Modular differential equations and null vectors
Matthias R. Gaberdiel, Christoph A. Keller
证明了有理共形场论的每一个模微分方程都来自于真空Verma模中的零向量。我们还评论了这一结果对c=24 k时极值自对偶共形场论的相容性的影响。
We show that every modular differential equation of a rational conformal field theory comes from a null vector in the vacuum Verma module. We also comment on the implications of this result for the consistency of the extremal self-dual conformal field theories at c=24 k.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Modular Hamiltonians on the null plane and the Markov property of the vacuum state
本研究计算了未来视界在零平面上的区域的模哈密顿量，证明其构成无限维李代数且满足马尔可夫性质，得到熵的强次可加饱和与相对熵强超可加的结果。
Local Modular Hamiltonians from the Quantum Null Energy Condition
在任何相对论量子场论中，Rindler楔的真空模哈密顿量$K$都是由boost生成元给出的.在这里，我们研究了更一般的半空间，这是有界的任意光滑切割的零平面的模Hamilton。我们推导出一个公式的二阶导数的模哈密尔顿相对于坐标的削减，示意性地阅读$K" = T_{vv}$。这个公式可以被积分两次以获得模哈密顿量的简单表达式。结果自然地将Rindler模块化Hamilton的标准表达式推广到这一类更大的区域。我们的主要假设是量子零能条件-一个区域的冯诺伊曼熵的二阶导数与应力张量之间的不等式-以及这些区域在真空中的饱和度。我们讨论了这些假设在自由理论和全息理论中对$1/N$中所有阶的有效性。
Non-local modular flows across deformed null-cuts
本研究探讨了与平面零切割面相关的非局域模流，利用半侧模包含性质精确确定模哈密顿量，并在2+1维自由标量场中显式构造生成元，分析其局域与非局域分解及有限模流的微扰方程。
Flavored modular differential equations
本文研究源于 Kac-Moody 代数四阶零态的带味模微分方程，揭示其在模 $S$ 变换下的几乎协变性，并证明该方程的模性质与移位性质可固定代数结构及生成所有最高权表示的带味特征标。
Modular operator for null plane algebras in free fields
我们考虑由量子场论中定域于零平面区域的可观测量生成的代数。对于标量自由场论，我们证明了单粒子结构可以分解成一个连续的直接积分的类光纤维，和相应的模块操作分解。这意味着QNEC的某种形式在涉及零平面上半空间的因果完备化（零割）的自由域中是有效的。我们还计算了零割代数相对于真空和某些相干态的相对熵。
Uniqueness of null-local modular flow
研究零局部模流的唯一性问题，通过研究无质量克莱因 - 戈登理论，为因果菱形过去零边界矢量场构造态，经计算表明此类态在同一局部希尔伯特空间唯一，还论证了真空扇区零局部模流由真空态提供，并对其他情况进行评论。
Modular differential equations for characters of RCFT
我们讨论的方法，基于向量值模形式的理论，以确定所有的模微分方程所满足的共形特征的RCFT，这些模方程是有关的零向量关系的运营商代数。除了描述有效的算法程序，我们说明我们的方法上一个明确的例子。
Modular Hamiltonians for Deformed Half-Spaces and the Averaged Null Energy Condition
