On a conjecture of Parker about Dessins d'Enfants
Corneliu Hoffman
本文讨论帕克猜想最一般情形的反证。该猜想涉及到一定的群论对象领域的模的Dessin d 'enfant。
This note is concerned with the disproof of the most general case of Parker's conjecture. The conjecture relates a certain group theoretic objects to the field of moduli of a Dessin d'enfant.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Belyi-extending maps and the Galois action on dessins d'enfants
通过寻找绝对伽罗瓦群对Grothendieck的dessins d 'enfants的忠实作用的不变量和轨道来研究绝对伽罗瓦群。我们定义了一类函数称为贝利扩展映射，我们用它来构建新的伽罗瓦不变量的dessins从以前已知的不变量。Belyi扩张映射是绝对伽罗瓦群注入Grothendieck-Teichmuller群的“新型”关系的来源。我们明确了如何从一般的Belyi扩张映射得到其相关不变量的公式，该公式可以在计算机代数软件包中实现。我们给出了一个例子，一个新的不变量不同的两个dessins具有相同的价值，其他容易计算的不变量。
Automorphism Groups of Uniform Dessins d'Enfants of Genus at Least Two
研究一致通行证的dessins d'enfants的正则性和自同构群，证明形式为$[b^q,b^q,n]$的通行证在亏格≥2时存在平凡自同构群的dessin，并构造了所有dessin具有非平凡或平凡自同构群的例子。
Regularity and Automorphism Groups of Dessins d'Enfants with Uniform Passports
本文研究了具有统一护照的 dessin d'enfants 的正则性和自同构群，证明了特定护照条件下 dessin 的正则性和自同构群性质，并给出了对称群元素计数的定理。
Dessins d'Enfants for Single-Cycle Belyi Maps
Riemann存在定理给出了下列双射：（1）$d$次Belyi映射的同构类. (2)$d$次生成系统的等价类。(3)具有$d$边的dessins d'enfants的同构类。在以前的工作中，第一作者和合作者利用Belyi映射及其生成系统之间的对应关系，为两个无限族的动力Belyi映射提供了显式方程。我们通过描述这两个家庭的孩子的故事来完成这幅图画。
Uniform Unicellular Dessins d'Enfants with Trivial Automorphism Groups
本文证明每个亏格至少为2的均匀单细胞护照均存在具有平凡自同构群的dessin，通过计数论证比较置换表示数量下界与非平凡自同构数量上界完成证明。
Equivalence classes of dessins d'enfants with two vertices
令$N$为正整数。对任意正整数$L\leq N$和$N$的任意正因子$r$，我们给出了具有$N$边、$L$面和两个自同构群为$r$阶循环群的dessins d'enfants的等价类.进一步，对任意非负整数$h$，我们给出了具有$N$边的图，具有$h\leq N$的$2$度的$h$面，以及自同构群为$r$阶循环的两个顶点的等价类.我们的论点基本上是基于一个自然的一对一的对应关系的等价类的所有dessins与$N$边缘的等价类的所有对置换与组件生成传递子群的对称群的程度$N$。
Monodromy Groups of Dessins d'Enfant on Rational Triangular Billiards Surfaces
本文研究有理三角台球曲面上儿童画的单值群，通过分析由黑白顶点旋转生成的代数不变量，完成了该类单值群的分类。
Monodromy Groups of Dessins d'Enfant on Rational Polygonal Billiards Surfaces
本文研究有理多边形台球曲面上的儿童画，计算其单值群，并完整确定有理三角形台球曲面上可能出现的全部单值群。
Hecke Groups, Dessins d'Enfants and the Archimedean Solids
Grothendieck的dessins d'enfants出现在21世纪数学物理的许多领域中的频率越来越高。本文综述了Dessins与Hecke群理论之间的联系。专注于限制类的高度对称dessins对应于所谓的阿基米德固体，我们应用这一理论，以提供一种手段，计算代表的相关共轭类的Hecke子群在每种情况下。本文的目的是证明数学物理中出现的设计可以为进一步的研究指出新的和迄今为止意想不到的方向。此外，由于阿基米德固体对应的dessins的许多特定的普遍性，希望是本文的计算结果将证明有用的进一步研究这些对象在数学物理上下文中。
Dessins d'enfants and Brauer configuration algebras
