关于谱范畴的同伦理论
On the homotopy theory of spectral categories
摘要：
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英文摘要：
This paper has been withdrawn by the author, due a critical mistake on page 3.
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相关论文
相对范畴：同伦理论的另一个模型
Relative categories: Another model for the homotopy theory of homotopy theories
我们提升查尔斯Rezk的完整Segal空间模型结构的范畴上的单纯空间的Quillen等价的范畴上的相对范畴。
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同伦凝聚中心与同伦范畴的中心
Homotopy coherent centers versus centers of homotopy categories
类别中心捕捉对象上的自然操作。同伦相干中心在这里介绍作为这一概念的延伸到范畴与相关的同伦理论。这些中心也可以被解释为Hochschild上同调型不变量的背景下，不一定是线性或稳定的，我们认为，他们更适合更高的范畴的背景下比中心的同伦或导出范畴。在许多其他的事情中，我们提出了一个障碍理论实现同伦范畴的中心元素，和Bousfield-Kan型谱序列计算的同伦群。非平凡类的例子作为说明整个。
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模型范畴的同伦极限和更一般的同伦理论
Homotopy limits of model categories and more general homotopy theories
推广了模型范畴的同伦纤维积的定义，给出了模型范畴间左Quillen函子图的同伦极限的定义。正如前面已经表明的同伦纤维积，我们证明，这样的同伦极限实际上对应于通常的同伦极限，当我们在一个更一般的模型同伦理论，其中它们可以被视为一个模型范畴的对象。
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同伦局部可表示的丰富范畴
Homotopy locally presentable enriched categories
我们发展了一个同伦理论的丰富的monoidal模型类别V。特别是，我们处理同伦加权极限和colimits，同伦局部presentability。主要的结果，这是已知的简单丰富的范畴，链接同伦局部表示V-范畴与组合模型V-范畴，在的情况下，V的所有对象是凝聚的。
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模型范畴的同伦余极限
Homotopy colimits of model categories
在已有的模型范畴同伦极限定义的基础上，给出了模型范畴同伦余极限的定义。使用完整的西格尔空间模型同伦理论，我们验证了这个定义对应的模型范畴理论的定义在该设置。
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上纤维化范畴和拟范畴的同伦（预）导子
Homotopy (Pre-)Derivators of Cofibration Categories and Quasi-Categories
我们证明了同伦预导子的上纤维化范畴是等价的同伦预导子的相关拟范畴的框架，介绍了Szumietro。我们使用这个比较结果来推导所获得的预导子的各种抽象性质。
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弱辫幺半范畴范畴及其同伦余极限
Weak braided monoidal categories and their homotopy colimits
我们表明，同伦colimit建设图的类别与操作动作，最近推出的Fiedorowicz，Stelzer和Vogt，具有所需的同伦类型的弱编织幺半范畴的图。这提供了一种更灵活的方式来实现E-2空间的分类。
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修正范畴中从单纯同伦到交叉模同伦
From Simplicial Homotopy to Crossed Module Homotopy in Modified Categories of Interest
我们解决的（点）同伦的交叉模态射的修改类别的兴趣，推广的群体和各种代数结构。证明了同伦关系产生一个等价关系，进而产生一个广群结构，对交叉模态射的定义域和余定义域都没有任何限制。此外，我们还考虑了这种广义同伦定义的特殊情况，如结合代数、Leibniz代数、李代数和交叉模的双代数。然后作为本文的主要部分，我们证明了从单纯对象到修正范畴中的交叉模的函子保持同伦，同时也保持同伦等价。
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（无穷，k）-范畴同伦拉回的Quillen定理
Quillen Theorems Bn for homotopy pullbacks of (infinity, k)-categories
