复数的Solymosi乘性能量界
Solymosi's multiplicative energy bound for complex numbers
摘要:
我们将最近Solymosi的和-积估计推广到复数情形。
英文摘要:
We extend the recent Solymosi's sum-product estimate for reals to the complex case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
Solymosi's multiplicative energy bound for complex numbers
Tim Jones, Misha Rudnev
我们将最近Solymosi的和-积估计推广到复数情形。
We extend the recent Solymosi's sum-product estimate for reals to the complex case.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来,可能存在错误,请以论文正文为准。
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Collinear triples in permutations
设$α:\mathbb{F}_q\to\mathbb{F}_q$是一个置换,$Ψ(α)$是$α$的图中共线三元组的个数,其中$\mathbb{F}_q$表示$q$元素的有限域.当$q$为奇数时,Cooper和Solymosi曾证明了$Ψ(α)\geq(q-1)/4$,并证明了其锐界应为$Ψ(α)\geq(q-1)/2$ .本文指出Cooper-Solymosi猜想成立。
Using the subspace theorem to bound unit distances
我们证明了一个特殊情况下的Erdés的单位距离问题使用的子空间定理的必然结果,从一个乘法群的线性方程组的解决方案的数量。我们限制我们的注意力从一个乘法组的秩$r$不太大的单位距离。具体地说,给定平面上的$\varepsilon>0$和$n$点,我们从这些点和距离构造单位距离图,并使用上面的推论来限定图中的某些长度为$k$的路径,该路径给出与上面的组的至多$n^{1+\varepsilon}$单位距离。我们要求某些$c>0$的秩$r\le c\log n$取决于$\varepsilon$。这扩展了József Solymosi,Frank de Zeeuw和作者的结果,我们只考虑单位距离是单位根。最后,我们表明,下界配置的单位距离问题的Erdés由单位距离的乘法子群的形式以上。
A New Bound for the Brown--Erdős--Sós Problem
设$f(n,v,e)$表示$3$ -一致超图中不包含至多由$v$顶点所跨越的$e$的边的最大边数.极值组合学中最有影响力的开放问题之一,然后问,对于给定的边缘数$e \geq 3$,什么是最小的整数$d=d(e)$,使$f(n,e+d,e) = o(n^2)$?这个问题有它的起源在工作的布朗,Erdés和Sós从70年代初和标准的猜想是,$d(e)=3$为每一个$e \geq 3$。Sárközy和Selkow在2004年获得了关于这个问题的最新结果,他们证明了$f(n,e + 2 + \lfloor \log_2 e \rfloor,e) = o(n^2)$。唯一的改进是Solymosi和Solymosi最近的突破,他们将$d(10)$的边界从5提高到4。我们得到了Sárközy-Selkow界的第一个渐近改进,表明$$ f(n, e + O(\log e/ \log\log e), e) = o(n^2). $$
New sum product type estimates
新的下界涉及和,差,产品,和比率集的一组$A\subset \C$。估计涉及的总和集匹配,直到常数,一个由Solymosi获得的真正的,并通过推广他的做法得到的复平面。涉及差集的边界稍弱。他们改善了最有名的,包括案件$A\subset \R$,这也是由于Solymosi,通过结合使用Szemerédi-特罗特定理与算术组合技术。
On the number of collinear triples in permutations
设$α:\mathbb{Z}_n\to\mathbb{Z}_n$是一个置换,$Ψ(α)$是$α$的图中以$n$为模的共线三元组的个数. Cooper和Solymosi通过归纳给出了当$n$是素数时的界$\min_αΨ(α)\geq\lceil(n-1)/4\rceil$。本文的主要目的是给出该界的一个直接证明。此外,还确定了一个置换所能具有的共线三元组的期望个数。
Upper and lower bounds for rich lines in grids
我们证明了上,下界的一般位置,丰富的笛卡儿积点集的线的数量。这推翻了一个猜想Solymosi和改善工作的Elekes,Borenstein和Croot,和Amirkhanyan,布什,Croot,和Pryby。上界是基于一个版本的不对称Balog-Szemeredi-Gowers定理的群作用结合产品定理的仿射群。的下界是基于丰富的线之间的连接,在笛卡儿积集和顺从性(或扩大家庭的图形在有限域的情况下)。作为我们的上界的应用,我们给出了Bourgain和Shkredov的非对称和积估计的几何证明。
A Refined Sum-Product Estimate via Higher Energies
本文通过结合多种先进估计技术,证明了有限实数集上的改进和-积下界,并给出了两个中间估计,推动了该领域的最优指数进展。
On sum sets of sets, having small product set
本文改进了Solymosi关于R中和积的一个结果,即证明了max{|A+A|,|AA| } \gg |A| ^{4/3+c},其中c>0是绝对常数。得到了具有小积集的集合和的新的下界,有效地改进了已有的关于集合A from R的|AA| \le |A| ^{4/3}的结果.
