Batch Coloring of Graphs
在图着色问题中，目标是为输入图的每个顶点分配一个正整数颜色，使得相邻的顶点不接收相同的颜色分配。对于经典的图着色，目标是最小化所使用的最大颜色，而对于和着色问题，目标是最小化分配给所有输入顶点的颜色之和。在离线变体中，整个图是一次呈现的，而在在线问题中，每次呈现一个顶点用于着色，唯一的信息是先前已知顶点中其邻居的身份。在批量图着色中，顶点被呈现在k个批次中，对于固定整数k > 1，使得批次的顶点被呈现为集合，并且必须在下一批次的顶点被呈现之前被着色。最后一个模型是一个中间模型，它在在线和离线模型的两个极端场景之间架起了桥梁。我们提供了几个结果，包括和着色的一般结果和限制图类上的经典图着色问题的结果：我们显示了包含树作为子类的任何图类的紧界（例如，森林，二分图，平面图，完美图），以及一个令人惊讶的结果，区间图和k = 2，其中（严格和渐近）竞争比的值取决于图是否与其区间表示或没有。
2016-10-10 cs.DS
Explicit and Implicit Dynamic Coloring of Graphs with Bounded Arboricity
图着色是计算机科学中的一个基本问题。我们研究的完全动态版本的问题，其中图正在进行边插入和删除，我们希望保持一个顶点着色与每次插入和删除后的小更新时间。我们展示了如何保持一个$O(α\lg n)$染色与多对数更新时间，其中$n$是在图中的顶点数和$α$是当前荫度的图。这改进了Solomon和Wein（ESA'18）的结果，他们维护了$O(α_{\max}\lg^2 n)$着色，其中$α_{\max}$是所有更新上图的最大荫度。此外，在Barba等人的一个下界的启发下，我们开始了隐动态着色的研究。Barba等人表明，当顶点颜色被显式存储时，具有多对数更新时间的动态算法不能保持任何函数$f$的$f(α)$ -着色，即，对于每个顶点，颜色被明确地存储在存储器中。以前，所有动态算法都保持显式着色。因此，我们建议研究隐式着色，即，数据结构仅需要提供高效的查询过程以返回顶点的颜色（而不是显式地存储其颜色）。我们提供了一个算法，打破了下限，并保持一个隐式的$2^{O(α)}$ -着色与多对数更新时间。特别是，这产生了第一个动态$O(1)$ -染色的图与常数荫度，如平面图或图形与有界树宽度，这是不可能使用显式着色。我们还展示了如何动态地保持一个分区的图的边缘到$O(α)$森林与多对数更新时间。我们相信这种数据结构是独立的利益，并可能在未来有更多的应用。
2020-02-24 cs.DS
Simple and Near-Optimal Distributed Coloring for Sparse Graphs
图着色是分布式图算法的核心问题之一。关于这个主题的许多研究都集中在使用$Δ+1$颜色着色，其中$Δ$表示最大程度。在稀疏图中使用$Δ+1$颜色可能不令人满意，因为并非所有节点都具有如此高的度;更可取的是使用一些随着稀疏性而改善的颜色。捕获稀疏性的标准度量是荫度，它是图的边缘可以划分的森林的最小数量。我们提出了简单的随机分布算法，以高概率，颜色的任何$n$节点$α$荫度图：-使用$(2+\varepsilon)\cdot α$颜色，为常数$\varepsilon>0$，在$O(\log n)$轮，如果$α=\tildeΩ(\log n)$，或-使用$O(α\log α)$颜色，在$O(\log n)$轮，或-使用$O(α)$颜色，在$O(\log n \cdot \min\{\log\log n,\; \log α\})$轮。这些算法几乎是最优的，因为Linial [FOCS'87]和Barenboim和Elkin [PODC'08]的结果表明，使用$Θ(α)$颜色或甚至聚$(α)$颜色着色需要$Ω(\log_α n)$轮。之前最著名的$O(\log n)$时间结果是Barenboim和Elkin [PODC'08]提出的确定性算法，该算法使用$Θ(α^2)$颜色。Barenboim和Elkin在他们的Distributed Graph Coloring Book中指出，提高颜色的数…
2017-08-23 cs.DS
Acyclic coloring of special digraphs
有向图G=（V，E）的无圈r-染色是将顶点集V划分为r个无圈集。有向图G的二色数是使G允许无圈r-染色的最小r。对于对称有向图，二色数等于基础无向图的色数。这使得我们可以将W[1]-硬度和运行时间的下限由cnum-width参数化的色数问题带到由定向cnum-width参数化的色数问题。我们引入了第一个解决有向团宽恒定的有向图的非循环着色问题的多项式时间算法。从一个参数化的角度来看，我们的算法表明，双色数问题是在XP时，参数化的有向模宽度和扩展的唯一已知的结构参数化的有向模宽度为这个问题。此外，我们应用一元二阶逻辑中的定义，以证明当以有向宽度和r为参数时，双色数问题是FPT中的。对于有向余图，这是一类有向余宽度为2的有向图，以及几个推广，我们甚至给出了计算二色数的线性时间解。此外，我们得出结论，有向余图和所考虑的推广导致完美有向图的子类。对于有向仙人掌森林，这是一组有向树宽为1的有向图，我们得出结论的二色数的上限为2，我们表明，最佳的非循环着色可以计算在线性时间。