我们将Dwyer等人关于同伦纤维的Quillen定理Bn推广到同伦拉回的类似结果，并注意到这些结果对相对范畴和k-相对范畴中的双格有类似的结果，不仅在它们的Reedy结构方面，而且在它们的Rezk结构方面，这使它们分别成为（infinity，1）-和（infinity，k）-范畴理论的模型。
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矩阵问题，三角范畴与稳定同伦类型
Matrix problems, triangulated categories and stable homotopy types
我们展示了如何矩阵问题（双模范畴）可以用于研究三角范畴。然后将一般方法应用于多面体的稳定同伦类型的分类，找出了这类问题的“表示类型”，并给出了有限情形和tame情形下的稳定同伦类型的描述。
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富幺半范畴中的中心与同伦中心
Centers and homotopy centers in enriched monoidal categories
本文研究了幺半范畴中幺半群的中心和同伦中心的理论，这些幺半群本身在duoidal范畴中是丰富的。Duoidal范畴（由Aguillar和Mahajan引入，名为2-幺半范畴）是具有两个monoidal结构的范畴，它们通过一些不一定可逆的凝聚态射联系在一起。在这个意义上的幺半群的中心包括许多不是“经典的”的例子。特别是，范畴的2-范畴是我们意义上的中心的一个例子。同伦中心（类似于经典的Hochschild复形）的例子包括2-范畴、2-函子和自然变换的Gray范畴Gray和dg-范畴、dg-函子和相干dg-变换的Tamarkin同伦2-范畴。
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严格n-范畴与增广有向复形模型同伦类型
Strict n-categories and augmented directed complexes model homotopy types
本文证明了严格$n$ -范畴的同伦范畴$1\leqslant n \leqslant \infty$和Steiner增广有向复形的同伦范畴都等价于同伦类型范畴。为了做到这一点，我们首先证明了一个抽象的结果，基于Fritsch和Latch的策略，给出了一个神经函子的充分条件，其值在单纯集上，在同伦范畴的水平上诱导等价。然后我们将这个结果应用到严格$n$ -范畴和增广有向复形上，我们定理的假设是由Ara和Maltsiniotis建立的.
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自然锥范畴中的广义同伦理论
Generalized Homotopy theory in Categories with a Natural Cone
在真同伦理论中，为了得到研究拓扑空间的无穷远的同伦群，对经典同伦理论中的点概念进行了推广。这个想法：“以任意对象为基点“，甚至“任意态射为零态射”，在大多数代数同伦理论中都可以得到发展。特别地，具有自然锥的范畴具有通过相对同伦关系得到的广义同伦理论。建立了广义同伦群和它们的正合列，使得相应的经典点同伦群是它们的特例。
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群胚2-拟范畴与同伦2-型
Groupoidal 2-quasi-categories and homotopy 2-types
本文定义了群胚2-拟范畴的概念，并证明了它们是$Θ_2$ -集范畴上模型结构的同构对象。我们证明了这个模型范畴是Quillen等价的Kan-Quillen模型范畴的单纯集和2-截断群胚2-拟范畴是同伦2-型的模型。
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路范畴与拟范畴
Path categories and quasi-categories
本文介绍了拟范畴的同伦理论。拟范畴之间的弱等价被刻画为在自然定义的群胚系统上诱导等价的映射。这些群胚有效地取代了拟范畴同伦理论中的高同伦群。
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$(\infty,n)$-范畴的同伦相干神经
A homotopy coherent nerve for $(\infty,n)$-categories
本文为 $(\infty,n)$-范畴构造同伦相干神经，证明其给出严格丰富范畴与 Segal 范畴对象模型间的右 Quillen 等价，从而统一两种同伦相干图定义。
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n-相对范畴
n-Relative Categories
我们介绍，对于每一个正整数n，一个n-相对范畴的概念，并表明，小n-相对范畴的范畴是一个模型的同伦理论的n倍同伦理论，即同伦理论的.同伦理论
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$(\infty, 1)$ -范畴的同伦双范畴
The homotopy bicategory of $(\infty, 1)$-categories
给出了$(\infty, 1)$ -范畴的$(\infty, 2)$-范畴的同伦双范畴的Joyal-Riehl-Verity构造的正确性的证据;特别地，证明了用完备Segal空间代替拟范畴的类似构造产生了双范畴等价的2-范畴.
