Nonlinear superpositions and Ermakov systems
José F. Cariñena, Javier de Lucas, Manuel F. Rañada
本文将一阶李系统解的叠加规则理论推广到二阶类似系统，并以Ermakov类系统为例说明了该理论。
The theory of superposition rules for solutions of a Lie system of first-order differential equations is extended to deal with analogous systems of second-order and the theory is illustrated with the very rich example of Ermakov-like systems.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Recent Applications of the Theory of Lie Systems in Ermakov Systems
我们回顾了李系统理论的一些最新结果，以便将这些结果应用于研究Ermakov系统。Ermakov系统的基本性质，即它们的叠加规则，Lewis-Ermakov不变量等，都是从这个新的角度发现的。我们也得到了新的结果，如一个新的叠加规则的Pinney方程的三个解决方案的相关Riccati方程。
Ermakov-Pinney and Emden-Fowler equations: new solutions from novel Bäcklund transformations
研究了一类非线性常微分方程$y^{\prime\prime}y = F(z,y^2)$，其中F是光滑函数.各种非线性常微分方程都属于这类非线性常微分方程，其应用的重要性是众所周知的。事实上，Emden-Fowler方程，Ermakov-Pinney方程和广义Ermakov方程都在其中。构造了贝克隆变换和自贝克隆变换：这些变换导致从平凡解开始构造一个由给定微分方程允许的新解的阶梯.值得注意的是，这类非线性常微分方程的高度非线性结构意味着数值方法很难应用。
Relativistic Ermakov-Milne-Pinney Systems and First Integrals
Ermakov-Milne-Pinney方程普遍存在于具有显式时间依赖性的许多物理学领域，包括具有时间依赖性哈密顿量的量子系统，宇宙学，时间依赖性谐振子，加速器动力学，埃利泽和格雷的Ermakov-Lewis不变量的物理解释被应用作为一个指导原则，用于推导Ermakov-Milne的特殊相对论模拟。平尼方程及其第一积分。得到了Ray-Reid系统和不变量的狭义相对论延拓。分析了相对论Ermakov-Milne-Pinney方程的一般性质。相对论性Ermakov-Milne-Pinney方程的保守情形用赝势描述，将问题简化为有效的牛顿形式。也考虑了非相对论极限。确定了相对论Ermakov系统的一个相对论非线性叠加律。由于相对论效应，广义Ermakov-Milne-Pinney方程具有额外的非线性。
On the Lie symmetries of a class of generalized Ermakov systems
将Ermakov系统的对称性分析推广到频率除依赖于时间外还依赖于动力学变量的广义情形。在这个扩展的框架下，一类非线性耦合振子被看作是Hamilton Ermakov系统，并以封闭形式精确求解。
Integrable equations with Ermakov-Pinney nonlinearities and Chiellini damping
引入一类特殊的耗散Ermakov-Pinney方程，其形式为v_{ζζ} +g（v）v_v +h（v）=0，其中h（v）=h_0（v）+cv^{-3}，非线性耗散g（v）是基于相应的Chiellini可积Abel方程.当h_0（v）为线性函数时，h_0（v）=λ^2v，则按Abel方程的路线得到了通解.在特解的基础上，我们还给出了含有Milne型相位因子的一般解。此外，对于高阶Reid非线性项，也构造了同样的通解.基耶利尼耗散函数实际上是一个耗散增益函数，因为它在某些区间上可以是负的。我们还研究了非线性情形h_0（v）=Ω_0^2（v-v^2），并证明了它是一个可积的超椭圆情形
Transverse Waves in Nonlinearly Elastic Solids and the Milne-Pinney (or Ermakov) Equation
