群的非交换张量平方的一些结构结果

Finiteness of homotopy groups related to the non-abelian tensor product

By using finiteness related result of non-abelian tensor product we prove finiteness conditions for the homotopy groups $π_n(X)$ in terms of the number of tensors. In particular, we establish a quantitative version of the classical Blakers-Massey triad connectivity theorem. Moreover, we study others finiteness conditions and equivalence properties that arise from the non-abelian tensor square. In the end, we give applications to homotopy pushout, especially in the case of Eilenberg-MacLane spaces.

关于群的非交换张量平方有限性条件的注记

A note on finiteness conditions for the non-abelian tensor square of groups

设$G$是一个群。我们用$ν(G)$表示非交换张量平方$G \otimes G$由$G \times G$的某种扩张。证明了若$G$是一个单张量集合$T_{\otimes}(G)$为有限的非有限生成群，则非交换张量平方$G \otimes G$和群$ν(G)$为有限的.进一步证明了如果$G$是局部剩余有限群，且对于$G$的每个真生成子群$H$，其单张量集$T_{\otimes}(H)$是有限的，则群$ν(G)$是局部有限的.

The order of the non-abelian tensor product of groups

Let $G$ and $H$ be groups that act compatibly on each other. We denote by $[G,H]$ the derivative subgroup of $G$ under $H$. We prove that if the set $\{g^{-1}g^h \mid g \in G, h \in H\}$ has $m$ elements, then the derivative $[G,H]$ is finite with $m$-bounded order. Moreover, we show that if the set of all tensors $T_{\otimes}(G,H) = \{g\otimes h \mid g \in G, h\in H\}$ has $m$ elements, then the non-abelian tensor product $G \otimes H$ is finite with $m$-bounded order. We also examine some finiteness conditions for the non-abelian tensor square of groups.

$p^2q$、$pq^2$和$p^2qr$阶群的非阿贝尔张量平方和Schur乘子

The Non-Abelian Tensor Square and Schur multiplier of Groups of Orders $p^2q$, $pq^2$ and $p^2qr$

本文的目的是确定无平方阶群和$p^2q$，$pq^2$和$p^2qr$阶群的非交换张量平方和Schur乘子，其中$p$，$q$和$r$是素数，而$p<q<r$是素数.

群的非交换张量积的连续性条件

Finiteness conditions for the non-abelian tensor product of groups

设$G$、$H$为群。我们用$η(G,H)$表示非阿贝尔张量积$G \otimes H$由$G \times H$的某种扩张。我们证明，如果$G$和$H$是相互兼容的，使所有张量$T_{\otimes}(G,H)=\{g\otimes h \, : \, g \in G, \, h\in H\}$的集合是有限的，那么非阿贝尔张量积$G \otimes H$是有限的。在相反的方向，我们检查某些有限性条件的$G$张量平方$G \otimes G$的类似条件。

关于线性群的非阿贝尔张量平方的一个注记

A note on the non-abelian tensor squares of linear groups

本文证明了有限生成线性群的非阿贝尔张量平方可能非线性，而辫群 $B_n$（$n>3$）的张量平方是线性的。

剩余有限群的非交换张量积

Non-abelian tensor product of residually finite groups

针对相互兼容作用的群G和H，在G剩余有限且[G,H]满足非平凡恒等式的条件下，证明了非交换张量积G⊗H在张量元为p幂阶时局部有限、为左n-Engel元时局部幂零，推广了G⊗G的相关结果。

Schur定理及其与非阿贝尔张量积闭包性质的关系

Schur's theorem and its relation to the closure properties of the non-abelian tensor product

本文研究了Noetherian群的Schur乘子生成性及非阿贝尔张量积的闭包性质，提出了Schur定理的新版本。

关于与群的非交换张量平方相关的群的某些序列

On some series of a group related to the non-abelian tensor square of groups

本文研究了与非交换张量平方相关的群扩张$ν(G)$，证明了其导子群是三个同构于非交换张量平方的正规子群的中心积，并据此描述了该群导出列与下中心序列各项的结构。

关于非阿贝尔张量平方 $G \otimes G$、非阿贝尔外平方 $G \wedge G$ 与弱交换构造 $\X(G)$ 的剩余有限性

On the residual finiteness of the non-abelian tensor square $G \otimes G$, the non-abelian exterior square $G \wedge G$ and the weak commutativity construction $\X(G)$

