Mácajová and Škoviera Conjecture on Cubic Graphs
Jean-Luc Fouquet, Jean-Marie Vanherpe
Máucajová和uSkoviera的一个猜想断言，每个无桥立方图都有两个完美匹配，它们的交集不包含任何奇边割。我们证明了这个猜想的图与少数顶点，我们给一个更强的结果可迹图。
A conjecture of Máucajová and uSkoviera asserts that every bridgeless cubic graph has two perfect matchings whose intersection does not contain any odd edge cut. We prove this conjecture for graphs with few vertices and we give a stronger result for traceable graphs.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Hoffmann-Ostenhof's conjecture for traceable cubic graphs
Hoffmann-Ostenhof证明了连通三次图的边集可以分解为生成树、匹配和圈族。在本文中，我们证明了这个猜想成立的可迹三次图。
$S_{12}$ and $P_{12}$-colorings of cubic graphs
如果$G$和$H$是两个三次图，则$G$的$H$ -染色是具有$H$的边的真边染色$f$，使得对于$G$的每个顶点$x$，存在具有$f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$的$H$的顶点$y$。如果$G$允许$H$ -着色，那么我们将写为$H\prec G$ . Jaeger的Petersen着色猜想（$P_{10}$ -猜想）指出，对于任何无桥三次图$G$，有：$P_{10}\prec G$。Sylvester着色猜想（$S_{10}$ -猜想）指出，对任何三次图$G$，$S_{10}\prec G$ .在本文中，我们介绍了两个新的架构，是与这些架构。第一个定理指出，任何具有完美匹配的三次图都允许$S_{12}$ -着色。第二个定理指出，任何边集能被四个完美匹配覆盖的三次图$G$都允许$P_{12}$ -染色。我们把这些新的猜想分别称为$S_{12}$ -猜想和$P_{12}$ -猜想。我们的第一个结果证明了图的选择在$S_{12}$ -猜想和$P_{12}$ -猜想。其次，我们刻画了三次图$G$的$P_{12}$ -着色中可能是虚构的$P_{12}$的边。最后，我们证明了$S_{12}$ -猜想蕴涵$S_{10}$ -猜想，$P_{12}$ -猜想和$(5,2)$ -圈覆盖猜想一起蕴涵$P_{10}$ -猜想，从而把新的猜想与已知的猜想联系起来.我们证明后…
On the perfect matching index of bridgeless cubic graphs
如果$G$是一个无桥三次图，Fulkerson猜测我们可以找到$G$的6个完美匹配$M_1,...,M_6$，并且具有这样的性质：$G$的每条边恰好包含在其中的两个中，Berge猜测它的边集可以被5个完美匹配覆盖。我们定义$τ(G)$作为最少的完美匹配允许覆盖的边缘集的无桥三次图，我们研究这个参数。完美匹配指数为4的图的集合似乎很有趣，我们给出了这类图的一些信息。
Simple cubic graphs with no short traveling salesman tour
令$tsp(G)$表示图$G$中最短旅行推销员行程的长度。证明了对任意$\varepsilon>0$，存在简单$2$连通平面三次图$G_1$，使得$tsp(G_1)\ge (1.25-\varepsilon)\cdot|V(G_1)|$，简单$2$连通二部三次图$G_2$，使得$tsp(G_2)\ge (1.2-\varepsilon)\cdot|V(G_2)|$，简单$3$连通三次图$G_3$，使得$tsp(G_3)\ge (1.125-\varepsilon)\cdot|V(G_3)|$ .