本文建立了非线性弹性动力学一般方程与Pinney非线性常微分方程之间的联系[Proc.Amer.Math.Soc.1（1950）681]。作为一个出发点，我们使用精确的行波解的非线性弹性发现卡罗尔[学报力学3（1967）167]。该连接提供了一种方法，用于寻找新的精确和近似的动态解决方案，新的Hookean和Mooney-Rivlin固体，和一般的第三和第四阶弹性模型的不可压缩固体。
Ermakov-Lewis Invariants and Reid Systems
具有非线性耦合常数α的Reid m阶广义Ermakov系统等价于一个可积的Emden-Fowler方程。从这个角度讨论了标准的Ermakov-Lewis不变量，得到了高阶Reid系统（m \geq 3）的标准Ermakov-Lewis不变量的封闭公式.通过对Emden-Fowler方程的积分，我们还讨论了这些方程组的参数解，并给出了一个动力系统的例子，其不变量与总能量相等
Nonlinear Supersymmetric (Darboux) Covariance of the Ermakov-Milne-Pinney Equation
证明了非线性Ermakov-Milne-Pinney方程$ρ^{\prime\prime}+v(x)ρ=a/ρ^3$在其系数函数的一类变换下服从协方差性质.这个性质是通过使用超对称或达布变换导出的。变换后的方程的通解用原方程的解表示。这些变换和不可约变换的二阶导数被认为是获得链的相互关联的Ermakov-Milne-Pinney方程。研究了束缚态的Lewis不变量和量子数函数的性质。这种结构是由一个简单的例子说明了一个无限的正方形井。
An Extended Modified Kadomtsov-Petviashvili Equation: Ermakov-Painlevé II Symmetry Reduction with Moving Boundary Application
本文提出一个具有时间调制的二维非线性发展方程，其允许可积的Ermakov-Painlevé II对称约简，并应用于求解一类Stefan型移动边界问题的精确解。
Riccati-Ermakov systems and explicit solutions for variable coefficient reaction-diffusion equations
提出了几类变系数非线性反应扩散方程，包括Fisher-KPP型方程和Burgers型方程。特殊的精确解，如行波，合理的，三角波和N波型的解决方案。通过相似变换，变系数满足Riccati或Ermakov方程组。当使用Riccati系统时，建立了有限时间奇点可能发生的条件。所提出的解决方案包含多个参数，提供对解决方案的动态的控制。在补充材料中，我们提供了一个计算机代数验证的解决方案和非平凡动力学的解决方案。
Schwarzian derivative, Painlevé XXV-Ermakov equation and Bäcklund transformations
本文重新审视了Schwarzian导数在非线性常微分方程中的作用，通过变量替换证明其是构造解的关键工具，并获得了联系线性与非线性方程的两族Bäcklund变换。
Ermakov-Painleve' II Symmetry Reduction of a Class of Moving Boundary Problems for a Reciprocal Extended mKdV Equation
该研究通过互易变换关联两类方程，利用Ermakov-Painleve' II对称约化求解互易扩展mKdV方程的一类Stefan型移动边界问题，得到其精确解
From constants of motion to superposition rules for Lie-Hamilton systems
李系统是一个非自治的一阶微分方程系统，具有叠加规则，即一个映射，它的通解表示为一个一般的有限族特解和一些常数。李-汉密尔顿系统是李系统的一个子类，其动力学由泊松流形上的函数的有限维实李代数中的曲线控制。证明了Lie-Hamilton系统具有Poisson余代数结构。这使我们能够设计方法，以代数的方式推导出它们的运动常数和叠加规则。我们通过研究具有时变频率的Kummer-Schwarz方程、Riccati方程、Ermakov系统和Smorodinsky-Winternitz系统来说明我们的方法。
Riccati and Ermakov Equations in Time-Dependent and Time-Independent Quantum Systems