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大范畴上小图的同伦理论
Homotopy theory of small diagrams over large categories
设$D$是一个共完全的大范畴。我们构造了一个模型结构（在Quillen的意义下）的范畴上的小函子从$D$单纯集。作为应用，我们构造了单纯集范畴上的同伦局部化函子，它比通常的同伦局部化函子具有更强的泛性质。
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余完备同伦理论的两个模型
Two Models for the Homotopy Theory of Cocomplete Homotopy Theories
证明了上纤维化范畴的同伦理论与上完备拟范畴的同伦理论是等价的。这是通过将同伦理论作为纤维化范畴并在它们之间构建一个明确的等价性来实现的。
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相干交换monoidal拟范畴的同伦理论
A homotopy theory of coherently commutative monoidal quasi-categories
本文的主要目的是构造一个相干交换monoidal拟范畴的对称monoidal闭模型范畴。我们构建另一个模型类别结构，其conquerant对象（本质上）是那些coCartesian纤维化，它代表的对象，被称为对称monoidal准范畴在文献中。我们继续建立两个模型类别之间的奎伦等价。
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关于丰富范畴的同伦理论
On the homotopy theory of enriched categories
本文给出了在一个monoidal模型范畴中富集的小范畴上Quillen模型结构存在的充分条件。这产生了一个统一的治疗已知的模型结构上单纯的，拓扑的，dg-和光谱类别。我们的证明主要是基于两个对象上的凝聚富集范畴的一个基本性质，即区间凝聚定理。
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2-函子的同伦余极限
Homotopy colimits of 2-functors
和范畴一样，小2-范畴也有很好理解的分类空间。本文研究了2-范畴的2-图所表示的同伦类型。我们的结果扩展到同伦共极限的2-函子低范畴类似物，已被经典地用于代数拓扑和代数K理论，如同伦不变性定理（由Bousfield和Kan），同伦共极限定理（Kazason），定理A和B（Quillen），或同伦共尾性定理（Hirschhorn）。
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平移同伦理论
Transversal homotopy theory
实现一个想法，由于约翰贝兹和詹姆斯多兰，我们定义了新的不变量的惠特尼分层流形考虑同伦理论的光滑横截映射。对于每一个惠特尼分层流形，我们指定横截同伦幺半群，每个自然数一个。对于一类我们称之为分层正态淹没的自然映射，这个赋值是函子的。当层是平凡的时，横截同伦么半群同构于通常的同伦群。我们计算一些简单的例子并探索这些不变量的基本性质。我们还分配“更高的不变量”，横向同伦类别，每个惠特尼分层流形。它们有丰富的结构;当n>1时，它们是刚性幺半范畴，当n>2时，它们是带状范畴。作为一个例子，我们表明，横向同伦范畴的一个领域，分层的一个点和它的补充，是等价的范畴框架缠结。
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弱ω-范畴Leinster运算的同伦论泛性质
A homotopy-theoretic universal property of Leinster's operad for weak omega-categories
我们解释了如何cofibrantly产生的弱因子分解系统的一个类别可能配备了一个普遍的和规范确定的选择cofibrant-replacement。然后，我们将其应用于弱欧米茄范畴的理论，表明严格欧米茄范畴的操作数的普遍和规范的一致替换正是Leinster的弱欧米茄范畴的操作数。
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同伦格、Postnikov塔与∞-范畴的超完备性
Homotopy Posets, Postnikov Towers, and Hypercompletions of $\infty$-Categories
研究同伦格在∞-范畴中的扩展，揭示其作为纤维化长正合序列的层次，并探讨Postnikov塔的收敛性及超完备∞-范畴的构造。
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描述模型范畴的同伦微对象
Describing model categories througth homotopy tiny objects
令$\mathcal C$是一个$\mathcal V$ -丰富的模型类别。如果$\mathcal C(x, -) : \mathcal{C} \rightarrow {\mathcal V}$的全右导出函子保持同伦加权余极限，则称$\mathcal C$的对象$x$是同伦极小的.设$\mathcal C_0$是$\mathcal C$的满子范畴，其所有对象都是同伦极小的.我们的主要结果是：$\mathcal C_0$在弱等价和同伦加权余极限下生成的范畴的同伦范畴等价于$\mathcal C_0$上的$\mathcal V$ -富集预层的范畴$\mathcal V^{\mathcal C_0^{op}}$的同伦范畴，其值在$\mathcal V$中.如果$\mathcal C$由$\mathcal C_0$生成，则$\mathcal C$是Quillen等效于$\mathcal V^{\mathcal C_0^{op}}$。我们定理的两个特例是关于稳定模型范畴的Schwede-Shipley定理和关于等变空间的Elmendorf定理。
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稳定同伦范畴中结构的细胞化
Cellularization of structures in stable homotopy categories
本文描述了三角化范畴中细胞化函子的形式性质，并研究了在Hovey，Palmieri和Strickland意义下的稳定同伦范畴（如谱的同伦范畴或交换环的导出范畴）中这些函子下的环和模结构的保持性.我们证明了Cellularization函子保持连接环上的模，但它们一般不保持环（即使环是连接的或Cellularization函子是三角形的）。作为这些结果的应用，我们描述了Eilenberg-Mac Lane谱的胞元化，并计算了积分Eilenberg-Mac Lane谱在Bousfield意义下的所有非循环化.
