Low-Stretch Spanning Trees via Smoothed Analysis of Dijkstra's Algorithm
ETH Zürich（苏黎世联邦理工学院）；INSAIT, Sofia University “St. Kliment Ohridski”（索菲亚大学“圣克利门特奥赫里德斯基” INSAIT）
针对现有低拉伸生成树算法复杂但简单Dijkstra启发式效果好的问题，通过平滑分析证明图权重微扰可使任意根最短路径树成为$\tilde{O}(1)$-近似LSST，且扰动可通过低直径分解高效计算，提出LSST求解新方法。
2026-09-28 cs.DS
Near Linear-Work Parallel SDD Solvers, Low-Diameter Decomposition, and Low-Stretch Subgraphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）；University of Puerto Rico Rio Piedras（波多黎各大学里奥彼德拉斯分校）
提出一种近线性工作的并行算法求解对称对角占优线性系统，通过低直径分解生成低拉伸生成树或子图，实现高效并行求解。
2011-11-07 cs.DC cs.DS cs.NA
Ramsey Spanning Trees and their Applications
度量拉姆齐问题要求度量空间的最大子集$S$可以嵌入到具有给定失真的超度量（更一般地嵌入到希尔伯特空间）中。这个问题的研究动机是作为一个非线性版本的Dvoretzky定理。Mendel和Naor在2007年设计了所谓的Ramsey分区来解决这个问题，并展示了他们的技术在近似距离预言和排名问题中的算法应用。本文研究了度量Ramsey问题在图上的自然推广，并引入了Ramsey生成树的概念。我们要求给定图$G=(V,E)$的最大子集$S\subseteq V$，使得存在$G$的生成树，该生成树对$S$具有小的拉伸。迭代地应用，这提供了一个小的生成树集合，使得每个顶点具有一个树，该树提供到所有其他顶点的低拉伸路径。这些树的并集作为一种特殊类型的树，即树填充树。我们使用这个路由器设计的第一个紧凑的无状态路由方案与$O(1)$路由决策时间，和标签，这是远远短于目前所有现有的计划。我们首先重新审视度量拉姆齐问题，并提供一个新的确定性建设。我们证明了对每个$k$，任何$n$ -点度量空间都有一个大小至少为$n^{1-1/k}$的子集$S$嵌入到一个带畸变的超度量$8k$中.这一结果改进了Mendel和Naor先前获得失真$128k$并需要随机化的最佳结果。此外，它还提供了最先进的确定性构造的距离预言机。在此结果的基础上，我们证明了对于每个$k$，任何$n$ -顶点图$G=(V,E)$都有一个大小至少…
2017-07-27 cs.DS
Is Nearly-linear the same in Theory and Practice? A Case Study with a Combinatorial Laplacian Solver
线性方程组的求解是应用数学中的一项重要工作。最近，理论计算机科学家已经贡献了复杂的算法，用于在可证明的近线性时间内解决具有对称对角占优矩阵（拉普拉斯矩阵所属的一类）的线性系统。虽然这些算法从理论的角度来看非常有趣，但它们在实践中的表现还没有发表结果。在本文中，我们解决了这一差距。我们提供了组合求解器的第一个实现[Kelner等人，STOC 2013]，由于其概念上的简单性，它特别适合于实施。该算法利用拉普拉斯矩阵对应于一个图;求解拉普拉斯线性系统相当于在具有低拉伸特性的生成树诱导的循环的帮助下找到该图中的电流。我们的综合实验研究的结果是矛盾的。它们确认了一个接近线性的运行时间，但对于合理的输入，常数因子使求解器比具有更高渐近复杂性的方法慢得多。理论预测的另一个方面被我们的发现所证实：具有较低拉伸的生成树确实减少了求解器的运行时间。然而，简单的生成树算法在实践中比那些保证低拉伸的算法表现得更好。
2015-02-27 cs.DS
Vertex Fault-Tolerant Emulators
