有限域上的特殊置换多项式
Specific permutation polynomials over finite fields
摘要：
本文提出了有限域上新的置换多项式类。
英文摘要：
We present new classes of permutation polynomials over finite fields.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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有限域上系数为1的置换多项式的新类
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有限域上系数为1的置换多项式由于其简单的代数形式而引起研究者的兴趣。本文首先构造了$ \mathbb{F}_{2^{2m}} $的循环子群上的四类分式置换多项式。从这些置换多项式出发，构造了$ \mathbb{F}_{2^{2m}} $上系数为1的三类新置换多项式，并利用我们最近提出的一种新方法构造了$ \mathbb{F}_{2^{2m}} $上系数为1的三类更一般的新置换多项式.一些已知的置换多项式是我们的新置换多项式的特殊情况。进一步证明了在所有新的置换多项式中，存在一个置换多项式与已知的置换多项式EA-不等价，且对所有偶数正整数$ m $ .证明了$ \mathbb{F}_{q} $上EA-不等价置换多项式可以由$ \mathbb{F}_{q} $的循环子群上EA-等价置换多项式构造。由此证明，在所有新的置换多项式中，存在一个置换多项式，其代数次数是$ \mathbb{F}_{2^{2m}} $上置换多项式的最大代数次数.
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由子域的完全置换导出的完全置换多项式
Complete permutation polynomials induced from complete permutations of subfields
本文提出了几种利用子域的完全置换构造有限域的完全置换多项式的方法。在某些特殊情况下，可以利用有限域上的任意完全置换多项式构造某些扩域的完全置换。所得结果推广了几位作者最近的工作。
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大指标的分圆与置换多项式
Cyclotomy and permutation polynomials of large indices
我们利用割圆法设计了有限域上新的置换多项式类。这使我们能够以算法的方式生成许多类的置换多项式。它们中的许多是大指数的置换多项式。
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基于二次型的置换多项式的一般方法
A general approach to permutation polynomials from quadratic forms
School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学科学学院）
本文研究特征2有限域上的置换多项式，通过建立其与二次型的联系，提出一般刻画方法，并利用特征和的确定明确描述了几类置换多项式。
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有限域上置换多项式的次数计数
Enumerating Permutation Polynomials over finite fields by degree
证明了一个置换多项式的次数小于$q-2$的置换个数的渐近公式。
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置换多项式通过某些线性映射的分类
A Classification of Permutation Polynomials through Some Linear Maps
在本文中，我们提出了线性映射的空间上的所有多项式$f(x)$在$\mathbb{F}_q[x]$的映射$0$到自己，通过他们的评估地图。这些线性映射的性质与置换多项式产生了有趣的联系。我们研究这些线性映射的某些性质。我们建议通过识别置换多项式所在的映射的广义本征空间来对置换多项式进行分类。事实证明，文献中研究的几类置换多项式整齐地落入使用这些线性映射定义的类中。我们刻画了出现在这些线性映射的各种广义本征空间中的置换多项式的形状。对于$\mathbb{F}_p$的情况，这些广义本征空间提供了$\mathbb{F}_p$上的多项式（以及因此置换多项式）的度分布。我们表明，对于$\mathbb{F}_q$，它是足够的，考虑只有少数这些线性映射。这些线性映射的广义本征空间的交包含某些形状的（置换）多项式。在此背景下，我们研究了$\mathbb{F}_{p^2}$上的一类置换多项式。我们证明了这类置换多项式在合成逆下是封闭的。我们还列举了一些特定形状的置换多项式。
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关于有限域上分圆映射置换多项式逆的注记
A note on inverses of cyclotomic mapping permutation polynomials over finite fields
本文给出了Zheng，Yu，Pei关于有限域上广义分圆置换多项式的逆的显式的结果的一个较短的证明.此外，我们刻画了所有这些分圆置换多项式是对合。我们的结果提供了一个快速的算法（只涉及模运算），以产生许多类的广义分圆置换多项式，其逆，和对合。
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分圆映射置换多项式逆的分段构造
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基于局部判据的有限域上的置换多项式
Permutation polynomials over finite fields by the local criterion
本文进一步研究了局部判据，提出了一类在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上的置换多项式及其复合逆，并证明了线性化多项式与所有置换多项式在特定条件下均为局部置换多项式。
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置换多项式：有限域上移位映射和反演映射的迭代
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本文研究了$x^{r}(x^{s} -a)^{t}$型多项式的置换性质，并给出了其逆多项式的表达式。特别地，给出了置换多项式$x(x^3 -a)^2$和$x(x^2 -a)^3$在$\mathbb{F}_{7^n}$上的逆的显式表达式.然后，利用一些已知的结果，我们得到了有限域上所有$6, 7, 8$次置换多项式的逆。
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关于偶特征有限域上完全置换多项式的构造
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本文用递归的方法推广了屠等人最近提出的偶特征有限域上完全置换多项式的一种构造方法。此外，通过计算已知置换多项式的合成逆，得到了几类完全置换多项式。
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关于多项式$g_{n,q}$置换性质的一个注记
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设$q=4$和$k$为正整数。本文给出了$\Bbb F_{q^{3k}}$上的一类置换多项式.我们还提出了一个概括。
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特征为3的有限域上某些置换多项式的逆
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利用分段方法、Lagrange插值公式和Lucas定理，确定了特征为3的有限域上一类逆Dickson置换多项式和几类广义分圆映射置换多项式的逆的显式.
