Geometric variations of the Boltzmann entropy
Nikos Kalogeropoulos
我们执行的一阶和二阶无穷小的变化，相对于能量，玻尔兹曼熵的恒定能量超曲面的系统与有限的自由度的计算。我们评论的稳定性解释的第二个变化在这个框架。
We perform a calculation of the first and second order infinitesimal variations, with respect to energy, of the Boltzmann entropy of constant energy hypersurfaces of a system with a finite number of degrees of freedom. We comment on the stability interpretation of the second variation in this framework.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The additive generalization of the Boltzmann entropy
经典的Boltzmann-Gibbs-Shannon熵泛函只存在一个推广到一个单参数的可加熵泛函族。我们找到了经典系综相应扩展的解析解，并详细讨论了非关联态形变的例子。
Boltzmann's Entropy and Large Deviation Lyapunov Functionals for Closed and Open Macroscopic Systems
我给一个简短的概述，解决了明显的问题，协调时间对称的微观动力学与时间不对称方程描述的宏观变量的演变。然后，我展示了如何大偏差函数的微观系统的定态可以被用作一个李雅普诺夫函数的宏观演化方程。
Relation between Boltzmann and Gibbs entropy and example with multinomial distribution
建立了平均玻耳兹曼熵与吉布斯熵之间的一般关系。发现它们的差等于宏观量的涨落熵，涨落熵是宏观量的类吉布斯熵。涨落熵与平均玻尔兹曼熵或吉布斯熵的比值在热力学极限下为零，这是一个可区分的独立粒子系统。指出大涨落熵清楚地表明了标准统计方法的局限性，可以用其他方法如重整化群来改进或扩展。
The Generalized Boltzmann Distribution is the Only Distribution in Which the Gibbs-Shannon Entropy Equals the Thermodynamic Entropy
我们表明，广义玻尔兹曼分布是唯一的吉布斯-香农熵等于热力学熵的分布。这个结果意味着热力学熵和吉布斯-香农熵一般不相等，而不是仅在系统与水库平衡的特殊情况下才成立。
Derivation of the Boltzmann equation and entropy production in functional mechanics
本文提出了在有限体积中利用Grad极限方法从Liouville方程导出Boltzmann方程的方法。我们引入了两个尺度的时空：宏观和微观尺度，并使用BBGKY层次和经典力学的功能制定。根据力学的泛函方法，粒子质点系的状态由有理数的测量值形成。因此，人们可以谈论刘维尔方程中初始概率密度函数的准确性。我们假设微观密度函数的初始数据是由宏观密度函数分配的（因此，可以说是微观尺度对宏观尺度的一种层次和从属关系），并推导出玻尔兹曼方程，这导致了熵的产生。
Boltzmann entropy for quantum field systems
一种构造玻尔兹曼熵的方法，即，提出了量子场系统的熵作为微观纯态的函数。在构造中使用了在波矢量空间中移动场的算子。通过采用一个假设，它表明，几乎所有的状态对应于一个热力学状态的纯态系综，所建议的玻尔兹曼熵的值与热力学状态的热力学熵的值相一致。对于一般的自相互作用场，玻尔兹曼熵在哈密顿动力学下随时间演化，因此它能够表征孤立量子场系统的热化。
Boltzmann entropy and the microcanonical ensemble
玻尔兹曼熵稍作修改，使其适合于讨论有限系统中的相变。作为一个例子，它表明，钟摆经历了二阶相变时，从振动到旋转状态。
On the (Boltzmann) Entropy of Nonequilibrium Systems
玻尔兹曼将宏观系统在宏观态$M$中的熵定义为与$M$相对应的相空间体积（微观态数）的$\log$。当$M$指定处于局部热平衡（LTE）的系统的局部守恒量时，这与克劳修斯的热力学熵一致。在这里，我们讨论玻尔兹曼熵，涉及到适当的选择的宏观变量，系统不在LTE。本文推广了玻尔兹曼关于稀气体的公式和Resibois关于硬球流体的公式，并证明了对于满足任何由微观动力学产生的确定性自治演化方程的宏观变量，相应的玻尔兹曼熵必须满足一个${\cal H}$定理。
A short derivation of Boltzmann distribution and Gibbs entropy formula from the fundamental postulate