图$G$的$k$ -仿真器是保持其最短路径距离直到$k$的乘法拉伸因子的稀疏子图，并且$k$ -仿真器是类似的但不要求是$G$的子图。Thorup和Zwick [JACM '05]的一个经典定理表明，尽管仿真器具有额外的灵活性，但spatial和仿真器的大小/拉伸权衡是等效的。我们的主要结果是，这种等价的权衡不再持有在共同研究的设置与顶点故障的图。即：我们介绍了顶点容错仿真器的自然定义，然后我们示出了这些仿真器的尺寸、拉伸和容错之间的三向折衷，该折衷多项式地超过了已知的对于spatial最优的折衷。我们补充我们的模拟器上限与下限结构，本质上是紧（$\log n$因素的上限）时，拉伸是$2k-1$和$k$是一个固定的奇数或$2$。我们还展示了容错仿真器与添加剂错误的建设，表明这些也享有显着改善的权衡比那些可用于容错的添加剂spectrometry。
2021-11-19 cs.DM cs.DS
Sparse Temporal Spanners with Low Stretch
时间图是一个无向图$G=(V,E)$以及一个为$E$中的每条边分配时间标签的函数。$G$中具有非递减时间标签的路径被称为时间路径，并且从$u$到$v$的距离是最小长度（即，边的数目）。$G$的时态$α$ -图是一个（时态）子图$H$，它保持$V$中任何一对顶点之间的距离，直到$α$的乘法拉伸因子。$H$的大小是它的边数。在这项工作中，我们研究的大小拉伸权衡的时间空间。我们表明，时间集团总是承认一个时间$(2k-1)-$的$\tilde{O}(kn^{1+\frac{1}{k}})$边缘，其中$k>1$是一个整数参数的选择。选择$k=\lfloor\log n\rfloor$，我们获得具有$\tilde{O}(n)$边缘的时间$O(\log n)$ -边缘，其具有与[Casteigts等人，JCSS 2021]，仅保留时间连接性。然后，我们考虑一般的时间图。由于任何保持连通性的时间子图都可能需要$Ω(n^2)$边[Axiotis等人，ICALP'16]，我们专注于近似距离从一个单一的来源。我们表明，$\tilde{O}(n/\log(1+\varepsilon))$边缘足以获得一个伸展的$(1+\varepsilon)$，任何小的$\varepsilon>0$。这个结果基本上是紧的，因为有时间图的任何时间子图保持精确的距离从一个单一的来源必须使用$Ω(n^2)$边缘。我们扩展我们的分…
2022-06-22 cs.DS
Fine-Grained Complexity of Computing Degree-Constrained Spanning Trees
该研究针对三类度约束下的最小代价生成树计算问题，结合经典图参数给出了不同参数化下的紧复杂度界与算法，完善了该问题的细粒度复杂度研究。
2025-03-19 cs.DS
Approximating Metrics by Tree Metrics of Small Distance-Weighted Average Stretch
我们研究的问题，以及如何树度量是能够保持任意度量的两两距离之和。这个问题与低拉伸度量嵌入密切相关，并且从文献中提出的研究路线来看，它自己的味道很有趣。由于树的结构对成对距离施加了很大的约束，已知将度量嵌入到树度量中具有$Ω(\log n)$的最大成对拉伸。然而，我们表明，从平均性能的角度来看，存在树度量保持给定度量的成对距离的总和到一个小的常数因子，我们也表明，不差于两倍，我们可能期望。我们用来解决这个问题的方法比[4]以前的结果更直接，也导致了可证明的更好的保证。其次，当给定的度量是从有限维的欧氏点集$d$，我们证明了存在的生成树的给定的点集，使得两两距离的总和被保存到一个常数，这只取决于$d$。我们的两个证明都是有建设性的。在我们的结果的主要成分是一个特殊的点集分解，它涉及两个完全无关的量。
2013-01-15 cs.DS
$(α, β)$ Spanners and Hybrid Spanners with Nearly Tight Bounds
Tel Aviv University（特拉维夫大学）
本文提出新的生成子图构造，在$O(n^{1+1/k})$边数下将乘法拉伸改进至$O(\log k)$，并改进$k$-混合生成子图至$O(n^{1+1/k}+kn)$边，逼近最优界。