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不可约多项式上置换的动力学
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Carlitz秩为2的置换多项式
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令$\mathbb{F}_q$表示具有$q$元素的有限域。置换多项式的Carlitz秩是多项式复杂性的一个重要度量。在本文中，我们发现了任何具有Carlitz秩$2$的置换多项式的权的精确下界，改进了Gómez-Pérez，Ostafe和Topuzoelu在这种情况下发现的界.
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通过线性平移子构造的一些置换多项式
Some permutation polynomials via linear translators
本文受先前工作启发，扩展线性平移子概念，并据此在有限域上构造新的置换多项式类。
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有限域上$7$次置换多项式的分类
A classification of permutation polynomials of degree $7$ over finite fields
借助于SageMath软件，对任意奇素数幂$q$，给出了在线性变换下，$\mathbb{F}_{q}$上的所有次数为$7$的置换多项式的分类.
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有限域上分圆映射置换多项式的进一步研究
Further Investigation on Cyclotomic Mapping Permutation Polynomials over Finite Fields
本文研究了有限域上分圆映射置换多项式与特定形式置换多项式的关系，提出新的判定条件，并据此构造了若干置换三项式和二项式。
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关于一类置换多项式及其逆
On a Class of Permutation Polynomials and Their Inverses
本文提出一类有限域上的置换多项式，给出其显式形式及逆，并推广至更一般形式。
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关于通过有限域上纤维准则的排列三项式与完全排列多项式
On Permutation Trinomials and Complete Permutation Polynomials via Fiber Criteria over Finite Fields
本文通过Zieve纤维准则和AGW准则结合，提出了一种构造有限域上完全排列多项式的方法，并通过实例验证了其有效性。
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Fibonacci自反多项式与Fibonacci置换多项式
Fibonacci self-reciprocal polynomials and Fibonacci permutation polynomials
设$p$为素数。本文给出了由$\mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}_p$上的Fibonacci多项式产生的自互反多项式的一个完全分类，其中$p=2$和$p>5$ .本文还给出了当$p=3, 5$ .计算了有限域上Fibonacci多项式$f_{n}(x)$的一阶矩和二阶矩，给出了Fibonacci多项式是有限域上置换多项式的必要条件.
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关于有限域上置换多项式的新结果
New results on permutation polynomials over finite fields
本文得到了有限域上置换多项式的几个新结果。首先，通过使用线性翻译器，我们构造了形式为$L(x)+\sum_{j=1}^k γ_jh_j(f_j(x))$和$x+\sum_{j=1}^kγ_jf_j(x)$的置换多项式。这些结果推广了Kyureghyan在2011年得到的结果。因此，我们刻画了$L(x)+\sum_{i=1} ^lγ_i {\rm Tr}_{{\bf F}_{q^m}/{\bf F}_{q}}(h_i(x))$形式的置换多项式，这推广了Charpin和Kyureghyan在2009年得到的定理。
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第二类逆Dickson多项式置换的必要条件
Necessary conditions for reversed Dickson polynomials of the second kind to be permutational
本文给出了第二类逆Dickson多项式$E_{n}(1, x)$是$\mathbb{F}_{q}$的置换的几个必要条件.特别地，我们给出明确的评估的总和$\sum_{a\in \mathbb{F}_{q}}E_{n}(1,a)$。
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有限域上三类置换多项式的复合逆
The compositional inverses of three classes of permutation polynomials over finite fields
本文利用局部方法证明了已有文献提出的有限域$\mathbb{F}_{q^3}$上三类置换三项式确为置换多项式，并给出了它们的复合逆。
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$\mathbb{Z}_n$上Dickson置换多项式群的基数
Cardinality of the Dickson permutation's group of polynomials on $\mathbb{Z}_n$
令$G_n$是由Dickson多项式诱导的$\mathbb{Z}_n$上的置换群，其中$n$是正整数。本文通过求解特殊类型的一次同余方程方程组，得到了$G_n$。另外，我们还给出了一个求$|G_n|$的算法.
