Classical tensors from quantum states
P. Aniello, G. Marmo, G. F. Volkert
将流形M嵌入到希尔伯特空间H中，通过拉回，从H上的厄米张量导出M上的张量场。我们提出了一个一般的程序来计算这些张量特别是流形承认李群结构。
The embedding of a manifold M into a Hilbert-space H induces, via the pull-back, a tensor field on M out of the Hermitian tensor on H. We propose a general procedure to compute these tensors in particular for manifolds admitting a Lie-group structure.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Energy-momentum tensors in classical field theories - a modern perspective
本文提出了一种基于希尔伯特型定义的拉格朗日场论中能量动量张量的一般几何方法。这种方法与定义能量动量张量的方法是一致的，这些张量是由拉格朗日量的自同构不变性给出的超动量映射-并且在某种意义上，与这些方法互补，具有增加证明简单性的优点，并且还开辟了对该主题的新见解。一个特别注意的是支付给特殊情况下的度量和度量仿射理论。
Classical Tensors and Quantum Entanglement I: Pure States
与量子系统相关联的希尔伯特空间的几何描述考虑厄米张量来描述矢量的标量内积，现在由矢量场描述。这个张量的实部表示平坦的黎曼度量张量，而虚部表示辛二形式。经典流形在与希尔伯特空间相关的复射影空间中的浸入允许通过浸入映射拉回与先前张量场相关的张量场。这使得可用，对这些选定的流形的状态，方法通常黎曼和辛几何。在这里，我们考虑这些拉回张量场时，浸入子流形包含可分离态或纠缠态。几何张量编码这些状态的一些属性。这些结果与文献中已有的标准不无关系。我们明确地处理其中的一些关系。
Tensor powers of adjoint representations ot classical Lie groups
利用典型群的特殊性质，给出了伴随模的张量平方的不可约分量和高张量幂幂的首项的简单构造.这提供了一个独立的确认沃格尔的一般公式，并替代方法，在最近的一些文件。
From the Jordan product to Riemannian geometries on classical and quantum states
有限维$C^{*}$ -代数$\mathscr{A}$的自伴部分上的Jordan积被证明在$\mathscr{A}$上的合适的状态流形上产生黎曼度量张量，并且明确地计算了所有这些度量张量的协变导数、测地线、黎曼张量和截面曲率.特别地，证明了在阿贝尔情形下Fisher-Rao度量张量是可恢复的，当我们考虑有限维Hilbert空间$\mathcal{H}$上线性算子代数$\mathcal{B}(\mathcal{H})$上的纯态时Fubini-Study度量张量是可恢复的，当我们考虑$\mathcal{B}(\mathcal{H})$上的忠实态时Bures-Helstrom度量张量是可恢复的.此外，这些黎曼度量张量的GNS建设相关联的状态的替代推导。在$\mathcal{B}(\mathcal{H})$上的纯态和忠实态的情况下，这种替代的几何描述澄清了Fubini-Study和Bures-Helstrom度规张量之间的类比。
Identity for scalar-valued functions of tensors and its applications to energy-momentum tensors in classical field theories and gravity
本文证明了张量的标量值函数的一个定理，其中"标量“既指绝对标量，也指权为$w$的相对标量。因此，目前的工作推广了罗森菲尔德在他的出版物“关于能量动量张量”中提到的一个恒等式。该定理提供了一个$(1,1)$ -张量恒等式，它可以看作是齐次函数上欧拉定理的恒等式的张量模拟。这个非常简单的恒等式独立于组成张量的任何内部对称性，为推导场论表达式和物理量之间的关系提供了一个强有力的工具。我们特别将这个恒等式应用于分析物质和引力的度规和正则能量动量张量以及它们之间的关系。此外，我们提出了一个广义的爱因斯坦场方程的任意版本的真空时空动力学-包括扭转和非度规。该恒等式允许用公式表示该方程的等价表示。从而证实了零能量宇宙的猜想。
Classical Tensors and Quantum Entanglement II: Mixed States