Sum-product phenomena for Ahlfors-regular sets
该研究利用Orponen的成果,得到Ahlfors正则集的和积结果,进而获得Solymosi 4/3界的分形类似结论。
New bound for Roth's theorem with generalized coefficients
本文证明了Shkredov和Solymosi的猜想:任何子集$A \subset \mathbf{Z}^2$使得$\sum_{a\in A\setminus\{0\}} 1/\left\|a\right\|^{2} = +\infty$包含等腰直角三角形的三个顶点.为了做到这一点,我们适应证明最近的突破布卢姆和Sisask对集没有三项等差数列,以处理更一般方程的形式$T_1a_1+T_2a_2+T_3a_3 = 0$在一个有限的阿贝尔群$G$,其中的$T_i$的自同构的$G$。
An upper bound on the multiplicative energy
本文证明了任意实数有限集的和集或积集$A,$至少是$|A|^{4/3-ε},$,改进了以前的界。我们的主要工具是一个新的乘性能量的上界,$E(A,A).$
Multiplicative Diophantine approximation and bounds for lattice sums
本文研究晶格和的估计方法,结合整数点计数问题,探讨乘法丢番图逼近的应用与界值。
Polynomials vanishing on Cartesian products: The Elekes-Szabó Theorem revisited
令$F\in\mathbb{C}[x,y,z]$是常次多项式,并且令$A,B,C\subset\mathbb C$是大小为$n$的有限集合。我们发现,$F$消失在大多数$O(n^{11/6})$点的笛卡尔积$A\times B\times C$,除非$F$有一个特殊的组相关的形式。这改进了Elekes和Szabó [Combinatorica,2012]的定理,并且推广了Raz,Sharir和Solymosi [Amer. J. Math.,出现)。同样的语句适用于$\mathbb{R}$,当$A, B, C$具有不同的大小时(用更复杂的边界替换$O(n^{11/6})$),类似的语句也适用。这一结果提供了一个统一的工具,以提高在各种Erd \H os-型问题的组合几何界,我们讨论了这种应用。
Sharp upper bounds for multiplicative Zagreb indices of bipartite graphs with given diameter
图$G$的第一个乘法Zagreb指标是每个顶点度的平方的乘积,而第二个乘法Zagreb指标是每个边在所有边上的度的乘积。本文研究了直径为$d$的$n$阶二部图的乘性Zagreb指数,并得到了$\mathcal{B}(n,d)$中图的乘性Zagreb指数的精确上界,其中$\mathcal{B}(n, d)$是所有直径为$d$的$n$ -顶点二部图的集合.此外,我们还研究了图\textcolor{blue}{within}和图$\mathcal{B}(n, d)$的最大乘性Zagreb指标之间的关系.作为推论,刻画了具有最大、次大和最小乘性Zagreb指标的二部图,推广和丰富了已有的一些结论.
On extremal results of multiplicative Zagreb indices of trees with given distance $k$-domination number
图$G$的第一乘性Zagreb指标$Π_1$是每个顶点度的平方的乘积,而第二乘性Zagreb指标$Π_2$是邻顶点对的度的乘积。本文给出了具有给定距离$k$ -控制数的树的$Π_1$的精确下界和$Π_2$的精确上界,并刻画了达到该界的树.
On the sharp upper and lower bounds of multiplicative Zagreb indices of graphs with connectivity at most k
对于一个(分子)图,第一个乘法Zagreb指标$\prod_1(G) $是每个顶点度的平方的乘积,第二个乘法Zagreb指标$\prod_2(G) $是邻顶点对的度的乘积。在本文中,我们探讨图的(边)连通性。给出了连通度至多为$k$的图的最大值和最小值$\prod_1(G) $和$\prod_2(G) $。此外,还刻画了相应的极图,推广和丰富了一些已知的结论。
Sum-Product Bounds & an Inequality for the Kissing Number in Dimension 16
我们得到了16维空间中接吻数的一个不等式。我们这样做的推广和产品的Solymosi和黄的四元数的半代数在16维。特别地,我们得到不等式$$k_{16}\geq \frac{\sum_{x \in \mathcal{R}}\left|\mathcal{S}_{x}\right|}{\left|\bigcup_{x \in \mathcal{R}} \mathcal{S}_{x}\right|}-1,$$,其中$k_{16}$是16维接吻数,$S_x$和$\mathcal{R}$是下面定义的集合。一路上,我们还获得了一个和产品的八元数的子集,这是封闭的取逆,使用类似的策略,用于四元数。我们使用八维中的接吻数为240的事实来实现结果。也就是说,我们得到了有界的$$\operatorname{max}(|\mathcal{A}+\mathcal{A}|,|\mathcal{A}\mathcal{A}|)\geq \frac{|\mathcal{A}|^{4/3}}{(1928\cdot\lceil \operatorname{log}|\mathcal{A}|\rceil)^{1/3}},$$,其中$\mathcal{A}$是一个有限的八元数集,使得如果$x\in\mathcal{A}$,$x^{-1}\in\mathcal{A}$也。
A bound on the multiplicative energy of a sum set and extremal sum-product problems
近年来,人们对某些和积型估计建立了一些近似最优估计。本文给出了一些第一极值的结果,这些结果提供的信息时,这些界限可能会或可能不会紧。主要工具是一个新的结果,它提供了一个非平凡的上界的乘法能量的和集或差集。
Some new inequalities in additive combinatorics
本文给出了涉及阿贝尔群中某个子集$A$的移位的交$A\cap (A-x)$的新的不等式.应用这些不等式,得到了乘法子群和凸集的可加能量的新的上界,以及可加能量与卷积高阶矩之间关系的一系列结果.此外,我们还证明了乘法子群的一些新的定理,包括乘法子群的倍化常数的下界,乘法子群及其子列的和集的势的精确下界等。
Rank of matrices with entries from a multiplicative group
我们建立了矩阵的秩的下界,其中除了对角元素之外的所有元素都位于小秩的乘法群中。应用这些界限,我们证明了$\mathbb{R}^d$中有限点集的距离集生成高秩的乘法群,而小秩的乘法群不能包含大的和集.
