CLS: New Problems and Completeness
复杂性类CLS是由Daskalakis和Papadimitriou引入的，目的是捕获PPAD $~\cap~$ PLS中一些众所周知的问题的复杂性，这些问题在某些情况下几十年来一直抵制将它们放在多项式时间中的尝试。没有完整的问题是已知的CLS，并在以前的工作中，问题ContractionMap，即，寻找压缩映射的近似不动点的问题，以及PLCP，即，解决P-矩阵线性互补问题的问题，被确定为主要候选人。首先，我们提出了一个新的CLS-完全问题MetaMetricContractionMap，这是密切相关的ContractionMap。其次，我们介绍EndOfPotentialLine，它通过单调有向路径直接捕获PPAD和PLS的各个方面，并表明EndOfPotentialLine通过双向减少EndOfMeteredLine在CLS中。后者被定义为通过限制势函数跟踪顶点在PPAD路径上的距离。第三，我们将PLCP减少到EndOfPotentialLine，从而使EndOfPotentialLine和EndOfMeteredLine至少与PLCP一样可能对CLS很难。最后一个结果利用了PLCP问题的Lemke路径的单调结构，使得EndOfPotentialLine成为捕获PLCP精确复杂性的可能候选者;我们注意到，在两人游戏中找到纳什均衡的Lemke-Howson路径的结构非常直接地激发了…
2017-04-07 cs.CC
The Complexity of Gradient Descent: CLS = PPAD $\cap$ PLS
University of Liverpool（利物浦大学）；University of Oxford（牛津大学）
我们研究搜索问题，可以通过执行梯度下降有界凸多面体域上解决，并表明这一类是等于两个著名的类：PPAD和PLS的交集。作为我们的主要基础技术的贡献，我们表明，计算Karush-Kuhn-Tucker（KKT）点的连续可微功能的域$[0,1]^2$是PPAD $\cap$ PLS完成。这是这门课上第一个完整的非人工问题。我们的研究结果还意味着，类CLS（连续局部搜索）-这是由Daskalakis和Papadimitriou定义为一个更“自然”的对应PPAD $\cap$ PLS，并包含许多有趣的问题-本身等于PPAD $\cap$ PLS。
2023-03-03 cs.CC cs.LG math.OC
Constant Inapproximability for Fisher Markets
Royal Holloway（皇家霍洛威学院）；University of Liverpool（利物浦大学）；University of Oxford（牛津大学）；University of Essex（埃塞克斯大学）
研究Fisher市场中分离可微凹(SPLC)效用函数的近似市场均衡计算问题，证明常数近似下的PPAD难性，表明除非PPAD=P，否则不存在多项式时间近似方案。
2026-05-11 cs.CC cs.GT
Can Almost Everybody be Almost Happy? PCP for PPAD and the Inapproximability of Nash
该研究提出PPAD存在类PCP完全问题的猜想，证明若该问题需指数时间求解，可解决领域内多个开放问题，包括验证双人纳什均衡n^O(log n)近似方案的最优性，证明两类近似均衡问题为PPAD完全。
2025-09-05 cs.CC cs.GT
A direct reduction of PPAD Lemke-verified linear complementarity problems to bimatrix games
线性互补问题LCP（q，M）定义如下。对于给定的M，q找到z，使得q+Mz>=0，z>=0，z（q + Mz）=0，或者证明不存在这样的z。双矩阵博弈（2-NASH）的纳什均衡求解问题可以归结为线性互补问题（LCP）。此外，2-NASH在复杂度类PPAD（Polynomial-time Parity Argument Directed）中是完备的。然而，巧妙构造的约简（为任何PPAD问题设计的）非常复杂，因此虽然具有重要的理论意义，但实际上通过2-NASH解决LCP并不实用，并且它可能无法提供从研究从LCP问题（例如市场均衡）中获得的游戏中获得的潜在洞察力。本文的主要目标是构造一个简单的显式约简的任何LCP（q，M），可以验证为属于PPAD通过图诱导的通用Lemke算法与一些积极的覆盖向量d，对称2-NASH。特别地，该图的任何端点（除了算法的初始点之外）对应于解或所谓的次级射线。因此，如果任何次级射线可以用于在多项式时间内构造不存在问题的解决方案的证书，则LCP问题被验证为属于PPAD。我们实现了我们的目标表明，对于任何M，q和一个积极的d满足一定的非退化假设的M，我们可以简单，直接地构造一个对称的2-NASH的纳什均衡对应一对一的端点图诱导LCP（q，M）和Lemke算法与覆盖向量d。我们注意到，对于给定的M，约简对所有正d都有效，除了测度为0的子集。
