分形集的尺规作图法及相关的线性算子

再论一类分形

More on one class of fractals

这篇文章专门讨论具有Moran结构的集合。主要关注的是拓扑，度量和分形性质的某些集合，其元素有限制使用数字或数字组合在自己的表示。

2022-06-27math.CA

d维分形集上s逼近d时的Riesz s-平衡测度

Riesz s-Equilibrium Measures on d-Dimensional Fractal Sets as s Approaches d

设$A$是$\Rp$中豪斯多夫维数$d$的紧集.对于$s\in(0,d)$，Riesz $s$ -平衡测量$μ^{s,A}$是在$A$中支持的唯一Borel概率测量，其在所有这样的概率测度上最小化$$ \Is(μ):=\iint\Rk{x}{y}{s}dμ(y)dμ(x)$$。在本文中，我们证明了如果$A$是严格自相似的$d$ -分形，那么当$s$从下面逼近$d$时，$μ^{s,A}$在弱星拓扑中收敛于限制于$A$的规范化$d$维Hausdorff测度。

2009-05-13math.CA

Hölder指数与自仿函数水平集的分形结构：关联于数的Q_s表示

Hölder exponents and fractal structure of level sets of self-affine functions associated with the $Q_s$-representation of numbers

Institute of Mathematics, National Academy of Sciences of Ukraine（乌克兰国家科学院数学研究所）；Dragomanov Ukrainian State University（德拉戈马诺夫乌克兰国立大学）

研究通过Q_s表示定义的局部复杂自仿函数，计算给定Q_s表示中数字渐近频率点的局部Hölder指数，确定函数具有连续水平集的条件，并描述满足额外条件的自仿函数最大点集的几何结构，证明其可为分形。

2026-03-25math.CA

关于分形集的多项式构形

On polynomial configurations in fractal sets

我们发现，足够大的Hausdorff和傅立叶维数的$\mathbb{R}^n$的子集包含多项式模式的形式\begin{align*} ( x ,\, x + A_1 y ,\, \dots,\, x + A_{k-1} y ,\, x + A_k y + Q(y) e_n ), \quad x \in \mathbb{R}^n,\ y \in \mathbb{R}^m, \end{align*}其中$A_i$是真正的$n \times m$矩阵，$Q$是一个真正的多项式在$m$变量和$e_n = (0,\dots,0,1)$。

2016-03-29math.CA

平衡分形集上的极小Riesz能量

Minimal Riesz energy on balanced fractal sets

研究了具有代数相关收缩比的非整数维分形集上最小$N$ -点Riesz $s$ -能量的渐近行为.对于大于$A$维数的$s$，我们证明了$A$的最小$N$ -点Riesz $s$ -能量沿显式连续的渐近行为，但我们证明了一般的渐近行为不存在.

2020-09-24math.CAmath.MG

一维及高维正则测度的可加能量与分形测不准原理

Additive energy of regular measures in one and higher dimensions, and the fractal uncertainty principle

我们得到了一维和高维（Ahlfors-David型）正则测度的加性能量的新界，这意味着相关正则集的和与积的展开结果，以及这些集合的更一般的非线性函数.作为高维结果的推论，我们得到了奇数维分形测不准原理的一些新的情况。

2021-06-22math.CA

球面极大函数与伸缩集的分形维数

Spherical maximal functions and fractal dimensions of dilation sets

本文研究带分形伸缩集的球面极大函数，刻画了其$L^p$提升区域闭包对应的闭凸集特征，揭示其与Minkowski维数、Assouad谱等分形性质的关联，并给出二维拟Assouad正则集下的本质精确结果。

2023-01-23math.CA

分形卷积：一种新的函数间运算

Fractal Convolution: A New Operation between Functions

在本文中，我们定义了一个内部的二元运算之间的功能调用的文本\emph{fractal convolution}，适用于一对映射到一个分形函数。这是通过合适的迭代函数系统来完成的。我们详细研究了操作中的$\mathcal{L}^p$空间和连续函数的集合，以不同的方式以前的作品的作者。我们开发的操作和它的相关集的一些性质。具有零函数的横向卷积提供了线性算子，其特性被探索。文章的最后一部分讨论了函数的Banach空间和希尔伯特空间中卷积分形基和框架的构造。

