Metric dimensions vs. cyclomatic number of graphs with minimum degree at least two
顶点（resp.边）度量维数;记为dim（G）（分别edim（G））定义为V（G）中区分所有顶点对的最小集合S的大小。在G中：dim（G）<= L（G）+2c（G）和edim（G）<= L（G）+2c（G），其中c（G）是G的圈数，L（G）依赖于G的叶数，已知对仙人掌成立，对一般图也成立.在无叶图中，L（G）= 0成立，因此对于这样的图，限制的上界变为2c（G）。本文证明了无叶仙人掌不能达到2c（G）的上界，从而使无叶仙人掌的上界降为2c（G）-1，并刻画了所有极值无叶仙人掌的降界.我们猜想，降低的界限保持所有的无叶图，即最小度至少为2的图。我们证明了这个猜想对所有最小度至少为3的图都成立，证明它对所有2-连通图都成立是足够的，并且我们还证明了这个猜想对小阶图也成立.
2021-08-21 math.CO
Minimum maximal matchings in cubic graphs
证明了每一个顶点为$n$的连通三次图的最大匹配至多为$\frac{5}{12} n+ \frac{1}{2}$。这证实了Baste，Fürst，Henning，Mohr和Rautenbach（2019）关于正则图的猜想的立方情况。更一般地，我们证明了每个图的$n$顶点和$m$边和最大程度最多$3$有一个最大匹配的大小最多$\frac{4n-m}{6}+ \frac{1}{2}$。这些界限是通过图$K_{3,3}$获得的，但渐近地仍有改进的余地。此外，可以有效地找到所要求的最大匹配。作为推论，我们得到了连通三次图中最小最大匹配的一个$\left(\frac{25}{18} + O \left( \frac{1}{n}\right)\right) $ -近似算法。
2021-08-08 cs.DM math.CO
Computing Optimal Leaf Roots of Chordal Cographs in Linear Time
本文针对弦共图提出线性时间的最优叶根构造方法，弥补了固定k多项式算法无法直接求解最优叶根的不足，还分析了k奇偶性对最优叶根的影响，为计算生物学系统发育树重建提供更合理的方案。
2023-08-21 cs.DM math.CO
Estimating the circumference of a graph in terms of its leaf number
令$\mathcal{T}$是$G$的生成树的集合，并且令$L(T)$是树$T$中的叶子的数目。$G$的叶编号$L(G)$定义为$L(G)=\max\{L(T)|T\in \mathcal{T}\}$。设$G$是阶$n$和最小度$δ$的连通图，使得$L(G)\leq 2δ-1$ .我们证明了$G$的周长至少为$n-1$，并且如果$G$是正则的，则$G$是Hamilton的.
2022-03-05 math.CO
Boxicity of Leaf Powers
图G的盒度（box（G））定义为使得G是轴平行t维盒的交图的最小整数t。一个图G是k-叶幂，如果存在一棵树T，使得该树的叶子对应于图G的顶点，并且图G中的两个顶点相邻当且仅当它们在T中对应的叶子的距离至多为k。叶幂是强弦图的一个子类，在进化生物学中用于构建系统发育树。我们证明了对于k叶幂G，box（G）\leq k-1.我们还显示了这个约束的紧密性，通过构建一个k-叶功率等于k-1盒。这个结果意味着存在具有任意高盒度的强弦图，这有点违反直觉。
2009-02-20 math.CO
Leaf to leaf path lengths in trees of given degree sequence
本文研究无度2顶点树中叶到叶路径长度种类数，依据度序列的最小半径建立新的对数下界，并讨论其改进与变体。
2025-07-24 math.CO
Cubic bipartite graphs with minimum spectral gap
图$G$的邻接矩阵的两个最大特征值之差称为$G.$的谱间隙。如果$G$是正则图，则它的谱间隙等于代数连通度。Abdi，Ghorbani和Imrich，在[European J. Combin. 95（2021）103328]，证明了三次连通图在$2n$顶点上的最小代数连通度是$(1+o(1))\frac{π^{2}}{2n^{2}}$，这是在非二部图上得到的.受上述结果的启发，本文研究了三次二部图的代数连通度。证明了$2n$顶点上的三次二部图的最小代数连通度为$(1+o(1))\frac{π^{2}}{n^{2}}$ .此外，还刻画了唯一的具有最小代数连通度的三次二部图。基于正则图的代数连通度与谱间隙之间的关系，给出了具有最小谱间隙的三次二部图及其渐近值.在[J. Graph Theory 99（2022）671--690]中，Horak和Kim用Fibonacci数建立了完美匹配数的精确上界。通过证明一个三次二部图具有最大完美匹配数当且仅当它使代数连通度最小化，得到了极图的谱刻画。
2022-12-05 math.CO
Intersection representation of digraphs in trees with few leaves
一个有向图的叶数是它在一个主树中有一个子树交集表示的最小叶子数。我们讨论了其他参数（包括费勒斯维数）的叶龄的界限，得到了一系列尖锐的不等式。
1998-07-29 math.CO
Short Cycle Covers of Cubic Graphs and Graphs with Minimum Degree Three
Alon和Tarsi的最短圈覆盖猜想证明了所有具有$m$边的无桥图的边都能被总长度不超过$7m/5=1.400m$的圈覆盖。我们证明了每一个立方无桥图的圈覆盖的总尺子至多为$34m/21\approx 1.619m$，每一个最小度为3的无桥图的圈覆盖的总尺子至多为$44m/27\approx 1.630m$ .