2013-02-01 cs.CC
Pure-Circuit: Tight Inapproximability for PPAD
该研究提出PPAD新中间问题Pure-Circuit并证明其PPAD完全性，强化了ε-GCircuit的不可近似性结论，还基于该问题推导出多类博弈均衡计算的紧不可近似性结果。
2024-09-12 cs.CC cs.GT
Settling the complexity of Nash equilibrium in congestion games
我们考虑（i）在拥塞博弈中寻找（可能是混合的）纳什均衡的问题，以及（ii）寻找光滑函数$f:[0,1]^n \rightarrow \mathbb{R}$的梯度下降动态的（指数精度）不动点的问题.我们证明了这些问题是等价的。我们的结果适用于各种明确的描述$f$，从（几乎一般）算术电路，度$5$多项式。最近的结果[Fearnley，Goldberg，Hollender，Savani '20]这意味着这些问题是PPAD $\cap$ PLS-完全的。作为推论，我们还得到了以下等价的复杂性类：CCLS = PPAD $\cap$ PLS。
2021-03-23 cs.CC
On the Complexity of Stationary Nash Equilibria in Discounted Perfect Information Stochastic Games
从计算复杂性角度研究折扣完美信息随机博弈中平稳纳什均衡的计算问题，证明了双人博弈为 PPAD 完全，并给出了 3 人与 4 人博弈中相关计算的困难性证明。
2025-10-13 cs.CC cs.GT
Spending is not Easier than Trading: On the Computational Equivalence of Fisher and Arrow-Debreu Equilibria
人们普遍认为，在费雪支出模型中计算市场均衡比在阿罗-德布鲁交换模型中计算市场均衡更容易。这个信念是建立在这样一个事实上，即我们在费舍尔均衡中比在阿罗-德布鲁均衡中有更多的算法成功。例如，在里昂惕夫市场中的费雪均衡可以在多项式时间内找到，而在里昂惕夫市场中计算近似的阿罗-德布鲁均衡是PPAD困难的。在本文中，我们表明，即使当所有的公用事业是可加性分离，分段线性，凹函数，找到一个近似平衡的Fisher模型是完整的PPAD。我们的结果解决了一个长期悬而未决的问题，市场均衡的复杂性。据我们所知，这是Fisher模型的第一个PPAD完备性结果。
2009-07-23 cs.CC cs.GT
Computing Nash Equilibria: Approximation and Smoothed Complexity
换句话说，除非PPAD在P中，否则没有时间多项式在n和1/ε中的算法可以计算出nbimatrix游戏n的ε-近似纳什均衡。为了证明，我们在具有恒定边长的高维立方体上引入了一个新的离散不动点问题，例如边长为7 n维立方体，证明了它们是PPAD完备的。此外，我们证明了，除非PPAD是在RP，Lemke-Howson算法或任何算法计算的纳什均衡的双矩阵游戏的平滑复杂性是多项式的n和1/σ下的扰动幅度为σ。我们的结果回答了一个主要的开放问题，在平滑分析的算法和近似的纳什均衡。
2006-02-22 cs.CC cs.GT
Settling the Complexity of Computing Two-Player Nash Equilibria
解决了算法博弈论中一个长期存在的问题。本文证明了在两人博弈中寻找纳什均衡的双矩阵问题对于Papadimitriou于1991年引入的复杂性类PPAD多项式奇偶论证（Directed version）是完备的。这是关于纳什均衡复杂性的一系列结果中的第一个。特别是，我们证明了以下定理：Bimatrix没有一个完全多项式时间的近似计划，除非PPAD中的每个问题都是可解的多项式时间。经典的Lemke-Howson算法的平滑复杂度，事实上，Bimatrix的任何算法都不是多项式的，除非PPAD中的每个问题都可以在随机多项式时间内求解。我们的结果表明，即使在最简单的形式的非合作博弈，平衡计算和近似多项式时间等价于不动点计算。我们的研究结果也有两个广泛的复杂性的影响，在数理经济学和运筹学：阿罗-德布鲁市场均衡PPAD难以计算。P-矩阵线性互补问题在计算上比凸规划困难，除非PPAD中的每个问题都能在多项式时间内求解。