在$\mathbb{R}^{1,d-1}$上研究了相对论量子场论中变形半空间真空态对应的模哈密顿量。我们表明，除了通常的升压发电机，有一个贡献的模块化哈密顿在一阶的形状变形，成比例的零分量的应力张量沿Rindler地平线的积分。我们利用这个事实以及相对熵的单调性来证明闵可夫斯基时空中的平均零能量条件。从而给出了CFT三点函数中参数的Hofman-Maldacena界的一个新的证明。我们的主要技术进步包括适应新开发的微扰方法计算纠缠熵的问题。这些方法最近被用来证明某些结果的形状依赖的纠缠在CFTs和这里我们推广这些结果的激发态和实时动力学。我们还讨论了这一结果的AdS/CFT对应物，与最近提出的全息理论中的模块化哈密顿的引力对偶。
Modular differential equations for torus one-point functions
本文证明了在有理共形场论中，每个给定最高权状态的环面单点函数满足一个模微分方程。我们推导并解决这些微分方程显式的Virasoro极小模型。然而，一般来说，由此产生的振幅似乎不能用标准的超越函数来表示。
Cosets of Meromorphic CFTs and Modular Differential Equations
一些家庭之间的关系的两个字符的CFTs解释使用稍微广义陪集建设，和基本的理论（其存在性仅基于模微分方程）的构建。同样的方法也产生了有趣的新的例子，CFTs与三个和四个字符。
Differential equations from null vectors of the Ramond algebra
考虑N=1超维拉索罗代数的四个Ramond场的手征块，其中一个场是（1，2）表示.我们展示了如何在（1，2）表示的零矢量确定的手征块作为一系列的扩展。然后，我们转向伊辛模型找到一个代数方法来确定四个自旋场块的微分方程。扩展这些想法的超级Virasoro的情况下，我们发现一个一阶微分方程块的四个雷蒙字段。在许多情况下，我们都能找到精确的解。我们比较我们的块与其他方法已知的结果。
One loop amplitude from null string
在零弦论的框架下，我们将CHY形式主义推广到单圈水平。零弦是一种无张力的弦论，它产生的结果与手征环量弦论相同，后者被认为是对CHY形式的弦解释。我们的形式主义的一个关键特征是模块化参数的解释。我们发现普通弦论的$S$模变换不变性在零弦论的情况下不成立。用这种方法处理模参数上的积分，可以导出场论中的n阶散射振幅，从而证明了n阶猜想。
Holomorphic quasi-modular bootstrap
本文将全纯模自举推广到带味情形，通过约束手征代数的特殊零态并结合拟模微分方程，完全确定未扭曲与扭曲扇区谱，并揭示零态在模群及谱流平移下的隐藏结构。
Defects, modular differential equations, and free field realization of N = 4 VOAs
对于所有具有简单规范群$G$的4d $\mathcal{N} = 4$ SYM理论，我们证明了与理论中的Gukov-Witten型表面缺陷相关的$\mathcal{N} = 4$ Schur指数中被积函数的留数等于提供相关$\mathcal{N} = 4$ VOA自由场实现的$bc βγ$系统的秩$G$拷贝的真空特征.这一结果表明，这些剩余，作为模的字符，是额外的解决方案的味模微分方程所满足的原始Schur指标。预测验证的$G = SU(2)$的情况下，其中一个额外的对数的解决方案被构造。
Null Vectors in Logarithmic Conformal Field Theory
研究了维拉索罗代数在对数共形场论下的表示理论。在这里，不可分解的表示必须考虑在内，这有许多有趣的后果。我们研究的推广零向量对不可分解的表示模块的情况下，特别是，如何这样的对数零向量可以用来推导微分方程的关联函数。我们表明，微分方程的关联函数与对数领域成为非齐次。
Fermionic Rational Conformal Field Theories and Modular Linear Differential Equations
我们定义了$\text{SL}_2(\mathbb Z)$的二级同余子群$Γ_\vartheta$、$Γ^0(2)$和$Γ_0(2)$的模线性微分方程（MLDE）.每个子组对应于环面上的自旋结构之一。利用能级二同余子群的价公式研究了费米子MLDE的极结构。我们专注于一阶和二阶全纯MLDE没有极点，并使用它们来找到一个大类的“费米子有理共形场论”，其中有非负整数系数的$q$ -系列展开的特征。我们研究了这些费米子RCFTs的详细性质，其中一些是超对称的。这项工作也为费米模张量范畴的分类提供了一个起点。
Modular linear differential equations for four-point sphere conformal blocks