2009-08-11 math.CO
Leaf-to-leaf paths and cycles in degree-critical graphs
London School of Economics（伦敦政治经济学院）；University College London（伦敦大学学院）；University of Science and Technology of China（中国科学技术大学）；Tsinghua University（清华大学）；University of Oxford（牛津大学）；King’s College London（伦敦国王学院）
研究了度3临界图中环长度和1-3树中叶到叶路径长度的性质，证明了相关结果。
2026-03-04 math.CO
Perfect matchings in highly cyclically connected regular graphs
图上的叶匹配操作包括从图中移除度为$1$的顶点及其邻居。对于$k\geq 0$，设$G$是$d$ -正则的偶阶循环$(d-1+2k)$ -边连通图.我们证明了，对于任何给定的集合$X$的$d-1+k$边缘，没有$1$ -因子$G$避免$X$当且仅当一个孤立的顶点可以通过一系列的叶匹配操作在$G-X$，或$G-X$有一个独立的集合，其中包含超过一半的顶点的~ $G$。为了证明如何检查定理的条件，我们证明了关于三次图的$2$ -因子的几个陈述。对于$k\ge 3$，我们证明了：给定一个三次循环$(4k-5)$ -边连通图$G$和三条长度为$k$的路，使得其中任意两条路的距离至少为$8k-17$，存在$G$的一个$2$ -因子包含其中一条路.当$k=3$和$k=4$为两个路径时，我们提供了类似的声明。作为推论，我们表明，给定一个顶点$v$在循环$7$ -边连通三次图，有一个$2$ -因子，使$v$是在电路的长度大于$7$。
2021-03-27 math.CO
Equitable total coloring of corona of cubic graphs
图$G=(V,E)$的$V \cup E$的全部独立划分集的最小数目称为$G$的\emph{total chromatic number}，记为$χ''(G)$。如果任意两个完全独立集的基数之差至多为1，则$V \cup E$的最小完全独立划分集的个数称为\emph{equitable total chromatic number}，记为$χ''_=(G)$。本文研究了三次图的晕的均匀全染色问题，即$G \circ H$ .结果表明，不依赖于因子$G$和$H$的合理全色数，日冕$G \circ H$的合理全色数等于$Δ(G \circ H) +1$ .从而证实了Behzad在1964年提出的关于三次图的晕的全染色猜想（TCC）和Wang在2002年提出的关于三次图的晕的均匀全染色猜想（ETCC）。作为一个直接结果，我们得到所有三次图的冠都是1型的。
2018-11-04 cs.DM math.CO
Generalized domination structure in cubic graphs
Keio University（庆应义塾大学）
本文研究了立方图中的广义支配结构，通过特定方法确定最小支配集，并在多项式时间内解决该问题。
2025-12-12 math.CO
Connectivity of cubical polytopes
一个立方多面体是一个多面体的所有方面是组合等价的立方体。本文讨论了三次多面体图的连通性。我们首先证明了，对任何$d\ge 3$，具有最小度$δ$的三次$d$ -多面体的图是$\min\{δ,2d-2\}$ -连通的.其次，我们证明，对于任何$d\ge 4$，在这样的图中，每个最小的基数分隔符至多$2d-3$由一些顶点的所有邻居组成，并从图中删除分隔符的顶点只留下两个组件，其中一个是顶点本身。
2019-07-15 math.CO
Tutte's 5-Flow Conjecture for Highly Cyclically Connected Cubic Graphs