2007-04-12 cs.CC cs.GT
Settling the Complexity of Arrow-Debreu Equilibria in Markets with Additively Separable Utilities
我们证明了计算Arrow-Debreu市场均衡的问题是PPAD-完全的，即使所有的交易者使用可加性分离，分段线性和凹效用函数。事实上，我们的证明表明，这个市场均衡问题没有一个完全多项式时间近似方案，除非PPAD中的每个问题都可以在多项式时间内求解。
2009-04-03 cs.CC cs.GT
The Computational Complexity of Variational Inequalities and Applications in Game Theory
本文提出了变分不等式近似问题的计算公式，证明了其PPAD完全性，并应用于弹性纳什均衡和多领导者-追随者博弈，填补了这些领域缺乏一般解的空白。
2024-11-07 cs.CC cs.GT
Tree-like resolution complexity of two planar problems
我们考虑两个CSP问题：第一CSP编码用于直角三角形在$n^2$小三角形上的标准三角剖分的2D Sperner引理;第二CSP对不可能将$n \times n$正方形的单元与箭头匹配的事实进行编码（两个水平、两个垂直和四个对角线），使得具有公共边缘的两个单元中的箭头最多相差$45^\circ$，并且正方形边界上的所有箭头都不向外看（这一事实是布劳尔不动点定理的推论）。我们证明了这些CSP的树状分解复杂度是$2^{Θ(n)}$。对于Sperner引理我们的结果意味着$Ω(n)$下限的数量要求的颜色的顶点，这是足以使为了找到一个三色三角形;这个下限最初证明了Crescenzi和Silvestri。基于Sperner引理的CSP与$\rm PPAD$ -完全问题有关。我们表明，CSP对应的箭头也与$\rm PPAD$ -完全问题。
2014-12-02 cs.CC
The Complexity of Non-Monotone Markets
我们引入了非单调效用的概念，它涵盖了经济理论中各种各样的效用函数。然后，我们证明了它是PPAD-难计算近似的Arrow-Debreu市场均衡的线性和非单调的效用市场。在此基础上，我们解决了长期存在的开放问题，即在CES效用函数的市场中计算近似的Arrow-Debreu市场均衡，通过证明当常数替代弹性参数ρ是小于-1的常数时，它是PPAD完全的。
2012-11-21 cs.CC cs.GT
Consensus Halving is PPA-Complete
我们表明，计算问题的共识，HALVING是PPA-完全的，第一PPA-完整的结果，其定义不涉及一个明确的电路的问题。我们还表明，这个问题的一个近似版本是多项式时间相当于颈部分裂，建立颈部分裂的PPAD硬度，并建议它也是PPA完全的。
2017-11-13 cs.CC cs.GT
Time Complexity Analysis of an Evolutionary Algorithm for approximating Nash Equilibriums
[arXiv：2010.13024]中概述的框架提供了用于计算范式博弈的纳什均衡的近似算法。由于NASH是一个著名的PPAD完全问题，该框架有潜在的应用到其他$PPAD$问题。这个框架的正确性已经在4个研究得很好的2x2游戏上得到了经验验证：囚徒困境，猎鹿，战斗和鸡。在本文中，我们提供了这些方法的渐近时间复杂性，特别是，验证了2x2游戏的最坏情况下的复杂性是线性的代理可以选择的行动的数量。
2021-10-26 cs.CC cs.GT
The Computational Complexity of Multi-player Concave Games and Kakutani Fixed Points
本文提出了Kakutani不动点定理的一般计算公式并证明其PPAD完全性，据此表征了凹博弈寻找均衡及一般凸效用下Walrasian均衡的计算复杂度。
2023-05-25 cs.CC cs.GT math.GN
The Computational Complexity of the Housing Market
本文证明在具有不可分割商品、货币和单位需求代理的住房市场中寻找竞争均衡是PPAD完全的，并证明Rainbow-KKM问题也是PPAD完全的，同时给出查询复杂性下界。
2024-02-21 cs.CC cs.GT
The Complexity of Computing Nash Equilibria in Colonel Blotto Games