我们构造模线性微分方程（MLDEs）w.r.t.子群的模块组的解决方案是Virasoro共形块出现在扩展的交叉对称4点相关的领域。这使用了交叉转换和模块转换之间的连接。我们专注于二阶MLDE的情况下，所有相同的和成对相同的运营商的相关器。中心荷、上述算子的维数以及中间算子的维数都用这种MLDE中出现的参数来表示。在这样做时，$q$ -扩展的解决方案的MLDE相比，Virasoro块，因此，Zamolodchikov的椭圆递归公式提供了一个重要的输入。利用各个子群的作用，建立了包含相关3点系数的自举方程，并根据MLDE参数求解。我们提出了明确的例子，MLDE对应的BPZ和新的非BPZ方程，以及酉和非酉CFTs。
A General Proof of the Quantum Null Energy Condition
我们证明了相对论QFT中任意状态$ψ$下的$\left< T_{--}(x) \right>_ψ$的一个约束下界，称为量子势能条件（QNEC）.该边界由穿过$x$的纠缠切割的几何纠缠熵在零方向上的二阶形变给出。我们的证明涉及最近使用的两个独立的方法来证明较弱的平均能量条件（ANEC）的组合。特别是状态$ψ$的形状变形下的模块化哈密顿量的属性起着重要的作用，因果关系的考虑。本文研究了探测算子$\mathcal{O}$在态$ψ$中的两点函数，并利用光锥极限来计算这种相关器.而不是因果关系的时间，我们认为\emph{causality in modular time}的模块化的进化探针运营商，我们限制使用富田竹崎理论以及某些推广有关的理论模块化的夹杂物。QNEC遵循非常相似的考虑，以推导出混沌界和因果求和规则。我们使用一种亏算子乘积展开将复制技巧应用到这些模流计算中，其中位移算子起着重要的作用。我们的方法的灵感来自于QNEC的AdS/CFT证明，该证明遵循AdS边界附近的Ryu-Takayanagi（RT）表面的性质，并结合纠缠楔嵌套的要求。我们的方法，因此，被设计为一个精确的探针的RT表面接近的边界的一个假定的引力/弦对偶的\emph{any} QFT与一个相互作用的UV固定点。我们还证明了一个更高的自旋版本的QNEC。
Vertex operator algebras, Higgs branches, and modular differential equations
每个四维${\cal N}=2$超共形场论都有一个复杂的代数不变量，即相应的顶点算子代数。在相同的理论中，这个不变量和更传统的受保护量之间的关系还没有完全理解。在这项工作中，我们的目标是描述真空的模空间的希格斯分支（作为一个代数几何实体）和相关的顶点算子代数之间的连接。最后，我们的建议是简单的，但它的正确性需要存在的顶点算子代数的真空Verma模的非平凡零向量的数量。特别感兴趣的是一个这样的零矢量，其存在表明，舒尔指数的任何${\cal N}=2$ SCFT应该服从有限阶模微分方程。通过超共形指数的“高温”极限，这使得Weyl反常系数$a$可以用相关顶点算子代数的表示理论来重新解释。我们用一些例子来说明这些思想，包括与简单李代数的“Deligne-Cvitanović例外级数”相关的一系列秩一理论，几个Argyres-Douglas理论家族，一系列${\cal S}$理论，以及具有$\mathfrak{su}(n)$规范群的${\cal N}=4$超级杨-米尔斯（适用于$n$的小到中等值）。
Modularity of Schur index, modular differential equations, and high-temperature asymptotics
本文解析研究4d N=2 SCFT带味Schur指标的模性，聚焦A₁型S类理论与SU(N)规范群N=4理论，推导模轨道与空间维数，预言模微分方程最低阶，并建立高温下缺陷Schur指标与星形箭群S³配分函数的对应关系。
Deformed SW curve and the null vector decoupling equation in Toda field theory
结果表明，变形的Seiberg-Witten曲线方程经Fourier变换后可映射为含有额外完全简并场的AGT对偶2dCFT共形块的微分方程.我们仔细地匹配参数的对偶性的两侧，从而提供不仅是一个简单的独立证明的AGT对应Nekrasov-Shatashvili极限，但也AGT的情况下，当一个辅助字段包括在CFT共形块的扩展。讨论了我们的结果在研究一大类$n$阶Fuchsian微分方程单值问题中的应用.