2026-10-01 cs.DM cs.DS
Dynamic Low-Stretch Trees via Dynamic Low-Diameter Decompositions
在非树边缘上具有低平均拉伸的生成树，如Alon等人[SICOMP 1995]所介绍的，是一个自然的图论对象。近年来，它们在对称对角占优（SDD）线性系统的求解器中得到了重要的应用。在这项工作中，我们提供了第一个动态算法，用于维护这样的树下的边插入和删除的输入图。我们的算法具有更新时间$ n^{1/2 + o(1)} $，并且维护的树的平均拉伸是$ n^{o(1)} $，其匹配Alon等人的开创性结果中的拉伸。类似于Alon等人，我们的动态低伸展树算法采用低直径分解（LDD）的动态层次结构。作为主要构建模块，我们使用动态LDD，该动态LDD是通过将Miller等人的随机移位聚类[SPAA 2013]适应动态设置而获得的。我们的方法中的主要技术挑战是控制LDD层次结构中更新的传播：层次结构中一个级别的每次更新都可能导致层次结构中下一个级别的多次插入和删除。我们通过先进的摊销方法实现这一目标。我们相信，动态随机移位聚类可能是有用的独立的应用。这些应用之一是动态规划问题。通过将随机移位聚类与Elkin和Neiman的最新结构相结合[SODA 2017]。我们得到了一个完全动态的算法，以保持一个扩展$ 2k - 1 $和大小$ O (n^{1 + 1/k} \log{n}) $与摊销更新时间$ O (k \log^2 n) $为任何整数$ 2 \leq k \leq \log n $。与该方…
2019-06-24 cs.DS
On Strong Graph Partitions and Universal Steiner Trees
研究了无向图的泛Steiner树的构造问题。给定图$G$和根节点$r$，我们寻找最小{ \em stretch}的单个生成树$T$，其中$T$的stretch被定义为在所有终端集$X$上，连接$X$到$r$的$T$的最小子树$T_X$的成本与连接$X$到$r$的最优Steiner树在$G$中的成本的最大比率。通用Steiner树（UST）对于数据聚合问题是重要的，其中对于终端的每个输入实例从头开始计算Steiner树是昂贵的，例如在低能量传感器网络应用中。本文给出了一般图的多项式时间\ust构造方法，该方法构造了具有$2^{O(\sqrt{\log n})}$ -拉伸的图.我们还给出了一个多项式时间的$\polylog(n)$ -拉伸图的构造。我们的算法的一个基本组成部分是一个层次的图形分区，其中每个保证小强直径为每个集群和有界邻域交叉点为每个节点。我们表现出密切的联系之间的问题，构建USTS和建设这样的图分区。我们的一般图的分区层次结构的建设是基于一个迭代的集群合并过程，而一个未成年人的自由图是基于分离器定理，这样的图和解决方案的集群聚合问题，可能是独立的利益，即使是一般的图形。据我们所知，这是第一个一般图的子多项式拉伸（$o(n^ε)$ for any $ε> 0$）UST构造，也是第一个无子图的多项式拉伸UST构造。
2015-03-01 cs.DS
Effective Edge-Fault-Tolerant Single-Source Spanners via Best (or Good) Swap Edges
计算给定$n$ -顶点和$m$ -边无向加权图$G$的生成树$T$的\emph{all best swap edges}（ABSE）意味着为$T$的每条边$e$选择相应的非树边$f$，用$f$代替$e$得到的树具有一定的最优性准则（其根据最初由$T$解决的某个目标函数自然地定义）。有效地解决ABSE问题现在是一个经典的算法问题，因为它传达了一个非常成功的方式来处理基于树的通信网络中的（瞬态）\emph{edge failure}：只需将失败的边缘替换为相应的交换边缘，以便通过最小化重新路由和建立成本来迅速重建连接。在本文中，我们解决的情况下，$T$是一个\emph{single-source shortest-path tree}的$G$的ABSE问题，我们选择的两个交换标准的目的是最小化无论是\emph{maximum}或\emph{average stretch}在交换树的所有路径从源发出。记住这些标准，然后可以将获得的结构作为\emph{edge-fault-tolerant single-source spanners}进行审查。对于他们，我们提出了两个有效的算法运行在$O(m n +n^2 \log n)$和$O(m n \log α(m,n))$的时间，分别，我们表明，保证（无论是最大值或平均值，分别）拉伸因子等于3，这是紧。此外，对于最大拉伸，我们还提出了一个几乎线性…