在统计热力学课程的早期引入玻尔兹曼分布（本着费曼的精神）有许多教学优势，特别是容易推导吉布斯熵公式。本文从统计力学的基本假设出发，提出了一个简明的推导过程，并给出了一个适合于本科生的基本计算方法。
Relativistic Entropy and Related Boltzmann Kinetics
在经典Boltzmman方程的碰撞积分中，两粒子关联函数的特殊形式唯一地确定了系统的熵，即Boltzmann-Gibbs-Shannon熵。在普通的相对论性玻尔兹曼方程中，通常进行一些标准的推广，关于它的经典版本，由狭义相对论强加的。这个方程的唯一组成部分是两粒子的关联函数，它默认地保持着它原来的经典形式，而这个事实也迫使相对论动力学也受玻尔兹曼-吉布斯-香农熵的支配。事实上，普通的相对论性玻尔兹曼方程承认指数Juttner分布是平稳的稳定分布。在这里，我们表明，狭义相对论定律和最大熵原理，建议一个相对论的推广也两个粒子的关联函数，然后熵。这样得到的，完全相对论性玻尔兹曼方程，遵守H-定理，并预测一个平稳的稳定分布，呈现幂律尾在高能量区。随后的相对论动力学理论保留了经典动力学的主要特征，在$c \to \infty$极限恢复。
On the dispute between Boltzmann and Gibbs entropy
最近，负温度概念的有效性受到了一些作者的质疑，因为他们认为玻尔兹曼熵（允许负温度）从数学和统计的角度来看是不一致的，而他们认为吉布斯熵（不允许负温度）是微正则熵的正确定义。本文证明了对于统计系综等价的系统，玻尔兹曼熵是正确的微正则熵。支持负温度的两个系统的分析结果，证实了我们提出的方案。此外，我们证实了我们的证明，数值模拟上的显式晶格系统显示，负温度平衡态是可访问的，并遵守标准的统计力学prevision。
Generalized Boltzmann factors and the maximum entropy principle
我们将通常的指数玻尔兹曼因子推广到任何合理的和潜在的可观察的分布函数，$B(E)$。通过定义广义玻尔兹曼-吉布斯熵$Λ$作为这些分布函数的逆，我们将经典玻尔兹曼-吉布斯熵$S_{BG}= -\int d εω(ε) B(ε) \log B(ε)$推广为表达式$S\equiv -\int d εω(ε) \int_0^{B(ε)} dx Λ(x)$，其中包含经典熵作为特例。我们证明，这种熵有两个重要的特点：第一，它描述了正确的热力学关系的系统，第二，观察到的分布是直接向前的解决方案，以杰恩斯最大熵原则与普通（不是护送！）约束Tsallis熵恢复作为进一步的特殊情况。
Gibbs and Boltzmann Entropy in Classical and Quantum Mechanics
宏观经典系统的吉布斯熵是相空间上概率分布的函数，即，一个合奏。相反，玻尔兹曼熵是相空间上的函数，因此是针对单个系统定义的。我们的目的是讨论和比较这两个概念的熵，以及相关的ensemblist和个人主义的观点热平衡。使用吉布斯系综计算吉布斯熵，这两个概念产生相同的（领先的顺序）值的熵的宏观系统在热平衡。然而，对于非平衡系统，这两种方法不一定一致。对于这些，我们认为玻尔兹曼熵是对应于热力学熵的熵，特别是与热力学第二定律有关。此外，我们描述了量子模拟的玻尔兹曼熵，我们认为，个人主义（玻尔兹曼）的概念的平衡是支持最近的作品热化封闭的量子系统。
Discrepancy between the H-Function and Entropy: Insights into the rigorously established Boltzmann equation for hard-sphere gases
本研究探究H函数与熵演化差异的起源，阐明在玻尔兹曼-格拉德极限下的硬球气体玻尔兹曼方程中，H函数不能作为有效的时间箭头判据。
Boltzmann-Gibbs entropy is sufficient but not necessary for the likelihood factorization required by Einstein
1910年，爱因斯坦发表了他对玻尔兹曼熵理解的一个重要方面。他基本上认为，似然函数的任何系统组成的两个概率独立的子系统{ \it应该}是可分解成似然函数的每个子系统。但他感到满意的事实是，玻尔兹曼（加性）熵满足这一认识论的基本要求。我们在这里表明，熵（例如，非广延统计力学所基于的$q$ -熵）通过违反BG 1的公知的可加性来推广BG 1，可以{ \it也}满足相同的要求。这一事实揭示了微观世界和宏观世界之间联系的基础。
Numerically "exact" simulations of entropy production in the fully quantum regime: Boltzmann entropy versus von Neumann entropy
我们提出了一个计划，以评估热力学变量的系统耦合到一个热浴下的时间依赖的外力使用准静态亥姆霍兹能量从数值“精确”的分层运动方程（HEOM）。我们计算了强耦合到非马尔可夫热浴的自旋系统在不同温度下产生的熵。我们表明，当外部扰动的变化发生足够缓慢，系统总是达到热平衡。因此，我们计算了玻尔兹曼熵和冯诺伊曼熵的等温过程，以及各种热力学变量，如内能的变化，热量和工作，准静力平衡的基础上的HEOM系统。我们发现，虽然在玻尔兹曼和冯诺依曼的情况下，作为系统浴耦合强度的函数的系统熵的特征是相似的，那些为总熵产生是完全不同的。玻尔兹曼情形下的总熵产生总是正的，而如果我们选择整个系统的一个热平衡态（一个未因式分解的热平衡态）作为初始态，那么在冯·诺依曼情形下的总熵产生就变为负的。这是因为在冯·诺依曼情况下的总熵产生没有适当地考虑系统-浴相互作用的熵的贡献。因此，玻尔兹曼熵必须用来研究完全量子体系中的熵产生。最后，我们研究了Jarzynski等式的适用性。