All-order differential equations for one-loop closed-string integrals and modular graph forms
我们研究了玻色子理论、杂波理论和第二类理论中闭弦单圈振幅中世界片环面上积分的生成函数。这些闭弦积分服从齐次线性微分方程的模参数的环面。我们拼出一阶柯西-黎曼和二阶拉普拉斯方程的生成函数的任何数量的外部状态。这种环面积分的低能量展开引入了无限族的非全纯模形式，称为模图形式。我们的研究结果产生齐次的一阶和二阶微分方程的任意这样的模块化图形的形式，可以被看作是一个步骤，所有的顺序低能量扩展的闭弦积分。
Surface defects, flavored modular differential equations and modularity
每个4d $\mathcal{N} = 2$ SCFT $\mathcal{T}$对应于相关联的VOA $\mathbb{V}(\mathcal{T})$，其通常是非理性的，具有更复杂的表示理论。$\mathbb{V}(\mathcal{T})$中的非平凡态可以产生非平凡的有味模微分方程，这些方程必须由所有$\mathbb{V}(\mathcal{T})$ -模的精化/有味特征满足。以$\mathcal{S}$类的$A_1$理论$\mathcal{T}_{g,n}$为例，构造了Schur指标所满足的调味模微分方程.我们发现，三种类型的表面缺陷指数引起这些微分方程的共同解决方案，因此是来源的$\mathbb{V}(\mathcal{T})$ -模块字符。这些方程在模变换下几乎是协变的，保证了对数解的存在，这可能对应于对数模的特征。
Modular Linear Differential Equations for Hecke and Fricke Groups
模线性微分方程（MLDE）在二维CFTs的分类中起着重要的作用，其中方程的模形式属于$\text{SL}(2,\mathbb{Z})$空间。系统地研究Hecke群$Γ_{0}(N)$和Hecke群$Γ_{0}^{+}(N)$的微分方程及其解将有助于我们更好地理解CFT分类，因为$\text{SL}(2,\mathbb{Z})$的子群的MLDE分析还没有显著的工作。在本文中，我们建立和解决MLDE的Hecke和Hecke集团在$N\leq 12$水平和报告的容许字符型解决方案，在每个组。我们发现，只有前四个属零组$Γ_{0}^{+}(p)$，其中$p$是一个素因子的怪物组$\mathbb{M}$具有容许的单字符的解决方案，我们认为，解决方案$Γ_{0}^{+}(11)$是不可接受的，由于其Hauptmodul，而那些为$Γ_{0}^{+}(13)$是不可接受的，由于性质的基础分解的空间的模形式。本文给出了Hecke群$Γ_{0}(2)$、$Γ_{0}(7)$及其模塔中的后续群$Γ_{0}(49)$的单特征标水平上的一个新的拟特征标解.我们还扩展了所有的结果，单字符的解决方案的Sparkke群的所有素因子水平的$\mathbb{M}$和备注的有利性质，在每个组中，可以发挥作用，在获得容许的解决方案。最后，我们找到了与能级$p = 2,3,5,7$相关的$Θ$ -系列以及相应的Kissi…
From modular forms to differential equations for Feynman integrals
在这些程序中，我们讨论了一种表示模块化的形式，更适合于他们的应用程序的费曼积分的计算中的迭代积分和微分方程方法。特别是，我们表明，对于每一个模块化的形式，我们可以找到一个表示的权力的第一类完整的椭圆积分乘以代数函数。我们用几个例子来说明这个结果。特别是，我们将展示如何明确地重写椭圆多重zeta值作为迭代积分的权力，完整的椭圆积分和有理函数，我们讨论了如何使用我们的结果的上下文中所满足的微分方程系统的日出和风筝积分。
Quasi-lisse vertex algebras and modular linear differential equations
引入拟lisse顶点代数的概念，推广了容许仿射顶点代数。证明了拟lisse顶点算子代数上的普通模的正规化特征标具有模不变性，即它满足模线性微分方程.作为应用，我们得到了在$-h^{\vee}/6-1$水平上与Deligne例外级数相关的单仿射顶点代数的显式特征标公式，它将Beem，Lemos，Liendo，Peelaers，Rastelli和van Rees研究的四维SCFT的齐次Schur指标表示为拟模形式.