本文研究非阿贝尔张量平方、外平方及弱交换构造的剩余有限性，在特定同调单射及有限呈现中心-by-亚交换或亚交换条件下给出正结果，并讨论q-外平方判据。

有限亚循环群的非阿贝尔张量平方

The Non-Abelian Tensor Square of Finite Metacyclic Groups

针对 m 为奇数的一般有限亚循环群，论文通过研究 ν(G) 的展示来确定非阿贝尔张量平方 G⊗G，并刻画外平方与 Schur 乘子。

剩余有限群的非交换张量平方

The non-abelian tensor square of residually finite groups

设$m,n$为正整数，$p$为素数。我们用$ν(G)$表示非阿贝尔张量平方$G \otimes G$由$G \times G$的扩张。本文证明了：若$G$是一个满足非平凡恒等式$f \equiv~1$的剩余有限群，且对每个$x,y \in G$都存在一个$p$ -幂$q=q(x,y)$使得$[x,y^φ]^q = 1$，则其导出子群$ν(G)'$是局部有限的（定理A）.此外，我们证明了如果$G$是一个剩余有限群，其中对于每个$x,y \in G$，存在一个$p$ -幂$q=q(x,y)$整除$p^m$，使得$[x,y^φ]^q$是左$n$-Engel，那么非交换张量平方$G \otimes G$是局部虚幂零的（定理B）.

非交换张量积的线性问题

Linearity problem for non-abelian tensor products

本文给出了一个线性群的张量平方非线性的例子。同时，我们给出了非交换张量积$G \otimes H$和张量积平方$G \otimes G$线性的一些充分条件.利用这些结果，我们证明了某些具有一个关系的群和某些纽结群的张量平方是线性的。我们证明了n-生成的线性群的Peiffer平方是线性的。最后我们构造了自由群和自由幂零群的非交换张量平方的忠实线性表示。

关于圈积的非阿贝尔外平方及Grigorchuk群的剩余有限性

On the residual finiteness of the non-abelian exterior square of wreath products and the Grigorchuk group

本文给出圈积及其变体的非阿贝尔外平方剩余有限的充分条件，并证明Grigorchuk群的外平方与张量积剩余有限，同时给出圈积非上同调好的条件。

p-群的非交换张量平方及相关构造

Non-abelian tensor square and related constructions of $p$-groups

针对p-群，定义其非交换张量平方的G×G扩张ν(G)，证明有限幂p-群的非交换张量平方及ν(G)下中心列项的幂嵌入性、幂p-群ν(G)的指数性质，并研究幂p-群的弱交换构造。

平方复群的Abel子群结构与四元数的算术

Abelian subgroup structure of square complex groups and arithmetic of quaternions

正方形复形是由正方形粘合在一起形成的2-复形。本文研究与四元数代数有关的非正曲率平方复形的基本群$Γ$。对$Γ$的交换子群结构进行了详细的研究。

类正方形阿贝尔群的理论是可判定的

Theory of square-like abelian groups is decidable

一个群称为类平方群，如果它与它的直平方是泛等价的。已知所有类平方群的类都有一个显式的一阶公理化，但其理论是不可判定的。证明了类正方形阿贝尔群的理论是可判定的。这回答了D.斯派曼

非交换张方与 $p$-群的相关构造的指数

The exponent of the non-abelian tensor square and related constructions of $p$-groups

本文研究了有限 $p$-群的非交换张方 $G \otimes G$ 及其相关扩张 $ν(G)$ 的指数，基于群指数、幂零类或余类给出了新的界，并改进了现有结果。

非阿贝尔张量积与群的圆序性

Non-abelian tensor product and circular orderability of groups

本文研究群的张量平方与外平方的左序性，证明圆序群在特定同调假设下其张量平方和外平方左序，并由此给出圆序群存在挠元的阻碍，进而应用于表列虚拟纽结群的圆序性判定。

平方群的二次代数

Quadratic algebra of square groups

将由张量积给出的阿贝尔群的对称么半群结构推广到非阿贝尔群是一个长期存在的代数问题。在本文中，我们表明，这样的扩展是可能的。此外，我们的非阿贝尔张量积仍然正确、精确和平衡。在推广了线性代数的二次代数的背景下，我们描述了新的非交换张量积。

从张量积观点看对偶

Pairings from a tensor product point of view

对是特殊的双线性映射，和任何双线性映射一样，它们通过张量积作为群同态分解。除此之外，似乎没有什么能阻止我们在椭圆曲线或更一般的阿贝尔阿贝尔群上构造对偶。本文所采用的观点是基于这两个观察。因此，我们提出了一个椭圆曲线自由研究的配对，这是基本上基于阿贝尔群（或模）的张量积。在有限性条件下，还可以显式地计算阿贝尔群的张量积。我们揭示了对的存在依赖于一些泛双线性映射的非退化性，称为典型双线性映射。特别是它表明，建设的配对$A\times A$总是可能的，无论一个有限的阿贝尔群$A$。我们还提出了一些新的结构的配对，其中之一是基于群对偶的概念，这是相关的概念的非退化。