在1954年，Tutte证明了每个无桥图都有一个无处为零的5-流。设$ω$是无桥三次图的2-因子中奇圈的最小数目。Tutte猜想等价于它对具有$ω\geq 2$的三次图的限制.我们证明了如果一个三次图$G$没有少于$ {5/2} ω- 1$边的边割，且该边割能分离$G$的最小2-因子的两个奇圈，则$G$有一个无零5-流.这意味着，如果一个三次图$G$是循环$n$ -边连通的，并且是$n \geq {5/2} ω- 1$，则$G$有一个无处为零的5-流。
2012-09-20 math.CO
Drawing Tree-Based Phylogenetic Networks with Minimum Number of Crossings
在生物遗传学中，基于树的网络被用来模拟和可视化物种的进化历史，其中发生了网状事件，如水平基因转移。形式上，基于树的网络$N$由系统发生树$T$（有根、二元、叶标记树）和跨越$T$的边之间的所谓网状边组成。网络$N$通常通过用几种不同样式之一向下绘制$T$、平面和网状边缘来可视化。一个美学标准是最小化树边缘和网状边缘之间的交叉数量。这个优化问题还没有被研究过。我们表明，如果网状边缘绘制x-单调，问题是NP-完全的，但固定参数听话的网状边缘的数量。另一方面，如果将网格边缘画成“耳朵”状，则可以在二次时间内解决交叉最小化问题。
2020-08-20 cs.DM math.CO
The 3/5-conjecture for weakly $S(K_{1,3})$-free forests
关于控制对策的$3/5$ -猜想指出，无孤立点图$G$在$n$顶点上的对策控制数如下有界：$γ_g(G)\leq \frac{3n}5 $和$γ_g'(G)\leq \frac{3n+2}5 $。最近的进展已经完成的主题和猜想现在证明的最小度至少$2$的图。Bujtás介绍的一个强大的工具是\D的贪婪策略。特别是，使用这种策略，她已经证明了在距离$4$没有叶子的孤立森林的猜想。在本文中，我们改进了这一策略，将结果推广到更大的类弱$S(K_{1,3})$ -自由森林，其中弱$S(K_{1,3})$ -自由森林$F$是一个孤立的自由森林没有诱导$S(K_{1,3})$，其叶也是$F$的叶。
2015-07-10 math.CO
Polyhedra without cubic vertices are prism-hamiltonian
图$G$上的棱柱是$G$与两个顶点上的完全图的笛卡儿积。一个图$G$是棱镜-哈密尔顿图，如果$G$上的棱镜是哈密尔顿图.证明了最小度至少为4的多面体图（即3连通可平面图）是棱哈密尔顿图。
2021-04-09 math.CO
Four Dominion Growth Regimes in Trees: Forcing, Fibonacci Enumeration, Periodicity, and Stability
Elizabeth City State University（伊丽莎白城州立大学）
本文研究了树中支配集的增长模式，揭示了不同构造方式对支配集数量的影响，并证明了完全二叉树中支配域的周期性规律及稳定性边界。
2026-01-07 cs.DM math.CO
Expanding vertices to triangles in cubic graphs
本文研究三次图中将顶点扩展为三角形的逆操作，定义参数 $T(G)$ 和 $t(G)$ 分别衡量实现四完美匹配覆盖和单一完美匹配所需的最小扩展数，推导了其上界并证明与多个重要猜想相关。
2025-04-27 cs.DM math.CO
Counterexamples to Thomassen's conjecture on decomposition of cubic graphs
我们构造了一个无穷族的反例来证明Quarassen的猜想：每个3连通的三次图的顶点至少有8个顶点可以被着色为蓝色和红色，使得蓝色子图的最大度至多为1，红色子图的最小度至少为1，并且在4个顶点上不含路.