在本文中，我们关联到一个dessin d'enfant的结合代数，称为布劳尔配置代数。这是一个代数给出的dessin d'enfant的monodromy和关系诱导。我们证明了与dessin d 'enfant相关的Brauer构形代数的维数和该代数的中心维数在绝对伽罗瓦群的作用下是不变的.我们给出一些著名的代数和他们的dessins d'enfants的例子。最后证明了dessin d'enfant的Brauer构形代数与其对偶的Brauer构形代数共享同一个路代数。
Dessins d'enfants for analysts
本文提出了一种精确计算亏格为0或亏格为1的超映射和三角剖分的Belyi函数的算法，以及相应的Dessins，该算法基于一种由圆填充初始化的数值迭代方法，并结合随后的格点约简.与以前的方法相比，它的主要优点是它适用于更大的图;我们使用很少的代数几何，并旨在使本文尽可能独立。
On dessins d'enfants with equal supports
本文围绕Belyi函数对应的儿童画展开研究，明确了儿童画及其支集的定义，解决了不同儿童画具有相同支集的条件判定问题，为复分析、代数几何领域的儿童画相关研究提供了结论支撑。
Conjugation of Transitive Permutation Pairs and Dessins d'Enfants
设E是一个有限集.给定E的置换x和y，它们一起生成一个传递子群，对于其中s，x和y与s的共轭也生成一个传递子群吗？这种传递置换对编码dessins d 'enfants，重要的图论对象，也被称为具有很大的算术意义。绝对伽罗瓦群作用于dessins d 'enfants，并以一种非常神秘的方式置换它们。两个具有某些基本组合特征的dessins d 'enfants通过上面的共轭联系在一起，并且在同一个伽罗瓦轨道上的dessins d' enfants具有这些特征和更多特征，所以似乎值得对上面的问题有一个好的答案。相对于x和y，我精确地对那些保证新对是传递的换位s进行分类。我还提供了“例外”的例子，显示了可能的行为范围，并证明了上述问题的例外情况下，是等价于一个自然的问题删除图，可能有一个很好的答案，在这个更结构化的世界拓扑图。最后，我根据它们如何改变x，y的dessin d 'enfant下面的曲面的亏格来分类换位。一些工具，如重路由操作/定理，可能有超越儿童设计的用途。
A new $\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$-invariant of dessins d'enfants
本文研究了$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$在Belyi函数范畴（$\mathbb{P}^1_{\overline{\mathbb{Q}}}\setminus \{0,1,\infty\}$的有限代数覆盖）上的作用.我们描述了一个新的组合$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$ -不变量的单值循环类型以上的$0$和$\infty$是相同的。我们使用我们的不变量的一个版本来证明，$\operatorname{Gal}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$忠实地作用于一组Belyi函数的monodromy周期类型以上0和$\infty$是相同的，这一结果的证明涉及一个版本的Belyi定理奇度态射。使用我们的不变量，我们得到，对于所有的$k < 2^{\sqrt{\frac{2}{3}}}$和所有的正整数$N$，有一个$n \le N$，使一个特定的合理尼尔森类的程度$n$ Belyi函数的集合必须分裂成至少$Ω\left(k^{\sqrt{N}}\right)$伽罗瓦轨道。
Machine-Learning Dessins d'Enfants: Explorations via Modular and Seiberg-Witten Curves
我们将机器学习应用于儿童疾病的研究。具体地说，我们研究了一类Dessins居住在交叉的调查模子群，Seiberg-Witten曲线和极值椭圆K3曲面。建立了一个结构简单、具有标准激励函数的深度前馈神经网络，该网络不需要数学先验知识，并将其应用于有理数上的可拓度分类问题.分类达到0.92的准确度与0.03标准误差相对较快。对于那些合理的系数的Seiberg-Witten曲线也制成表格。
Calabi-Yau Varieties: from Quiver Representations to Dessins d'Enfants
（1）以卡-丘表示的箭图，（2）黎曼曲面上的二部图的组合学，（3）镜像对称的几何学之间的联系产生了一个丰富的主题，其核心是规范/弦理论的物理学。我们回顾了这个复杂的故事的各个部分在一定程度上的深度，为数学观众没有任何物理知识的假设，强调了过多的结果居住在代数几何，表示论和数论之间的交叉点。
An elementary approach to dessins d'enfants and the Grothendieck-Teichmüller group
我们给一个帐户的理论dessins d 'enfants这是既基本和自足的。我们描述了许多类别（图形嵌入很好的表面上，有限集与某些排列，某些域扩张，和某些类的代数曲线）的等价性，其中一些是自然赋予的行动的绝对伽罗瓦群的合理领域。我们证明了行动是忠实的。最后证明了这个绝对伽罗瓦群嵌入Drinfel'd引入的Grothendieck-Teichmüller群$GT_0$中.有明确的近似$GT_0$的有限群，我们希望鼓励在这方面的计算。我们的治疗包括一个结果，这还没有出现在文献中：伽罗瓦行动的子集定期dessins -也就是说，那些表现出最大的对称性-也是忠实的。