Boltzmann's entropy during free expansion of an interacting ideal gas
在这项工作中，我们研究玻尔兹曼熵的演变的背景下，自由膨胀的一维相互作用的气体在一个盒子里。玻尔兹曼熵是针对单个微观态定义的，并且由具有相同宏观变量值的微观态所占据的相空间体积给出，宏观变量是粗粒度的物理可观测量。我们展示了两种选择的宏观变量-单粒子相空间分布和流体动力学场的玻尔兹曼熵的增长的典型性的想法。由于存在的相互作用，这两个熵的增长曲线被观察到收敛到一个单调增加的限制曲线，采取适当的顺序的限制，大系统的大小和小粗粒化规模。此外，我们观察到，这两种选择的熵的极限增长曲线是相同的局部热平衡所暗示的。我们还讨论了有限的大小和有限的粗增益规模，导致有趣的功能，如熵增长曲线的振荡有关的问题。我们还讨论了在水动力场中观察到的激波。
On the Renyi entropy, Boltzmann Principle, Levy and power-law distributions and Renyi parameter
具有自由Renyi参数$q$的Renyi熵是信息熵的最合理的形式，并且当$q\simeq 1$时，Tsallis熵可以被认为是Renyi熵的线性近似。当$q\to 1$时，两个熵都属于玻尔兹曼-香农熵。应用最大信息熵原理得到了孤立系的Renyi熵的微正则（均匀）分布。无论Renyi参数$q$的值是多少，在这种情况下Renyi熵变成玻尔兹曼熵$S_B=k_B\ln W$，这为统计力学的玻尔兹曼原理的普遍性提供了支持。对于一个与热浴接触的系统，将MEP应用于Renyi熵得到Levy分布（或$q$ -分布），它被认为是所谓的非广延统计的主要结果之一。对于一个经历温度波动的小物理系统，这里导出了相同的分布。Levy分布的长程“尾部”是幂律（Zipf-Pareto）分布，其指数$s$通过$q$表示。指数和自由Renyi参数$q$可以使用MEP的进一步扩展唯一地确定。然后，$s$的典型值的范围内$1.3÷2$和$q$的范围内$0.25÷0.5$，在依赖于随机系统的参数。
Regularized Boltzmann entropy determines macroscopic adiabatic accessibility
热力学熵$S_{TD}$与玻尔兹曼熵$S_{B}$的关系是统计力学研究的中心问题之一。如今，认为热力学熵$S_{TD}$等于通过正则化玻尔兹曼熵以确保扩展性而定义的函数$\tilde{S}_{B}$。然而，我们不知道$\tilde{S}_{B}$是否能像$S_{TD}$那样完全确定宏观绝热转变的可能性。本文通过用量子操作的“粗粒化”来表述宏观绝热变换的可能性，证明了$\tilde{S}_{B}$为宏观绝热变换的可能性提供了一个充分必要条件.
Thermodynamic Entropy as Information -- A compression-based demonstration of the Shannon-Boltzmann equivalence in condensed matter
该研究通过压缩方法证明了信息熵与热力学熵的等价性，为理解热力学无序提供了新视角。
Boltzmann, Gibbs and the Concept of Equilibrium
统计力学的玻尔兹曼和吉布斯方法对平衡和熵有非常不同的定义。与此相关的问题进行了讨论，并建议，他们可以解决，产生一个版本的统计力学结合这两种方法，通过重新定义平衡不作为一个二元属性（正在/不正在平衡），但作为一个连续的属性（平衡度）测量的玻尔兹曼熵，并通过引入的想法类似的行为玻尔兹曼熵。以Kac环模型为例，验证了本文提出的方法.
Non-unique way to generalize the Boltzmann-Gibbs distribution
给出了广义热统计学基本概念的另一种定义。特别是，广义香农熵，玻尔兹曼-吉布斯分布，和相对熵被认为是。在Tsallis的非广泛的热统计学的特定选择提出了质疑。
Equivalence of information production and generalized entropies in complex processes
复杂系统的特点是强相关性和厚尾分布函数已被认为是不相容的玻尔兹曼-吉布斯熵的框架内。作为一种替代方法，提出了所谓的广义熵，并进行了深入研究。在这里，我们表明，这种不相容性是一种误解。对于广泛的一类过程，玻尔兹曼熵对数多重性仍然是有效的熵概念，然而，对于非独立同分布，非多项式和非遍历过程，玻尔兹曼熵不是香农形式。玻尔兹曼熵的正确形式可以证明与广义熵是一致的。我们推导出这个结果的所有过程，可以可逆地映射到伴随表示的过程是独立同分布。在这些表示中，信息产生由香农熵给出。我们证明，在原来的采样空间，这产生的泛函是相同的广义熵。因此，构造适当的上下文敏感熵泛函的问题可以转化为寻找伴随表示的更简单的问题。该方法为强相关系统和复杂过程的统计物理学提供了一个全面的框架。