2017-07-27 cs.DS
A 4/3-approximation algorithm for finding a spanning tree to maximize its internal vertices
本文主要研究如何找到一棵图的生成树，使其内部顶点数最大化。我们提出了一个近似算法，该算法在无向简单图上可以达到性能比$\frac{4}{3}$。这改进了之前最著名的具有性能比$\frac{5}{3}$的近似算法。我们的算法受益于一个新的观察边界的内部顶点的数量的生成树，这表明，一个无向简单图的生成树有较少的内部顶点比边缘的最大路径循环覆盖的图形。我们也可以给出一个例子来说明性能比$\frac{4}{3}$实际上是紧的，对于这个算法。要决定它是多么困难，这个问题是近似的，我们发现，找到一个无向简单图的生成树，以最大限度地提高其内部顶点是最大SNP困难。
2014-09-12 cs.DS
On Geometric Spanners of Euclidean and Unit Disk Graphs
本文考虑欧氏图和单位圆盘图的有界度平面几何空间的构造问题。众所周知，Delaunay子图是一个具有拉伸因子$C_{del\approx 2.42$的平面几何图，然而它的度可能是没有界的.我们的第一个结果是一个非常简单的线性时间算法来构造一个子图的Delaunay图的拉伸因子$ρ=1+2π(k\cos{\frac{π{k)^{-1$和度有界的$k$，任何整数参数$k\geq 14$。这一结果直接暗示了一个算法，用于构造具有拉伸因子$ρ\cdot C_{del$和度由$k$限定的欧氏图的平面几何图，对于任何整数参数$k\geq 14$。此外，所得到的图包含一个欧几里得最小生成树（EMST）作为子图。我们的第二个贡献在于开发的结构结果，必要的转移我们的分析和算法从欧几里德图单位盘图，无线ad-hoc网络的通常模型。我们得到了一个非常简单的分布式，{ \em严格本地化算法，给定一个单位盘图嵌入在平面上，构造一个几何图与上述拉伸因子和度界，也包含一个EMST作为子图。所得到的结果在各个方面都大大改进了以前的结果，如本文所示。
2008-02-20 cs.DS
Log-Concave Polynomials IV: Approximate Exchange, Tight Mixing Times, and Near-Optimal Sampling of Forests
我们证明了紧混合时间界的自然随机游动的基础上拟阵，行列式分布，更一般的分布与对数凹多项式。对于拟阵的秩$k$上的地面集的$n$元素，或更一般的分布与对数凹多项式的齐次$k$上的$n$变量，我们表明，向下向上的随机游走，从任意点的支持，混合在时间$O(k\log k)$。我们的界限不依赖于$n$或起始点，不像以前的分析[ALOV 19，CGM 19]，并且与常数因子紧密相关。主要的新成分是一个属性，我们称之为近似交换，一个广泛研究的交换性质的拟阵和赋值拟阵，这可能是独立的利益。特别是，给定函数$μ: {[n] \choose k} \to \mathbb{R}_{\geq 0},$，我们的近似交换属性意味着，一个简单的局部搜索算法给出了一个$k^{O(k)}$ -近似的$\max_{S} μ(S)$时，$μ$是由一个对数凹多项式生成的，贪婪给出了相同的近似比时，$μ$是强瑞利。作为一个应用程序，我们展示了如何利用向下随机游走近似采样随机森林或随机生成树的图中的$n$边的时间$O(n\log^2 n).$采样随机森林最有名的结果是一个FPAUS最近发现的高多项式运行时间由\cite{ALOV19, CGM19}。对于生成树，我们改进了[Sch 18]的几乎线性时间算法。我们的分析也适用于加权图，并且是第一个实现这些问题的近似线性运行时间的分析。
