系数为第二类Stirling数的线性方程.我们应用这些方程来证明某些多项式不是克罗内克多项式。特别地，我们证明了对于每个$k\ge 4$，存在一个嵌入维数为$k$，Frobenius数为$2k+1$的对称数值半群，它不是分圆的，从而建立了Alexandru Ciolan，Pedro García-Sánchez和第二作者的一个猜想. Pedro García-Sánchez在附录中证明了对于每个$k\ge 4$，存在一个具有Frobenius数$2k+1.$的对称非分圆数值半群
Binary Cyclotomic Polynomials: Representation via Words and Algorithms
本文研究二元分圆多项式，将其系数向量视为三元字母表上的字，设计了一种线性时间的最优算法以计算其紧凑表示，并推广到二维数值半群相关多项式。
On Gauss-Kraitchik formula for cyclotomic polynomials via symmetric functions
本文通过利用对称多项式与幂和多项式的关系，给出高斯-克雷奇克公式中 cyclotomic 多项式系数的显式上界。
Post-critically finite polynomials over cyclotomic closures of number fields
该研究针对数域K的分圆闭包，证明了次数不小于2的首一中心化后临界有限多项式的个数有限，属于数论领域的相关结论。
Cyclotomic properties of polynomials associated with automatic sequences
我们发现，多项式与自动序列满足一定的递归关系时，评估在一个单位根，这推广了Brillhart，Lomont和Morton的Rudin-Shapiro多项式的结果。研究了这类关系的最小阶及其系数的可积性。
On Nonzero Coefficients of Binary Cyclotomic Polynomials
本文研究两个不同素数乘积所对应分圆多项式的非零系数计数问题，将 Fouvry 的阈值由 12/25 改进至 9/20，并给出带显式常数的一致渐近公式。
Lucas-type congruences for cyclotomic $ψ$-coefficients
设p是任意素数，a是正整数。对于非负整数l、n和整数r，已知归一化分圆$ψ$系数$${n,r}_{l,p^a}:=p^{-[(n-p^{a-1}-lp^a)/(p^{a-1}(p-1))]} \sum_{k=r(mod p^a)}(-1)^k{n \choose k}{{(k-r)/p^a} \choose l}$$是整数.在本文中，我们表明，这个系数的行为类似于二项式系数，并满足一些卢卡斯型同余。这意味着Wan的一个同余往往是最优的，Sun和Davis的两个同余是真的。
A proof of the corrected Sister Beiter cyclotomic coefficient conjecture inspired by Zhao and Zhang
本文受赵和张工作的启发，通过补充大量细节完善了修正的Sister Beiter分圆多项式系数猜想$M(p)\le 2p/3$的证明，并利用该界改进了三元分圆多项式系数的已有估计，确定了三个新素数对应的精确最大值。
On Arithmetic Progressions of Powers in Cyclotomic Polynomials
我们确定的必要条件时，对应于$Φ_{n}$的正/负系数的权力是在等差数列。当$n = pq$对任何素数$q>p>2$，我们的条件也是充分的.最后，我们将$n = pq$的结果推广到Bachman首次提出的包含-排除多项式。
Generalized cyclotomic polynomials associated with regular systems of divisors and arbitrary sets of positive integers
本文引入与正则除数系和任意正整数集相关的广义分圆多项式，证明其具有整数系数并可分解为经典分圆多项式的乘积，同时给出新的 Menon 型恒等式。
Cyclotomic polynomials with prescribed height and prime number theory
给定任何正整数$n,$，令$A(n)$表示$n^{\text{th}}$分圆多项式的高度，即其绝对值的最大系数。众所周知，$A(n)$是无界的。我们猜想，每一个自然数可以出现的$A(n)$的值，并证明这一点，假设对每一对连续素数$p$和$p'$与$p\ge 127$，我们有$p'-p<\sqrt{p}+1.$我们还猜想，每一个自然数出现的最大系数的一些分圆多项式，并表明这是真的，如果Andrica的猜想，总是$\sqrt{p'}-\sqrt{p}<1$举行。这是第一次，据作者所知，一个连接之间的主要差距和分圆多项式被发现。利用Heath-Brown关于素数间隙的一个结果，我们无条件地证明了每个自然数$m\le x$都以$A(n)$值出现，至多有$O_ε(x^{3/5+ε})$例外.在Lindelöf假设，我们表明，最多有$O_ε(x^{1/2+ε})$例外，并进一步研究他们使用深入的工作Bjueri-Friedlander-Iwaniec对分布的素数算术级数超越平方根障碍。
The cyclotomic polynomial topologically
我们用单纯同调的方法解释了分圆多项式的系数。
A note on cyclotomic polynomials and Linear Feedback Shift Registers
