在这项工作中，所有的dessins d 'enfant不超过4条边列出和他们的Belyi对计算。为了枚举所有的dessins的矩阵模型计算的技术被使用。共发现134个类，其中77个类为球形，1属53个，2属4个。给出了所有图的自同构群的阶，并按边数列出了图。具有相同边数的Dessins按它们的0价列表按字典顺序排序。给出并计算了任意零价元素列表的相应矩阵模型。对于1 - 3边的Dessins，采用复矩阵模型。对于四边形，我们采用埃尔米特矩阵模型，并在文献[1]中计算了它的矩阵子。
英文摘要：
In this work all the dessins d'enfant with no more than 4 edges are listed and their Belyi pairs are computed. In order to enumerate all dessins the technique of matrix model computations was used. The total number of dessins is 134; among them 77 are spherical, 53 of genus 1 and 4 of genus 2. The orders of automorphism groups of all the dessins are also found.
Dessins are listed by the number of edges. Dessins with the same number of edges are ordered lexicographically by their lists of 0-valencies. The corresponding matrix model for any list of 0-valencies is given and computed. Complex matrix models for dessins with 1 -- 3 edges are used. For the dessins with 4 edges we use Hermitian matrix model, correlators for which are computed in [1].
The field of moduli and fields of definition of dessins d'enfants
我们介绍dessins d 'enfants从现有的各种观点：作为拓扑覆盖空间，作为曲面与三角形，并作为代数曲线与功能分歧超过三个点。本文证明了Belyi定理，即这类曲线定义在数域上，并定义了绝对Galois群Gal（$\overline Q/Q$）在dessins d 'enfants上的作用.我们证明了几种dessins d'enfants被定义在其模域上：正则dessins，dessins没有非平凡的自同构和dessins有一个面。在最后一部分中，我们给出了两个模域不是Q的阿贝尔扩张的正则dessins d'enfants的例子。这两个例子都有亏格61和模为Q（2 ^（1/3））的域。
在本文中，我们专注于三角曲线相关的dessins d'enfants的性质。Degtyarev研究dessins d 'enfants计算辫子monodromies和基本群的三角曲线使用他们的组合数据。我们首先对所有可能的组合数据进行分类，这些数据可能发生在低度数的三角曲线上，以及所有度数的可能性的数量的界限。我们还研究了三角曲线的变形及其相应的变形。Degtyarev特别感兴趣的是当dessins是最大的情况。给出了三角曲线可变形为极大三角曲线的一个充分条件。
大约二十年前，Zapponi基于嵌入二部图的定向，引入了一个干净的dessin d 'enfant的可定向性概念。我们将这个概念（我们称之为Z-可定向性，以区别于传统的拓扑定义）扩展到所有设计的更广泛背景，并使用它来定义扭转可定向性的概念，该概念还考虑了通过排列白色和黑色顶点以及面中心的角色获得的设计的Z-可定向性属性。我们观察到，这些属性是伽罗瓦不变的，我们研究在何种程度上，他们是由标准的不变量，如护照和monodromy和自同构群。我们发现，在一般情况下，他们是独立的这些不变量，但在情况下，定期dessins他们确定的monodromy组。
Wall-crossing formulae and strong piecewise polynomiality for mixed Grothendieck dessins d'enfant, monotone, and simple double Hurwitz numbers
我们推导出显式公式的生成系列的混合Grothendieck dessins d 'enfant/单调/简单的Hurwitz数，通过半无限楔形形式主义。这揭示了Goulden-Jackson-Vakil意义下的强分段多项式性，推广了Johnson的一个结果，并给出了混合情形下分段多项式性的一个新的显式证明.此外，我们推导出混合情况下的跨壁公式。这些陈述专门针对三种类型的赫维茨数中的任何一种，以及任何对的混合情况。
Belyi-extending maps and the Galois action on dessins d'enfants
通过寻找绝对伽罗瓦群对Grothendieck的dessins d 'enfants的忠实作用的不变量和轨道来研究绝对伽罗瓦群。我们定义了一类函数称为贝利扩展映射，我们用它来构建新的伽罗瓦不变量的dessins从以前已知的不变量。Belyi扩张映射是绝对伽罗瓦群注入Grothendieck-Teichmuller群的“新型”关系的来源。我们明确了如何从一般的Belyi扩张映射得到其相关不变量的公式，该公式可以在计算机代数软件包中实现。我们给出了一个例子，一个新的不变量不同的两个dessins具有相同的价值，其他容易计算的不变量。