考虑李群上不变算子值张量场。这些定义经典张量场李群评估他们的量子态。应用于局部酉群U（n）xU（n）的这种特定构造可以通过从在局部酉变换下构造不变的张量导出不变函数来建立用于识别纠缠单调候选的方法。特别地，对于n=2，我们恢复的纯度和并发相关的功能（Wootters 1998）作为所考虑的张量场的对称和反对称部分的内积的总和。此外，我们通过SU（2）xSU（2）的李代数的非线性实现，确定了一个杰出的纠缠单调候选者。后者的数量和并发之间的函数依赖说明了由两个变量参数化的混合状态的一个子类。
Quantum integrability of quadratic Killing tensors
研究了弯曲位形空间上由二次Killing张量给出的经典可积系统的量子可积性.本文证明了，对于一大类经典例子，使用“最小”量子化方案，量子可积性是可保证的。
Energy-momentum tensor from diffeomorphism invariance in classical electrodynamics
本文通过微分不变性重新定义经典电动力学中的能量-动量张量，揭示其在自由和相互作用场中的独特性质与应用。
On the counting tensor model observables as $U(N)$ and $O(N)$ classical invariants
实或复张量模型观测量是张量理论空间的支柱，是经典的（酉，正交，辛）李群不变量。这些观测值表示为着色图，这种表示方法为研究它们的组合、拓扑和代数性质提供了一个工具。我们在这里给一个概述的对称群理论制定的枚举酉和正交不变的可观的结果承担了丰富的结构。从他们的计数公式中，人们发现了与2-胞腔复合体的拓扑场论的对应关系，从而带来了相同计数的其他解释。此外，张量模型的观测量跨越一个代数，结果证明是半简单的。处理复张量，我们讨论了表示理论基础的代数明确其Wedderburn-Artin分解。真实的情况是更微妙的，因为其Wedderburn-Artin分解的基础还不清楚。
The Energy-Momentum Tensor(s) in Classical Gauge Theories
我们给出了一个介绍，并审查，在闵可夫斯基空间的经典规范场理论的能量动量张量，并在一定程度上也在弯曲的时空。对于非阿贝尔规范场和与之耦合的物质场的正则能量动量张量，我们提出了一种新的、简单的改进方法，即基于规范不变性构造一个规范不变的对称能量动量张量.讨论了耦合到引力场后与爱因斯坦-希尔伯特张量的关系。
A constrained Cosserat shell model up to order $O(h^5)$: Modelling, existence of minimizers, relations to classical shell models and scaling invariance of the bending tensor
我们考虑一个最近引入的几何非线性弹性Cosserat壳模型，在壳厚度$h$中加入了$O(h^5)$阶效应。我们开发了相应的几何非线性约束Cosserat壳模型，我们证明了最小值的存在性的$O(h^5)$和$O(h^3)$的情况下，我们绘制了一些连接到现有的模型和经典的壳应变措施。值得注意的是，出现的新弯曲张量的作用被突出显示，并相对于Acharya的不变性条件进行了研究[Int.J.SolidsandStruct.，2000年，将进一步加强。
Noether symmetries, energy-momentum tensors and conformal invariance in classical field theory
在经典场论的框架内，我们首先回顾了对称性的Noether理论，简单地重新推导了它的基本结果，特别强调了规范理论的Noether恒等式。我们接下来将详细讨论平坦时空中庞加莱不变量理论的贝林凡特能量-动量张量与希尔伯特能量-动量张量族之间的差异。所有这些张量都在壳上重合，但它们在以下意义上分担了各自的职责：贝林凡特张量是用来获得庞加莱对称性生成元的张量，它是可能存在的其他最终时空对称性生成元的基本成分。相反，希尔伯特张量是检验一个理论是否包含庞加莱以外的其他时空对称性的手段。我们详细讨论了尺度和共形对称的情况，并给出了一些例子。我们表明，庞加莱不变拉格朗日，尺度不变性的实现选择一个独特的希尔伯特张量，它允许一个简单的测试是否共形不变性也实现。最后，我们对度量广义协变理论和固定曲面背景下的经典场论作了一些基本评述。
Quantum weight enumerators and tensor networks
我们研究了使用权重枚举器来分析张量网络结构，特别是最近引入的量子乐高框架。我们将量子权计数器的概念推广到所谓的张量计数器，并证明了张量网络上的迹运算与张量计数器上的迹运算是相容的。这使我们能够更有效地计算更大代码的量子权重枚举数，例如通过张量网络方法构建的代码。我们还提供了一个通用的框架，量子MacWilliams身份，包括张量枚举作为一个特殊情况。