含时薛定谔方程（SE）的精确解析波包（WP）解的最大值和宽度随时间的演化分别代表量子系统的粒子和波方面。最大值的动力学，位于位置的平均值，是由相应的经典问题的牛顿方程。该宽度与位置不确定度成正比，服从一个复非线性Riccati方程，该方程可以转化为一个实非线性Ermakov方程。这些方程的耦合对产生的动力学不变量在我们的调查中起着关键作用。它可以表示为一个线性化黎卡提方程的复变量。该变量还提供了表征相应问题的格林函数或费曼核的时间相关参数。从那里，也可以得到系统的经典和量子动力学之间的关系。此外，Ermakov不变量和维格纳函数之间的密切联系将显示。动力学不变量的因式分解允许与创造/湮灭算子和超对称性进行比较，其中合作伙伴的潜力满足（真实的）黎卡提方程。这提供了一个非线性制定的时间无关的量子力学在Ermakov方程的振幅结合守恒定律的稳态波函数的链接。与超对称性和时间依赖性问题的比较结束了我们的分析。
Fourth Painlevé and Ermakov equations: quantum invariants and new exactly-solvable time-dependent Hamiltonians
在这项工作中，我们介绍了一个新的实现的精确可解的时间依赖的哈密顿量的基础上的解决方案的第四Painlevé和Ermakov方程。后者是通过在未知量子不变量和一组系数随时间变化的三阶纠缠算子之间引入形状不变条件来实现的。新的量子不变量是通过在已知的参量振子不变量上增加一个变形项而构造的。这种变形通过Ermakov方程的解明确地依赖于时间，这确保了哈密顿量在每个时间的新的含时势的规律性。另一方面，借助于适当的重新参数化，出现了第四个潘勒韦方程，它的参数决定了量子不变量的光谱行为。特别地，三阶阶梯算子的本征函数导致薛定谔方程的几个解序列，这些解由Riccati方程、Okamoto多项式或衍生的非线性薛定谔方程的非线性束缚态的解来确定。值得注意的是，它是注意到，在非线性束缚态的解决方案导致量子不变量的等距本征值，其中包含一个（N+1）维和无限序列的本征函数。由此产生的家庭的时间依赖的哈密顿量是这样的，据作者所知，已被忽视的文献中的平稳和非平稳系统。
Lie point symmetry analysis of a second order differential equation with singularity
利用Lie对称方法，证明了一类在Ermakov-Pinney方程的对称群的至少一维子群下不变的二阶非线性常微分方程.在此背景下，重新发现了二阶Kummer-Schwarz方程的非线性叠加法则.一维对称群下的不变性也被用来获得第一积分（Ermakov-Lewis不变量）。我们的动机是一类奇异项方程，出现在许多应用中，特别是在一般NLS（非线性薛定谔）方程的研究。
Ermakov's Superintegrable Toy and Nonlocal Symmetries
研究了一类Ermakov方程的对称性。该系统是超可积的，但与代数sl（2，R）只有三个李点对称。点对称的数量是不够的，代数不适合系统的完整规范。利用降阶法将非线性四阶系统降阶为包含线性二阶方程和守恒定律的三阶系统。我们从这个系统中得到了完全对称群的表示。四个所需的对称是非局部的，代数是一维阿贝尔代数的直和与二维可解代数的半直和与二维阿贝尔代数。这个问题说明了在非常基本的系统中可能出现的困难。我们的治疗表明，存在可能的途径来克服这些问题，在一个系统的方式。
Interplay between Riccati, Ermakov and Schroedinger equations to produce complex-valued potentials with real energy spectrum
本文利用 Riccati 与 Ermakov 方程结合 Darboux 方法，构造能谱继承 Hermitian 可解系统全部能量且额外含一个实本征值且无奇点的复值势，并以 Morse 和三角 Pöschl-Teller 势为例说明。
Applications of Lie systems in dissipative Milne--Pinney equations
我们使用几何方法的微分方程李系统的理论，以研究耗散Ermakov系统。我们证明了这类方程的解存在一个叠加法则。这一事实使我们能够表达的一般解决方案的耗散米尔恩-Pinney方程的特殊解决方案的二阶线性微分方程组和一组常数。
A nonlinear superposition rule for solutions of the Milne--Pinney equation
导出了Milne-Pinney方程两个解的叠加法则.