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模型范畴的同伦极限再探
Homotopy limits of model categories, revisited
本文回顾模型范畴左Quillen函子图表同伦极限的定义及应用，探讨改用右Quillen函子的可行性，指出无法同时使用左右Quillen函子的原因。
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富集范畴的 Dwyer-Kan 同伦理论
Dwyer-Kan homotopy theory of enriched categories
本文在满足幺半群公理的组合闭对称幺半模范畴上的富集小范畴范畴中，建立了以 Dwyer-Kan 等价为弱等价的模型结构。
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单纯群胚的预层和2-群胚的预层的闭模型范畴
Closed Model Categories for Presheaves of Simplicial Groupoids and Presheaves of 2-Groupoids
证明了单纯群胚的预层范畴和2-群胚的预层范畴具有Quillen闭模型结构。此外，它们的同伦范畴分别等价于单纯预层和同伦2-型的同伦范畴。
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范畴的拓扑栈的同伦类型
Homotopy types of topological stacks of categories
本文将奎伦定理A推广到拓扑空间内范畴，证明全忠实本质满函子诱导分类空间同伦等价，并由此为范畴的拓扑栈构造2函子性同伦类型，推广了Noohi和Ebert关于群胚拓扑栈的结果。
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范畴的欧拉示性数与同伦上极限
Euler Characteristics of Categories and Homotopy Colimits
在前一篇文章中，我们介绍了有限性障碍、欧拉示性数和L^2-欧拉示性数的概念。在这个续集中，我们证明了这些概念与同伦余极限的I-指标范畴，其中I是任何小范畴承认一个有限的I-CW-模型的I-分类空间的兼容性。同伦余限公式的特殊情况包括乘积公式、同伦推出公式、同伦轨道公式和迁移群胚公式。我们也将我们的公式Haefliger复杂的群体，扩展Bass-Serre图的群体更高的维度。特别地，我们从一个有限群在一个不含环的有限范畴上的作用得到了群的有限复形可展的必要条件。
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coCartesian纤维化与同伦余极限
coCartesian fibrations and homotopy colimits
本文的主要目的是证明由一个小范畴标度的拟范畴图的同伦余极限是Lurie的高Grothendieck图构造的局部化.从而我们推广了Groshason的经典结果，即范畴图的同伦余极限具有范畴图的Grothendieck构造的同伦类型（范畴图的分类空间）。
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布朗可表示性对于复形的同伦范畴常常失效
Brown representability often fails for homotopy categories of complexes
我们证明了对于阿贝尔群的复形的同伦范畴K（Ab），Brown表示性和对偶的Brown表示性都是失败的.我们还提供了K（Ab）的一个局部化子范畴的例子，其中包含到K（Ab）中没有右伴随。
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同伦理论的三种同伦模型
Three models for the homotopy theory of homotopy theories
给定任何模型范畴，或更一般地，任何具有弱等价的范畴，其单纯局部化是一个单纯范畴，可以正确地称为模型范畴的“同伦理论”。在单纯范畴的范畴上有一个模型范畴结构，所以取它的单纯局部化就产生了“同伦理论的同伦理论”。“在本文中，我们证明了有两种不同的单纯集图，每一种都有一个适当的弱等价定义，使得由此产生的同伦理论都等价于单纯范畴上的模型范畴结构所产生的同伦理论。因此，这三个范畴中的任何一个都可以被认为是同伦理论的同伦理论的模型。其中之一，特别是Rezk的完整Segal空间模型范畴结构的范畴单纯空间，是更方便的角度作出计算，因此获得有关信息的一个给定的同伦理论。
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关于高阶范畴同伦理论的唯一性
On the Unicity of the Homotopy Theory of Higher Categories
我们公理化了$(\infty,n)$ -范畴理论。证明了$(\infty,n)$ -范畴的理论空间是一个$B(\mathbb{Z}/2)^n$ .本文证明了Rezk的完备Segal $Θ_n$ -空间，Simpson和Tamsamani的Segal $n$ -范畴，第一作者的$n$ -fold完备Segal空间，Kan和第一作者的$n$ -相对范畴，以及任何$(\infty,n-1)$ -范畴模型中的完备Segal空间对象都满足我们的公理.因此，这些理论在某种程度上都是等价的，直到$(\mathbb{Z}/2)^n$的作用。