Geometrical formulation of classical electromagnetism
一般的仿射联络有足够的自由度来描述引力的度量仿射公式中的经典引力场和电磁场。引力场在拉格朗日量中由里奇张量的对称部分表示，而经典电磁场则由位似曲率张量几何表示。我们引入的四速度场的运动学约束，其中的拉格朗日乘子代表的能量密度的问题。四速度和非度规张量的迹之间的耦合表示电荷密度。我们表明，最简单的度量仿射拉格朗日依赖于Ricci张量和位似曲率张量产生的爱因斯坦-麦克斯韦场方程，而Bianchi恒等式给出洛伦兹运动方程。如果四速度耦合到挠率矢量，爱因斯坦方程就被一个在普朗克尺度下很重要的项所修正，这可能会阻止时空奇点的形成。
Currents and the Energy-Momentum Tensor in Classical Field Theory: A fresh look at an Old Problem
我们给出了一个全面的审查的各种方法来定义电流和能量动量张量的经典场论，重点是几何的观点。“改进”的规范Noether程序提供的表达式的必要性得到解决，并给出了一个适当的几何框架。主要的新成分是关于对称发生器的"超局部性“原则的明确表述，这被证明可以解决改进过程中固有的模糊性，并将其引向唯一的答案：当与将字段适当地划分为扇区相结合时，它导致了众所周知的电流表达式，作为物质场拉格朗日对规范场的变分导数，以及能量表达式-动量张量作为物质场拉格朗日量相对于度量张量的变分导数。在第二种情况下，该程序被证明工作，即使当物质场拉格朗日明确依赖于曲率，从而建立正确的关系之间的标度不变性，在局部外尔不变性“壳”的形式，和无痕的能量动量张量，所需的一致定义的概念的共形场论。
Quantum States, Groups and Monotone Metric Tensors
本文通过Bures-Helstrom度量张量、Wigner-Yanase度量张量和Bogoliubov-Kubo-Mori度量张量的三个例子，给出了单调度量张量与忠实量子态流形上酉群的适当扩张的作用之间的一种新的联系.
Backgrounds from Tensor Models: A Proposal
虽然张量模型是量子引力理论的重要候选者，但到目前为止，它与经典时空的联系还很难找到。本文旨在填补这一空白，提出一个整洁的张量理论和欧几里得引力之间的联系在经典水平。与通常方法的主要区别是使用舒尔不变量（而不是单项不变量）作为流形伙伴。在这个新的设置中，经典时空特征可以在张量侧自然地被识别。局域性的概念是通过沃德恒等式出现的，在那里时空点之间的接近转化为杨图角之间的邻近。
Quantum Geometric Tensor (Fubini-Study Metric) in Simple Quantum System: A pedagogical Introduction
几何量子力学是一种新的和有前景的方法，其动机是相信我们的世界最终是几何的。其核心是一个称为量子几何张量（或Fubini-Study度量）的量，它是一个复张量，实部作为度量“量子距离”的黎曼度量，虚部是贝里曲率。在对基本形式进行物理介绍之后，我们说明了它在绝热和非绝热系统中的物理意义。
Quantum Gravity and Renormalization: The Tensor Track
基于大随机张量分析的最新进展，我们提出了一个新的引力修正和重整化方案。我们简单地比较它与其他现有的方法。
A tensor version of the quantum Wielandt theorem
我们证明了PEPS的注入区域的有界性结果。我们的结果是量子Wielandt不等式的高维推广。
On the Gaudin model associated to Lie algebras of classical types
我们导出了Gaudin模型的Bethe Anesthesia方程的解的显式公式，该方程与一个任意有限维不可约模和一个向量表示的张量积相关联，适用于所有经典型简单李代数。我们使用这个结果表明，Bethe Answer在任何张量积中是完全的，其中除了一个因子外，所有因子都是向量表示，并且评估参数是通用的。除D型外，Gaudin哈密顿量在这类张量积中的联合谱是简单的。
Generalized quantum geometric tensor for excited states using the path integral approach
本文提出路径积分形式下可处理基态与激发态的广义量子几何张量，连接量子协方差矩阵与纠缠分析，并通过Ricci张量和标量曲率揭示其几何性质。
Kinematic projective quantum states for Loop Quantum Gravity coupled to tensor fields
本文给出了任意种类张量场理论的运动学量子态的构造。该结构基于Kijowski的投影技术。利用Lanery和Thiemann得到的圈量子引力的投影量子态，构造了耦合到张量场的LQG的量子态.