The nonlinear superposition principle and the Wei-Norman method
利用群论方法研究了Riccati方程的一些性质，Riccati方程是唯一一个具有非线性叠加原理的微分方程。应用Wei-Norman方法得到了$SL(2,R)$群中的相关微分方程。从群论的角度分析了一阶微分方程组的叠加原理和Lie-Scheffers定理。最后，将该理论应用于非定常薛定谔方程等二阶微分方程的求解
Blow-up results and soliton solutions for a generalized variable coefficient nonlinear Schrödinger equation
本文利用相似变换研究了一类广义非线性变系数Schr $\ddot{\mbox{o}}$ dinger方程的精确解析解.该方程出现在描述相干光在非线性克尔介质中的演化、玻色-爱因斯坦凝聚体现象和光纤中高强度脉冲传播的文献中。通过限制系数满足Ermakov-Riccati系统的多参数解，我们给出了具有奇异性的显式解和一族振荡周期孤子型解的存在条件.此外，我们还证明了亮型、暗型和Peregrine型孤子解的存在性，并通过计算机代数系统证明了这些解的孤波中心的非平凡动力学性质。
Existence of periodic orbits in nonlinear oscillators of Emden-Fowler form
Gadella和Lara最近处理的非线性伪振子映射到Emden-Fowler（EF）方程，该方程被写成自治的二维常微分方程系统，我们提供相空间分析和参数解。通过一个不变变换，我们找到了通过可积条件的某类EF方程的周期解。我们证明了这个条件是存在周期解的必要条件，并通过常微分方程分析，我们也找到了周期轨道的充分条件。不通过可积性条件的EF方程可以通过不变变换变得可积，这也允许我们构造它们的周期解。在同一背景下讨论了另两个非线性方程，零频率Ermakov方程和正幂次Emden-Fowler方程
Superposition of Elliptic Functions as Solutions For a Large Number of Nonlinear Equations
对于大量的非线性方程，离散和连续，我们证明了一种线性叠加。我们证明了，当一个非线性方程的解既包含Jacobi椭圆函数$\cn(x,m)$又包含模为$m$的$\dn(x,m)$时，它也包含它们的和与差的解。我们已经在几个非线性方程的情况下，如非线性薛定谔方程，MKdV，混合KdV-MKdV系统，混合二次-三次非线性薛定谔方程，Ablowitz-Ladik方程，可饱和非线性薛定谔方程，$λϕ^4$，离散MKdV以及几个耦合场方程的情况下检验了这一点。此外，对于大量的非线性方程，我们表明，只要一个非线性方程承认周期解的$\dn^2(x,m)$，它也承认解决方案的$\dn^2(x,m) \pm \sqrt{m} \cn(x,m) \dn(x,m)$，即使$\cn(x,m) \dn(x,m)$是不是这些非线性方程的解决方案。最后，我们还得到了几个耦合非线性方程的各种形式的叠加解。
Barotropic FRW cosmologies with Chiellini damping
众所周知，用共形时间变量表示的正压FRW方程可以简化为包含共形哈勃率的指数函数的简单线性方程组。在这里，我们表明，一类有趣的正压宇宙可以得到一个特殊类型的非线性耗散Ermakov-Pinney方程的线性极限与非线性耗散建立从Chiellini的可积性条件。这些宇宙学与标准宇宙学相似，对应于具有由特定因子重新标度的绝热指数的正压流体，并且标度因子的振幅与绝热指数成反比
Discrete matrix Riccati equations with superposition formulas
如果一个常微分方程的通解可以表示为有限个特解的函数，则称该方程具有叠加公式。具有叠加公式的非线性常微分方程包括矩阵Riccati方程。这里我们将描述保留叠加公式的黎卡提方程的离散化。该方法是一般的，足以包括$q$ -衍生物和标准的离散衍生物。
Factorization conditions for nonlinear second-order differential equations
对于一阶导数项为常系数且具有多项式非线性项的二阶非线性微分方程，Rosu和Cornejo-Perez的因式分解条件用两种方法得到：（i）通过交换两个因式分解条件下的因式分解函数的子指标;（ii）只保留由单项式或多项式序列得到的第一个因式分解条件不变.对于第一种情况，分解括号可交换，生成的方程只是Ermakov-Pinney型方程。第二个修改是不可交换的，导致非线性方程与不同的非线性力项，但相同的一阶部分作为初始因子的方程。它说明了单项式的广义Fisher和FitzHugh-Nagumo初始方程的例子。一个多项式序列的例子也包括在内。
Linear superposition in the general heavenly equation
显然，在存在非线性的情况下，线性叠加原理不能被精确地确立为一般原理，而且，乍一看，甚至不能期望它近似地成立。在这封信中，它表明，不同的非线性效应的平衡描述了什么线性叠加可能发生在非线性系统。天体方程在许多科学领域都有重要意义，特别是在相对论、引力、场论和流体动力学中。揭示了一般天体方程的一种特殊类型的含三个二维任意函数的隐式激波解。将二维任意函数限制为某些类型的一维任意函数，发现非线性效应可以被平衡，使得“不可能的”线性叠加解可以被非平凡地构造为一般天体方程的新解.