Cusps, Congruence Groups and Monstrous Dessins
本文研究了模群$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$的Hecke同余子群$Γ_0(N)$的Dessins d 'enfants的一般性质.将$Γ_0(N)$定义为二维向量空间中投射格偶的稳定子，给出了商集$Γ_0(N)\backslash\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$作为投射格$N$ -超远离参考格的解释，因此作为环$\mathbb{Z}/N\mathbb{Z}$上的投射线。$\mathrm{PSL}_2(\mathbb{R})$在晶格上的自然作用定义了一个dessin d 'enfant结构，允许对经典模曲线的特征进行组合处理，例如扭点和尖点。我们列出了与属零的$15$ Hecke同余子群相关的dessins d 'enfants，这些子群出现在Monster sporadic group的Moonshine中。
Surface Algebras I: Dessins D'enfants, Surface Algebras, and Dessin Orders
在本文中，一个无限维结合代数，这将被称为一个\emph{Surface Algebra}，是在一个“典型”的方式相关联的dessin d 'enfant，或更一般地说，一个细胞嵌入图的黎曼曲面。一旦曲面代数被构造出来，我们将看到我们在这里称之为关联\emph{Dessin Order}或更一般地称之为\emph{Surface Order}的构造。这就提供了一种方法，将每一条代数曲线$X$与函数域$k(X)$（定义在任意域$k$上）、曲面代数的表示论和曲面序上的格相关联，曲面序被定义为交换$k$ -代数上的某些矩阵代数的拉回。然后，我们将能够证明，中心和（非交换）正规化的表面秩序是不变的作用下的绝对伽罗瓦集团$\mathcal{G}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$。我们将看到曲面代数和曲面序与黎曼曲面的基本群（oid）和相关的monodromy群密切相关。给出了曲面序上的简单模的投射分解的描述，并证明了仅用简单模的投射分解就可以完全恢复原结果.特别地，简单模的投射分解编码了一个设计的单值群（或制图群）的所有组合和拓扑数据。最后，作为一个推论，我们可以说，在$\mathcal{G}(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})$的轨道上分类dessins等价于在给定的归一化下分类dessin阶。最后，我们与一些进一步的例子，…
Hyberbolic Belyi maps and Shabat-Blaschke products
本文首先介绍Belyi映射的双曲型类似物、Shabat多项式和Grothendieck's dessins d 'enfant。特别地，我们介绍并研究了单位圆盘上的Shabat-Blaschke乘积及其双曲型dessin d 'enfants的大小。然后我们研究一类特殊的Shabat-Blaschke乘积，即Chebyshev-Blaschke乘积。受Ismail和Zhang（2007）关于Ramanujan整函数系数的工作的启发，我们将给出Chebyshev-Blaschke乘积系数的类似算术性质，然后用它们证明θ函数的Landen型恒等式。
Klein's ten planar dessins of degree 11, and beyond
本文从现代的dessins d 'enfants的观点重新解释Klein关于度$11$变换的论文中的思想，并通过考虑$(3,2,p)$型dessins和度$p$或$p+1$，其中$p$是素数，推广了他的结果.在许多情况下，我们确定这些dessins的护照和monodromy组，并在少数情况下，我们给出的图纸是拓扑（或在某些例子中，甚至几何）正确的。我们使用Bateman-Horn猜想和广泛的计算机搜索来支持一个猜想，即对于某个素数幂$q$，有无穷多个素数的形式为$p=(q^n-1)/(q-1)$，在这种情况下，无穷多个群${\rm PSL}_n(q)$作为置换群和单值群的次数为$p$（群论中的一个公开问题）。
Shabat Polynomials and Monodromy Groups of Trees Uniquely Determined by their Passport
dessin d'enfant或dessin是嵌入黎曼曲面的双色图。非循环的dessins可以描述解析由某些多项式的原像，称为Shabat多项式，也代数由他们的monodromy群，也就是说，由旋转的黑色和白色顶点的边缘所产生的组。本文研究了平面非循环系统的Shabat多项式和单值群，它们由其护照唯一确定。
Galois Action on Diameter Four Trees
本文的研究对象是一类被称为直径四树的Dessins d'enfants。这些对象首先由G. Shabat，可以被认为是最简单的非平凡的例子，etale覆盖的投影线减去三点。它们的算术性质仍然是神秘的，它们的研究可以启发对更一般情况的理解。在这里，主要的兴趣是致力于行动的绝对伽罗瓦群对这些（同构类）覆盖。特别是，在许多情况下，我们能够区分伽罗瓦轨道和描述的分解群的行动。另一个中心结果是关于野生分歧的研究，我们展示了如何减少到驯服的情况下，然后推导出一些详细的算术信息。
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