Colourings of cubic graphs inducing isomorphic monochromatic subgraphs
无桥三次图$G$的一个$k$ -二分图是它的顶点集的一个$2$ -着色，使得色类具有相同的基数，并且由色类诱导的两个子图中的所有连通分量（以下为单色分量）的阶至多为$k$。Ban和Linial证明了除Petersen图外，所有无桥三次图都有$2$ -二分图.三次图的边集的一个类似问题已经被研究过：Wormald证明了每个具有$|E(G)| \equiv 0 \pmod 2$的三次图$G$都有一个$2$ -边着色使得两个单色子图是同构的线性森林（即一个森林的组成部分是路）。最后，Ando证明了每一个三次图都有一个二分法，使得两个导出单色子图同构。在本文中，我们给出了一个详细的洞察Ban-Linial和Wormald的结构，并提供了一个强大的关系，他们与安藤猜想的证据。此外，我们也给出了计算和理论证据的支持。因此，我们提出了一些开放的问题，比上述的结构更强大。此外，我们还证明了三次圈置换图的Ban-Linial猜想。作为研究以线性森林为单色分量的三次图的$2$ -边着色的副产品，我们还对Jackson和Wormald提出的关于三次图到线性森林的某些分解的问题给出了否定的回答.
Cuts in matchings of 3-connected cubic graphs
本文讨论了三次图的哈密尔顿性（Tait，Barnette，Tutte），平面定向图的二色数（Neumann-Lara），以及收缩是强连通的有向图的偶图（Hochstättler）。我们表明，所有这些都适合到相同的框架有关削减匹配。这使我们能够找到一个反例的猜想Hochstättler和显示，猜想的诺伊曼-劳拉举行的所有可平面图在最多26个顶点。最后，我们陈述了一个关于二部立方定向图的新猜想，这个猜想在这种情况下自然产生。
On Sylvester Colorings of Cubic Graphs
如果$G$和$H$是两个三次图，则$G$的$H$ -染色是具有$H$的边的真边染色$f$，使得对于$G$的每个顶点$x$，存在具有$f(\partial_G(x))=\partial_H(y)$的$H$的顶点$y$。如果$G$允许$H$ -着色，那么我们将写为$H\prec G$ . Jaeger的Petersen着色猜想指出，对于任何无桥三次图$G$，有：$P\prec G$。第二作者最近介绍了西尔维斯特着色猜想，其中指出，对于任何三次图$G$有：$S\prec G$。这里$S$是$10$顶点上的Sylvester图。本文证明了Sylvester着色猜想在三次伪图上的类似性。此外，我们还证明了：如果$G$是任意连通的简单三次图$G$，且有$G\prec P$，则有$G = P$ .这意味着Petersen图不允许$S_{16}$ -染色，其中$S_{16}$是没有完美匹配的最小连通简单三次图. $S_{16}$具有$16$顶点。我们猜想有无穷多个连通的三次简单图不允许$S_{16}$ -染色.最后，我们得到了关于Sylvester着色猜想的$2$结果。第一个结果表明：任意三次图$G$都有Sylvester图$S$的边染色，使得$G$的至少$\frac45$的顶点满足Sylvester染色猜想的条件.第二个结果表明，任何无爪三次图允许PDMATHAMV-染色。这个结果是我们的结果在…
Matching Theory and Barnette's Conjecture
Barnette猜想认为所有三次3连通平面二部图都是Hamilton图。我们给这个猜想到匹配理论设置的翻译。这使得我们可以放松对平面性的要求，给出等价的猜想，即所有三次、3连通、普夫图、二部图都是哈密尔顿图。一个图，除了长度为3的路之外，如果它是二分的，并且任何两个不相交的边是完美匹配的一部分，则它是一个花括号。我们的观点使我们能够观察到，巴内特猜想可以减少到立方，平面括号。我们展示了一个类似的减少大括号三次，3-连通，二部图关于四个更强的版本的哈密顿。注意，在这些情况下，我们不需要平面性。作为这些结果的一个实际应用，我们对Holton等人[哈密顿圈在三次三连通二部可平面图中，JCTB，1985]中发现的三次三连通平面二部图的生成过程作了一些补充.这些允许我们检查我们生成的图是否是一个大括号。
On the Prevalence of Bridge Graphs Among Non-3-Connected Cubic Non-Hamiltonian Graphs
几乎所有的三次非哈密顿图都是桥图，这一点有经验证据支持。在本文中，我们提出了一个相关的猜想，并证明了原来的索赔成立的非3-连通图，如果猜想是真的。
The 1/3-conjectures for domination in cubic graphs