Complex numbers and symmetries in quantum mechanics, and a nonlinear superposition principle for Wigner functions
复数出现在量子力学的希尔伯特空间公式中，但不在相空间公式中。在希尔伯特空间中，量子对称性由定义射线表示的复、酉或反酉算子描述，而在相空间中，它们由实、真表示描述。公式的等价性要求前者的表示可以从后者获得，反之亦然。并给出了实例。这两个配方的等价性还要求，复杂的叠加状态向量可以描述在相空间配方，它表明，这将导致一个非线性叠加原理正交，纯态维格纳函数。它的结论是使用复数在量子力学可以被视为一种计算设备，以简化计算，在所有其他应用数学的物理现象。
Scaling, Self-similarity and Superposition
介绍了一类具有幂律非线性项的热传导方程两个自相似解的非线性叠加的新方法。它示出的叠加状态的边界条件如何与自相似性冲突，呈现非线性叠加状态是一个非精确解。有人认为，非线性耦合的规模的存在，使叠加在线性情况下可以给出一个精确的解决方案。
Nonlinear wave superpositions and quasi-rectifiable Lie modules
本文研究了准线性超双曲一阶偏微分方程组允许的里曼波解的非线性叠加，通过分析矢量场族的准可测性，推导出简化后的初始方程组，并通过李模块的变换确定非弹性叠加的几何结构。
Superposition rules, Lie theorem and partial differential equations
给出了非自治常微分方程解的非线性叠加规则的李定理的严格几何证明，填补了现有文献中的空白。证明是基于一个替代的，但等效的叠加规则的定义：它被认为是一个叶理与一些合适的属性。解决了叠加函数的唯一性问题，其关键是由给定的向量场李代数构造的叶理的余维数。最后，作为一个更有说服力的论据支持使用这种替代定义的叠加规则，它表明，这种定义允许立即推广的李定理的情况下，系统的偏微分方程。
A numerical dressing method for the nonlinear superposition of solutions of the KdV equation
本文统一了两种现有数值方法，用于计算Korteweg-de Vries方程的解，通过组合方法得到精确的渐近(准)周期有限隙解，属于非线性叠加解。
Generalized coherent states for time-dependent and nonlinear Hamiltonians via complex Riccati equations
基于谐振子的高斯波包解及相应的产生和湮灭算符，本文给出了一个推广，它也适用于当系统具有不同的初始条件、随时间变化的频率或与耗散环境接触时，具有随时间变化的宽度的波包。在所有这些情况下，相应的相干态，位置和动量的不确定性和量子机械能的贡献，可以得到相同的形式，如果创建和湮灭运营商表示为一个复杂的变量，满足非线性Riccati方程，确定的时间演化的波包宽度。这个Riccati方程的解依赖于所考虑的物理系统和（复杂的）初始条件，并且与导致超对称量子力学中的等谱势的一般超势具有密切的形式相似性。广义创造和湮灭算子的定义也与存在于所有考虑的情况下的Ermakov不变量对应的算子的因式分解一致。
Linear Superposition in Nonlinear Equations
即使KdV和修改的KdV方程是非线性的，我们表明，适当的线性组合已知的周期解涉及Jacobi椭圆函数产生一个大类的额外的解决方案。这个过程的工作凭借一些显着的新的身份所满足的椭圆函数。
Family of asymptotic solutions to the two-dimensional kinetic equation with a nonlocal cubic nonlinearity
我们应用原来的半经典方法的动力学电离方程的非局部立方非线性，以构建其渐近解的家庭。所提出的方法依赖于一个辅助动力系统的时刻所需的动力学方程和相关的线性偏微分方程的解决方案。动力学方程的渐近解的家庭构造使用的对称运营商集中在一个点的附近的动力系统所确定的功能。在此基础上，我们引入了非线性动力学方程的非线性叠加原理。我们的形式主义的基础上的Maslov芽方法适用于柯西问题的具体的二维动力学方程。通过数值分析计算，得到了动力学增强金属蒸气活性介质中离子分布的非线性叠加演化。
Relating Linearly Superposed Periodic Solutions of Nonlinear Equations to One Soliton Solutions
利用新的广义Landen变换，我们证明了最近利用周期解的一种叠加原理所得到的KdV及其它非线性方程的解实际上是已知周期单孤子解的新的重表示.