2019-08-19 math.CO
On the Genus Polynomial of Cubic Graphs
University of Washington（华盛顿大学）
研究三次图的亏格多项式，通过展示共享多种参数但亏格多项式不同的三次图，解释差异原因，构造共谱三次对，计算特定顶点数内连通三次图的亏格多项式并推导最小亏格下界。
2026-07-29 math.CO
Cubic graphs with equal independence number and matching number
Caro，Davila，and Pepper（arXiv：1909.09093）最近证明了$δ(G) α(G)\leq Δ(G) μ(G)$，对于每个图$G$，它具有最小度$δ(G)$，最大度$Δ(G)$，独立数$α(G)$，匹配数$μ(G)$。针对它们提出的一些问题，我们刻画了$δ(G)<Δ(G)$和$δ(G)=Δ(G)=3$的极图.
2019-10-25 math.CO
Strong embeddings of minimum genus
一个“民间传说猜想，可能是由于图特”（如[P. D. Seymour，电路求和，图论和相关主题（Proc. Conf.，滑铁卢大学，1977年），pp. 341-355，Academic Press，1979]）断言每个无桥立方图都可以嵌入到它自己的亏格的表面上，使得面边界是图的圈。在本文中，我们考虑封闭的2-细胞嵌入的图，并表明，某些（立方）图（任何固定的亏格）有封闭的2-细胞嵌入只有在表面的亏格是非常大的（比例的顺序，这些图），从而提供了大量的强反例上述猜想。产生这样的反例的主要结果可能是独立的利益。
2009-11-24 math.CO
Cubicity, Degeneracy, and Crossing Number
定义一个$k$ -盒$B=(R_1,...,R_k)$为笛卡尔积$R_1\times R_2\times ...\times R_k$，其中每个$R_i$为实数线上的闭区间.如果每个$R_i$都是一个单位长度的区间，我们称$B$为$k$ -cube。图$G$的盒性，记为$\boxi(G)$，是最小整数$k$，使得$G$是$k$ -盒的交图。类似地，$G$的立方度，表示为$\cubi(G)$，是最小整数$k$，使得$G$是$k$ -立方的交集图。它在[L]中显示。放大图片创作者：Sunil Rupran，Mathew C. Francis和Naveen Sivadasan：将图表示为轴平行立方体的交集。MCDES-2008，IISc Centenary Conference，available at CoRR，abs/cs/ 0607092，2006.]即，对于具有最大度$Δ$，$\cubi(G)\leq \lceil 4(Δ+1)\log n\rceil$的图$G$。本文证明了，对于$k$ -退化图$G$，$\cubi(G) \leq (k+2) \lceil 2e \log n \rceil$ .由于$k$最多是$Δ$，并且可以低得多，因此这显然是一个更强的结果。这个界限很紧.我们还给出了一个有效的确定性算法，运行在$O(n^2k)$时间输出一个$8k(\lceil 2.42 \…
2012-01-30 cs.DM math.CO
Every Minimal Counterexample to the Erdős-Gyárfás Conjecture is Predominantly Cubic
研究 Erdős-Gyárfás 猜想的最小反例结构，证明其顶点中至少 4/7 的度数为 3，且每个顶点邻接一个度数为 3 的顶点。
2026-05-13 math.CO
Decomposition of cubic graphs related to Wegner's conjecture
Edassen提出了如下猜想：每个$3$ -连通三次图都有一个红-蓝顶点着色，使得蓝色子图的度最大（即它由一个匹配点和一些孤立点组成），红色子图的度最小至少为$1$，并且不含$3$ -边路.我们指出，具有相同性质的染色可能存在的任何次立方图。我们对所有的次立方树证实了这一说法。
2019-01-31 math.CO
Fixed forests in the minimum spanning tree and cubic volume growth
University of Leipzig（莱比锡大学）
本文针对带均匀边权完全图的最小生成树，研究固定森林出现的概率渐近性质，给出相关函数的递归描述与显式结果，还得到最小生成树中球的期望大小渐近值及指数尾界。
2026-08-12 math.CO math.PR
Gap sets for the spectra of regular graphs with minimum spectral gap