Constraining Quantum Fields using Modular Theory
Tomita-Takesaki模理论为量子场论提供了一套代数工具，适用于研究态的信息论性质。对于时空中的每一个开集和两个状态的选择，模理论定义了一个正算子，称为相对模算子，它在子区域的限制下单调递减。我们研究了这种算子单调性不等式对量子场论中关联函数的影响。我们这样做，通过构建一个单参数Renyi家庭的信息理论措施，从相对的模块化运营商，继承单调性的建设和减少到关联函数在特殊情况下。在有限量子系统的情形下，这个Renyi族就是三明治Renyi发散，并得到了它的单调性的一个新的简单证明。它的单调性意味着对量子场论中的关联函数的一类约束，我们只知道其中的一小部分。我们探讨自由场和共形场论的这些不等式。我们猜想Renyi发散的二阶零导数是非负的，这是量子零能条件在Renyi族中的推广。
Modular properties of characters of the W3 algebra
在以前的工作中，精确的公式和微分方程的轨迹的零模的功率在W3代数。本文研究了它们的模性质，特别是得到了n = 1，2，3时$W_0^n$的迹的模变换的精确结果，精确地解决了Gaberdiel，Hartman和Jin所研究的问题.我们还发现满足模微分方程的痕迹与一个单一的$W_0$插入，并将它们与微分方程研究Mathur等人。我们发现，值得注意的是，这些似乎都与重量0模块形式与非负整数系数的扩展。
Curious QNEIs from QNEC: New Bounds on Null Energy in Quantum Field Theory
本文推导出新的量子空能量不等式家族，为量子场论中真空能量提供了新的界限，结合了QNEC、von Neumann熵的强子加性、缺陷算子展开和真空模哈密顿量。
Differential Rings from Special Kähler Geometry
本文研究了定义在某些单参数Calabi-Yau三重环族的变形空间上的分次环的三重环。这些环类似于模形式、拟模形式和几乎全纯模形式的环。我们还讨论了它们在求解全纯反常方程中的一些应用。
Recovering the QNEC from the ANEC
我们研究了QFT中的相对熵，将真空态与由输入态确定的、使用相对模流构造的特殊净化族进行了比较。我们用它来证明一个猜想墙，涉及的形状导数的相对熵的变分表达式的平均零能量的可能的净化。这个变分表达式可以用来方便地证明量子零能条件。我们制定墙的猜想作为一个定理有关算子代数满足的性质的半边模块化包含，与额外的假设，输入状态有有限的平均零能量。在此基础上，我们给出了相对熵的强超可加性的一个新的推导。我们推测可能的连接到最近的方法来加强单调性的相对熵恢复地图。
Eigenvalue equation for genus two modular graphs
在亏格为2的模空间上得到了一类模图函数所满足的二阶微分方程，每个模图函数有两个链环。通过分析这些图在Beltrami微分的变化下的变化，得到了该特征值方程。这个方程包含七个不同的图形，其中三个出现在II型弦论中亏格2处四个引力子振幅的低动量展开的$D^8\mathcal{R}^4$项的被积函数中。
Differential equations, duality and modular invariance
本文解决了由一个顶点算子代数的手征亏格零相关函数构造所有手征亏格一相关函数的问题，该顶点算子代数满足以下条件：（i）V的任何非零齐次元素的权非负，且权零子空间是一维的;（ii）每个N-分次弱V-模是完全可约的;（iii）V是C_2-上有限的。我们建立这些功能的基本属性，包括适当制定的交换性，结合性和模不变性。我们在这里开发和使用的方法与朱和其他人以前使用的方法完全不同。特别是，我们表明，$q$ -迹的产品的某些几何修改的交织算子满足模块不变系统的微分方程，对于任何固定的模块参数，减少到双周期系统只有正则奇点。本文的结果与作者在亏格为零的情况下得到的结果一起，从本质上解决了由满足上述条件的顶点算子代数的表示构造手征亏格为一的弱共形域论的问题.