National and Kapodistrian University of Athens（雅典国立卡波蒂斯坦大学）；Archimedes, Athena Research Center（阿基米德雅典研究中心）；National Technical University of Athens（雅典国立技术大学）
本文研究离散Colonel Blotto博弈中纳什均衡的计算复杂性，证明多种设置下近似均衡计算为PPAD难，同时识别出常数秩社会收益等可处理情形，并揭示平局打破规则对复杂性的关键影响。
2026-10-06 cs.CC cs.GT
The Complexity of Symmetric Bimatrix Games with Common Payoffs
本文研究共同收益对称双矩阵博弈中对称 Nash 均衡的计算复杂性，证明其为 CLS 完全，并给出单纯形上二次规划 KKT 点计算的 CLS 困难性。
2025-07-24 cs.CC cs.GT
Computational Complexity of Computing a Quasi-Proper Equilibrium
我们研究了一个给定的有限扩展形式的完美回忆博弈的计算或近似一个拟真均衡的计算复杂性。我们表明，计算一个象征性的拟适当的平衡的任务是$\mathrm{PPAD}$ -完成两个球员的游戏。对于零和对策的情形，我们得到了一个基于线性规划的多项式时间算法。对于一般的$n$ -玩家博弈，我们证明了计算一个拟真均衡的近似是$\mathrm{FIXP}_a$ -完全的。
2021-07-09 cs.CC cs.GT
The Computational Complexity of Team Zero-Sum Games
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；Strategy Robot, Inc.（策略机器人有限公司）；Strategic Machine, Inc.（战略机器有限公司）；Optimized Markets, Inc.（优化市场有限公司）
本文证明团队零和博弈中计算纳什均衡是PPAD完全的，即使团队仅含两名玩家且博弈为多矩阵形式，从而否定了全多项式时间近似方案的存在性。
2026-06-16 cs.CC cs.GT
On the Complexity of Equilibrium Computation in First-Price Auctions
本文研究了在连续价值分布和离散报价空间下，一价拍卖的（纯）贝叶斯-纳什均衡的计算问题。我们证明，当投标人有独立的主观先验信念的价值分布的其他投标人，计算$\varepsilon$ -均衡的拍卖是PPAD-完全的，计算精确的均衡是FIXP-完全的。我们还提供了一个有效的算法来解决一个特殊的情况下的问题，一个固定数量的投标人和可用的投标。
2023-03-03 cs.CC cs.GT
A Topological Characterization of Modulo-$p$ Arguments and Implications for Necklace Splitting
类PPA- $p$最近引起了人们的注意，因为它们是主要的候选者，用于捕获使用$p$窃贼的项链分裂的复杂性，对于素数$p$。然而，这些类并没有已知的拓扑性质的完整问题，这阻碍了解决项链分裂问题的复杂性的任何进展。相反，拓扑问题在获得PPAD和PPA的完备性结果中是关键的，例如找到纳什均衡的PPAD完备性[Daskalakis等人，2009，Chen等人，2009 b]和2个小偷的项链分裂的PPA完全性[Filos-Ratsikas和Goldberg，2019]。本文给出了类PPA- $p$的第一个拓扑刻画.首先，我们证明了与Tucker引理的一个简单推广相关的计算问题，称为$p$ -B-Tucker，以及相关的Borsuk-Ulam型定理，$p$ -B-Borsuk-Ulam，是PPA- $p$ -完全的。然后，我们证明了著名的BSS定理的计算版本[Barany等人，1981]，以及相关的BSS塔克问题是PPA- $p$ -完全的。最后，利用Tucker引理的一个不同的推广（称为$\mathbb{Z}_p$ -star-Tucker），我们证明了它是PPA- $p$ -完全的，我们证明了$p$ -小偷项链分裂是PPA- $p$ .后一个结果给出了项链分裂定理的一个新的组合证明，这是除了Meunier [2014]之外唯一的证明。我们所有的包容性结果是通过一个新的组合证明$\mathb…
2021-01-18 cs.CC cs.CG cs.DM
Clearing Financial Networks with Derivatives: From Intractability to Algorithms