在Kollár和Sarnak最近的工作之后，我们研究了具有最小谱隙的大连通三次图和四次图的谱隙。我们专注于两个序列的图形，表示$Δ_n$和$Γ_n$这是更多的“对称”相比，在这两个家庭的其他图形，分别。证明了$(1,\sqrt{5}]$是$Δ_n$的一个间隙区间，$[(-1+\sqrt{17})/2,3]$是$Γ_n$的一个间隙区间.我们推测这两个确实是最大的间隙间隔。作为一个副产品，我们表明，$Δ_n$躺在区间$[-3,-\sqrt{5}]$（特别是，其最小特征值）收敛到$(1-\sqrt{33})/2$和$Γ_n$躺在区间$[-4,-(1+\sqrt{17})/2]$（特别是，其最小特征值）收敛到$1-\sqrt{13}$作为$n$趋于无穷大的特征值。上述结果的证明在很大程度上依赖于以下性质，可以是独立的兴趣：除了少数例外，所有的特征值的连通的三次和四次图的最小谱间隙是简单的。
2022-07-20 math.CO
Bipartite cubic planar graphs are dispersable
图$G$的书嵌入是将图$G$的顶点放置在书脊上，并将边绘制到页面上，使得同一页面中的边不相互交叉。如果同一页面中的顶点的最大度不超过1，则书嵌入是匹配的。匹配书籍厚度是图形可以嵌入匹配书籍的最小页数。图$G$是可分散的当且仅当$mbt(G)=Δ(G)$.本文证明了二部三次可平面图是可分散的。
2021-07-02 math.CO
Counterexamples to the Cubic Graph Domination Conjecture
设v（G）和dom（G）表示图G的顶点数和控制数，r（G）= dom（G）/v（G）$. Let [x] and ]x[ be the floor and the ceiling of a number x. In 1996 B. Reed conjectured that if G is a cubic graph, then dom(G) is at most ]v(G)/3[. In 2005 A. Kostochka and B. Stodolsky disproved this conjecture for cubic graphs of connectivity one and maintained that the conjecture may still be true for 2-connected cubic graphs. Their minimum counterexample C has 4 bridges, v(C) = 60, anddom (C) = 21. In this paper we disprove Reed's conjecture for 2-connected cubic graphs by providing a sequence (R(k): k > 2) of cubic graphs of connectivity two w…
2006-07-20 math.CO
Small snarks with large oddness
在给定奇性和循环连通度的条件下，我们估计了一个三次图的最少顶点数。证明了具有不同于Petersen图的奇度$ω(G)$的无桥三次图$G$至少有$5.41\cdotω(G)$顶点，并对每个具有$2\le k\le 6$的整数$k$构造了一类具有循环连通度$k$和小奇度比$|V(G)|/ω(G)$的三次图.特别是，对于循环连通性2，4，5，和6，我们提高了上界的奇数比的snarks到7.5，13，25，和99从已知的值9，15，76，和118，分别。此外，我们还构造了一个周长为5，44个顶点上的奇数为4的循环4-连通蛇，改进了以前的最佳值46。
2012-12-14 cs.DM math.CO
Offensive alliances in cubic graphs
图$Γ=(V,E)$中的进攻联盟是一组顶点$S\subset V$，其中对于其边界中的每个顶点$v$，它保持$v$的闭邻域中的大多数顶点在$S$中。在强大的进攻联盟的情况下，需要严格的多数。如果$S$影响到$V\backslash S$中的每一个顶点，即$S$是$Γ$的支配集，则称该联盟是全局的。全球进攻联盟号$γ_o(Γ)$（分别为全球强进攻联盟号$γ_{\hat{o}}(Γ)$）是PDMATHAMR中全球进攻（分别为全球强进攻）联盟的最小基数。如果$Γ$具有全局独立进攻联盟，则\emph{global independent offensive alliance number} $γ_i(Γ)$是$Γ$的所有独立全局进攻联盟中的最小基数。本文研究了三次图的全局（强）联盟数的数学性质。例如，我们证明了对所有连通三次图的$n$，$$\frac{2n}{5}\le γ_i(Γ)\le \frac{n}{2}\le γ_{\hat{o}}(Γ)\le \frac{3n}{4} \le γ_{\hat{o}}({\cal L}(Γ))=γ_{o}({\cal L}(Γ))\le n,$$，其中${\cal L}(Γ)$表示$Γ$的线图.所有上述边界都是紧的。
2006-09-30 math.CO
Minimum weight codewords in dual Algebraic-Geometric codes from the Giulietti-Korchmáros curve
本文通过计算Giulietti-Kámáros曲线与直线、平面二次曲线和平面三次曲线的最大交数，研究了与Giulietti-Kámáros曲线相关的一些对偶代数-几何码的最小重量码字数.