2020-11-20 cs.DS
Parameterized complexity of $k$-Coloring in graphs with no long induced paths
Warsaw University of Technology（华沙理工大学）
该研究证明了无长导出路径图中k-着色和3-着色问题的参数化复杂性，解决了两个图论领域的长期开放问题，并基于指数时间假设给出了算法下界。
2026-09-14 cs.DS
Coloring Graphs having Few Colorings over Path Decompositions
Lokshtanov，Marx，and Saurabh SODA 2011证明了没有$(k-ε)^{\operatorname{pw}(G)}\operatorname{poly}(n)$时间算法来判定具有路径宽度$\operatorname{pw}(G)$的$n$ -顶点图$G$是否允许具有$k$颜色的适当顶点着色，除非强指数时间假设（SETH）为假。然而，我们在这里表明，当$k>\lfloor Δ/2 \rfloor + 1$，其中$Δ$是图$G$中的最大程度，有一个更好的算法，至少当有几个着色。我们提出了一个Monte Carlo算法，给出了一个图$G$随着路径分解$G$与路径宽度$\operatorname{pw}(G)$运行在$(\lfloor Δ/2 \rfloor + 1)^{\operatorname{pw}(G)}\operatorname{poly}(n)s$时间，区分$k$ -可着色的图，最多$s$适当的$k$ -着色和非$k$ -可着色的图。我们还展示了如何获得一个$k$ -着色在相同的渐近运行时间。我们的算法避免违反SETH的一个，因为高程度的顶点仍然花费太多，提到的硬度建设使用了很多。我们利用一个新的变化著名的阿隆-Tarsi定理，具有算法的优势，在原来的形式。原定理表明，一个图在每个顶点都有一个出度小于$k$的方向，且只有当图是$k$ -可着色的时，该…
2015-07-09 cs.DS
Distributed Symmetry-Breaking Algorithms for Congested Cliques
拥塞集团是一种针对带宽受限的单跳网络的分布式计算模型，近年来得到了广泛的研究。它通过$n$ -顶点图对网络进行建模，其中任何一对顶点都可以通过在每一轮中传输$O(\log n )$位来彼此通信。在这一背景下，人们已经研究了各种各样的问题，但其中一些最著名的结果是针对一般网络的。在本文中，我们设计了显着改进的算法，如森林分解，顶点着色，和最大独立集的各种破坏问题。我们分析我们的算法的运行时间作为一个函数的荫度$a$的一个集团子图，作为输入。我们的算法在树、平面图、具有常亏格的图以及许多其他具有有界荫度但大小无界的图中特别有效。我们得到了$O(a)$ -森林分解算法与$O(\log a)$时间，改进了以前已知的$O(\log n)$时间，$O(a^{2 + ε})$ -着色在$O(\log^* n)$时间，改进了$O(\log n)$ -时间算法，$O(a)$ -着色在$O(a^ε)$ -时间，改进了以前的几个算法，以及具有$O(\sqrt a)$时间的最大独立集算法，该算法至少以二次方的方式改进了艺术的小和中等值的$a$。这些结果是使用几种技术实现的。首先，我们在$O(\log a)$轮中生成一个森林分解，其中包含一个名为{ $H$ -partition}的有用结构。在一般的图中，这种结构需要$Θ(\log n)$时间，但在拥塞集团中，我们能够更快地计算它。我们采用这种结构结合分区技…
2018-02-20 cs.DC cs.DS
A linear-time algorithm for $(1+ε)Δ$-edge-coloring
本文提出首个覆盖任意最大度范围的线性时间随机化算法，用于求解$(1+ε)Δ$-边着色问题，填补了此前即使$2Δ-1$色贪心界情形也无线性时间算法的空白。
2025-02-07 cs.DM cs.DS math.CO
Density-Sensitive Algorithms for $(Δ+ 1)$-Edge Coloring
本文针对$(Δ+1)$-边着色问题，利用图的荫度$α$与最大度$Δ$之间的差距，提出一种密度敏感算法，将经典时间界改进$\frac{α}{Δ}$倍，并在有界荫度图等情形下实现近线性运行时间。