2021-04-11 cs.DM cs.DS math.PR
Better approximation algorithms for maximum weight internal spanning trees in cubic graphs and claw-free graphs
给定一个连通的顶点加权图$G$，最大权内部生成树（MaxwIST）问题要求$G$的生成树使内部结点的总权最大化.该问题是NP难和APX难的，具有当前最已知的近似因子$1/2$（Chen等人，2019年）。对于无爪图的情形，Chen等人提出了一个带逼近因子$7/12$的复杂逼近算法.他们询问是否有可能提高这些比率，特别是对于无爪图和三次图。我们改进了三次图和无爪图中MaxwIST问题的逼近因子。对于三次图，我们提出了一个算法，计算生成树的内部顶点的总重量至少是$\frac{3}{4}-\frac{3}{n}$倍的总重量的所有顶点，其中$n$是$G$的顶点数。对于大的$n$值，该比率几乎是紧的。对于度至少为3的无爪图，我们提出了一个算法，计算生成树的总内部重量至少是总顶点重量的$\frac{3}{5}-\frac{1}{n}$倍。度约束是必要的，因为如果我们允许度小于3的顶点，则可能无法实现此比率。有了以上的比率，我们立即得到更好的近似算法与因子$\frac{3}{4}-ε$和$\frac{3}{5}-ε$的MaxwIST问题的三次图和无爪图的度至少为3，任何$ε>0$。除了提高近似因子，新算法相对较短相比，陈等人。新的算法相当简单，并采用了深度优先搜索算法的一个变体，在每个分支步骤中选择一个相对较大的权重顶点。此外，新的算法需要线性时间，而以前的算法类似的问题的情况下是超线性的。
2020-06-22 cs.DM cs.DS
Stochastic Minimum Spanning Trees with a Single Sample
研究边权重未知分布仅凭单样本的随机最小生成树问题，证明基于采样算法在指数分布下性能保证等于最大键大小且紧致，并推广至拟阵。
2024-09-24 cs.DS
Tight Bounds and Faster Algorithms for Directed Max-Leaf Problems
有向图$D$的出树$T$是所有弧从根向外定向的有根树子图。外分支是一棵生成外树。用$l(D)$和$l_s(D)$分别表示$D$的所有外树和外分支上的最大叶数。给出了判定有向图$D$在$n$顶点上是否为$l_s(D)\geq k$和是否为$l(D)\geq k$的固定参数易处理算法，其时间复杂度均为$2^{O(k\log k)} \cdot n^{O(1)}$ .这分别改进了具有复杂度$2^{O(k^3\log k)} \cdot n^{O(1)}$和$2^{O(k\log^2 k)} \cdot n^{O(1)}$的先前算法。为了得到的复杂性界的情况下，出分支，我们证明了，当所有的弧$D$的一部分，至少有一个出分支，$l_s(D)\geq l(D)/3$。第二个界限，我们证明在本文中指出，强连通有向图$D$的最小度为3，$l_s(D)\geq Θ(\sqrt{n})$，其中以前$l_s(D)\geq Θ(\sqrt[3]{n})$是最知名的界限。这个界是紧的，并且对于最小入度为3的较大类有向图也成立，其中每个弧是至少一个出分支的一部分。
2008-04-12 cs.DM cs.DS
Light spanners for snowflake metrics
在空间研究中的一个经典结果是欧几里德空间存在轻低拉伸空间。这些空间具有任意的低拉伸，并且权重仅大于点的最小生成树的常数因子（依赖于拉伸和欧几里得维数）。这个领域的一个中心问题是，其他空间是否也允许低权空间--例如具有低内在维数的度量空间--但只有少数这类结果是已知的。本文考虑低内在维数的雪花度量空间。度量（X，δ）的α雪花是度量（X，$δ^α$），其中0<α<1。通过利用一种完全不同于欧几里得空间的方法，我们证明了雪花度量承认轻speries。此外，我们表明，的直径为O（$\log$ n），结果不可能为欧几里德空间。作为一个直接的推论，我们的旅行商问题的算法在这种情况下，我们获得了显着的改进，实现了多项式时间近似计划与近线性运行时间。一路上，我们表明，所有的${\ell}_p$空间承认光spectrum，在其本身的权利感兴趣的结果。