2018-02-09 cs.IT math.CO math.IT
Covering cubic graphs with matchings of large size
设m是正整数，G是2n阶三次图.本文考虑G的边集的最小匹配数m的覆盖问题。这个数在文献中称为G的过剩[m]-指数。情况m=n，这是一个覆盖与完美匹配，是已知的严格相关的一个杰出的猜想的Berge和Fulkerson。本文详细研究了m=n-1的情形。我们展示了这个参数对于低连通度的三次图是如何变大的，并且我们提供了一些证据证明每个2n阶的循环4连通三次图都有过多的[n-1]-指数至多为4。最后讨论了图的[n-1]-指数与奇度、周长等图的参数之间的关系。
2012-10-15 math.CO
Putting Tutte's counterexample to Tait's conjecture in perspective to hamiltonicity and non-hamiltonicity in certain planar cubic graphs
TU Wien（维也纳工业大学）
本文通过棱柱图和Tutte碎片构造无限家族的哈密顿图与非哈密顿图，其中Tutte的反例作为最小元素出现，同时包含Holton和McKay对Tait猜想的最小边数反例的推广。
2025-10-09 math.CO
Counting independent sets in cubic graphs of given girth
本文证明了围长至少为5的三次图的独立多项式（和独立集总数）的一个紧上界。该界限是通过Heawood图，Fano平面的点/线关联图的工会来实现的。我们还给出了无三角形三次图的独立集总数的一个紧下界。这个界限是通过Petersen图的并集来实现的。我们猜想，事实上所有的摩尔图是极值的缩放数量的独立集的正则图的给定的最小围长，最大化这个数量，如果他们的围长是偶数和最小化，如果奇数。希伍德图和彼得森图是这个猜想的例子，还有完全图、完全二部图和圈。
2018-04-11 math.CO
LDPC codes constructed from cubic symmetric graphs
低密度奇偶校验（LDPC）码由于其性能接近香农限而成为研究的热点。本文提出了一种利用三次对称图构造LDPC码的方法。所构造的码是$(3,3)$ -正则的，并且绝大多数相应的Tanner图的围长大于4.我们分析了所得码的性质，并给出了码参数、维数和最小距离的界。此外，我们给出了构造的码的伴随式重量的方差的表达式。给出了由顶点数小于小于200的二分立方对称图构造LDPC码的信息。所构造的码中的一些是最优的，并且一些具有自正交或具有互补对偶的线性码（LCD码）的附加性质。
2020-02-16 math.CO
Cubicity, Boxicity and Vertex Cover
一个$k$ -维盒是卡氏积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_k$，其中每个$R_i$是实直线上的一个闭区间.图$G$的{ \it boxicity}表示为$box(G)$，是最小整数$k$，使得$G$是$k$维盒的集合的交集图。$k$维空间中的单位立方体或$k$ -立方体被定义为笛卡尔积$R_1 \times R_2 \times ... \times R_k$，其中每个$R_i$是$[a_i, a_{i}+1]$形式的实直线上的闭区间。$G$的{ \it cubicity}表示为$cub(G)$，是最小$k$，使得$G$是$k$ -立方体集合的交集图。本文证明了$G$的最小顶点覆盖的基数为$cub(G) \leq t + \left \lceil \log (n - t)\right\rceil - 1$，$box(G) \leq \left \lfloor\frac{t}{2}\right\rfloor + 1$为$box(G) \leq \left \lfloor\frac{t}{2}\right\rfloor + 1$，$n$为$G$的顶点数.我们还显示了这些上界的紧密性。F. S.罗伯茨在他关于盒性和立方性的开创性论文中证明了，对于一个图$G$，$box(G) \leq \left \lfloor\frac{n}{2} \right …
2007-12-17 math.CO
The star edge coloring of cubic Halin graphs with star chromatic index $5$
Department of Mathematics, China Jiliang University（中国计量大学数学系）
针对三次Halin图星边色指数为5的判定公开问题，本文证明树为毛毛虫树或完全树且不等于$N_{e_2}$的三次Halin图星边色指数为5。
2025-11-17 math.CO
Total domination in cubic Knödel graphs
图$G$的顶点子集$D$是\textit{dominating set}，如果对于每个$u\in V(G)\setminus D$，$u$与某个顶点$v\in D$相邻。\textit{dominating number}，$G$的$γ(G)$，是$G$的控制集的最小基数。如果对于每个$u\in V(G)$，$u$与某个顶点$v\in D$相邻，则集合$D\subseteq V(G)$是\textit{total dominating set}。该\textit{total dominating number}，$G$的$γ_t(G)$，是$G$的全控制集的最小基数。对于偶数$n\ge2$和$1\leΔ\le\lfloor\log_2n\rfloor$，\textit{Knödel graph} $W_{Δ,n}$是偶数阶$n$的$Δ$ -正则二部图，对于$i=1,2$和$0\le j\le n/2-1$，顶点为$(i,j)$，其中对于每个$j$，$0\le j\le n/2-1$，在顶点$(1,j)$和每个顶点$(2,j+2^k-1 \text{(mod(n/2)})$之间存在边，对于$k=0,1,\cdots,Δ-1$。本文确定了$W_{3,n}$-正则Knödel图$W_{3,n}$的全控制数.