Operator Quantum Geometric Tensor and Quantum Phase Transitions
我们将量子几何张量从状态空间推广到算符水平，研究了它在可因子化模型下的可加性和在定态参考态下两种贡献的分裂等性质.这种算符量子几何张量（OQGT）反映了幺正操作对多参数扰动的敏感性。对于给定定常参考态的时间演化情形，得到了一般结果。利用这种方法，我们得到了旋转XY模型的精确结果，并给出了OQGT与量子临界性之间的关系。
Topological Recursion, explicit ABCD tensors and implementation
本文提出了经典谱曲线的ABCD张量显式表达式，并探讨了拓扑递归的算法实现方法。
Hermitian tensor and quantum mixed state
一阶$2m$复张量$\cH$称为厄米矩阵，如果\[\mathcal{H}_\ijm=\mathcal{H}_\jim ^*\mathrm{\ for\ all\ }\ijm .\]。它可以看作是厄米矩阵的高阶推广。厄米张量也被看作是量子混合态的表示。受量子态可分性判别的启发，我们研究了厄米张量的性质，包括：酉相似关系、部分迹、非负厄米张量、厄米本征值、秩一厄米分解和正厄米分解，以及它们在量子态中的应用.
Yang-Mills Gravity in Flat Space-Time, I. Classical Gravity with Translation Gauge Symmetry
我们在一个新的杨-米尔斯作用量下，在平坦时空中建立了一个新的引力平移规范理论，并探讨了它的物理意义。理论表明，经典粒子和光线运动的“有效黎曼度规张量”的存在可能是平移规范对称性的表现。在能量动量张量产生的张量规范场的后牛顿近似下，结果与经典的引力检验和双星的四极辐射是一致的。
Gauge Invariance and the Quantum Metric Tensor
引入量子度规张量来定义系统参数空间中的距离。然而，它也可用于其他目的，如预测量子相变。由于这个张量提供的物理信息，它的规范独立性听起来是合理的。此外，它的原始结构是通过寻找这种规范独立性而建立的。然而，本文的目的是证明量子度规张量依赖于规范。此外，还引入了一个实规范不变的量子度规张量。本文通过计算朗道问题在不同规范下的量子度规张量，明确地显示了规范依赖性。然后，提出并计算了一个与规范无关的实度规张量。由于规范依赖性以前没有被观察到，本文的结果可能会导致一个新的研究主题，被认为是完全理解。
Trace and diffeomorphism anomalies of the classical Liouville theory, Virasoro algebras, Weyl-gauging and all that
本文系统研究经典刘维尔理论中Virasoro对称性相关的经典异常，给出计算经典中心的新公式，并通过改进能量-动量张量恢复Weyl不变性，揭示其与微分同胚保持子集及Virasoro中心的联系。
RTT realization of quantum affine superalgebras and tensor products
我们利用与李超代数$\mathfrak{gl}(M,N)$相关联的量子仿射超代数的RTT实现来研究它的有限维表示及其张量积。在$\mathfrak{gl}(1,1)$情形下，有限维单模的张量积的循环性条件完全由有理函数的零点和极点决定。这反过来又导致了与$\mathfrak{gl}(M,N)$相关的Kirillov-Reshetikhin模的某些特殊张量积的循环性。
Rieffel deformation of tensor functor and braided quantum groups
本文把C*-张量积看作是具有阿贝尔群作用的C*-代数范畴上的函子，并将其应用到C*-代数上.在一个量子群的里费尔变形的情况下，由于自同构的作用，变形的张量积使我们能够把变形的对象看作一个辫状的量子群。构造了辫量子群和对偶辫量子群的双特征标.我们利用我们的方法得到了一个辫状量子Minkowski空间。它的描述变形的时空坐标。
The Tensor Track VII: From Quantum Gravity to Artificial Intelligence
假设我们对量子场论和张量轨道方法有一定的了解，我们中的一个人在上一系列张量轨道I到VI中介绍过张量轨道方法，我们像往常一样提供过去两年量子引力的发展。接下来，我们详细介绍了两个算法的灵感来自随机张量理论，已在量子引力的背景下。一个是致力于检测和恢复随机张量中的信号，可以与噪声相关联，对于更一般的情况，如具有不同维度的张量，有新的理论保证。另一个，SMPI，更雄心勃勃，但可能不那么严格。它致力于从根本上显著提高张量主成分分析算法的性能，但还没有完整的理论保证。然后，我们勾勒出各种应用相关的信息论和人工智能，并提供相应的参考书目。
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