2014-01-20 cs.CG cs.DS
On the Space Usage of Approximate Distance Oracles with Sub-2 Stretch
本文研究亚2拉伸近似距离预言机的空间使用与图最大度的关系，提出在最大度受限条件下可实现亚二次空间的(2,1-k)-拉伸ADO，并给出匹配的下界。
2024-10-01 cs.DS
Learning Spanning Forests Optimally using CUT Queries in Weighted Undirected Graphs
本文针对加权无向图最大生成森林学习问题，提出期望O(n)次CUT查询的最优随机算法，还提出无向无权图下查询复杂度为O(n log n / log log n)的确定性算法，小幅提升了现有最优水平。
2023-06-16 cs.DS
An Improved Algorithm for Computing All the Best Swap Edges of a Tree Spanner
正实加权$n$ -顶点和$m$ -边无向图$G$的树$σ$ -树是$G$的生成树$T$，它近似地保持（即，直到$G$中的乘法拉伸因子$σ$）距离。具有可证明的良好拉伸因子的树空间在通信网络、分布式系统和网络设计中找到应用。然而，找到一个最佳的，甚至是一个很好的树的树是一个非常困难的计算任务。因此，如果必须面对$T$中的瞬时边缘故障，则必须承担的重建新树的全部努力（即，计算成本、新链路的建立、路由表的更新等）会让人望而却步为了避免这个缺点，一个有效的替代方法是将每个树边与最佳可能的（就产生的拉伸而言）交换边相关联--这是文献中针对其他几种树拓扑的一种成熟方法。相应地，计算树节点的所有最佳交换边的问题是一个具有挑战性的算法问题，因为有效地解决它意味着不仅在$G$中，而且在$T$的边失败的所有场景中利用最短路径的结构。对于这个问题，我们提供了一个非常有效的解决方案，运行在$O(n^2 \log^4 n)$时间，这大大提高了（几乎是密集图中$n$的二次因子！）之前已知的最佳结果。
2017-10-04 cs.DS
Finding Almost Tight Witness Trees
本文研究Witness Tree图优化问题，通过更优的见证树选择，改进了Node-Tree Augmentation及特殊图类中Steiner Tree问题的近似算法效果。
2023-05-05 cs.DS math.CO
Constant-Time Dynamic $(Δ+1)$-Coloring and Weight Approximation for Minimum Spanning Forest: Dynamic Algorithms Meet Property Testing
除了少数例外（即，用于最大匹配的算法、$2$ -近似顶点覆盖和某些恒定拉伸的空间），一般图中的所有已知的完全动态算法都需要（摊销的）$Ω(\log n)$更新/查询时间。证明了以下结果：（1）给出了一个具有恒定平均更新时间的全动态（Las-Vegas风格）算法，该算法保持了最大度不超过$Δ$的图的正确$(Δ+1)$ -顶点着色.这改进了Bhattacharya等人先前的$O(\log Δ)$时间算法（SODA 2018）。我们表明，我们的结果不仅有最佳的运行时间，但也是最佳的意义上说，已经决定是否$Δ$着色存在于一个动态变化的图中，最大程度的$Δ$需要$Ω(\log n)$时间每操作。(2)我们给出了两个完全动态的算法，保持$(1+\varepsilon)$ -近似的最小生成森林的图$G$与边的重量在$[1,W]$的重量$M$。我们的确定性算法需要$O({W^2 \log W}/{\varepsilon^3})$最坏情况下的时间，这是恒定的，如果$W$和$\varepsilon$是常数。这是有点令人惊讶的，作为一个较低的边界由帕特拉斯库和Demaine（SIAM J. COMPUT。2006）表明，每次操作都需要$Ω(\log n)$时间来保持MSF的确切重量，即使对于$W=1$也是如此。我们的随机（蒙特卡洛风格）算法的工作概率很高，并运行在最坏情况下的$O(\frac{1}{\v…