2018-04-07 math.CO
Intersecting 1-factors and nowhere-zero 5-flows
设$G$是无桥三次图，$μ_2(G)$是使$G$的两个1-因子相交于$k$边的最小数$k$.一个循环边连通三次图$n$有无零5-流，如果（1）$n \geq 6$和$μ_2(G) \leq 2$或（2）如果$n \geq 5 μ_2(G)-3$
2013-06-24 math.CO
Tight bound for independent domination of cubic graphs without $4$-cycles
本文证明不含 $4$-环的三次图满足独立支配数 $i(G)\le\frac{5}{14}|V(G)|$，该界紧且改进既有结果，并推出 $i(G)/γ(G)\le5/4$。
2021-12-29 math.CO
Power domination in cubic graphs and Cartesian products
功率控制问题的重点是寻找相位测量单元（PMU）的最佳位置来监控电力网络。在图的上下文中，图$G$的幂控制数，表示为$γ_P(G)$，是根据特定的观察规则集观察图中每个顶点所需的最小顶点数。在\cite{ZKC_cubic}中，Zhao等人证明了：如果$G$是$n$阶的连通无爪三次图，则$γ_P(G) \leq n/4$ .本文证明了：如果$G$是$n$阶的无爪无钻石三次图，则有$γ_P(G) \le n/6$，并且这个界是尖锐的.我们还提供了新的界限$γ_P(G \Box H)$，其中$G\Box H$是图$G$和$H$的笛卡尔积。在$G$和$H$是幂控制数和控制数相等的树的特殊情况下，证明了类Vizing不等式成立和$γ_P(G \Box H) \ge γ_P(G)γ_P(H)$成立.
2022-09-08 math.CO
Classification of 2-extendable bipartite and cubic non-bipartite vertex-transitive graphs
在\cite{Chan95}中，作者对2-可扩交换Cayley图进行了分类，并提出了刻画所有2-可扩Cayley图的问题.我们首先证明了一个连通二部Cayley图是2-可扩的当且仅当它不是一个圈。当一个点传递的非二部Cayley图的最小度至少为5 \cite{sun}时，它是2-可扩的.然后对所有的2-可扩的三次非二部Cayley图进行了分类，得到了：围长为$g$的三次非二部Cayley图是2-可扩的当且仅当$g\geq 4$不同构于$Z_{4n}(1,4n-1,2n)$或$Z_{4n+2}(2,4n,2n+1)$ with $n\geq 2$ .我们证明了一个更强的结果，即围长为$g$的三次非二部点传递图是2-可扩的当且仅当$g\geq 4$，并且它不同构于$Z_{4n}(1,4n-1,2n)$或$Z_{4n+2}(2,4n,2n+1)$与$n\geq 2$或Petersen图.