该研究针对含信用违约互换的金融网络清算问题，证明了约5%范围内近似解的PPAD难解性，分析了中央清算机构、有担保CDS两类监管限制下的复杂度，并给出对应求解算法。
2023-12-13 cs.CC cs.CE cs.GT
Quantum game theory and the complexity of approximating quantum Nash equilibria
本文关注的是复杂性理论方面的一般制定的量子博弈论，模型之间的理性代理，处理和交换量子信息的战略相互作用。特别是，我们证明了计算问题，找到一个近似的纳什均衡在一个广泛的类的量子游戏，类似的问题，经典游戏，包括（因此完成）的复杂性类PPAD。我们的主要技术贡献，这有利于这种包容性，是一个扩展的计算博弈论的策略空间，其特征在于半定程序的先前方法。
2022-12-16 cs.CC quant-ph
On the Computation of Equilibria in Discrete First-Price Auctions
本文研究离散一级价格拍卖中计算均衡的复杂性，证明纯均衡存在性判定为NP完全，混合均衡计算为PPAD完全，并给出iid情形下的高效算法及多项式时间计算相关均衡的方法。
2024-11-05 cs.CC cs.GT
Equilibria, Fixed Points, and Complexity Classes
来自不同领域的许多模型都涉及到某种平衡点或不动点的计算。例子包括游戏中的纳什均衡;市场均衡;计算最优策略和竞争游戏（随机和其他游戏）的值;神经网络的稳定配置;分析基本的随机模型，如分支过程和语言，如随机上下文无关文法;以及模型，包括概率和递归的基本原语，如递归马尔可夫链。这些问题是否能在多项式时间内解决还不知道。不同类型的均衡背后有一些共同的计算原则，这些原则被复杂性类PLS、PPAD和FIXP捕获。这些类的代表完整的问题分别是，纯纳什均衡的游戏，他们保证存在，（混合）纳什均衡2-玩家范式游戏，（混合）纳什均衡在范式游戏与3（或更多）的球员。本文回顾了基本的计算原理和相应的类。
2008-02-20 cs.CC cs.GT
Inapproximability of NP-Complete Variants of Nash Equilibrium
在Hazan和Krauthgamer最近的工作（SICOMP 2011）中，证明了在两人博弈中找到具有接近最优值的$\eps$近似纳什均衡与在随机图$G(n,1/2)$中找到大小为$O(\log n)$的隐藏集团一样困难。这就提出了一个问题，即在没有这些约束的情况下，近似纳什均衡是否也存在类似的难题。我们给出的证据表明，近最优值的约束，使问题明显困难：一个简单的算法找到一个最佳的1/2近似平衡，而严格优于1/2近似平衡是很难的隐藏集团问题。这是在对比无约束的问题，其中更复杂的算法，实现更好的近似，是已知的。与PPAD中的一般纳什均衡不同，最优（最大值）纳什均衡是NP难的。我们继续表明，最佳的纳什均衡只是几个已知的NP-困难的问题有关的纳什均衡，所有这些都有近似的变种，这是很难找到一个种植集团。特别是，我们证明了这对于以下问题的近似变体：找到一个纳什均衡值大于$η$（对于任何$η>0$，即使最好的纳什均衡值为$1-η$），找到第二个纳什均衡，并找到一个小支持的纳什均衡。最后，我们考虑了两人博弈中近似纯贝叶斯纳什均衡的复杂性。在这里，我们表明，一般的贝叶斯游戏的问题是NP难的。对于类型分布均匀的特殊情况，我们基于隐团问题给出了一个与硬度结果相匹配的拟多项式时间算法。
2011-04-19 cs.CC cs.GT
Algorithmic Collusion and the Complexity of Information-Value-Free Equilibria
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；Yale University（耶鲁大学）
本文研究信息价值无关均衡的计算复杂性，证明IVFCE在简洁博弈中为PPAD完全且无高效学习动态，而IVFCCE的近似计算虽可FPTAS但指数小近似下至少与P矩阵LCP一样难。
2026-09-22 cs.CC cs.DS cs.GT
Simultaneous Contests with Equal Sharing Allocation of Prizes: Computational Complexity and Price of Anarchy