Definitions and Evolutions of Statistical Entropy for Hamiltonian Systems
尽管经过了一个多世纪的研究和争论，热力学第二定律的统计起源仍然是一个谜。一个基本的障碍是缺乏一个适当的理论形式主义的非平衡熵。在这里，我回顾了玻尔兹曼和吉布斯关于非平衡统计熵的开创性思想，并将它们综合成一个连贯而精确的框架。在此框架下，阐明了熵的拟人性原理，并分析了经典哈密顿系统在不同实验条件下熵的演化。我们发现玻尔兹曼熵的演化服从一个随机H定理，它把玻尔兹曼熵增加和减少的概率联系起来。相比之下，如果微观动力学是局部混合的，并且初始状态是玻尔兹曼态，则粗粒度吉布斯熵单调增加。这些结果澄清了经典系统热力学第二定律的确切含义，并表明它是作为玻尔兹曼状态的初始条件，最终负责时间箭头。
Resolving the Debate Between Boltzmann and Gibbs Entropy: Relative Energy Window Eliminates Thermodynamic Inconsistencies and Allows Negative Absolute Temperatures
针对小系统微正则系综中玻尔兹曼熵与吉布斯熵的争论，提出基于相对能量窗口的新熵定义，消除热力学不一致性，允许负绝对温度，并准确匹配正则系综预测。
High order derivatives of Boltzmann microcanonical entropy with an additional conserved quantity
在这篇文章中，使用已知的方法，计算微正则熵的导数，相对于能量高达4阶，使用拉普拉斯变换技术，并将其调整到总动量守恒的情况下。这个计算的结果回答了一个理论问题，关于描述热力学与哈密顿流在存在一个额外的守恒量，除了能量。这在与经典哈密顿流相关的微正则热力学的数值模拟中也具有实际意义。
Entropy Balance and Dispersive Oscillations in Lattice Boltzmann Models
利用熵格子玻尔兹曼方法（ELBM）研究了激波后的色散振荡。为此，我们使用一个寻根算法来实现ELBM，它显示快速的三次收敛性和正确的耗散符号。一维激波管的模拟结果表明，在正则化方面，使用ELBM的标准LBGK方法没有任何好处。我们还进行了一个实验调查的LBGK方法使用中值滤波在一个单一的时间步长点。在这里，我们观察到可以实现显著的正则化。
Nonequilibrium entropy limiters in lattice Boltzmann methods
我们构造了一个用于格子玻尔兹曼方法（LBM）的非平衡熵限制器系统。这些限制器消除虚假振荡，而不模糊的冲击，并不影响光滑的解决方案。一般来说，它们对LBM的作用与通量限制器对有限差分、有限体积和有限元方法的作用相同，但对于LBM，非平衡熵限制器格式背后的主要思想是将标量场--非平衡熵--进行变换。有两类限制器：（i）基于非平衡熵的限制（熵“修剪”）和（ii）基于非平衡熵的过滤（熵过滤）。LBM的物理性质提供了一些额外的好处：控制熵产生和精确估计引入的人工耗散是可能的。构造的限制器进行了测试的经典数值例子：一维绝热激波管与初始密度比1：2和二维盖驱动腔雷诺数Re之间的2000和7500在一个粗糙的100*100网格。所有的限制器的建设都适用于熵和非熵准平衡。
The Boltzmann Entropy for Dense Fluids Not in Local Equilibrium
我们调查，通过计算机模拟，时间演化的（玻尔兹曼）熵的稠密流体不处于局部平衡。描述系统的宏变量$M$是（经验）粒子密度$f=\{f(\un{x},\un{v})\}$和总能量$E$。我们发现，$S(f_t,E)$是单调增加的时间，即使它的动力学部分是减少。我们认为，对于孤立的哈密顿系统的单调性$S(M_t) = S(M_{X_t})$一般应保持“典型”（绝大多数）的初始微观状态（相点）$X_0$属于初始宏观状态$M_0$，满足$M_{X_0} = M_0$。当$M_t$自主进化时，这是刘维尔定理的直接结果。
Entropies for complex systems: generalized-generalized entropies
许多复杂系统的统计变量都具有非玻尔兹曼分布函数的特征。如果一个人想-合理与否-坚持复杂统计系统（非玻尔兹曼）的最大熵原理，我们将展示相应的熵是如何看起来的，给出相应的分布函数的形式。通过两个自然的假设，即（i）最大熵原理应该成立，（ii）熵应该描述系统的正确热力学（产生非玻尔兹曼分布），可以推导出一类完全相容熵的存在。经典Boltzmann-Gibbs熵被恢复为观测分布为指数的特殊情况，Tsallis熵是q-指数观测的特殊情况。
Microcanonical entropy for classical systems
重新讨论了微正则系综中的熵定义。提出了一种新的微正则熵的定义，解决了关于微正则熵的正确定义的争论。特别是，我们表明，这个熵的定义解决了固有的问题的热量方程的精确扩展。此外，这个熵再现的结果与标准玻尔兹曼熵应用于宏观系统时预测的结果一致。相反，用标准玻尔兹曼熵和我们提出的熵得到的预测，对于小的系统尺寸是不同的。因此，我们得出结论，玻尔兹曼熵提供了一个正确的描述宏观系统，而极小的系统应该更好地描述与熵，我们在这里提出。