2019-07-15math.CA

分形集上的非局部积分和导数及其应用

Non-local Integrals and Derivatives on Fractal Sets with Applications

本文讨论了分形康托尔集上的非局部导数。给出了局部和非局部分形导数的标度性质。对局域和非局域分形微分方程进行了求解和比较，并提出了相应的物理模型。

2017-01-03math-phmath.CAmath.MP

关于 fractal 集合中 3APs 的数量

On the number of 3APs in fractal sets

本文研究 fractal 集合中三元等差数列的步长长度集合的大小问题，提出基于测度质量下界和傅里叶变换范数上界的新结果。

2026-02-03math.CA

关于 $\mathbb{R}^n$ 中分形集的受限投影问题

A restricted projection problem for fractal sets in $\mathbb{R}^n$

本文研究分形集沿光滑非退化曲线的受限正交投影，证明对几乎所有参数，投影到对应m阶切空间后的Hausdorff维数等于m与原始维数的最小值。

2024-01-21math.CA

振荡积分与分形维数

Oscillatory Integrals and Fractal Dimension

研究了具有解析相函数和光滑振幅的紧支集振荡积分的几何表示。由振荡积分定义的曲线的几何性质取决于相位的临界点的类型。我们给出了这些曲线的盒维数和Minkowski含量的显式公式。方法包括牛顿图和奇点的奇点的分解。

2016-09-21math.CA

关于一类分形集

On one class of fractal sets

在本文中，引入了以以下形式表示的所有集合的新类$Υ$：$$ \mathbb S_{(s,u)}\equiv\left\{x: x= Δ^{s}_{{\underbrace{u...u}_{α_1-1}} α_1{\underbrace{u...u}_{α_2 -1}}α_2 ...{\underbrace{u...u}_{ α_n -1}}α_n...}, α_n \in A_0, α_n \ne u, α_n \ne 0 \right\}, $$，其中$2<s\in \mathbb N$和$u\in A$是固定参数，$A=\{0,1,\dots,s-1\}$和$A_0=A \setminus \{0\}$。这些集的拓扑，度量和分形性质进行了研究。问题属于这些套正常的号码进行了调查。给出并证明了一个任意集合的Hausdorff-Besicovitch维数的计算定理，该集合的元素在自己的s-adic表示中对数字或数字组合的使用有限制. 2012年，作者在摘要中介绍了本文的结果（https：//www.researchgate.net/publication/303054326，https：//www.researchgate.net/publication/303053939，https：//www.researchgate.net/publication/303054835）。该调…

2017-03-15math.CA

离散康托集的分形不确定性原理何时最具不确定性？

When is the fractal uncertainty principle for discrete Cantor sets most uncertain?

San Francisco State University（旧金山州立大学）；Fudan University（复旦大学）

该研究给出离散康托集分形不确定性原理达到最不确定指数的充要条件，研究分布式谱对并完成循环群中的分类，还探讨了连续情形下的对应情况。

2026-08-17math.CAmath.FA

分形上的一般Hölder水平集

Generic Hölder level sets on Fractals

定义在分形上的一般连续函数水平集的豪斯多夫维数在R。Alzheimer，Z. Buczolich和M.大象在这些论文中定义了分形的拓扑豪斯多夫维数。本文研究了定义在分形上的一般$1$ -Hölder- $α$函数的水平集.这与分形的某种“厚度”、“导电性”性质有关。本文的主要概念是$D_{*}(α, F)$，它是定义在分形$F$上的一般$1$ -Hölder- $α$函数的水平集的豪斯多夫维数的本质上确界。证明了$D_{*}(α, F)$的一些基本性质，并以“厚分形海绵”为例计算了它的值，证明了对于连通自相似集$D_{*}(α, F)$，它等于一般$1$ -Hölder- $α$函数范围内几乎每一层的豪斯多夫维数.