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关于有限域上两类置换多项式的注记
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有限域上的置换多项式在数学和工程中有着广泛的应用。近年来，屠维岳等给出了偶特征有限域上的几类完全置换多项式.本文在Akbary等人的一个工作的基础上给出了一些性质，利用这些性质，我们给出了Tu等人的推广.的结果任意的特征。
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有限域上置换多项式的构造
Constructing permutation polynomials over finite fields
本文构造了有限域上几个新的置换多项式。首先，利用线性化多项式，我们构造${\bf F}_{q^{m}}$上形式为$\sum_{i=1}^k(L_{i}(x)+γ_i)h_i(B(x))$的置换多项式，其中$L_i(x)$和$B(x)$是线性化多项式。这推广了Coulter，Henderson和Matthews的一个定理.因此，我们通过构造$x h(λ_{j}(x))$和$xh(μ_{j}(x))$形式的置换多项式推广了Marcos的一个结果，其中$λ_{j}(x)$是$x, x^{q}, ..., x^{q^{m-1}}$和$μ_{j}(x)=\textup{Tr}_{{\bf F}_{q^{m}}/{\bf F}_{q}}(x^{j})$的第$j$阶初等对称多项式.这回答了Zieve在2010年提出的一个开放问题。最后，利用线性变换器，构造了${\bf F}_{q^{m}}$上$L_1(x)+L_{2}(γ)h(f(x))$形式的置换多项式，推广了Kyureghyan的一个结果.
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关于有限域上置换多项式的一个猜想的证明
Proof of a Conjecture on Permutation Polynomials over Finite Fields
令$k$为正整数，且$S_{2k}={\tt x}+{\tt x}^4+...+{\tt x}^{4^{2k-1}}\in\Bbb F_2[{\tt x}]$。最近证明了${\tt x}+S_{2k}^{4^{2k}}+S_{2k}^{4^k+3}$是$\Bbb F_{4^{3k}}$的置换多项式。本文证实了这一猜想，并得到了一个推广.
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利用广义Redei函数构造置换多项式
Constructing permutation polynomials using generalized Redei functions
本文确定了有限域上两类由广义Redei函数分母构造的多项式中的所有置换，推广了八个近期结果，并给出更简洁的证明。
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具有显式逆的q线性化置换多项式的稀疏提升
Sparse Lifts of q-Linearized Permutation Polynomials with Explicit Inverses
School of Computer Science, Shanghai Jiao Tong University（上海交通大学计算机学院）
该研究构造了保持复合逆的q线性化置换多项式的稀疏提升，得到二维二项式、三维三项式等的显式逆，为有限域上置换多项式的构造提供了新方法。
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线性分解的置换多项式
Permutation polynomials from a linearized decomposition
本文讨论了有限域$\mathbb F_{q^n}$上形式为$f(L(x))+k(L(x))\cdot M(x)\in \mathbb F_{q^n}[x]$的多项式的置换性质，其中$L, M\in \mathbb F_q[x]$是$q$ -线性化多项式.限制$L, M\in \mathbb F_q[x]$意味着在次数最多为$n-1$的$\mathbb F_q$上，常规$q$ -关联的$(L, M)$对和$(g, h)$对之间的良好对应。特别地，通过使用AGW准则，我们的多项式类的置换性质转化为$\mathbb F_q$上多项式的一些算术性质，如互素性。这将构造$\mathbb F_{q^n}$的PP的问题与分解$\mathbb F_q[x]$中的$x^n-1$的问题联系起来。然后，我们专门的情况下，$L(x)$是从$\mathbb F_{q^n}$在$\mathbb F_q$的跟踪多项式，提供结果的建设置换和完整的置换多项式，及其逆。我们进一步证明，后者可以扩展到更一般的线性多项式的次数$q^{n-1}$。
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偶特征下利用Rédei函数构造置换多项式
A Construction of Permutation Polynomials Using Rédei Function in Even Characteristic
本文受奇特征工作启发，利用AGW准则，在特征2域上通过Rédei函数递归构造置换多项式。
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基于特征和的偶特征有限域置换多项式
Permutation polynomials of finite fields of even characteristic from character sums
本文利用特征和计算，刻画并构造了偶特征有限域上形如$\mathrm{Tr}(Ax^{q+1})+L(x)$的置换多项式。
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有限域上的置换多项式族
Some families of permutation polynomials over finite fields
本文给出了多项式x^r*（1+x^v+x^（2 v）+.+）的充要条件。x^（q））^t来置换有限域GF（q）的元素。当（q-1）/gcd（q-1，v）是小素数时，我们的结果给出了特别简单的准则.