A Stochastic Approach to Maxwell Velocity Distribution via Central Limit Theorem and Boltzmann's Entropy Formula
麦克斯韦的速度分布被认为是普遍有效的跨系统和阶段。在这里，我们提出了一个新的和一般的推导，使用概率论的中心极限定理（CLT）。这基本上使用了这样的想法，即重复的分子间碰撞在速度矢量的各个分量中引入了速度变化的随机性，通过CLT导致高斯分布。为了完成推导，我们接下来证明，均方速度或标准偏差完全遵循玻尔兹曼公式，该公式将熵与态密度联系起来，从而避免明确使用理想气体状态方程。我们进一步证明了谐振子系统的麦克斯韦速度分布。这个推导提供了一个更深入的了解玻尔兹曼常数的起源在麦克斯韦速度分布，也在均分定理。我们建议，这种推导提供了一种方法，解释麦克斯韦高斯分布的普遍性。
Boltzmann conjecture, meta-equilibrium entropy, second law, chaos and irreversibility for many body systems
提出了一种启发式推广的玻尔兹曼-吉布斯微正则熵，能够描述亚平衡特征和宏观系统的演化。尽管其简单的推导，这样一个函数的“集体参数”的微观状态的N体系统的特点，产量，在同一时间，一个统计解释的动态演化，和动态的见解的基本假设的统计力学。它的自然（隐式）时间依赖性需要}一个“第二定律”的行为，并允许此外，执行一个基本的测试洛施托可逆性异议，指出至关重要的相关性混沌在建立有效的（统计力学和动力学）“时间之箭”。几个具体的（分析和数值）应用程序说明了它的性能。
Boltzmann entropy and chaos in a large assembly of weakly interacting systems
我们引入了一个高维辛映射，模拟了一个由弱相互作用的混沌子系统组成的大系统，作为一个玩具模型来分析热力学系统中的单粒子混沌动力学和粒子相互作用之间的相互作用。我们研究了在这个系统中玻尔兹曼熵S_B随时间的增长作为粗粒化分辨率的函数。我们表明，出现一个特征尺度，S_B与t的行为，在与吉布斯熵的变化，不依赖于粗粒化的分辨率，只要它是比这个尺度更细。粒子间的相互作用是实现这一结果的关键，而熵增长的速率基本上取决于单粒子混沌动力学（t不太小）。这是可能的解释的动力学的基本特征，在一个合适的马尔可夫近似。
Large deviations and the Boltzmann entropy formula
近几十年来，大偏差理论已成为统计力学特别是非平衡态研究的主要工具。在对故事进行理性的重构时，我们必须认识到最近的一些作品与20世纪初发生的讨论的理想联系和债务。著名的方程$S=k\ln W$通常归因于玻尔兹曼，实际上是普朗克在他通往量子假说的道路上写下的最终形式，被爱因斯坦解释为一个大偏差公式。这种解释，他的基础上，他的理论热力学平衡波动，一直是灵感的来源，在最近的发展非平衡统计力学。在本文中，我们简要说明这方面。
Learning the Renyi entropy of multiple disjoint intervals in transverse-field quantum Ising models with restricted Boltzmann machine
该研究针对横场量子Ising模型中多不相交区间的Renyi熵计算问题，采用改进交换操作结合直接对角化与神经网络机器学习两种方法开展研究，验证了机器学习方法的高精度与适用性，所得结果与理论预测高度吻合。
Microcanonical analysis of Boltzmann and Gibbs Entropies in trapped cold atomic gases
我们分析了气体的非相互作用费米子限制在一维谐振子势，与两个建议的定义之间的区别的热力学熵的微正则系综，即标准玻尔兹曼熵和吉布斯（或体积）熵的目的。这两个定义之间的区别对于允许能级有上限的系统是至关重要的，玻尔兹曼定义可以导致负绝对温度的概念。虽然这里研究的费米子系统不存在负温度，但我们仍然发现玻尔兹曼熵和吉布斯熵之间以及相应的温度之间存在显着差异，吉布斯温度更接近（对于小粒子数）基于巨正则图像的温度。
Comment on ``Nonextensive hamiltonian systems follow Boltzmann's principle not Tsallis statistics-phase transition, second law of thermodynamics'' by Gross
最近，格罗斯声称玻尔兹曼熵$S=k\ln W$对任何处于平衡状态的系统都是有效的，所以Tsallis熵在这种情况下是无用的。我评论的一些论点提出了这个结论，并认为添加剂的能量形式主义的非广延统计是不适合的非添加剂系统的理论的基础研究。
A microcanonical entropy correcting finite-size effects in small systems