我们研究了一个一般情况下，同时比赛，分配奖品的基础上平等分享：每个比赛奖项的奖金，以满足一些最高的特定标准的所有玩家，这个奖项的价值，以赢家的数量增加而减少。参与者为一组活动产生输出，比赛的获胜标准基于这些输出。我们考虑模型的两种变化：（i）参与者有生产产出的成本;（ii）参与者没有成本，但有广义的预算约束。我们观察到，这些游戏是确切的潜在的游戏，因此总是有一个纯策略的纳什均衡。对于预算模型，无政府状态的无政府代价是$2$，但对于成本模型，无政府状态的代价可以是无限的。我们的主要结果是这些游戏的计算复杂性。我们证明，对于模型的一般版本，精确或近似计算最佳响应是NP难的。对于自然的限制版本，最佳对策是很容易计算的，我们发现，找到一个纯策略纳什均衡是PLS完全的，找到一个混合策略纳什均衡是（PPAD $\cap$ PLS）完全的。另一方面，可以在伪多项式时间内找到近似的纯策略纳什均衡。这些博弈是显式拥塞博弈的严格但自然的子类，但它们仍然具有相同的均衡硬度结果。
2022-07-17 cs.CC cs.GT econ.TH
The Computational Complexity of Financial Networks with Credit Default Swaps
2008年的金融危机被归因于金融创新导致的金融体系“过度复杂”。我们使用计算复杂性理论来使这个概念精确。具体来说，我们考虑的问题，清理金融网络后，冲击。先前的研究表明，当银行之间只能签订简单的债务合同时，这个问题可以在多项式时间内解决。相反，如果他们也可以进入信用违约互换（CDS），即，金融衍生品合约依赖于另一家银行的违约，解决方案甚至可能不存在。在这项工作中，我们表明，如果CDS是允许的，决定是否存在一个解决方案是NP完全的。如果我们将问题放松为$\varepsilon$ -近似解，对于常数$\varepsilon$，这仍然成立。我们进一步表明，在一个解决方案是保证存在的充分条件下，近似搜索问题是PPAD-完全常数$\varepsilon$。然后，我们试图分离复杂性的“起源”。事实证明，确定哪些银行违约已经很难了。此外，我们表明，复杂性不是由交易对手相互依赖，而是取决于所谓的裸CDS的存在。如果裸CDS不存在，我们得到一个简单的多项式时间算法。本文的研究结果对监管机构的压力测试和监管政策具有重要的现实意义。
2019-05-20 cs.CC cs.GT q-fin.GN
The Computational Complexity of Avoiding Strict Saddle Points in Constrained Optimization
National Technical University of Athens（雅典国立工业大学）；Archimedes, Athena Research Center（阿基米德雅典研究中心）；University of California, Irvine（加州大学尔湾分校）；National and Kapodistrian University of Athens（雅典国家卡波季斯特里阿斯大学）
本文研究了在约束优化中寻找近似严格鞍点的计算复杂性，证明在可接受定义下该问题为PLS完全问题，揭示了寻找近似SOSPs的算法限制。
2026-11-06 cs.CC cs.DS cs.GT
The Complexity of Constrained Min-Max Optimization
MIT（麻省理工学院）；SUTD（新加坡科技设计大学）
尽管它在机器学习中有重要的应用，但非凸-非凹目标的最小-最大优化仍然是难以捉摸的。不仅没有已知的一阶方法收敛甚至近似局部极小极大点，但识别它们的计算复杂性也知之甚少。在本文中，我们提供了一个表征的问题的计算复杂性，以及一阶方法的限制，在约束最小最大优化问题的非凸非凹目标和线性约束。作为热身，我们表明，即使当目标是Lipschitz和光滑可微函数，决定是否存在一个最小极大点，事实上，甚至决定是否存在一个近似的最小极大点，是NP-困难的。更重要的是，我们表明，一个近似的局部极大极小点足够大的近似是保证存在的，但找到这样一个点是PPAD完全的。计算梯度下降/上升的近似固定点也是如此。我们证明的一个重要副产品是建立Nemirovsky-Yudin模型中的无条件硬度结果。我们表明，给定Oracle访问某些函数$f : P \to [-1, 1]$及其梯度$\nabla f$，其中$P \subseteq [0, 1]^d$是已知的凸多面体，找到$\varepsilon$近似局部最小-最大点的每个算法需要在$1/\varepsilon$，$L$，$G$或$d$中的至少一个中进行指数查询，其中，$L$和$G$分别是$f$的平滑度和Lipschitz度，$d$是维数。这与最小化问题形成鲜明对比，在最小化问题中，可以使用投影梯度下降使用$O(L/\varepsilon)$许多查询来找到相同设置中的近…
2020-09-21 cs.CC cs.LG math.OC
