We study the action of $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ on the category of Belyi functions (finite, étale covers of $\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{Q}}}\setminus \{0,1,\infty\}$). We describe a new combinatorial $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$-invariant for whose monodromy cycle types above $0$ and $\infty$ are the same. We use a version of our invariant to prove that $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ acts faithfully on the set of Belyi functions whose monodromy cycle types above 0 and $\infty$ are the same; the proof of this result involves a version of Belyi's Theorem for odd degree morphisms. Using our invariant, we obtain that for all $k < 2^{\sqrt{\frac{2}{3}}}$ and all positive integers $N$, there is an $n \le N$ such that the set of degree $n$ Belyi functions of a particular rational Nielsen class must split into at least $Ω\left(k^{\sqrt{N}}\right)$ Galois orbits.
Belyi-extending maps and the Galois action on dessins d'enfants
通过寻找绝对伽罗瓦群对Grothendieck的dessins d 'enfants的忠实作用的不变量和轨道来研究绝对伽罗瓦群。我们定义了一类函数称为贝利扩展映射，我们用它来构建新的伽罗瓦不变量的dessins从以前已知的不变量。Belyi扩张映射是绝对伽罗瓦群注入Grothendieck-Teichmuller群的“新型”关系的来源。我们明确了如何从一般的Belyi扩张映射得到其相关不变量的公式，该公式可以在计算机代数软件包中实现。我们给出了一个例子，一个新的不变量不同的两个dessins具有相同的价值，其他容易计算的不变量。
Conjugation of Transitive Permutation Pairs and Dessins d'Enfants
设E是一个有限集.给定E的置换x和y，它们一起生成一个传递子群，对于其中s，x和y与s的共轭也生成一个传递子群吗？这种传递置换对编码dessins d 'enfants，重要的图论对象，也被称为具有很大的算术意义。绝对伽罗瓦群作用于dessins d 'enfants，并以一种非常神秘的方式置换它们。两个具有某些基本组合特征的dessins d 'enfants通过上面的共轭联系在一起，并且在同一个伽罗瓦轨道上的dessins d' enfants具有这些特征和更多特征，所以似乎值得对上面的问题有一个好的答案。相对于x和y，我精确地对那些保证新对是传递的换位s进行分类。我还提供了“例外”的例子，显示了可能的行为范围，并证明了上述问题的例外情况下，是等价于一个自然的问题删除图，可能有一个很好的答案，在这个更结构化的世界拓扑图。最后，我根据它们如何改变x，y的dessin d 'enfant下面的曲面的亏格来分类换位。一些工具，如重路由操作/定理，可能有超越儿童设计的用途。
An elementary approach to dessins d'enfants and the Grothendieck-Teichmüller group
我们给一个帐户的理论dessins d 'enfants这是既基本和自足的。我们描述了许多类别（图形嵌入很好的表面上，有限集与某些排列，某些域扩张，和某些类的代数曲线）的等价性，其中一些是自然赋予的行动的绝对伽罗瓦群的合理领域。我们证明了行动是忠实的。最后证明了这个绝对伽罗瓦群嵌入Drinfel'd引入的Grothendieck-Teichmüller群$GT_0$中.有明确的近似$GT_0$的有限群，我们希望鼓励在这方面的计算。我们的治疗包括一个结果，这还没有出现在文献中：伽罗瓦行动的子集定期dessins -也就是说，那些表现出最大的对称性-也是忠实的。
本文研究了模群$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$的Hecke同余子群$Γ_0(N)$的Dessins d 'enfants的一般性质.将$Γ_0(N)$定义为二维向量空间中投射格偶的稳定子，给出了商集$Γ_0(N)\backslash\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$作为投射格$N$ -超远离参考格的解释，因此作为环$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上的投射线。$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$在晶格上的自然作用定义了一个dessin d 'enfant结构，允许对经典模曲线的特征进行组合处理，例如扭点和尖点。我们列出了与属零的$15$ Hecke同余子群相关的dessins d 'enfants，这些子群出现在Monster sporadic group的Moonshine中。
Hyberbolic Belyi maps and Shabat-Blaschke products
本文首先介绍Belyi映射的双曲型类似物、Shabat多项式和Grothendieck's dessins d 'enfant。特别地，我们介绍并研究了单位圆盘上的Shabat-Blaschke乘积及其双曲型dessin d 'enfants的大小。然后我们研究一类特殊的Shabat-Blaschke乘积，即Chebyshev-Blaschke乘积。受Ismail和Zhang（2007）关于Ramanujan整函数系数的工作的启发，我们将给出Chebyshev-Blaschke乘积系数的类似算术性质，然后用它们证明θ函数的Landen型恒等式。
四维CFTs对偶于横截于环面卡-丘三重的膜，已经用环面上的二分图（二聚体模型）来描述。我们使用的理论dessins d 'enfants来描述这些方面的三重排列乘一。这些排列产生了一个优雅的描述之字形路径，这已经出现在表征的环形二聚体，导致一致的SCFT。这些Dessins也与Belyi对有关，它由一条曲线组成，该曲线带有一个到P^1的映射，并在P^1上的三个点上分叉。我们构造了一些与CFTs相关的Belyi对的显式例子，包括C^3和锥。超势的置换对称性与Belyi对的几何有关。阿丁辫群作用及其变体起着有趣的作用。本文提出了一个猜想，将Belyi曲线的复结构与共形场论中的R-荷联系起来。
Absolute Galois acts faithfully on the components of the moduli space of surfaces: A Belyi-type theorem in higher dimension
给定Q的代数闭包Qbar上的对象，通常没有理由由绝对伽罗瓦群Gal（Qbar/Q）保留相应全纯对象的不变量，并且一般来说这是不正确的，尽管在实践中有时会令人惊讶地观察到。投影线的覆盖只在点0、1和无穷大上分支的情况，通过Belyi定理，导致Grothendieck的dessins d 'enfants程序，用于通过绝对伽罗瓦群在这种覆盖上的忠实作用来理解绝对伽罗瓦群。这说明是出于Catanese的问题，一个更高的维的类似物：绝对伽罗瓦群忠实地作用于光滑曲面的变形等价类？（根据定义，这些等价类当然是最强的变形不变量。我们给出了一个较弱结果的简短证明：绝对伽罗瓦群忠实地作用于光滑曲面（一般类型，正则极化）的模空间的不可约分量。鲍尔、卡坦尼斯和格鲁内瓦尔德最近用不同的结构回答了卡坦尼斯最初的问题。