在最近的一篇论文[Franzosi，Physica A { \bf 494}，302（2018）]中，我们建议使用表面熵，即相空间中恒定能量的超曲面面积的对数，作为热力学微正则熵的表达，代替通常称为玻尔兹曼熵的标准定义。在本手稿中，我们已经测试了表面熵的费米-帕斯塔-乌拉姆模型，我们已经计算的热量方程，从玻尔兹曼熵和表面熵。所取得的结果清楚地表明，在玻尔兹曼熵的情况下，有一个很强的依赖性的热量方程从系统的大小，而在表面熵的情况下，没有这样的依赖性。我们推断，当玻尔兹曼熵用于小系统的统计描述时遇到的问题可能是这种熵的更深层次缺陷的线索，这种缺陷源于它的基本定义。此外，我们表明，表面熵是有根据的，从数学的角度来看，我们表明，它是唯一允许的熵定义，对于一个孤立的和有限的系统，具有给定的能量，这是一致的假设等先验概率。
Beyond Gibbs-Boltzmann-Shannon: General Entropies -- The Gibbs-Lorentzian Example
我们提出了一个广义的吉布斯的统计力学到域的不可忽略的相空间的相关性。导出的概率分布和熵作为一个广义的合奏平均，取代吉布斯-玻尔兹曼-香农的熵的定义，使建设新形式的统计力学。广义熵在信息论和数据分析中也很重要。应用广义洛伦兹相空间元素产生吉布斯-洛伦兹幂律概率分布和统计力学。详细信息可以在arXiv中找到：1406.6639
Boltzmann stochastic thermodynamics
玻尔兹曼动力学方程是从描述孤立热力学系统相空间中的随机动力学的积分-微分主方程得到的。随机演化产生熵的产生，导致吉布斯熵的增加，与由刘维尔方程描述的哈密顿动力学相反，其中熵在时间上是恒定的。通过考虑两粒子碰撞时的跃迁率，得到玻尔兹曼方程。当碰撞产生的散射角很小时，主方程被简化为福克-普朗克型的微分方程。当动力学是哈密顿型时，主方程简化为刘维尔方程。本方法被理解为麦克斯韦和玻尔兹曼在气体动力学理论中关于微观时间演化的推理的随机解释。
Thermodynamics of the System of Distinguishable Particles
本文讨论了可分辨粒子系统的热力学问题。在从玻尔兹曼熵的定义出发构造可分辨粒子的统计力学时，发现熵是不广延的。这种不可扩展性导致了所谓的吉布斯悖论，其中两种相同的经典气体的混合熵增加。为了解决这一悖论，人们从不同的角度创作了大量的文学作品。本文从玻尔兹曼熵出发，给出了可分辨粒子系统的热力学性质。一个简单的方法来获得校正玻尔兹曼计数示出。在经典统计力学中，修正后的玻尔兹曼计数因子是合理的。
Boltzmann's Approach to Statistical Mechanics
在19世纪的最后25年，路德维希·玻尔兹曼解释了不可逆的宏观定律，特别是热力学第二定律，是如何起源于微观物理学的时间可逆定律的。玻尔兹曼的分析基本上是正确的，我将在这里回顾其实质。最著名的批评玻尔兹曼的后期工作的主题没有什么价值。20世纪的大多数创新--例如用相空间上的概率分布$\varrho$来确定物理系统的状态，用$\varrho$的吉布斯熵来确定热力学熵，以及引用遍历性和混合的概念来证明统计力学的基础--都是完全被误导的。
In defence of negative temperature
这一教学评论强调了关于负温度概念有用性的三个误解;来自通常称为玻尔兹曼的熵定义。首先，玻尔兹曼熵和吉布斯熵必须服从相同的热力学一致性关系。第二，玻尔兹曼熵服从热力学第二定律。第三，存在一个积分因子的热微分与熵的两种定义。
Revisiting entropies: formal properties and connections between Boltzmann-Gibbs, Tsallis and Rényi
本文系统梳理Boltzmann-Gibbs、Tsallis、Rényi三类熵的形式性质与关联，对比广延与非广延统计力学下的熵的特性，验证极限下的回归关系，为熵理论研究提供清晰的形式化参考。
Gibbs, Boltzmann, and negative temperatures
在最近的一篇论文中，Dunkel和Hilbert [Nature Physics 10，67-72（2014）]使用吉布斯的熵定义来提供“一致的热统计学”，其禁止负绝对温度。在这里，我们认为吉布斯熵不能满足热力学的一个基本要求，即当两个物体处于热平衡时，它们应该处于相同的温度。玻尔兹曼的熵定义满足这个检验，而且在热力学极限下可以证明满足Dunkel和Hilbert的一致性准则。因此，在能谱有界的系统中，负温度是不可避免的。
Two-parameter generalization of the logarithm and exponential functions and Boltzmann-Gibbs-Shannon entropy