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$(\infty,1)$ -范畴和$\infty$ -运算的Morita同伦理论
Morita homotopy theory for $(\infty,1)$-categories and $\infty$-operads
证明了小单纯范畴、单纯集、单纯运算和树状集范畴上Morita模型结构的存在性，模拟了$(\infty,1)$ -范畴和$\infty$ -运算的Morita同伦理论.利用单纯预层、单纯代数和片范畴给出了弱等价的一个刻画。在森田模型结构的单纯范畴和单纯运算的情况下，我们还表明，这些模型结构中的每一个可以得到一个明确的左Bousfield本地化的Bergner模型结构的单纯范畴和Cisinski-Moerdijk模型结构的单纯运算，分别。
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单纯逗号范畴和范畴逗号范畴
Simplicial and categorical comma categories
我们考虑四个类别：O上的小范畴的（逗号）范畴，O上的单纯集的（逗号）范畴，O上的神经上的单纯集的（逗号）范畴，O上的小范畴O上的小范畴的图范畴。弗里奇和Golasinski声称，这四个类别有等价的同伦类别，但事实上，他们的证明包含一个错误和同伦类别是不等价的弱等价，他们使用的逗号类别。本文证明了正确的弱等价是Latch定义的“弱纤维同伦等价”。我们还构造了NO上单纯集范畴的一个模型范畴结构，其中弱等价是弱纤维同伦等价。
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（\infty，1）-范畴的研究
A survey of (\infty, 1)-categories
本文给出了所谓的（\infty，1）-范畴的不同定义之间的比较。（\infty，1）-范畴被认为是n-态射都可逆的\infty -范畴的模型。从同伦理论的观点来看，它们也是同伦理论中的同伦理论的模型。这四种不同的结构都是等价的，它们是单纯范畴、西格尔范畴、完备西格尔空间和拟范畴。
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高阶弱（余）极限、伴随函子定理和高阶Brown可表示性
Higher weak (co)limits, adjoint functor theorems, and higher Brown representability
证明了弱（余）完备$n$ -范畴的一般伴随函子定理。这类$n$ -范畴包含了（共）完备$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴，所以这些$n$ -范畴一般不允许所有的小（共）极限.我们还引入了（同伦）$n$ -范畴的Brown可表示性，并证明了紧生成的$n$ -范畴的局部化的Brown可表示性定理.这类$n$ -范畴包括可表示$\infty$-范畴的同伦$n$-范畴（如果$n \geq 2$）和可表示稳定$\infty$ -范畴的同伦$n$-范畴（对于任何$n \geq 1$）.
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同伦理论的跨概念扩展
Extending homotopy theories across adjunctions
对称幺半范畴的谱的构造对于严格的结构保持映射通常是函子的，但是通常感兴趣的映射仅仅是松弛monoidal的。我们描述的条件下，人们可以运输弱等价从一个类别到另一个具有相同的对象和更广泛的一类地图。在温和的假设下，这个过程产生同伦理论的等价。我们描述的例子包括代数运算，如对称幺半范畴和$n$倍幺半范畴;和图类别，如$Γ$ -范畴。
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任意范畴中的同调与同伦
Homology and homotopy for arbitrary categories
本文通过公理化方法重新建立了任意范畴中同伦与同调的联系，并将凸性重新解释为外在属性。
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可Sheafififiable同伦模型范畴
Sheafifiable homotopy model categories
如果一个奎伦模型范畴可以用某种逻辑语法来指定（直观地说，“是代数/组合足够”），这样它就可以在任何层范畴中定义，那么奎伦公理在任何地点上的满足是它们在集范畴上被满足的纯粹形式上的结果。这样的数据产生了一个函子，从拓扑和几何态射范畴到奎伦模型范畴和奎伦映射。
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正合范畴中的同伦
Homotopy in Exact Categories
在这本专着中，我们发展的同伦理论的各个方面的确切类别。我们介绍了不同的概念，紧凑性和生成的确切范畴$E$，并使用这些研究模型结构的类别链复形$Ch_{*}(E)$诱导的余挠对$E$。作为一个特殊的情况下，我们表明，在非常一般的条件下，范畴$Ch_{+}(E)$，$Ch_{\ge0}(E)$，和$Ch(E)$配备了投射模型结构，并概括的多尔-坎对应持有。我们还建立了条件下，类别的过滤对象在确切的类别配备了自然的模型结构。当$E$是monoidal时，我们也研究了这些模型结构是monoidal的，并通过研究这些范畴中的同伦代数得出结论。特别是，我们提供的条件下，$Ch(E)$和$Ch_{\ge0}(E)$同伦代数的背景下，从而使它们适合设置派生几何。