线性反馈移位寄存器（LFRS）是在许多不同的上下文中通常用于密码学的工具，例如作为伪随机数生成器。在本文中，我们刻画LFRS与某些对称性。与此相关的问题，我们也分类多项式f的次数n满足的性质，如果a是根的f然后$f(a^n)=0$。分类很大程度上取决于多项式系数的字段的选择，我们考虑的情况下$K=\mathbb{F}_p$和$K=\mathbb{Q}$。
Flat Cyclotomic Polynomials: A New Approach
我们建立了一个新的理论，分析任何分圆多项式的系数考虑它作为一个gcd的简单多项式。利用这一理论，我们推广了一个称为周期性的结果，并给出了两个新的平坦分圆多项式族。一个是3阶的，由布罗德赫斯特证明：$Φ_{pqr}(x)$是平坦的，其中$p<q<r$是素数，并且存在正整数$w$使得$r\equiv\pm w\pmod{pq}$，$p\equiv1\pmod w$和$q\equiv1\pmod{wp}$。另一个是第一个4阶的一般族：$Φ_{pqrs}(x)$对于素数$p,q,r,s$是平坦的，其中$q\equiv-1\pmod p$，$r\equiv\pm1\pmod{pq}$和$s\equiv\pm1\pmod{pqr}$。最后，我们证明了这第二个家庭的自然延伸到5阶是从来没有平坦的，这表明没有平坦的分圆多项式的5阶。
Coefficients of a relative of cyclotomic polynomials
设$N=p_1p_2... p_n$是$n$不同素数的乘积。将$P_N(x)$定义为多项式$(1-x^N)\prod_{1\leq i<j\leq n}(1-x^{N/(p_ip_j)})/\prod_{i=1}^n (1-x^{N/p_i})$。(When $n=2$，$P_{pq}(x)$是$pq$次分圆多项式，并且当$n=3$，$P_{pqr}(x)$是$(1-x)$乘以$pqr$次分圆多项式时.）设多项式的高度是其系数之一的最大绝对值。众所周知，$Φ_{pq}(x)$的高度是1，并且Gallot和Moree表明，当$n=3$时，对于$P_{pqr}(x)$也是如此。我们发现，$P_N(x)$的系数主要取决于$p_j^{-1} \pmod {p_i}$形式的剩余和的相对顺序。这使我们能够明确地描述当$n=3$时$P_N(x)$的系数，并表明当$n=4$时$P_N(x)$的高度至多为2。我们还表明，对于任何$n$存在$P_N(x)$的高度为1，但在一般情况下，$P_N(x)$的最大高度是一个函数，只依赖于$n$的增长率$2^{n^2/2+O(n\log n)}$。
Faster integer and polynomial multiplication using cyclotomic coefficient rings
我们提出了一个算法，计算两个n位整数的产品在O（nlog n（4 \sqrt 2）^{log^* n}）位操作。最好的算法是O（n log n ^{log^* n}）。我们还证明了，对于一个固定的素数p，多项式在F_p[X]的次数n可以乘以O（n log n 4^{log^* n}）位操作;以前的最佳界是O（n log n 8^{log^* n}）。
On $p$-th cyclotomic field and cyclotomic matrices involving Jacobi sums
本文研究了p次环形矩阵的算术性质，证明了其行列式与特定多项式系数的关系。
On computing factors of cyclotomic polynomials
当n> 1时，n阶分圆多项式满足高斯恒等式。奥里菲耶、拉瑟尔和卢卡斯也有类似的身份。这些恒等式都涉及某些整系数整系数多项式。我们展示了如何通过简单的算法来计算这些系数，这些算法需要O（n^2）的算术运算并在整数上工作。给出了多项式的显式公式和生成函数，并通过数值例子说明了它在整数分解中的应用。
Gaps in binary cyclotomic polynomials
本文研究二元环形多项式Φ_{pq}的间隙，证明第二间隙为r-1和p-r-1的最大值，并确定特定条件下间隙数量。
Cyclotomic polynomials at roots of unity
$n^{th}$分圆多项式$Φ_n(x)$是$n^{th}$原单位根的最小多项式。因此，$Φ_n(x)$在本原单位根$n^{th}$处平凡为零。利用有限傅立叶分析，我们推导出一个公式，$Φ_n(x)$在其他单位根。这允许使用$m\in \{3,4,5,6,8,10,12\}$显式地评估$Φ_n(e^{2πi/m})$。我们用$m=5$的这种估计给出了Vaughan（1975）关于$Φ_n(x)$的最大系数（绝对值）的一个结果的简单证明。我们还得到了一个公式，$Φ_n'(e^{2πi/m}) / Φ_n(e^{2πi/m})$与$n \ne m$，这是有效地应用于$m \in \{3,4,6\}$。此外，我们用一种新的非常短的方法计算了两个分圆多项式的结式。
On the Scaled Inverse of $(x^i-x^j)$ modulo Cyclotomic Polynomial of the form $Φ_{p^s}(x)$ or $Φ_{p^s q^t}(x)$