$q$ -和$x \oplus_q y \equiv x+y+(1-q) xy$（$x \oplus_1 y=x+y$）和$q$ -积$x\otimes_q y \equiv [x^{1-q} +y^{1-q}-1]^{\frac{1}{1-q}}$（$x\otimes_1 y=x y$）在非广延统计力学中自然出现.我们在这里显示他们如何导致两个参数（即$q$和$q^\prime$）推广的对数和指数函数（分别注明$\ln_{q,q^\prime}x$和$e_{q,q^\prime}^{x}$），以及玻尔兹曼吉布斯香农熵$S_{BGS}\equiv -k \sum_{i=1}^Wp_i \ln p_i$（注明$S_{q,q^\prime}$）。$(q,q^\prime)$ -广义对数函数的显着性质使得熵形式$S_{q,q^\prime} \equiv k \sum_{i=1}^W p_i \ln_{q,q^\prime}(1/p_i)$对于$(q,q^\prime)$的大区域满足重要性质，例如{ \it可扩展性}、{ \it可压缩性}和{ \it Lesche-stability}，但不一定满足{ \it可组合性}。
Construction of microcanonical entropy on thermodynamic pillars
一个目前备受争议的问题是微正则熵是否应该表示为相体积的对数（体积熵，也称为吉布斯熵）或状态密度的对数（表面熵，也称为玻尔兹曼熵）。而不是假设他们和调查的后果，每个定义，因为是习惯，在这里，我们采取了自下而上的方法，并建立在两个基本的热力学支柱的微正则形式主义内的熵表达式：（i）热力学第二定律制定准静态过程：$δQ/T$是一个精确的微分，（ii）理想气体的法律：$PV=k_B NT$。第一个支柱意味着熵必须是相体积$Ω$的函数。第二个支柱在所有可能的函数中挑出对数函数。因此，该构造唯一地导致表达式$S= k_B \ln Ω$，即体积熵。因此，任何熵表达式以外的吉布斯，例如，玻尔兹曼熵，可能导致与两个热力学支柱的不一致。我们说明了这一点的原型的例子，一个宏观收集的非相互作用的自旋在磁场，并表明，玻尔兹曼熵严重未能预测的磁化强度，即使在热力学极限。吉布斯熵的独特性，以及玻尔兹曼熵的潜在危害，为立即抛弃后者提供了令人信服的理由。
Non-Boltzmann Ensembles and Monte Carlo Simulation
基于Metropolis算法的Boltzmann采样已被广泛应用于正则系综的模拟。对平衡系统的力学性质（如能量）的估计可以通过对玻尔兹曼蒙特卡罗方法产生的大量微观状态进行平均来进行。然而，像熵这样的热性质不容易用这些方法获得。原因很简单。我们可以给每个微观状态分配一个能量的数值。但是我们不能给微观状态分配一个熵的数值。熵不是与任何一个微观状态相关联的属性，它是所有微观状态的集合属性。为了计算熵和其他热性质，在上个世纪70年代中期提出了一种称为伞采样的非玻尔兹曼蒙特卡罗技术。伞形抽样已经经历了几次变形，我们现在有，多正则蒙特卡罗，熵抽样，平坦直方图方法，王-朗道算法{ \it等}。这类方法产生非物理的非玻尔兹曼系综。然而，物理量可以通过对熵系综的微观态进行去加权，然后重新加权到所需的物理系综来计算。在这次演讲中，我将告诉你一些非玻尔兹曼蒙特卡罗方法，重点是最近的发展。
Entropic 13 Moment Equations from Boltzmann's Kinetic Equation
我们使用非平衡态热力学的指导原则，开发一套可接受的13个时刻的稀薄气体流动方程。我们的热力学方法的主要好处是一个明确的熵表达式履行$H$定理和一个健全的哈密顿制定的可逆自由飞行运输。为了计算熵和找到明确的封闭近似，我们提出了一套简单的近似13参数的解决方案，玻尔兹曼的动力学方程。我们讨论如何标准流体力学恢复作为一个限制的情况下。
Microcanonical Origin of the Maximum Entropy Principle for Open Systems
正则系综描述了一个开放的系统与固定温度的热浴平衡。这样一个系统的概率分布，玻尔兹曼分布，是从由开放系统和热浴组成的封闭宇宙的均匀概率分布推导出来的，通过取热浴比感兴趣的系统大得多的极限。或者，玻尔兹曼分布可以从最大熵原理导出，其中吉布斯-香农熵在开放系统的平均能量固定的约束下最大化。为了使这两个明显不同的方法之间的联系，推导玻尔兹曼分布，它首先表明，均匀分布的微正则分布是从最大熵原理适用于一个封闭的系统。然后，我表明，在开放系统的最大熵原理中的目标函数，通过局部最大化的吉布斯-香农熵的封闭宇宙的微观状态概率分布的热浴。因此，微正则起源的熵最大化过程中的开放系统，建立在一个严格的方式，显然是两个不同的方法之间的等价性推导玻尔兹曼分布。通过将数学形式主义扩展到动力学路径，结果也可以为路径熵最大化原理提供另一种证明。
Beyond Boltzmann-Gibbs statistics: Maximum entropy hyperensembles out-of-equilibrium
对于一个不处于平衡态的热力学系统，如果只给它一个或几个额外的参数，而这些额外的参数是描述处于平衡态的同一系统所需要的，那么我们能构造出的最佳描述是什么？在这里，我们认为最合适的附加参数是系统的非平衡熵，我们不应该试图估计系统的概率分布，而是系统由特定概率分布描述的亚概率（或超概率）。其结果是一个熵分布，有两个参数，一个是非平衡温度，另一个是距离平衡的测量。这个分散参数平滑地插入在平衡时正则分布的确定性和当我们远离平衡时概率分布的巨大不确定性之间。我们推断，一般来说，当我们远离平衡时，大的、罕见的波动变得更加普遍。
Some remarks on Rényi relative entropy in a thermostatistical framework
