关于非阿贝尔张量平方 $G \otimes G$、非阿贝尔外平方 $G \wedge G$ 与弱交换构造 $\X(G)$ 的剩余有限性
On the residual finiteness of the non-abelian tensor square $G \otimes G$, the non-abelian exterior square $G \wedge G$ and the weak commutativity construction $\X(G)$
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- State University of Campinas（坎皮纳斯州立大学）
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中文总结 AI 辅助
本文研究非阿贝尔张量平方、外平方及弱交换构造的剩余有限性，在特定同调单射及有限呈现中心-by-亚交换或亚交换条件下给出正结果，并讨论q-外平方判据。
中文摘要 AI 辅助
我们证明：若 $G$ 是剩余有限群，$\widehat{G}$ 是其 profinite 完备化，且由典范映射 $G \to \widehat{G}$ 诱导的同态 $H_2(G, \mathbb{Z}) \to H_2(\widehat{G}, \widehat{\mathbb{Z}})$ 是单射，则非阿贝尔外平方 $G \wedge G$ 是剩余有限的。我们证明：若 $G$ 是有限呈现的中心-by-亚交换群，则 $\nu(G)$、非阿贝尔张量积 $G \otimes G$ 与非阿贝尔张量平方 $G \wedge G$ 均为剩余有限。此外，我们证明：若 $G$ 是有限呈现的亚交换群，则弱交换构造 $\X(G)$ 是剩余有限的。我们还讨论了一个关于 $q$-外平方 $G \wedge^q G$ 剩余有限性的判据。
英文摘要
We prove that if $G$ is a residually finite group, $\widehat{G}$ is its profinite completion and the map $H_2(G, \mathbb{Z}) $ $ \to H_2(\widehat{G}, \widehat{\mathbb{Z}}),$ induced by the canonical map $G \to \widehat{G}$, is injective, then the non-abelian exterior square $G \wedge G$ is residually finite. We show that if $G$ is a finitely presented centre-by-metabelian group then $ν(G)$, the non-abelian tensor product $G \otimes G$ and the non-abelian tensor square $G \wedge G$ are residually finite. Furthermore we prove that if $G$ be a finitely presented metabelian group then the weak commutative construction $\X(G)$ is residually finite. We discuss a criterion for the $q$-exterior square $G \wedge^q G$ to be residually finite.