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关于有限域上置换多项式的一个猜想
On a conjecture on permutation polynomials over finite fields
设$\Bbb F_q$是具有$q$元素的有限域，设$p=\text{char}\,\Bbb F_q$。证明了对于整数$e\ge 2$和$1\le a\le pe-2$，多项式$X^{q-2}+X^{q^2-2}+\cdots+X^{q^a-2}$是$\Bbb F_{q^e}$的置换多项式当且仅当（i）$a=2$和$q=2$，或（ii）$a=1$和$\text{gcd}(q-2,q^e-1)=1$ .在本文中，我们证实了这一猜想。
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形如$x+γ\operatorname{Tr}_q^{q^2}(h(x))$的六类置换多项式逆元
Inverses of six classes of permutation polynomials of the form $x+γ\operatorname{Tr}_q^{q^2}(h(x))$ over finite fields of even characteristic
Central University of South Bihar（南比哈尔中央大学）
本文研究了形如$x+γ\operatorname{Tr}_q^{q^2}(h(x))$的六类置换多项式在有限域上的逆元问题，基于前人研究，进一步探讨了其逆元结构和性质。
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$\mathbb{F}_{q^n}$ 上置换多项式的代数结构
Algebraic Structure of Permutational Polynomials over $\mathbb{F}_{q^n}$
该研究提出有限域 $\mathbb{F}_{q^n}$ 上置换多项式的新代数结构，并据此构造多类新置换多项式，解决了 Charpin 与 Kyureghyan 的公开问题。
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有限域上三类置换多项式的复合逆
The compositional inverses of three classes of permutation polynomials over finite fields
基于P. Yuan的局部方法，本文计算了有限域上三类置换多项式的复合逆，包括特定形式的$ax^q+bx+(x^q-x)^k$、$f(x)$及$A^{m}(x)+L(x)$，并明确了各项参数与映射空间的约束条件。
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$\Bbb F_{q^2}$置换多项式的一般构造
A General Construction of Permutation Polynomials of $\Bbb F_{q^2}$
设$r$为正整数，$h(X)\in\Bbb F_{q^2}[X]$，$μ_{q+1}$为$\Bbb F_{q^2}^*$的阶$q+1$的子群.众所周知，当且仅当$\text{gcd}(r,q-1)=1$和$X^rh(X)^{q-1}$置换$μ_{q+1}$时，$X^rh(X^{q-1})$置换$\Bbb F_{q^2}$。有许多这种类型的$\Bbb F_{q^2}$的置换多项式的特别构造，使得$h(X)^{q-1}$在$μ_{q+1}$的子群的陪集上诱导单项函数。我们给出了一个一般的结构，可以生成，通过一个算法，{ \em all}置换多项式的$\Bbb F_{q^2}$与此属性，包括许多以前不知道的。该结构明确说明了排列二项式和三项式。
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有限域上逆Dickson多项式的置换行为
Permutational behavior of reversed Dickson polynomials over finite fields
本文利用Hong，Qin和Zhao的方法，得到了有限域${\mathbb F}_{q}$上$(k+1)$类逆Dickson多项式$D_{n,k}(1,x)$的置换行为的几个结果.特别地，我们给出了一阶矩$\sum_{a\in {\mathbb F}_{q}}D_{n,k}(1,a)$的显式计算.我们的结果将已知的结果从$0\le k\le 3$情形推广到一般的$k\ge 0$情形.