非零元素$a(x)\in \mathbb{Z}[x]/f(x)$的缩放逆是元素$b(x)\in \mathbb{Z}[x]/f(x)$，使得对于最小可能正整数，$a(x)b(x)=c \pmod{f(x)}$缩放$c$，其中$f(x)$是$\mathbb{Z}$上的不可约多项式。本文研究了$Φ_{p^s}(x)$或$Φ_{p^s q^t}(x)$形式的$(x^i-x^j)$模分圆多项式的标度逆，其中$p, q$是素数，$p<q$和$s, t$是正整数.我们的主要结果是：$(x^i-x^j)$的标度逆的系数大小是有界的$p-1$与规模$p$ modulo $Φ_{p^s}(x)$，并有界的$q-1$与规模不大于$q$ modulo $Φ_{p^s q^t}(x)$ .以前，$Φ_{2^n}(x)$形式的分圆多项式的类似结果产生了许多基于格的密码系统，特别是零知识证明。我们的结果提供了更灵活的选择分圆多项式在这样的密码系统。在证明定理的过程中，我们还证明了$\mathbb{Z}[x]/Φ_{pq}(x)$中$\{x^k\}_{k\in\mathbb{Z}}$的几个性质，这些性质可能是独立感兴趣的。
Square-free values of polynomials
证明了所有满足某些局部条件的整系数可分多项式在整自变量上取无穷多个平方自由值。但没有一个多项式的次数大于$3$被证明表现出这种性质。本文提出了一种证明“分圆多项式$Φ_{\ell}(X)$取正比例的无平方值”的方法。按照这种方法，我们有条件地证明了所有分圆多项式的无平方猜想。该方法也适用于其它类型的多项式。此外，我们表明，该方法很容易成功的二次多项式给出无条件的结果。在附录中，我们在abc猜想下给出了分圆多项式无平方猜想的初等证明。
Galois-Orbit Structure, Ramanujan Sums, and Stable-Range Collapse for Cyclotomic Cosine Formulas
本文结合伽罗瓦轨道与有限频率展开，研究分圆余弦求值，揭示值层面伽罗瓦不变性缺乏稳定范围刚性，并证明特定模式族在足够大水平下坍缩为仿射函数，最终用拉马努金和给出精确轨道公式。
Sharp Diameter Bounds for Nonnegative Cyclotomic Multiples
本文证明非负循环分圆倍式的支撑直径下界为(p-1)N/p，并刻画等式情形，证实Steinberger猜想，进而建立Coven-Meyerowitz直径界及其改进。
On the growth of even $K$-groups of rings of integers in $p$-adic Lie extensions
设$p$为奇素数。本文研究了整数环的偶数$K$ -群的Sylow $p$ -子群在$p$ -adic Lie扩张中的增长性.我们的结果推广了Coates和Ji-Qin以前的结果，他们考虑了分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩张的情形.我们的证明方法不同于这些以前的工作。他们的证明依赖于一个明确的描述，某些伽罗瓦群通过库默尔理论提供的背景下，分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩展，而我们的方法是通过考虑岩泽上同调群的系数在$\mathbb{Z}_p(i)$为$i\geq 2$。我们应该提到的是，后者的方法是可能的，这要归功于奎伦-利希滕鲍姆猜想，现在已知该猜想是有效的罗斯特-Voevodsky的作品。我们还注意到，该方法使我们能够与更一般的$p$ -adic李扩展，不一定包含分圆$\mathbb{Z}_p$ -扩展，库默尔理论方法不适用。一路上，我们研究了$i\geq 2$的第二个岩泽上同调群的挠率，其系数为$\mathbb{Z}_p(i)$。最后，我们给出了$p$ -adic李扩张的例子，其中第二Iwasawa上同调群可以有非平凡的$μ$ -不变量。
Irreducible polynomials over $\mathbb{F}_{2^r}$ with three prescribed coefficients
对任意正整数$n \ge 3$和$r \ge 1$，证明了在$\mathbb{F}_{2^r}$上的一元不可约多项式的个数，其中$T^{n-1}$，$T^{n-2}$和$T^{n-3}$的系数是给定的，经过适当的归一化后，周期为$n$的函数$24$.类似的结果也适用于周期为$60$的$\mathbb{F}_{5^r}$。我们还表明，这是一个独特的$2$和$5$特性的现象。这一结果与分圆函数域中某些曲线的超奇异性密切相关，特别是它补充了Katz的等分布结果。
The size of coefficients of certain polynomials related to the Goldbach conjecture
最近的工作Borwein，崔，和第二作者研究了一个集合的多项式密切相关的哥德巴赫猜想：多项式$F_N$是整除的$N$次分圆多项式当且仅当没有表示$N$作为两个奇素数的总和。这些多项式的系数稳定，作为$N$增长，以一个固定的序列$a(m)$ ;他们推导出上限和下界为$a(m)$，和一个渐近公式的总和功能$A(M)$的序列，无论是假设一个著名的猜想哈代和利特尔伍德。本文改进了这些结果：在同样的假设下得到了$a(m)$的一个渐近公式，并无条件地建立了$A(M)$的渐近公式.
Bilinear sums with $GL(2)$ coefficients and the exponent of distribution of $d_3$
本文利用 delta 符号方法估计带 $GL(2)$ 系数的双线性和，将三元除数函数 $d_3$ 的分布指数提升至 $1/2+1/30$，改进了多项先前结果。
扫码添加微信好友，提出您的宝贵建议 👇
💡 备注请填写：网站反馈
发表机构由 AI 从论文文本抽取，如发现错误，欢迎反馈修正建议。