2022-02-27math-phmath.CAmath.MP

分形维数、近似值和数据集

Fractal dimension, approximation and data sets

本文的目的是研究大数据集上的分形现象及其降维问题。我们研究的情况下，经典的主成分分析是不是有效地识别数据集的显着的基本分形特征。相反，我们采用离散能量，一种从几何测度论借来的技术，来限制位于$k$维超平面附近的给定数据集的点的数量，或者更一般地说，靠近给定的上Minkowski维的集合。具体的动机来自自然产生的数据集进行了说明，并概述了未来的方向。

2022-09-24math.CAmath.STstat.TH

广义Hölder水平集与分形电导率

Generic Hölder level sets and fractal conductivity

定义在分形上的一般连续函数的水平集的豪斯多夫维数可以给出与分形集$F$相对应的“网络”的“厚度/窄横截面”的信息。由此引出分形的拓扑豪斯多夫维数的定义。在本文中，我们继续我们的研究一般$1$ -Hölder- $α$功能的水平集。虽然在以前的文件中，我们给出了初始定义，并建立了这些通用的水平集的一些属性，在本文中，我们提供了数值估计的情况下的谢尔皮斯基三角形。这些计算提供了更好的洞察力，并说明了为什么人们可以认为这些通用的$1$ -Hölder- $α$水平集是测量分形“网络”的“厚度/窄截面/电导率”的东西。我们还给出了一个例子，我们称之为$D_{*}(α, F)$相变的现象。这大致意味着，对于某个较低的范围{$α$ s }，只有$F$的几何形状决定了$D_{*}(α, F)$，而对于较大的值，Hölder指数$α$也很重要。

2022-08-31math-phmath.CAmath.DS

分形切片的β-展开集与Hausdorff测度

Sets of beta-expansions and the Hausdorff Measure of Slices through Fractals

我们研究自然措施集的β-扩张和切片通过自相似集。在β-展开式的背景下，这些结果使我们能够更好地理解随机β-变换的最大熵的度量，并重新解释Lindenstrauss，Peres和Schlag关于等分布的一个结果。这些应用程序中的每一个都与伯努利卷积的研究有关。在分形设置，这使我们能够了解如何分解豪斯多夫措施切片，导致条件下，几乎每一个切片通过自相似集有积极的豪斯多夫措施，推广长期已知的结果几乎处处的价值观的豪斯多夫维数。

2013-07-08math.CAmath.DSmath.NT

随机字母离散Cantor集的分形测不准原理

Fractal uncertainty principle for discrete Cantor sets with random alphabets

本文研究了离散Cantor集的分形不确定性原理（FUP）。考虑M个数字的基数和基数A的字母表，使得所有对应的康托集都有固定的维数0<log A/log M<2/3。我们证明了FUP与Dyatlov-Jin（arXiv：1608.02238）的改进指数几乎适用于所有字母表，渐近M趋于无穷大。我们的结果提供了最好的指数时，康托集享受最强的傅立叶衰减假设或最强的附加能量假设。证明是基于一个浓度的测量现象的空间中的字母。

2021-07-17math.CAmath.PRmath.SP

分形不确定性原理对于随机康托集

Fractal uncertainty principle for random Cantor sets

California State University, Northridge（北岭加州州立大学）

本文研究了随机康托集的分形不确定性原理，通过不同的随机方法构建了维度在(0,2/3)内的随机康托集，并证明了在高概率下该原理成立。

2026-09-01math.CAmath.PR

关于${\Bbb R}^d$中分形集的算术和

On arithmetic sums of fractal sets in ${\Bbb R}^d$

称紧集$E\subset {\Bbb R}^d$是算术厚的，如果存在正整数$n$，使得$E$的$n$ -倍算术和具有非空内部.我们证明了$E$的算术厚度，如果$E$是一致非平坦的，在这个意义上，存在$ε_0>0$，使$x\in E$和$0<r\leq {\rm diam}(E)$，$E\cap B(x,r)$从来没有停留$ε_0r$ -接近超平面在${\Bbb R}^d$。此外，我们证明了几类分形集的算术厚度，包括自相似集，自共形集在${\Bbb R}^d$（与$d\geq 2$）和自仿射集在${\Bbb R}^2$不位于超平面，和某些自仿射集在${\Bbb R}^d$（与$d\geq 3$）在特定的假设下。