Modular Subgroups, Dessins d'Enfants and Elliptic K3 Surfaces
我们考虑亏格为零的33个共轭类，无挠模子群，计算分歧数据和Grothendieck的dessins d 'enfants。在指数为36的子群的特殊情况下，相应的卡-丘三重被确定，类似于指数为24的情况下，与K3曲面相关联。在平行的脉络中，我们研究了P^1上的112个半稳定椭圆纤维化作为具有6个奇异纤维的极值K3曲面。在每种情况下，通过指定该代表的生成集来识别相应类别的子组的代表。
本文研究了模群$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$的Hecke同余子群$Γ_0(N)$的Dessins d 'enfants的一般性质.将$Γ_0(N)$定义为二维向量空间中投射格偶的稳定子，给出了商集$Γ_0(N)\backslash\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$作为投射格$N$ -超远离参考格的解释，因此作为环$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上的投射线。$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$在晶格上的自然作用定义了一个dessin d 'enfant结构，允许对经典模曲线的特征进行组合处理，例如扭点和尖点。我们列出了与属零的$15$ Hecke同余子群相关的dessins d 'enfants，这些子群出现在Monster sporadic group的Moonshine中。
An explicit quasiplatonic curve with non-abelian moduli field
我们给出一个例子，经常dessin d 'enfant其领域的模不是一个阿贝尔扩展的有理数，即它是一个领域所产生的立方根2。这回答了前面的一个问题。我们还证明了底层曲线具有非阿贝尔模场，给出了一个具有非阿贝尔模场的拟柏拉图曲线的显式例子。在最后一节中，我们注意到，在以前的文献中的两个例子可以用来寻找其他的例子，正规dessins d'enfants与非阿贝尔领域的模。
Dessins d 'enfants是定义在代数数域上的紧致Riemann曲面上的组合结构，正则Dessins是其中最对称的一类。若G是有限群，则G中只有1000个正则dessins具有自同构群G.它展示了如何枚举它们，如何将它们全部表示为单个正则dessin U（G）的子项，以及某些超映射操作如何作用于它们。例如，如果G是一个n阶循环群，则U（G）是费马曲线上的一个亏格为（n-1）（n-2）/2的n次映射。另一方面，如果G=A_5，则U（G）有亏格274218830047232000000000000000001.对于其他非交换的有限单群，亏格要大得多。
Hyberbolic Belyi maps and Shabat-Blaschke products
本文首先介绍Belyi映射的双曲型类似物、Shabat多项式和Grothendieck's dessins d 'enfant。特别地，我们介绍并研究了单位圆盘上的Shabat-Blaschke乘积及其双曲型dessin d 'enfants的大小。然后我们研究一类特殊的Shabat-Blaschke乘积，即Chebyshev-Blaschke乘积。受Ismail和Zhang（2007）关于Ramanujan整函数系数的工作的启发，我们将给出Chebyshev-Blaschke乘积系数的类似算术性质，然后用它们证明θ函数的Landen型恒等式。
Triply mixed coverings of arbitrary base curves: Quasimodularity, quantum curves and a mysterious topological recursions
简单的Hurwitz数枚举具有固定分歧数据的黎曼曲面之间的分支态射。近年来，在文献中出现了几种关于属$0$基曲线的这一概念的变体。其中有所谓的单调Hurwitz数，它与随机矩阵理论中的HCIZ积分有关，以及严格单调Hurwitz数，它计数某些Grothendieck dessins d 'enfants。我们概括的概念，Hurwitz数简单，单调和严格单调的Hurwitz数之间的插值到任何属和任意数量的任意，但固定的衍生配置文件。这产生了几个已知的赫尔维茨数的结果的概括。当目标曲面的亏格为1时，我们证明了这些插值Hurwitz数的生成序列是拟模形式。在所有分歧是简单的情况下，我们通过将这个序列写为对应于由Gromov-Witten不变量加权的热带覆盖的拟模形式的和来改进这个结果。此外，我们推导出一个量子曲线的单调和Grothendieck dessins d 'enfants Hurwitz数为任意的一般和一个任意的，但固定的衍生物配置文件。因此，我们通过半经典极限得到谱曲线作为CEO拓扑递归的输入数据。令人惊讶的是，我们发现严格单调Hurwitz数的亏格$1$谱曲线的CEO拓扑递归计算亏格$0$中的单调Hurwitz数。从而给出了单调Hurwitz数满足CEO拓扑递归的一个新的证明。这表明这些枚举数之间存在未知的关系。最后，专门针对目标表面$\mathbb{P}^1$，我们发现递…
Università degli studi di Trieste（的里雅斯特大学）；Istituto Nazionale di Fisica Nucleare (INFN), Sezione di Trieste（意大利国家核物理研究所（INFN）的里雅斯特分部）；Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa（里斯本大学理学院）
本文通过基本方法研究Hurwitz数在高 genus 下的渐进行为，涵盖单、双及任意固定分支类型，以及简单或包含完整循环等分支类型，总结了主要贡献。