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特征为偶数的有限域上形如$L(X)+γTr_q^{q^3}(h(X))$的排列多项式
Permutation Polynomials of the form $L(X)+γTr_q^{q^3}(h(X))$ over finite fields with even characteristic
School of Mathematical Sciences, South China Normal University（华南师范大学数学学院）；School of Computer Science and Technology, Dongguan University of Technology（东莞理工学院计算机科学与技术学院）
本文研究了特征为偶数的有限域上形如$L(X)+γTr_q^{q^3}(h(X))$的排列多项式，通过转化问题形式，完全刻画了一类新的排列多项式并推广了相关结果。
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有限域$\n\mathbb{F}_{q^n}$上形如$x+\gamma\operatorname{Tr}_{q}^{q^n}(H(x))$的置换多项式的合成逆
The compositional inverses of the permutation polynomials of the form $x+γ\operatorname{Tr}_{q}^{q^n}(H(x))$ over $\mathbb{F}_{q^n}$
School of Computer Science and Technology, Dongguan University of Technology（东莞理工学院计算机科学与技术学院）；School of Mathematics, South China Normal University（华南师范大学数学学院）
该研究利用局部方法构造了有限域上多类形如$x+\gamma\operatorname{Tr}_{q}^{q^n}(H(x))$的置换多项式的合成逆，所得闭式表达式补充了迹置换多项式的相关理论。
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有限域上的Weil界与非例外置换多项式
The Weil bound and non-exceptional permutation polynomials over finite fields
von zur Gathen的一个著名结果断言，$\mathbb{F}_{q}$上的次数为$n$的非例外置换多项式仅当$q<n^{4}$存在。借助于绝对不可约（可能是奇异的）仿射平面曲线上$\mathbb{F}_{q}$ -点个数的Weil界，Chahal和Ghorpade改进了von zur Gathen的证明，用一个小于$n^{2}(n-2)^{2}$的界来代替$n^{4}$。同样基于Weil界，我们进一步改进了$q$关于$n$的上界，通过一个更简洁和直接的证明。
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特征为2的有限域上的6次或7次置换多项式
Permutation Polynomials of Degree 6 or 7 over Finite Fields of Characteristic 2
在\cite{D1}中，Dickson列出了任意有限域上5次以下的所有置换多项式，以及奇特征的有限域上6次的所有置换多项式。特征为2的有限域上的6次置换多项式的分类是不完整的。本文完成了特征为2的有限域上6次置换多项式的分类。此外，还对特征为2的有限域上的7次置换多项式进行了分类。
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$\mathbb{F}_{q^2}$ 上的新置换多项式
New permutation polynomials over $\mathbb{F}_{q^2}$
本文提出了一种在 $\mathbb{F}_{q^2}$ 上构造新置换多项式的方法，扩展了特定形式的已知多项式，并为 $q=2^m$ 等情形下的另一类多项式提供了替代构造途径。
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环$\mathbb{F}_{q^{3}}$上的置换多项式和完全置换多项式
Permutation polynomials and complete permutation polynomials over $\mathbb{F}_{q^{3}}$
受$\mathbb{F}_{q^2}$上置换多项式构造的启发，本文研究了$\mathbb{F}_{q^3}$上置换多项式的系数.基于多元方法和结式消去法，构造了环$\mathbb{F}_{q^3}$，$q=p^{k}$，$p\geq3$上的几类新的稀疏置换多项式.其中一些是完全映射。
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置换多项式、分式多项式和代数曲线
Permutation polynomials, fractional polynomials, and algebraic curves
本文证明了Li，Qu，Li，Fu关于$\mathbb{F}_3^{2k}$上置换三项式的一个猜想.此外，还给出了$\mathbb{F}_{3^k}$和$\mathbb{F}_{5^k}$的一些置换多项式族的新例子和推广.我们还研究了$Ax^{q(q-1)+1} + Bx^{2(q-1)+1} + Cx^{q} + x$型置换四项式.我们的方法是基于有限域上的一个与{分数多项式}相关的代数曲线的研究。
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奇特征有限域上的完全置换多项式
Complete permutation polynomials over finite fields of odd characteristic
本文给出了奇特征有限域上三类完全置换单项式。同时，也给出了这些完全置换多项式的合成逆。
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排列中的斜率多项式与共线点