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模型范畴中的稳定框架
Stable Frames in Model Categories
我们发展了模型笼中余单框架理论的一个稳定的类似物，它用来丰富稳定模型范畴的所有同伦范畴，并给出谱的Smash积的一个不同的描述，与已知的描述进行了比较;特别地，Boardman的原始Smash乘积与来自稳定同伦范畴的对称monoidal模型的新Smash乘积相一致。
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高阶范畴的稳定同伦理论
Stable homotopy theory of higher categories
Max Planck Institute Bonn（马克斯·普朗克波恩研究所）
本文证明反转自同态范畴操作产生高阶范畴的稳定同伦理论，其中范畴谱表示同调理论，并建立范畴Brown表示定理及Hurewicz和Eilenberg-Zilber定理。
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当Bousfield局部化与同伦幂等函子再次相遇时
When Bousfield localizations and homotopy idempotent functors meet again
我们采用半模型范畴来推广与模型范畴的Bousfield局部化有关的基本结果。更具体地说，我们推广Bousfield-Friedlander定理和Hirschhorn局部化定理的细胞模型类别的设置，他们的经典配方不适用。我们使用这样的结果来回答，在世界上的半模型类别，一个开放的问题所提出的五月-庞托存在的Bousfield本地化的Hurewicz和混合型模型结构。
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高阶设备、双上极限与同伦上极限
Higher Equipments, Double Colimits and Homotopy Colimits
本文围绕一个主要思想展开：单纯范畴，即范畴之范畴中的单纯对象，可以看作是一个双重范畴结构，其双重范畴论是同伦意义的。最著名的双重结构是双重范畴，通常用于组织各种上下文中的双模。然而，即使双模的概念是可以想象的，也不存在空间的双重范畴。我们首先通过构造一个有意义的单纯空间范畴来弥补双范畴论的这一缺陷。然后，我们通过定义双余限和假设一个设备属性，发展了双范畴的类比，这在例子中很快得到了满足。作为一个应用，我们证明了某些双重上极限自然地解释为同伦上极限。令人惊讶的是，这个类比揭示了一个原则：单纯范畴之于单纯充实范畴，就像双重范畴之于2-范畴一样！
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关于两种乘法同调理论方法等价性的研究
On the equivalence of two approaches to multiplicative homotopy theories
Department of Mathematics, Kyoto University（京都大学数学系）
本文探讨了两种乘法同调理论框架的等价性，解决了Pavlov猜想并解答了Hovey第十问题的特殊情况，同时证明了多个主定理的变体。
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同伦范畴中的近似与伴随
Approximations and adjoints in homotopy categories
我们提供了一个标准的存在正确的近似在cocomplete添加剂类别，这是一个简单的概括的结果，由于埃尔巴希尔。这个准则被用来构造同伦范畴中的伴随函子。应用包括研究（纯）导出范畴。例如，证明了任何模范畴的纯导出范畴都是紧生成的.
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同伦极限和余极限与丰富同伦理论
Homotopy limits and colimits and enriched homotopy theory
同伦极限和上极限是范畴论中通常的极限和上极限的同伦替代，可以使用经典的显式构造或导出函子的现代抽象机制来处理。我们在本文中的第一个目标是暂时的：我们解释这两种方法，并证明它们的等价性。我们的第二个目标是将这个结果推广到丰富的范畴和同伦加权极限，表明经典的显式结构仍然给出了正确的答案在抽象意义上。这一结果部分地弥合了经典同伦理论和现代抽象同伦理论之间的差距。为了做到这一点，我们引入了“丰富同伦范畴”的概念，它比丰富模型范畴更一般，但仍然是做丰富同伦理论的好地方。这表明，丰富的存在往往简化而不是复杂的问题，并在某种程度上实现了更好地理解“同伦理论中同伦的作用。"
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相对范畴的双同伦（Co）极限
Double Homotopy (Co)Limits for Relative Categories
我们回答的问题，在何种程度上同伦（co）限制类弱等价允许一个Fubini型交换法。主要的障碍是，我们没有假设我们的范畴与弱等价来配备一个演算同伦（共）的限制，如导子。
math.AT
Top-Cat上T-代数的同伦理论
Homotopy Theory of T-algebras over Top-Cat ?