Stability of the Superposition of a Viscous Contact Wave with two Rarefaction Waves to the bipolar Vlasov-Poisson-Boltzmann System
研究了一维双极Vlasov-Poisson-Boltzmann（VPB）系统中一个粘性接触波和两个稀疏波叠加的非线性稳定性，该系统可用于描述带电粒子在附加静电势作用下的输运.基于我们在文献[26]中对双极VPB系统的局部Maxwell方程进行的一种新的微观-宏观型分解，我们证明了在初始扰动和波强较小的条件下，一个粘性接触波和两个稀疏波的叠加对一维双极VPB系统是时间渐近稳定的，这意味着这种典型的复合波图案在二元碰撞、静电势力和不同带电粒子的相互作用的组合作用下是非线性稳定的。注意，这是关于Vlasov-Poisson-Boltzmann系统两种不同波型组合的非线性稳定性的第一个结果。
Stationary nonlinear waves, superposition modes and modulational instability characteristics in the AB system
我们研究了地球物理流体中描述边缘不稳定斜压波包的AB系统和非线性光学中描述超短脉冲的AB系统。研究表明，在恒定背景下，呼吸子可以转化为不同类型的稳态非线性波，包括多峰孤子、M型孤子、W型孤子和周期波.我们还研究了这些波之间的非线性相互作用，由于孤子的非传播特性，这些波显示出一些新的模式：（1）两个反暗孤子可以产生一个W形孤子而不是一个高阶反暗孤子;（2）反暗孤子与W形孤子相互作用不仅可以产生高阶反暗孤子，而且可以形成一个W形孤子对，（3）振荡W型孤子与振荡M型孤子之间的相互作用呈现多峰结构。我们发现这种转变发生在低扰动频率区域的调制稳定区域。
Generalized EMP and nonlinear Schrodinger-type reformulations of some scalar field cosmological models
我们证明了Friedmann-Robertson-Lemaintre-Walker（FRLW）和Bianchi I和Bianchi V两种共形理想流体标量场宇宙模型的爱因斯坦引力场方程，可以等价地转化为一个广义Ermakov-Milne-Pinney（EMP）型或（非）线性薛定谔（NLS）型的方程.这项工作概括或提出了一种替代类似的重新出版的作者谁启发了这篇论文：R。作者：Hawkins，J. Christodoulakis，T.格拉梅诺斯角Helias，P. Kevrekidis，G. Papadopoulos和F.威廉姆斯特别是，我们投到一个单一的框架，通过简单的线性组合相关的爱因斯坦方程的EMP和NLS方程的直接推导这些作者的作品。通过重写所得到的表达式的体积膨胀因子和执行变量的变化，我们得到一个解耦的EMP或NLS方程，是独立的施加额外的守恒方程。由于这里所示的对应关系提出了一种替代路线获得爱因斯坦方程的精确解，我们重建了许多已知的精确解，通过他们的EMP或NLS同行和数值分析显示许多解决方案的稳定性。
$2D$ vorticity Euler equations: Superposition solutions and nonlinear Markov processes
本文研究全平面涡量形式 $2D$ Euler 方程，建立测度值弱解的广义 Lagrange 表示，并由非唯一弱解的选取构造非线性 Markov 过程。
Linear Superposition of Quadratic Functions in a Fifth Order KdV-Type Equation
该研究展示了五阶KdV型方程中二次函数的线性叠加解，与KdV等方程的非线性解形成对比。
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