2019-07-10 cs.DS
Approximating bottleneck spanning trees on partitioned tuples of points
我们提出了近似算法，为以下NP-困难的优化问题的瓶颈生成树在度量空间。1.不相交瓶颈生成树问题：给定度量空间中的$n$点对，找到两棵不相交的树，每棵树仅包含每对中的一个点，并最小化最大边长（在两棵树的所有边上）。众所周知，用优于2的因子来近似这个问题是NP困难的。我们提出了一个4-近似算法解决这个问题。这改进了先前最好的已知近似比$9$。我们的算法扩展到一个$(3k-2)$ -近似的一个更一般的情况下，点被划分成$k$ -元组，我们寻求$k$不相交的树。2.广义瓶颈生成树问题：给定某个度量空间中的$n$点，这些点被划分为大小至多为2的簇，找到一棵树，该树恰好包含每个簇中的一个点，并且最小化最大边长。我们表明，它是NP-难近似这个问题的一个因素优于2，并提出了一个3-近似算法。3.分割瓶颈生成树问题：给定度量空间中的$kn$点，找到每个恰好包含$n$点的$k$树，并最小化最大边长度（在$k$树的所有边上）。我们表明，这是NP-难近似这个问题的一个因素优于2的任何$k\ge 2$。我们提出了一个$α$ -近似算法，其中$α=2$为$k=2,3$和$α=3$为$k\ge 4$。为了获得这些近似比，我们提出了严格的上限上的$k$等大小的不相交的树，可以从一个给定的树的节点的边长度。这个结果是独立的利益。我们的硬度证明意味着它是NP-困难的近似非度量版本的上述问题在任何常数因子。
2021-11-10 cs.CG cs.DM cs.DS
Random-Shift Revisited: Tight Approximations for Tree Embeddings and L1-Oblivious Routings
本文重新分析随机平移分解，证明其在多尺度下具有紧常数权衡，从而得到树嵌入和L1-oblivious路由的紧近似，并支持高效并行与分布式实现。
2025-10-10 cs.DS
Shallow, Low, and Light Trees, and Tight Lower Bounds for Euclidean Spanners
证明了对每个$n$ -点度量空间$M$，存在一个生成树$T$，其直径为$O(\log n)$，权为$ω(T) = O(\log n) \cdot ω(MST(M))$ .此外，存在指定点$rt$，使得对于任意小的常数$ε> 0$，对于每个点$v$，$dist_T(rt,v) \le (1+ε) \cdot dist_M(rt,v)$。我们扩展了这个结果，并提供了未加权直径和重量之间的折衷，并证明了这种折衷是\emph{tight up to constant factors}在整个参数范围内。这些结果使我们能够解决计算几何中一个长期悬而未决的问题。在STOC'95中，Arya等人设计了一种具有未加权直径$O(\log n)$和权重$O(\log n) \cdot ω(MST(M))$的欧几里得扳手的构造。十年后，在SODA'05中，Agarwal等人表明，该结果接近于$O(\log \log n)$的因子。我们缩小了这一差距，并表明Arya等人的结果是紧密的常数因子。
2008-01-23 cs.CG cs.DS
Tight Bounds for Online Weighted Tree Augmentation
加权树扩充问题（WTAP）是网络设计中的一个基本问题。在本文中，我们考虑这个问题的在线设置。我们给出了一个$n$ -顶点生成树$T$和一个附加的边集$L$（称为链路）的成本。然后，终端对一个接一个地到达，我们的任务是维护链路$F$的低成本子集，使得到目前为止到达的每个终端对在$T \cup F$中是$2$ -边缘连接的。这个在线问题首先由Gupta，Krishnaswamy和Ravi（SICOMP 2012）研究，他们将其用作在线可生存网络设计问题的子例程。他们给出了一个确定性的$O(\log^2 n)$ -竞争算法，并给出了随机算法竞争比的$Ω(\log n)$下界。当$T$是一条路径时的情况也很有趣：这正是在线区间集覆盖问题，这也是Meyerson研究的停车许可问题的一个特例（FOCS 2005）。本文的贡献是给紧的结果在线加权树和路径扩充问题。这项工作的主要结果是一个确定性的$O(\log n)$竞争算法在线WTAP，这是紧到常数的因素。
