Explicit expression for a family of ternary cyclotomic polynomials
本文给出了一类三元分圆多项式：$Φ_{p_{1}p_{2}p_{3}}$的显式表达式，其中$p_{1}<p_{2}<p_{3}$是使得$p_{2} \equiv1 \mod p_{1}$和$p_{3} \equiv1 \mod {p_{1}p_{2}}$的奇素数.作为显式表达式的应用，我们给出了一个精确的公式中的多项式的非零项的数量在家庭中，这反过来又立即表明，密度（非零项/度的数量）大致成反比的$p_{2}$，当$p_{1}$是足够大的。
2018-01-16 math.NT
On the number of terms of some families of the ternary cyclotomic polynomials $Φ_{3p_2p_3}$
本文研究了两类特殊的三元分圆多项式的非零项个数，通过将分圆多项式表示为较小的子多项式之和，得到了非零项个数的计算公式，并研究了这些多项式的性质。
2022-07-29 cs.NA math.NA math.NT
On Heights and Diameters of Ternary Cyclotomic and Inclusion-Exclusion Polynomials
University of Nevada Las Vegas（内华达大学拉斯维加斯分校）
本文证明了对于任意奇素数p和整数h，存在足够大的素数q和r，使得对应的循环多项式Φ_{pqr}的高度为h，并揭示了其直径的可能取值。
2026-02-07 math.NT
Constrained ternary integers
如果一个整数$n$由三个不同的奇素数组成，则称它是三进制的。本文给出了三进制整数$n \leq x$的组成素数满足各种约束条件的渐近计数问题。我们应用我们的研究结果的最简单的类（逆）分圆多项式，可以有系数大于1的绝对值，即$n^{th}$（逆）分圆多项式与三元$n$。例如，我们证明了修正后的姐妹贝特猜想对于三进制整数的一部分$\ge 0.925$是正确的。
2018-09-20 math.NT
On Ternary Inclusion-Exclusion Polynomials
从组合的角度来看分圆多项式，会导致一个更大的多项式类，我们称之为包含-排除多项式。这为关于这些多项式的系数的某些类型的问题提供了更合适的设置。在建立了容斥多项式的一些基本性质之后，我们转而详细研究三元容斥多项式的结构。后一子类的例子是分圆多项式$Φ_{pqr}$，其中$p<q<r$是奇素数。我们的主要结果是，$Φ_{pqr}$的系数集仅仅是一串连续的整数，它只依赖于$r$模$pq$的剩余类.
2010-06-02 math.NT
Kitaoka's conjecture for real cyclotomic fields
Czech Technical University in Prague（布拉格捷克理工大学）
该研究证明了所有实分圆域上的Kitaoka猜想，明确这类域存在通用经典三元二次型当且仅当它是实二次域。
2026-10-14 math.NT
On a Class of Ternary Inclusion-Exclusion Polynomials
三元包含-排除多项式是\[ Q_{p,q,r}=\frac{(z^{pqr}-1)(z^p-1)(z^q-1)(z^r-1)} {(z^{pq}-1)(z^{qr}-1)(z^{rp}-1)(z-1)}, \]形式的多项式，其中$p$、$q$和$r$是整数$\ge3$，并且成对互质。这类多项式包含，作为其主要子类，对应于限制$p$，$q$和$r$是不同的奇素数的三元分圆多项式。我们的目的是继续研究$Q_{p,q,r}$和$Q_{p,q,s}$的系数之间的关系，用$r\equiv s\pmod{pq}$。更具体地说，我们考虑$1\le s<\max(p,q)<r$的情况，并获得函数$A(p,q,r)$的递归估计-该函数给出$Q_{p,q,r}$的系数的最大绝对值。我们主要结果的一个简单推论是下面的绝对估计。如果$s\ge1$和$r\equiv\pm s\pmod{pq}$，则为$A(p,q,r)\le s$。
2010-06-02 math.NT
Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0
本文证明了具有有界不变量的整三元三次型的${\rm SL}_3({\mathbb Z})$ -等价类个数的一个渐近公式。我们使用这个结果来表明，当按高度排序时，所有椭圆曲线的3-Selmer群的平均大小为4。这意味着当按高度排序时，所有椭圆曲线的平均秩小于1.17。结合我们的计数技术与Dokchitser和Dokchitser最近的结果，我们证明了所有的椭圆曲线的正比例具有秩0。假设Tate-Shafarevich群的有限性，我们还证明了正比例的椭圆曲线秩为1。最后，将我们的计数结果与Skinner和Urban最近的工作相结合，我们证明了正比例的椭圆曲线具有解析秩0;即，正比例的椭圆曲线在$s=1$处具有非零$L$ -函数。因此，所有椭圆曲线中有一部分满足BSD。
2013-12-24 math.NT
The lowest degree $0,1$-polynomial divisible by cyclotomic polynomial
设$n$是一个最多有三个不同素因子的偶数正整数，$\ze_n$是一个本原$n$的单位根.在这项研究中，我们试图找到最低次的$0,1$多项式$f(x) \in \Q[x]$至少有三项，使$f(\ze_n)$是一个最小的消失和的$n$倍单位根。
2011-11-15 math.NT