2024-08-02 cs.DS
Adaptive Massively Parallel Coloring in Sparse Graphs
本文研究稀疏图中以 arboricity 为参数的顶点着色问题，提出在低空间 AMPC 模型下高效计算 Nash-Williams 定向的确定性算法，并以亚线性自适应查询实现常数或近常数时间的 poly α 和 O(α)-着色。
2024-05-02 cs.DC cs.DS
Degeneracy-Guided List Compression for Greedy Graph Coloring
研究在颜色采样前利用图结构进行贪心图着色的退化引导列表压缩。提出曝光校准排序框架及其实例P-SAPST，刻画历史鲁棒贪心恢复下所需局部预算，给出理论描述并评估，该方法能降低列表大小、提高贪心成功率，还介绍了P-SAPST Lite及性能表现。
2026-08-05 cs.DS
Romeo and Juliet Meeting in Forest Like Regions
与对手会合的博弈是一个由两个参与者在图上进行的博弈：协调者和分割者。辅导员有两个座席，而分割者有一个由$k \ge 1$座席组成的团队。当引导者的代理人的初始位置固定时，分割者可以选择他的代理人的初始位置。然后，他们轮流将他们的代理移动到相邻的顶点（或保持不变），协调者的目标是将她的代理带到同一个顶点，而分割者的目标是阻止它。感兴趣的计算问题是确定协调者是否有一个获胜的策略来对抗具有$k$代理的分割者。Fomin，Golovach和Thilikos [WG，2021]介绍了这个游戏，并证明了它是PSPACE-硬和co-W[2]-硬的，参数是代理的数量。这种困难自然促使问题的结构参数化。作者证明，它承认FPT算法时，参数的模块宽度和允许轮数。然而，他们从其他结构参数的角度来看问题的复杂性。特别是，他们明确地问，这个问题是否允许FPT或XP算法相对于输入图的树宽。我们回答这个问题的否定，并表明，Renaissance是合作NP-硬，即使是图的恒定树宽。进一步，我们证明了当以反馈顶点集数和代理数为参数时，该问题是co-W[1]-hard的，而当以顶点覆盖数和代理数为参数时，该问题不可能存在多项式核.补充这些硬度的结果，我们表明，雷诺数是FPT参数化时的顶点覆盖数和解决方案的大小。最后，对于树宽至多为2且网格数为2的图，我们证明了该问题可以在多项式时间内求解。
2022-10-05 cs.DM cs.DS
Dual parameterization of Weighted Coloring
给定一个图$G$，$G$的正确$k$ -染色是$V(G)$到$k$稳定集$S_1,\ldots, S_{k}$的一个划分$c = (S_i)_{i\in [1,k]}$.给定权重函数$w: V(G) \to \mathbb{R}^+$，颜色$S_i$的权重被定义为$w(i) = \max_{v \in S_i} w(v)$，着色$c$的权重被定义为$w(c) = \sum_{i=1}^{k}w(i)$。Guan and Zhu [Inf. Process.信件：1997]定义了一对$(G,w)$的加权色数，记为$σ(G,w)$，作为$G$的一个真着色的最小权。确定$σ(G,w)$的问题在过去几年中受到了相当大的关注，并且已经被证明是非常困难的：例如，它在分裂图上是NP-困难的，在$n$ -顶点树上是不可解的，除非ETH失败，并且在由最大树的大小参数化的森林上是W[1]-困难。在这篇文章中，我们提供了一些积极的结果的问题，通过考虑其所谓的对偶参数化：给定一个顶点加权图$(G,w)$和一个整数$k$，问题是是否$σ(G,w) \leq \sum_{v \in V(G)} w(v) - k$。我们证明了这个问题是FPT通过提供一个算法运行在时间$9^k \cdot n^{O(1)}$，很容易看出，没有算法在时间$2^{o(k)} \cdot n^{O(1)}$存在下的ETH。另一方面，我…
2018-05-17 cs.CC cs.DS
Approximating maximum-size properly colored forests
该研究提出最大规模正常着色森林与树两类优化问题，针对不同图类和颜色数给出多项式时间近似算法及不可近似性结果，证明正常着色树近似难度更高，为边着色图优化问题提供了新的算法思路。
2024-02-01 cs.DM cs.DS math.CO
Exponential Speedup Over Locality in MPC with Optimal Memory