An improved upper bound for the size of the multiplicative 3-Sidon sets
如果方程$s_1s_2s_3=t_1t_2t_3$没有由取自这个集合的不同元素组成的解,我们说这个集合是乘法3-Sidon集合。本文证明了$\{1,2,\dots,n\}$的乘法3-Sidon子集的大小至多为$π(n)+π(n/2)+n^{2/3}(\log n )^{2^{1/3}-1/3+o(1)}$,从而改进了以前已知的最佳界$π(n)+π(n/2)+cn^{2/3}\log n/\log\log n$ .
On multiplicative properties of combinatorial cubes
我们得到了组合立方体的积集的一系列下界,以及这类积集的乘法能量的一些非平凡的上估计。
On some double sums with multiplicative characters
本文得到了具有小加法加倍的集合上具有乘法特征的二元和的一个新的上界。
A short note on the multiplicative energy of the spectrum of a set
本文从$\mathbb{F}_p$得到了任意集合的谱的乘性能量的一个上界,它是子群上指数和的最好结果.
On exponential sums over multiplicative subgroups of medium size
本文得到了F^* p的乘法子群G上指数和的一些新的上界,其中c_1,c_2是接近于1/2的绝对常数,G的大小在[p^{c_1},p^{c_2}]范围内.作为一个应用,我们证明了在对称情形下,G总是一个5阶加法基,由|G| > p^{1/2} log^{1/3} p提供,并且该方法允许我们给出Heilbronn的指数和的一个新的上界.
The Entropic Sum-Product Phenomenon
该研究针对和积现象的熵类比问题,通过拆分分布和适配组合和积的相关技术,将原问题的系数提升至8/7,回答了Goh提出的相关问题。
Multiplicative Properties of Hilbert Cubes
得到了有限域中Hilbert立方体基数的上界,避免了和集的大乘积集和倒数.特别是,我们的结果取代了最近的估计N。Hegyvári和P.P.Pach(2020),似乎对所有可接受的参数都无效。我们的方法与N. Hegyvári和P.P.Pach,并且基于任意集合上的双特征标和指数和的一些著名的界,由于A. A. Karatsuba(1991)和N. G. Moshchevitin(2007)。
Growth in Sumsets of Higher Convex Functions
本文的主要结果是关于$k$ -凸函数$f$和的增长性.首先,我们简化了$f(A)$的增长结果的证明,其中$A$具有小的加法加倍,并通过去除对数因子来提高边界。我们还推广了Hanson,Roche-Newton和Senger最近的一个结果,证明了对于任何有限的$A\subset \mathbb{R}$ \[ | 2^k f(sA-sA) - (2^k-1) f(sA-sA)| \gg_s |A|^{2s} \],其中$s = \frac{k+1}{2}$ .这使我们能够证明,给定任何自然数$s \in \mathbb{N}$,存在$m = m(s)$,使如果$A \subset \mathbb{R}$,那么\begin{equation}\label{conj A-Aus} |(sA-sA)^{(m)}| \gg_s |A|^{s}. \end{equation}这是进展对一个猜想,其中指出,上述不等式可以取代\[|(A-A)^{(m)}| \gg_s |A|^{s}.\]开发方法的Solymosi,布卢姆和琼斯,我们提出了一些新的总和产品类型的结果在复数$\mathbb{C}$和在功能领域$\mathbb{F}_q((t^{-1}))$。
On multiplicative energy of subsets of varieties
得到了有限代数群的子簇的任意充分大子集的乘法能量的一个非平凡上界。我们也发现我们的结果的共轭类的增长,指数和的估计和限制现象的一些应用。
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