Anderson duality of topological modular forms and its differential-geometric manifestations
本文构造了实现拓扑模形式（TMF）Anderson对偶性的谱态射及其微分版本，利用RO(G)分次TMF理论识别了负度同伦群元素，并探讨了与顶点算子代数相关的猜想。
The algebra of derivations of quasi-modular forms from mirror symmetry
本文研究了镜像非紧Calabi-Yau三重增强的模空间。微分形式是中维上同调的元素，其变化由配备平坦高斯-马宁连接的混合霍奇结构的变化来描述。我们在这些模空间上构造了特殊函数的分次微分环，并证明了它们包含拟模形式的环。证明了拟模形式的导子代数可以由Gauss-Manin联络与增强模空间上的向量场收缩得到。我们提供的例子给出了这种结构的典范丛的镜像$\mathbb{P}^2$和$\mathbb{F}_2$。
Generalized Schur limit, modular differential equations and quantum monodromy traces
研究广义施尔极限与量子单束迹之间的关系，揭示其与模微分方程及Higgs分支的联系。
The three-loop equal-mass banana integral in $\varepsilon$-factorised form with meromorphic modular forms
我们证明了三圈等质量香蕉积分的微分方程可以被转换成一个$\varepsilon$ -因式分解的形式，其条目由（亚纯）模形式和一个特殊的函数构成，该函数可以作为亚纯模形式的迭代积分给出。微分方程的$\varepsilon$因式分解形式允许对维度正则化参数$\varepsilon$中的任何阶的系统解。迭代积分的字母表包含六个字母。
Generalised 4d Partition Functions and Modular Differential Equations
研究广义四维超conformal gauge理论的Schur分区函数与二维有理conformal field理论中向量值模形式的积分表示等价性，推导出广义Schur分区函数满足的模线性微分方程及其与量子单值性迹的关系。
Holomorphic modular bootstrap revisited
本文通过分析有理共形场论的特征所满足的模微分方程，重新讨论了有理场论的“全纯模自举”分类。利用${\rm PSL}(2,\mathbb{Z}_n)$的表示理论，我们描述了一种方法来分类允许中心荷和重量$(c,h_i)$的理论与任何数量的字符$d$。这使我们能够避免以前在文献中遇到的各种瓶颈，并导致一致的字符的分类$d=5$的模块化微分方程是唯一固定的$(c,h_i)$。在此过程中，我们确定了固定$d\leq 5$的朗斯基索引允许值的全套约束。
Apéry's irrationality proof, Beukers's modular forms and mirror symmetry
本文利用Calabi-Yau三重镜像对称的思想，研究了Beukers和Peters所发现的K3曲面的模形式和单参数族，为Apéry在证明$ζ(3)$的无理性时所构造的两个神秘序列提供了启示.我们将构造一个四阶微分算子和一个预势从这个微分算子的标准解。这个预势相对于镜像映射的三阶导数定义了一个汤川耦合，它是一个权-4模形式。这个汤川耦合的瞬子展开产生积分瞬子数，也是周期性的，周期为6。
Meromorphic modular forms and the three-loop equal-mass banana integral
我们考虑一类微分方程的多圈费曼积分，可以解决的所有订单在维正则化的迭代积分的亚纯模形式。我们证明了模形式变换的子群可以自然地与某个二阶微分算子的单值群相一致。我们提供了一个明确的分解空间的模块化形式的直接总和的总衍生物和一个基础的模块化形式，不能被写入衍生物的其他功能，从而推广的结果之一，作者的形式充分的模块化组任意有限指数子群的亏格为零。最后，我们将我们的结果应用到两个和三个循环的等质量香蕉积分，我们获得特别是第一次完整的分析结果为高阶的三维正则化的三个循环的情况下，其中涉及迭代积分的亚纯模形式。
Modular Solutions to Equations of Generalized Halphen Type
一类推广Hüssen系统的微分系统的解是用自守函数来确定的，自守函数的群与模群是可交换的。这些函数都是亏格为零的黎曼曲面的一致化函数，并具有整系数的$q$ -级数.有理映射有关这些功能的推导，这意味着子群之间的关系，它们的自同构群，以及相关的微分系统的对称化映射。
Modular Differential Equations with Movable Poles and Admissible RCFT Characters
本文突破模线性微分方程的极点位置限制，研究双特征标、任意可动极点的MLDE的参数化、约束与递推关系，验证其与准特征标预测一致，并证明多数情形对应真实CFT，且模数据为方法输出。
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