2020-06-22math.CAmath.DSmath.MG

纯不可整流集、分形渗流与函数图形

Purely unrectifiable sets, fractal percolation and graphs of functions

ELTE Eötvös Loránd University（罗兰大学）；Westlake University（西湖大学）

本文综述了作者关于不可整流性的研究成果，包括Takagi、Weierstrass-Cellerier等连续函数图形上的纯不可整流1-集，以及分形渗流几乎必然纯α-不可整流的条件。

2026-06-16math.CAmath.PR

分形集的下S-维数

Lower S-Dimension of Fractal Sets

最近已经研究了R^d中一般集合的（上和下）Minkowski内容和（上和下）基于表面积的内容（S-内容）之间的相互关系，以及它们的相关维度之间的相互关系（参见图1）。[3]）。虽然上维度总是一致的，并且上内容彼此有界，但[3]中获得的界限表明，下内容和维度具有更大的灵活性。我们表明，这确实是这样的。存在其下S-维数严格小于其下Minkowski维数的集合。更精确地说，给定两个数s，m，其中0 < s < m < 1，我们在R^d中构造具有较低S维数s+d-1和较低Minkowski维数m+d-1的集合。特别地，这些集合被用来证明在[3]中获得的关于这两个维度的一般关系的不等式是最好的可能。

2010-10-11math.CAmath.MG

离散二维Cantor集的分形不确定性

Fractal uncertainty for discrete 2D Cantor sets

本文证明了离散二维Cantor集具有分形不确定性原理当且仅当其不含正交直线，关键运用了Lang猜想的定量形式，回答了Dyatlov的问题并应用于开放量子映射。

2024-10-05math.APmath.CAmath.SP

实直线分形子集上的新导数

New Derivatives on Fractal Subset of Real-line

本文介绍了定义在分形集上的函数的广义分式Riemann-Liouville和Caputo类导数。在分形集上定义了Gamma、Mittag-Leffler和β函数。给出了非局部拉普拉斯变换，并将其应用于求解线性和非线性分形方程。利用这些新的非局部导数的优点在于，它们被用于更好地模拟过程的记忆效应。

2015-12-11math-phmath.CAmath.MP

关于分形集求和-乘积问题的注记

A note on the sum-product problem for fractal sets

研究分形集的求和-乘积问题，利用几何与离散求和-乘积理论，证明分形集的乘积集或和集的盒维数下界，改进后的差集下界更优。

2026-04-22math.CAmath.CO

一般Hölder水平集的盒维数

Box dimension of generic Hölder level sets

本文研究一般Hölder水平集的盒维数，扩展了之前关于Hausdorff维数的研究，发现下盒维数与Hausdorff维数行为相似，而上盒维数则不同，并通过对Sierpiński三角形的估计说明差异。

2023-06-19math.CAmath.DS

一类分形测度族Jacobi矩阵的渐近性质

Asymptotic properties of Jacobi matrices for a family of fractal measures

研究了弱平衡Cantor集的平衡测度所对应的Jacobi矩阵的性质和渐近性。近年来，人们定义了这类Cantor集，并对它们上的正交多项式进行了不同方面的研究。我们的主要目的是数值研究一些不直接遵循以前的结果有关正交多项式的代数。我们还比较了我们的结果与更一般的递归系数与分形措施支持$\mathbb{R}$。

2016-03-07math.CAmath.SP

实线上分形集的曲率三点模式问题

A curved three-point pattern problem for fractal sets on the real line

National Center for Theoretical Sciences, National Taiwan University（台湾大学理论科学中心）；Department of Mathematics, National Taiwan University（台湾大学数学系）

研究实线上分形集的曲率三点配置出现，证明当分形维数足够大时，集内存在与非线性函数相关联的曲率三点进展。

2026-04-28math.CAmath.CO

自相似及相关分形的投影：最新进展综述

Projections of self-similar and related fractals: a survey of recent developments

近年来，人们对理解许多具体分形集和测度的投影产生了很大的兴趣，并取得了很大的进展。总的目标是能够超越一般的结果，如马斯特兰德定理，并量化每个投影的大小-或至少在一些非常小的集合之外的每个投影。本文调查了其中的一些结果和技术，以获得它们，重点是线性投影的平面自相似集和措施。