本文研究三次图支配数的两个1/3猜想，在无7-圈和8-圈条件下证明了Verstraete猜想，并在无4-圈和8-圈条件下证明了Kostochka关于二部图的相关猜想。
Normal 6-edge-colorings of some bridgeless cubic graphs
在一个三次图的边着色中，如果一条边和与之相邻的四条边的颜色集分别恰好有五种或恰好三种不同的颜色，则该边是贫边或富边。在边着色中，如果边的着色是丰富的或贫乏的，则该边是正常的。三次图的正规$k$ -边染色是用$k$颜色进行边染色使得图的每条边都是正规的。我们用$χ'_{N}(G)$表示最小的$k$，对于它$G$允许正常的$k$ -边染色。正规边着色是Jaeger为了研究他著名的Petersen着色猜想而引入的。证明无桥三次图的$χ'_{N}(G)\leq 5$等价于证明Petersen着色猜想。此外，Jaeger能够证明它包含了经典的猜想，如循环双覆盖猜想和Berge-Fulkerson猜想。最近，两个作者能够证明，任何简单的立方图允许正常的$7$ -边染色，这个结果是最好的可能。本文证明了任意无爪无桥三次图、置换蛇、树型蛇都有正规的$6$ -边染色。最后，我们证明了任何无桥三次图$G$都允许$6$ -边染色，使得$G$的至少$\frac{7}{9}\cdot |E|$边是正规的。
Normal edge-colorings of cubic graphs
三次图的正常$k$ -边染色是具有$k$颜色的边染色，具有附加性质，即当查看分配给任何边$e$和与其相邻的四条边的颜色集合时，我们恰好有五种不同的颜色或恰好有三种不同的颜色。我们用$χ'_{N}(G)$表示最小的$k$，对于它$G$允许正规的$k$ -边染色。正规$k$ -边着色是Jaeger为了研究他著名的Petersen着色猜想而引入的。更确切地说，已知对于每个无桥三次图证明$χ'_{N}(G)\leq 5$等价于证明Petersen着色猜想，然后证明圈双覆盖猜想和Berge-Fulkerson猜想。考虑到所有简单三次图（不一定是无桥的）的较大类，自然会出现一些有趣的问题。例如，存在具有$χ'_{N}(G)=7$的简单三次图，而不是无桥图。另一方面，$χ'_{N}(G)$的已知最佳通用上限是$9$。在这里，我们通过证明，$χ'_{N}(G)\leq7$的任何简单的三次图$G$，这是最好的可能。我们通过证明在$4$ -边连通图中存在特定的no-where零$\mathbb{Z}_2^2$ -流来得到这个结果。
A Note on Colourings of Connected $2$-edge Coloured Cubic Graphs
本文证明了每一个连通的$2$ -边着色三次图都有一个$10$ -着色.这降低了连通$2$ -边着色三次图的色数的上界。
Switching 3-edge-colorings of cubic graphs
一个三次图的色指数是3或4。边-Kempe转换，它可以用来转换边染色，在这里考虑的3-边染色的三次图。计算结果的边Kempe开关的三次图的顺序高达30和二部三次图的顺序高达36制成表格。给出了具有$2^n$边-Kempe等价类的阶为$4n+2$和$4n+4$的三次图族，证明了不存在具有更多边-Kempe等价类的三次图.另外还得到了一类新的具有一个边Kempe等价类的非平面二部三次图。边Kempe切换进一步连接到Steiner三元系的循环切换，其中建立的分类算法的改进。
On the minimum leaf number of cubic graphs
连通图$G$的\emph{minimum leaf number} $\hbox{ml} (G)$被定义为$G$的生成树的最小叶数。本文给出了关于三次图的最小叶数的新结果：证明了若$G$是$n$阶的连通三次图，则$\mathrm{ml}(G) \leq \frac{n}6 + \frac13$，改进了[Inf. Process. Lett. 105（2008）164-169]以及在[Electron. J.图论和应用5（2017）207-211]中证明该猜想。进一步证明了如果$G$也是2-连通的，则$\mathrm{ml}(G) \leq \frac{n}{6.53}$，改进了[Math. Program.，A 144（2014）227-245]。本文还对几类三次图的最小叶数给出了新的证明，并举例说明了这些证明的界是最好的。
Longest paths in 2-edge-connected cubic graphs
证明了$2$ -边连通三次图的路长的几乎紧界。具体地说，我们证明了：（i）每一个$2$ -边连通三次图都有一条长度为$Ω\left(\frac{\log^2{n}}{\log{\log{n}}}\right)$的路，（ii）存在一个$2$ -边连通三次图，使得图中的每条路都有长度为$O(\log^2{n})$ .