在普通的玻尔兹曼-吉布斯热统计学中，相对熵表达式扮演广义自由能的角色，提供与玻尔兹曼-吉布斯熵相关的非平衡和平衡自由能项之间的差异。在这种情况下，我们研究了这种物理意义是否可以给予雷尼相对熵定义在文献中发现从广义热统计的观点。我们发现，这是可能的，只有在极限为$q$接近1。这表明，只有当系统已经可以用普通的玻尔兹曼-吉布斯热统计学解释时，雷尼相对熵才具有物理（热统计学）意义。此外，这可以被认为是雷尼熵是平衡熵的指示，因为任何相对熵定义都是相关熵定义的双概率推广。我们还注意到，这个结果是独立的内能约束。最后，我们评论的缺乏基础的Rényi相对熵，因为它的最小化（这是等价于最大化的Rényi熵）被认为是为了获得一个平稳的平衡分布，因为Rényi相对熵不符合Shore-Johnson公理。
The Scale Invariance Behind Boltzmann Counting
本文发现玻尔兹曼计数具有精确尺度不变性，由此无需近似导出比熵，并揭示吉布斯过剩的解决生成连续参考测度，为连续统计力学提供组合学基础。
Existence of the H theorem for the athermal lattice Boltzmann models with nonpolynomial equilibria
在三角形格子上，求出了二维七速格子玻尔兹曼方法的熵函数。讨论了七速格子玻尔兹曼方法的稳定性和精度问题。
Clausius vs. Boltzmann-Gibbs entropies
在这项工作中，我们证明了不适当的玻尔兹曼-吉布斯对数公式的物理克劳修斯熵$S$在连接热力学和相空间统计。为了实现我们的目标，我们研究了简单的情况下，理想气体嵌入在一个有限的热浴和比较推导出的方程与相空间统计内得到的正则系综。然后，我们表明，上述方法的结果相互矛盾，即使在稀气体限制（无限热浴），如果我们要求的Boltmann-Gibbs公式$\ln(Density\,\, of\,\, States)$与热力学熵$S$的识别。
Entropy production in systems with long range interactions
在细粒度尺度上，孤立系的吉布斯熵在其动力学演化过程中保持恒定。这是刘维尔定理对哈密顿系统的推论，似乎与热力学第二定律相矛盾。然而，实际上没有问题，因为热力学熵应该与玻尔兹曼熵相关联，玻尔兹曼熵对于非平衡系统不同于吉布斯熵。玻尔兹曼熵解释了在给定的初始条件下无法达到的微观状态，但与给定的宏观状态相容。在某种意义上，玻尔兹曼熵是吉布斯熵的粗粒度版本，并且在宏观系统的动力学演化过程中不会减少。在本文中，我们将探讨系统的熵产生与长程相互作用。与短程系统不同的是，在热力学极限下，这些系统的概率密度函数可以分解为一个粒子分布函数的乘积，并且可以显式地计算粗粒度熵。我们发现，熵产生的特征时间与粒子数的比例为$N^α$，与$α> 0$，因此，在热力学极限熵产生需要无限的时间。
Time evolution of the Boltzmann entropy for a nonequilibrium dilute gas
本研究针对稀薄气体自由膨胀过程，分析了非平衡玻尔兹曼熵的时间演化，揭示了扩散与碰撞两种熵产生机制的速率关系及标度规律。
Equilibrium statistical mechanics for self-gravitating systems: local ergodicity and extended Boltzmann-Gibbs/White-Narayan statistics
围绕自引力系统的统计力学的长期难题尚未得到成功解决。我们建立了一个系统的基于熵的统计力学的理论框架。我们使用的方法是非常不同的，从传统的统计力学的短程相互作用系统。我们证明了自引力系统的平衡态由力学平衡和统计平衡组成，前者由一系列速度-力矩方程表征，后者由统计平衡方程表征，后者应根据熵原理导出.从稳态无碰撞玻尔兹曼方程出发，导出了各阶速度矩方程。我们指出，遍历性对整个自引力系统是无效的，但它可以在局部重新建立。基于局域遍历性，利用Fermi-Dirac类统计量，在非简并条件下，利用局域微观态的空间独立性，重新推导了玻尔兹曼-吉布斯熵。这与无碰撞玻尔兹曼方程的有效性是一致的，并且应该是无碰撞自引力系统的正确熵形式。除了通常的质量和能量守恒的约束，我们证明了一系列的时刻或维里化方程必须包括作为额外的约束熵功能时，执行变分;这是一个扩展到原来的处方由怀特和纳拉扬。任何可能的速度分布都可以通过我们用扩展的Boltzmann-Gibbs/White-Narayan统计开发的物理力学方法来产生。最后讨论了自引力系统的负比热和系综不等价性问题。
Boltzmann-Equation Based Derivation of Balance Laws in Irreversible Thermodynamics
本文提出了一种新的方法来构造描述各种不可逆现象的宏观平衡方程和本构方程。它基于非平衡态热力学的一般原理，包括四个基本步骤：选择合适的状态变量，选择严格凹熵函数，适当分离熵通量和产生率，并确定耗散矩阵。我们的方法利用EIT和GENERIC形式主义，并显示出直接对应Levermore的时刻封闭层次的玻尔兹曼方程。这一结果可以把从非平衡态热力学的一般原理出发的各种宏观建模方法置于基于玻尔兹曼方程的坚实微观基础之上。
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