2015-01-05math.CAmath.DS

由压缩映射的 $\mathcal{F}$-极限集表示的一般分形

General fractals represented by $\mathcal{F}$-limit sets of compression maps

本文提出利用集值压缩映射将一般非齐次分形表示为固定参数化空间中的 $\mathcal{F}$-极限集，证明了其计算复杂度与序列无关，并引入“一致覆盖条件”估计极限集的 Hausdorff 维数下界。

2024-06-02math.CAmath.DSnlin.PS

分散型Furstenberg集II：一般构型与分形限制投影

Spread-out Furstenberg sets II: general configurations and fractal restricted projections

该论文针对阴影未局部集中于 pencil 的特定构型证明最优对偶 Furstenberg 估计，推导平面及高维限制投影定理，并将其应用于 Grassmann 流形曲面投影、固定距离等多个分形相关问题。

2026-10-12math.CAmath.CO

纽豪斯厚度、分形交点和分形图案的研究综述

A survey on Newhouse thickness, fractal intersections and patterns

在这篇文章中，我们引入了一个称为厚度的集合的大小概念，它可以用来保证两个康托集合相交（间隙引理），并显示厚度，施密特游戏和模式之间的联系。我们主要在实线上工作，但我们也在更高的维度上介绍这个主题。

2022-12-05math.APmath.CAmath.DS

高维Bourgain-Dyatlov分形测不准原理

A higher dimensional Bourgain-Dyatlov fractal uncertainty principle

我们在更高的维度上建立了Bourgain和Dyatlov在2016年获得的分形不确定性原理。傅立叶支持被限制到集合$Y\subset \mathbb{R}^d$，其可以被$δ$的许多乘积覆盖-在一维中但相对于任意轴的正则集合。如果$Y$被非同态扭曲，我们的结果仍然成立。我们的方法结合了Bourgain和Dyatlov的原始方法，在Jin和Zhang的2017年更定量的再现中，使用了Cartan集技术。

2018-05-22math.APmath.CA

分形集合中不均匀性的量化

Quantifying inhomogeneity in fractal sets

非均匀分形集是指在不同点上表现出不同标度行为的分形集。一个集合的Assouad维数是一个找到覆盖该集合的“最困难的位置和尺度”的量，它与盒维数的差异可以被认为是该集合不均匀程度的第一级总体度量。对于下一个层次的分析，我们开发了一个定量的理论不均匀性，考虑的措施，周围的一组点，该集表现出一定程度的不均匀性在一定的规模。对于一组例子，一个家庭的$(\times m, \times n)$不变的子集的2-环面，我们表明，这个数量满足大偏差原则。我们比较这个家庭的成员，演示率函数如何让我们更深入地了解他们的不均匀性。

2015-11-06math.CAmath.DSmath.PR

Assouad维数与分形几何

Assouad dimension and fractal geometry

这是一本将于2020年由剑桥大学出版社出版的书（数学丛书）。它集中于欧几里得空间中集合和测度的Assouad维数，以及Assouad维数的许多变体，包括低维和Assouad谱。它认为这些概念的设置分形几何和主题包括：弱切线，自相似集，自仿射集，Mandelbrot渗流，极限集的Kleinian群，正交投影，距离集，和Kakeya集。它还考虑了这些思想在其他领域的应用，包括：嵌入理论，数论，概率论和泛函分析。它以一系列悬而未决的问题结束。

2020-05-07math.CAmath.DSmath.FA

随机分形中的模式

Patterns in Random Fractals

利用$A$的几乎必然维数刻画了分形渗流极限集$A$中某些几何构型的存在性.我们研究的配置的一些例子是：位似副本的有限集，角度，距离和体积的单形。在随机离散集的相对Szemerédi定理的精神下，我们还考虑了正$ν$ -测度集的相应问题，其中$ν$是$A$上的自然测度.在这两种情况下，我们确定了每一类配置的尺寸阈值。这些结果是通过调查的产品的交叉点的$m$独立实现的$A$与横截平面，更一般地说，代数品种，并扩展一些众所周知的功能，独立渗流树的设置与长程依赖。

2017-03-28math.CAmath.COmath.PR