A Note on Colourings of Connected Oriented Cubic Graphs
本文证明了连通三次图的每一个定向都允许定向8-着色。这降低了最著名的上界的连通三次图的方向的家庭的色数。我们进一步证明了，每个这样的定向图允许2-路7-染色。这些结果意味着，要么是有向连通三次图族的色数等于2-路色数，要么是Sopena [Journal of Graph Theory 25：191-205 1997]关于连通三次图的方向色数的长期猜想是错误的。
On two consequences of Berge-Fulkerson conjecture
经典的Berge-Fulkerson猜想指出，任何无桥三次图$G$都有一个六个完美匹配的列表，使得$G$的每条边属于列表中的两个完美匹配.在这个简短的说明中，我们讨论了两个陈述，这是这个猜想的后果。我们证明了第一个陈述等价于Fan-Raspaud猜想。我们还证明了第二个的最小反例是循环$4$ -边连通三次图。
Girth six cubic graphs have Petersen minors
本文证明了任何不含长度小于6的圈的3-正则图都有一个子图同构于Petersen图的一个剖分。
On the expected number of perfect matchings in cubic planar graphs
20世纪70年代，Lovász和Plummer提出了一个著名的猜想：一个无桥立方图有指数级的完美匹配。Esperet等人（Adv. Math. 2011）以肯定的方式解决了该问题。另一方面，Chudnovsky和Seymour（Combinatorica 2012）在三次可平面图的特殊情况下证明了该猜想。在我们的工作中，我们考虑随机无桥立方可平面图的均匀分布的图的$n$顶点。在此模型下，我们证明了标号无桥三次可平面图中完美匹配的期望数是渐近的$cγ^n$，其中$c>0$和$γ\sim 1.14196$是一个显式的代数数.我们还计算了（不一定是无桥的）三次可平面图中完美匹配的期望数，并为无标号图提供了下界。我们的出发点是一个对应的计数完美匹配在有根三次平面地图和分拆函数的伊辛模型在有根三角剖分。
Graphic TSP in cubic graphs
本文提出了一种多项式时间的9/7-近似算法，改进了2-连通三次图的最佳近似因子1.3，同时降低了对2-连通度的要求.为了设计我们的算法，我们证明了每个简单的2-连通立方n-顶点图包含一个长度至多为9 n/7-1的生成闭行走，并且这样的行走可以在多项式时间内找到。
Max-Leaves Spanning Tree is APX-hard for Cubic Graphs
我们考虑的问题，找到一个生成树的最大数量的叶子（MaxLeaf）。对于这个问题，已知2-近似算法，并且当限制于每个顶点具有3度的图（三次图）时，已知3/2-近似算法。MaxLeaf通常是APX-困难的，而对于三次图是NP-困难的。我们证明了这个问题对于三次图也是APX困难的。三次图的最小连通支配集的相关问题的APX-硬度如下。
Approximation Hardness of Graphic TSP on Cubic Graphs
我们证明了显式的近似硬度的结果，图形TSP上的三次和次三次图，以及新的不可逼近性界相应的情况下（1，2）-TSP。证明技术使用新的模块化结构的模拟小工具的限制立方和subcubic实例。本文中使用的模块化结构也可能具有独立的意义。
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