The Slope Polynomial and Collinear Points in Permutations
由于致命错误而退出。
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模m置换多项式
Permutation Polynomials modulo m
本文主要研究了所谓的“置换多项式模$m$“问题，即能诱导环Z_m={0，. m-1}。给出了置换多项式的充要条件，并估计了所有给定次数置换多项式的个数和诱导双射的个数。提出了一种由诱导多项式函数确定所有等价多项式的方法，该方法可用于确定诱导给定双射的所有等价多项式。本论文中还有一些问题没有解决，有待于进一步的研究。注：在完成初稿后，我们注意到本文得到的一些结果可以用其他方法证明（见注2）。在这种情况下，这项工作给出了不同的和独立的相关结果的证明。
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有限域F_{q^3}上的一种新的排列多项式构造
A new construction of permutation polynomials over $\mathbb{F}_{q^3}$
Hunan Normal University（湖南师范大学）；Hebei Normal University（河北师范大学）；Hunan University（湖南大学）
本文确定了有限域F_{q^3}上若干多项式族中的所有排列多项式，并给出了新的简单系数排列多项式族，解决了张等人的猜想推广问题。
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有限域上一类置换多项式的必要性和一致性
Necessities and sufficiencies of a class of permutation polynomials over finite fields
对于有限域$\mathbb{F}_{2^{3m}}$，研究了$(x^{2^m}+x+δ)^{s}+cx$形式的置换多项式.给出了多项式为置换多项式的充要条件。为此，分析了场元的结构和性质。
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置换多项式及其复合逆
Permutation Polynomials and their Compositional Inverses
本文证明了每个PP都是AGW-PP。我们还将Wan和Lidl的结果推广到有限域上的其他置换多项式，并确定了它们的群结构。此外，我们还提出了一种新的寻找所有PP的合成逆的一般方法，并给出了一些新的PP及其合成逆。
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一类二项式置换多项式
A Class of Binomial Permutation Polynomials
本文给出了一类二项式是置换多项式的一个判别准则。由此得到了许多类二项置换多项式和单项完全置换多项式。这些单项式中的指数是Niho型的。
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有限域上提供对合置换的多项式集合
Collection of Polynomials over Finite Fields Providing Involutary Permutations
本文针对满足特定同余条件的奇素数幂，构造了一类有限域上的置换多项式集合，证明它们均能生成具有特定不动点数量的对合置换，并明确给出了三项式与六项式的数量分布。
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$\F_q$上的多类完全置换多项式
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本文利用Zieve给出的置换多项式的一个强有力的判别准则，给出了$\F_{q^r}$上的几类完全置换单项式.此外，我们还提出了一类完全置换多项式，这是最近工作的推广。
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有限域上具有特定圈结构的置换多项式的构造
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本文针对奇数阶有限域，构造了具有特定圈结构的置换二项式和置换三项式族，包括具有一个不动点且其余元素构成等长互斥圈的置换，以及具有特定频率的多长度圈置换多项式。
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关于有限域上置换多项式的一些新结果
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有限域上的置换多项式是一个活跃的研究领域，在科学和工程的许多领域都有应用。本文给出了四类单名完全置换多项式和一类三名完全置换多项式，其中之一证实了Wu等人（Sci.中国数学，出现。Doi：10.1007/s11425-014-4964-2）。进一步，我们给出了两类三项式置换多项式，并对Blondeau等人提出的关于幂置换多项式微分一致性的猜想（Int. J. Inf. CodingTheory，2010，1，pp. 149-170）。
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由子域置换导出的置换多项式及相互正交拉丁方的完备集
Permutation polynomials induced from permutations of subfields, and some complete sets of mutually orthogonal latin squares
本文给出了一种由子域置换得到有限域上置换多项式的一般方法。通过将这种技巧应用于子域上最简单的置换多项式类，我们得到了几个新的置换多项式族。其中一些具有额外的性质，即f（x）和f（x）+x都诱导场的置换，这具有组合后果。我们使用我们的置换多项式来展示相互正交拉丁方的完整集合。此外，我们解决了开放的问题，从最近的一份文件，吴和林，我们更简单的证明更一般的版本的结果在最近的两份文件。
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