Binary Cyclotomic Polynomials: Representation via Words and Algorithms
本文研究二元分圆多项式，将其系数向量视为三元字母表上的字，设计了一种线性时间的最优算法以计算其紧凑表示，并推广到二维数值半群相关多项式。
2024-11-06 math.CO math.NT
Reciprocal cyclotomic polynomials
令$Ψ_n(x)$是首一多项式，其具有恰好所有的非本原单位根$n$作为其简单零点。一个是$Ψ_n(x)=(x^n-1)/Φ_n(x)$，其中$Φ_n(x)$是$n$的第分圆多项式。$Ψ_n(x)$的系数是整数，其与$Φ_n(x)$的系数一样，在绝对值上往往令人惊讶地小，例如，对于$n<561$，$Ψ_n(x)$的所有系数在绝对值上都是$\le 1$。我们建立了$Ψ_n(x)$的系数的各种性质。
2007-09-11 math.NT
A proof of the corrected Sister Beiter cyclotomic coefficient conjecture inspired by Zhao and Zhang
本文受赵和张工作的启发，通过补充大量细节完善了修正的Sister Beiter分圆多项式系数猜想$M(p)\le 2p/3$的证明，并利用该界改进了三元分圆多项式系数的已有估计，确定了三个新素数对应的精确最大值。
2023-04-18 math.NT
On two conjectures concerning the ternary digits of powers of two
埃尔德什指出，1、4和256是仅有的三进制表示仅由0和1组成的2的幂。Sloane解释说，除了$\{2^0,2^1,2^2,2^3,2^4,2^{15}\}$，每隔一个2的幂在其三进制表示中至少有一个0。本文给出的数值结果有力地支持了这些理论。特别地，我们用$n \leq 2 \cdot 3^{45} \approx 5.9 \times 10^{21}$验证了所有$2^n$的两种结构。我们的方法利用了一个简单的递归结构的数字$2^n$具有规定的模式，在其尾随的三进制数字。
2022-03-23 math.NT
Coefficients and higher order derivatives of cyclotomic polynomials: old and new
$n^{th}$分圆多项式$Φ_n(x)$是$n^{th}$原单位根的最小多项式。它的系数是深入研究的主题，并且已知它们的一些公式。这里我们感兴趣的是对所有自然数$n$都有效的公式。在这些主机著名的一些理论对象，如伯努利数，斯特灵数的两种和拉马努金总和使他们的外观，有时甚至在同一时间！在本文中，我们提出了一个调查这些公式，到现在为止，分散在文献中，并介绍了一个统一的方法来推导其中的一些，也导致较短的证明作为副产品。特别是，我们表明，一些公式有一个更优雅的重新解释贝尔多项式。这种方法相当于计算$Φ_n$在某些点的对数导数。进一步证明了任意Kronecker多项式（分圆多项式与单项式的幺半群乘积）在$\pm 1$上的对数导数满足一族系数为第二类Stirling数的线性方程.我们应用这些方程来证明某些多项式不是克罗内克多项式。特别地，我们证明了对于每个$k\ge 4$，存在一个嵌入维数为$k$，Frobenius数为$2k+1$的对称数值半群，它不是分圆的，从而建立了Alexandru Ciolan，Pedro García-Sánchez和第二作者的一个猜想. Pedro García-Sánchez在附录中证明了对于每个$k\ge 4$，存在一个具有Frobenius数$2k+1.$的对称非分圆数值半群
2018-08-22 math.NT
On the structure and stability of ranks of $2$-class groups in cyclotomic $\mathbb{Z}_{2}$-extensions of certain real quadratic fields
对于判别式$D_{K}$具有四个不同素因子的实二次域$K= \mathbb{Q}(\sqrt{d})$，我们研究了$K$的分圆$\mathbb{Z}_{2}$ -扩张的第一层$K_{1} = \mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{d})$的$2$-类群$A(K_{1})$的结构.通过对$A(K_{1})$的秩和阶的一些适当的假设，刻画了$K$的特征，即$2$类群$A(K)$同构于$\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ .我们推断，$2$ -秩的类组在每一层中的稳定凭借福田的结果。这也提供了另一种方法来建立$K$的Iwasawa $μ$ -不变量消失。在某些情况下，我们还提供了关于$D_{K}$的构成素因子的充分条件，这些构成素因子包含$A(K) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$，$A(K_{1}) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$和$A(K^{\prime}) \simeq \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\math…
2023-02-13 math.NT
Additive Diophantine Equations involving S-Units, Factorials and Ternary Recurrences with repeated root