2016-12-09 math.CO
Spanning Trees and Domination in Hypercubes
令$L(G)$表示连通图$G$的任何生成树中的最大叶子数。我们证明了对于$n$立方体$Q_n$，$L(Q_n) \sim 2^n = |V(Q_n)|$为$n\rightarrow \infty$的（已知）结果.更仔细地研究这个问题，考虑顶点的连通支配集$γ_c(Q_n)$的最小大小，它是$n\ge2$的$2^n-L(Q_n)$。我们证明了$γ_c(Q_n)\sim 2^n/n$ .在$Q_n$中，我们使用汉明码和一种“扩展”方法来构造多叶生成树。
2019-05-30 math.CO
Cubicity of interval graphs and the claw number
设$G(V,E)$是一个简单的无向图，其中$V$是顶点集，$E$是边集。$b$维立方体是笛卡尔积$I_1\times I_2\times...\times I_b$，其中每个$I_i$是实数线上单位长度的闭区间. $G$的\emph{cubicity}，用$\cub(G)$表示，是最小正整数$b$，使得$G$中的顶点可以以这样的方式映射到轴平行的$b$维立方体，即当且仅当它们所分配的立方体相交时，两个顶点在$G$中相邻。假设$S(m)$表示$m+1$节点上的星图。定义图的\emph{claw number} $ψ(G)$为最大正整数$m$，使得$S(m)$是$G$的导出子图.可以很容易地证明任何图的立方度至少是$\ceil{\log_2ψ(G)}$。在本文中，我们证明了，对于一个区间图$G$ $\ceil{\log_2ψ(G)}\le\cub(G)\le\ceil{\log_2ψ(G)}+2$。到目前为止，我们无法找到任何区间图与$\cub(G)>\ceil{\log_2ψ(G)}$。我们还证明了，对于一个区间图$G$，$\cub(G)\le\ceil{\log_2α}$，其中$α$是$G$的独立数。因此，在$ψ(G)=α$的特殊情况下，$\cub(G)$就是$\ceil{\log_2α}$。立方体的概念可以通过考虑盒子而不是立方体来推广。$b$维盒是笛卡尔积$I_1\times …
2009-03-06 math.CO
$2$-limited broadcast domination in cubic graphs
Seoul National University（首尔大学）
本文证实了立方图中2限广播支配数不超过顶点数的三分之一的猜想。
2026-02-22 math.CO
Defining a phylogenetic tree with the minimum number of small-state characters
本文研究用最少小状态字符唯一确定系统发育树的问题，确定 3 状态最小叶子阈值为 8，并证明 n≥16 时 ⌈(n-3)/4⌉ 个 5 状态字符足以唯一确定任意树。
2025-08-21 math.CO q-bio.PE
Chords of longest cycles passing through a specified small set
本文研究经过指定小集合的最长圈的弦，推广Thomassen和Zhang的相关结果，证明了2-连通立方图、最小度≥4的3-连通图及3-连通平面图中满足特定条件的最长圈必含弦，并扩展了Li和Liu的结果。
2025-02-15 math.CO
Claw-free cubic graphs and zero forcing
School of Mathematics & Statistics, Rochester Institute of Technology（罗切斯特理工学院数学与统计学院）
本文针对无爪立方图零强制数上界的三个开放问题展开研究，刻画了满足特定条件的连通无爪立方图，还为具有哈密顿收缩多重图的无爪立方图建立了改进上界，涉及零强制数与图中三角形、菱形数量的关系。
2026-07-15 math.CO
Cyclically $5$-edge-connected snarks with resistance $2$ and flow resistance $n$
KU Leuven Kulak（荷语鲁汶大学库勒克校区）；Università Cattolica del Sacro Cuore（天主教神圣之心大学）
本文构造了一类循环5-边连通的snarks，其流电阻与电阻的比值可任意大，回答了Allie等人提出的问题。
2026-04-24 math.CO
Paired Domination in Cubic Bipartite Graphs
East China Normal University（华东师范大学）；Jiangsu Normal University（江苏师范大学）
该研究证明了Desormeaux和Henning关于三次二分图配对支配数的猜想，通过多种技术结合给出尖锐上界，并确定等号情形。
2026-09-25 math.CO
Cores, joins and the Fano-flow conjectures
Fan-Raspaud猜想指出，每个无桥三次图都有三个1-因子，且交集为空。一个比这个猜想更弱的猜想是：每个无桥立方图都有两个1-因子和一个空交联。这两个问题都可以与Fano流问题联系起来。本文证明了这两个命题等价于关于无桥三次图的核与弱核的一些命题。特别地，我们证明了Fan-Raspaud猜想等价于[E. Steffen，立方图的1-因子和循环覆盖，J.图论78（2015）195-206]。进一步证明了[G. Mazzuoccolo，New Astratures on perfect matchings in cubic graphs，Electron. Notes Discrete Math.40（2013）235-238]，并且我们在更强的连通性假设下提出了它的新版本。三次图$G$的弱奇性是指$G$的一个联的补图中奇分支的最小数目。我们得到了关于弱核的弱奇性的一个上界，从而得到了关于核的奇性的一个上界。
2016-01-21 math.CO