局部可检查标号（LCL）问题是一个图问题，如果它的解在每个节点的局部邻域内满足给定的约束条件，则它是正确的。这类问题的例子包括最大匹配、最大独立集和着色问题。一个成功的研究路线一直在研究LCL问题的复杂性的路径/循环，树，和一般的图形，提供了许多有趣的结果，分布式计算的并行计算模型。在这项工作中，我们开始在低空间大规模并行计算（MPC）模型的LCL问题的研究。特别是，在森林，我们提供了一种方法，考虑到LCL问题的复杂性，自动提供了一个指数更快的算法的低空间MPC设置，使用最佳的全局内存，即真正的线性。虽然限制到森林似乎削弱了结果，但我们强调，MPC设置的所有已知（条件）下限都是通过提升树状网络（森林或高围长图）中分布式设置中获得的下限而获得的，因此我们研究的问题已经在森林上具有挑战性。此外，我们的算法的最重要的技术特点是，他们使用最佳的全局内存，即内存线性图的边数。相比之下，大多数最先进的算法使用的不仅仅是线性全局内存。此外，他们通常从密集图开始，将其稀疏化，然后在残差图上解决问题，利用全局内存的相对增加。在森林中，这是不可能的，因为给定的图已经尽可能稀疏，并且使用最佳内存需要新的解决方案。
2022-08-19 cs.DC cs.DS
Parallel Graph Algorithms in Constant Adaptive Rounds: Theory meets Practice
我们研究基本的图形问题，如图的连通性，最小生成森林（MSF），和近似最大（重量）匹配在分布式设置。特别是，我们专注于自适应大规模并行计算（AMPC）模型，这是一个理论模型，捕获MapReduce的计算与分布式哈希表增强。我们展示了第一个AMPC算法的所有研究的问题，运行在一个恒定的轮数，并只使用$O(n^ε)$空间每台机器，其中$0 < ε< 1$。我们的研究结果改进了AMPC模型中的先前结果，以及MPC模型中最知名的结果，MPC模型是支撑许多流行的分布式计算框架（如MapReduce，Hadoop，Beam，Pregel和GitHub）的理论模型。最后，我们提供了一个经验比较的算法在MPC和AMPC模型中的容错分布式计算环境。我们经验评估我们的算法上的一组大型现实世界的图形，并表明，我们的AMPC算法可以实现优化MPC基线的运行时间和轮的复杂性的改善。
2020-09-24 cs.DC cs.DS
Average Sensitivity of Graph Algorithms
在图算法的现代应用中，感兴趣的图是大的和动态的，假设输入表示包含正在研究的图的全部信息是不现实的。因此，期望使用这样的算法，即使当仅（大）子图可用时，也输出接近于当整个图可用时输出的解的解。我们形式化这个想法，通过引入平均灵敏度的概念，图算法，这是平均推土机的输出分布之间的距离的算法在一个图和它的子图通过删除一个边缘，其中的平均是超过删除的边缘和两个输出之间的距离是汉明距离。在这项工作中，我们开始了系统的研究平均灵敏度。在推导出平均灵敏度的基本性质后，如组成，我们提供了有效的近似算法与低平均灵敏度的具体图问题，包括最小生成森林问题，全球最小割问题，最小$s$ - $t$切割问题，最大匹配问题。此外，我们证明了我们的全球最小割算法的平均灵敏度几乎是最优的，通过显示一个几乎匹配的下限。我们还证明了2-着色问题的每个算法的平均灵敏度与顶点数成线性关系。设计我们的算法具有低平均灵敏度的主要思想之一是以下事实;如果存在的一个顶点或一个边缘的解决方案输出的算法可以在本地决定，那么该算法具有低平均灵敏度，使我们能够重用已知的次线性时间算法和本地计算算法（LCAs）的分析。使用这种连接，我们表明，每一个LCA的2-着色具有线性查询复杂性，从而回答了一个悬而未决的问题。
2020-04-11 cs.DS
Time-Approximation Trade-offs for Inapproximable Problems
在本文中，我们专注于不承认一个常数因子近似在多项式时间的问题，并探讨如何快速提高其近似性的允许运行时间逐渐增加，从多项式（分）指数。我们解决了许多问题：对于最小独立支配集、最大诱导路径、森林和树，对于任何$r(n)$，一个简单的已知方案给出了$r$在时间上的近似比，大约为$r^{n/r}$。我们表明，对于大多数$r$值，如果这个运行时间可以显着改善ETH将失败。对于最大极小顶点覆盖，我们给出了一个非平凡的$\sqrt{r}$ -时间逼近$2^{n/r}$ .我们用一个类似的紧结果来匹配它。我们也给出了一个$\log r$ -近似的最小ATSP在时间$2^{n/r}$和$r$ -近似的最大Grundy着色在时间$r^{n/r}$。此外，我们表明，最小集覆盖表现出一个奇怪的行为，在这个超多项式设置：对于任何$δ> 0$，它承认一个$m^δ$ -近似，其中$m$是集的数量，在准多项式时间。我们观察到，如果这样的比率可以在多项式时间内实现，ETH或投影游戏猜想将失败。
2015-02-20 cs.CC cs.DS