本文将高阶范畴理论的两个不同方面，一方面是无限范畴理论，另一方面是2-范畴理论联系起来，在拓扑范畴的模型范畴中构造了一个显式函子路径对象。我们讨论这样的路径对象的一些性质和后果。我们还解释了一个2-monad的结构，其中代数是（对称）monoidal拓扑范畴。最后，我们解释了T-代数范畴的最终模型结构之间的关系。
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堆与无点稳定同伦理论
Heaps and unpointed stable homotopy theory
在本文中，我们展示了某些"稳定性现象“在unpointed模型范畴提供了一套同伦类的阿贝尔堆的结构，即阿贝尔群没有一个零的选择。与稳定（指向）模型范畴的经典情形相反，这些集合可以是空的。
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与闭模型范畴$\infty$ -pretopoi相关的单纯范畴的Giraud型刻画
A Giraud-type characterization of the simplicial categories associated to closed model categories as $\infty$-pretopoi
定理（根据Giraud，SGA 4）：假设$A$是单纯范畴。下列条件是等价的：（i）存在共纤生成的闭模型范畴$M$，使得$A$等价于Dwyer-Kan单纯局部化$L(M)$ ;（ii）$A$允许所有同伦小余极限，并且存在$A$ -small的$A$的对象的一个小子集，它们由同伦余极限生成$A$;（iii）存在小1-范畴$C$和将$C$的对象发送到$A$ -小对象的态射$g:C\to A$，这导致完全忠实包含$i:A\to \hat{C}$，使得$i$允许左同伦伴随$ψ$ .我们称满足这些等价条件的Segal范畴$A$为$\infty$ -pretopos.注意，（i）意味着$A$也允许所有同伦小极限。如果进一步存在如（iii）中的$C\to A$，使得伴随$ψ$保持有限同伦极限，则我们说$A$是"$\infty$ -拓扑“。
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多范畴和置换范畴中的同伦等价代数结构
Homotopy Equivalent Algebraic Structures in Multicategories and Permutative Categories
我们证明了从多范畴到置换范畴的自由构造是一个范畴丰富的非对称多函子。我们的主要结果表明，诱导函子之间的代数范畴是同伦理论的等价。我们描述了一个应用程序的环类。
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de Rham同伦理论与微分分次范畴
The de Rham homotopy theory and differential graded category
本文是arXiv：0810.0808的推广。我们开发的德拉姆同伦理论不一定幂零空间，使用封闭的DG-范畴和等变DG-代数。我们看到这两个代数对象以某种方式相对应。证明了图式同伦类型的同伦范畴与闭dg-范畴的同伦范畴之间的等价性。本文用极小模型刻画了空间的同伦不变量。在这种情况下，极小模型的行为很像沙利文的极小模型。我们还提供了一些例子。我们证明了纤维合理化和封闭的dg范畴与辅助数据之间的等价性。
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高阶范畴的同伦理论
Homotopy theory of higher categories
这是一本关于高阶范畴的书的初稿，它是通过重复西格尔的方法来实现的，正如塔姆萨马尼对$n$ -神经的定义和佩利西耶的论文一样。如果$M$是一个易处理的左固有范畴模型范畴，我们在$M$ -前范畴上构造了一个易处理的左固有范畴模型结构.然后，可以迭代该过程，导致$(\infty, n)$ -范畴的模型范畴。
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多函子$K$ -理论是同伦理论的等价
Multifunctorial $K$-Theory is an Equivalence of Homotopy Theories
我们证明了从小置换范畴到$\mathcal{G}_*$ -范畴、$\mathcal{G}_*$ -单纯集和连接谱的三个$K$ -理论多函子都是同伦理论的等价。对于这些$K$理论的多函子，我们描述了一个明确的同伦逆函子。作为我们关于点图范畴的一般结果的一个单独应用，我们观察到Bohmann-Osorno $\mathcal{E}_*$ -范畴的右诱导同伦理论等价于点单纯范畴的同伦理论.
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