Birla Institute of Technology and Science, Pilani（比拉理工学院皮拉尼校区）
研究Cullen数C_n=n2^n+1与阶乘及S-单位构成的加法丢番图方程，证明其最大素因子趋于无穷，并求解特定方程。
2026-05-27 math.NT
Conflict-Avoiding Codes of Prime Lengths and Cyclotomic Numbers
完全解决了构造最优的偶数码长和汉明重量$3$的冲突避免码的问题。相反，它仍然是开放的奇数长度。原来素数长度是需要构造的基本情况。本文研究了素数长度的避免冲突码，并将其与所谓的分圆数联系起来。通过具有一些非零分圆数，用于构造最优冲突避免码的众所周知的算法将对某些素数长度起作用。因此，我们能够回答的最佳冲突避免代码的一个新的类的素数长度的大小。
2023-02-03 cs.IT math.IT math.NT
Unlikely intersections and multiple roots of sparse polynomials
本文给出了一个结构定理，证明了所有系数和指数都是变化的一元多项式族中的多重非分圆不可约因子。粗略地说，这一结果表明稀疏多项式的多重非分圆不可约因子也是稀疏的。为了证明这一点，我们给出了一个变种定理的Bubieri和Zannier的交叉点上的一个固定的子品种的余维2的乘法群与所有的挠曲线，与边界有一个明确的依赖于高度的子品种。我们还使用后者的结果给一些证据的猜想Bolognesi和Pirola。
2015-09-03 math.AG math.NT
A proof of the Schinzel-Zassenhaus conjecture on polynomials
我们证明，如果$P(X) \in \mathbb{Z}[X]$是一个整数多项式的次数$n$和有$P(0) = 1$，那么要么$P(X)$是一个产品的分圆多项式，否则至少有一个复根的$P$属于磁盘$|z| \leq 2^{ - 1 / (4n) }$。我们还得到了这个结果在$\mathbb{Q}$的所有交换扩张和所有全$p$-adic扩张的合成$\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$上的一个相对版本，对于任何固定的素数~$p$，并应用它证明了乘法群上的一个$\mathbb{Q}^{\mathrm{ab}} \cdot \mathbb{Q}^{\mathrm{t.}p}$-相对标准高度下界.另一个推广是给出了$\mathbb{Q}[[X]]$中完整幂级数的一个与奇点总数成反比的一致正高度下界，而不是$p(X) / (X^k-1)^m$的形式，其中$p(X) \in \mathbb{Q}[X]$，并进一步应用于某些有理函数的小临界值的存在性.
2019-12-28 math.NT
Constructing curves of high rank via composite polynomials
本文改进 Mestre–Shioda 构造，利用与 Chebyshev 多项式相关的复合多项式生成高亏格、高 Mordell–Weil 秩且有理点众多的超椭圆曲线族。
2023-10-01 math.AG math.NT
p-adic approach of Greenberg's conjecture (p-split totally real case)
令k是全实数域ant，令k $\infty$是其对素数p \textgreater{} 2的分圆Zp-扩张。我们给（定理3.2）给出了当p在k中完全分裂时，岩泽不变量λ，μ为零的充分条件，并得到了二次域和p的重要表，从而得出λ = μ = 0的结论。（k $\infty$中的第n级）等于k的极大阿贝尔p-分歧pro-p-扩张的伽罗瓦群的扭群T的阶（定理4.2），对于所有n个\textgreater{} \textgreater{} e，其中p^e是U*/ adh（E）的指数（根据k的局部和全局单位）。然后，我们利用（λ i^n）\_{0 $\le$ i $\le$ m\_n}的k ~* 的包含E的子群族建立Chevalley公式的类似物，其中任意x是k ~ n的理想的范数.这个族是附加到经典的过滤的p-类群的kn定义算法的计算其阶m\_n步骤。由此，我们证明了（定理6.1）m n $\ge$（λ n + μ p^n + nu）/v p（T k）和条件m n = O（1）（即，lambda = mu=0）本质上取决于（x^（p-1）-1）/p，x在Lambda ^n中的P-adic赋值，对于P I p，因此Greenberg猜想与k* 中的“Fermat等价”密切相关。对这些费马定理的启发式和统计分析（第6、7、8节）表明，它们遵循自然概率，与T_k有关，无论n如何，这表明λ = m…
2017-04-03 math.NT
On the Real Abelian Main Conjecture in the non semi-simple case
本文针对实循环扩张的非半单情形，修正了实阿贝尔主猜想中p进同痕分量的定义，证明只要存在使p类群在分圆扩张中 capitulation的完全惯性素数，猜想即成立，并验证了该素数的存在性。
2023-06-22 math.NT
The Chevalley-Herbrand formula and the real abelian Main Conjecture
本文利用 Chevalley–Herbrand 公式与类群在辅助 p 扩张中的投降现象，建立其同实 Abel 主猜想的联系，证明投降可推出该猜想，并以 PARI 计算支持。
2022-09-08 math.NT