2019-04-26 cs.DS
Sparse Euclidean Spanners with Tiny Diameter: A Tight Lower Bound
在STOC'95 [ADMSS'95]中，Arya等人表明，$\mathbb R^d$中的任何$n$点集都允许具有至多2（分别为3）的跳直径和$O(n \log n)$边（分别为$O(n \log \log n)$边缘）。他们还给出了一个通用的上限权衡的跳跃直径在大多数$k$和$O(n α_k(n))$边缘，任何$k \ge 2$。函数$α_k$是在原始递归层次结构的$\lfloor k/2 \rfloor$级的某个阿克曼风格函数的逆，其中$α_0(n) = \lceil n/2 \rceil$、$α_1(n) = \left\lceil \sqrt{n} \right\rceil$、$α_2(n) = \lceil \log{n} \rceil$、$α_3(n) = \lceil \log\log{n} \rceil$、$α_4(n) = \log^* n$、$α_5(n) = \lfloor \frac{1}{2} \log^*n \rfloor$、\ldots。粗略地说，对于$k \ge 2$，函数$α_{k}$接近于$\lfloor \frac{k-2}{2} \rfloor$ -迭代对数星函数，即，带有$\lfloor \frac{k-2}{2} \rfloor$星星的$\log$。还有$α_{2α(n)+4}(n) \le 4$，其中$α(n)$是单参数逆阿克曼函数，这…
2021-12-30 cs.DS
Tight Bounds on the Message Complexity of Distributed Tree Verification
研究分布式树验证的消息复杂度，提出通用框架建立紧致下界，揭示生成树与最小生成树验证复杂度的多项式分离，并分析其对网络规模近似质量和BFS树拉伸参数的敏感性。
2025-04-30 cs.DC cs.DS
Better Learning-Augmented Spanning Tree Algorithms via Metric Forest Completion
Texas A&M University（德克萨斯大学）；Lawrence Livermore National Laboratory（劳伦斯利弗莫尔国家实验室）
本文提出了一种改进的学习增强生成树算法，通过度量森林补全框架，在任意度量空间中实现更优的近似最小生成树算法。
2026-02-27 cs.DS cs.LG
Gap-ETH-Tight Approximation Schemes for Red-Green-Blue Separation and Bicolored Noncrossing Euclidean Travelling Salesman Tours
本文研究点类通过非交叉结构的连通问题。给定一组着色的端点，我们想为每种颜色找到一个图，该图连接其颜色的所有端点，并且限制为没有两个图相互交叉。我们认为这些问题都在欧几里德平面和平面图。在算法方面，我们给出了一个Gap-ETH紧EPTAS的双色旅行商问题以及红蓝绿分离问题（其中我们要分离终端的三种颜色与两个非交叉多边形的最小长度），无论是在欧几里得平面上。这改进了Arora和Chang（ICALP 2003）的工作，他们对更简单的红蓝分离问题给出了更慢的PTAS。对于未加权平面图的情况下，我们也显示了一个PTAS的双色旅行商问题。所有这些结果都是基于我们新的修补程序，可能是独立的利益。在消极的一面，我们表明，连接终端对与非交叉路径的问题是NP-困难的欧几里德平面上，并找到两个非交叉生成树的问题是NP-困难的平面图。
2022-09-19 cs.CG cs.DS
