Stanley decompositions of squarefree modules and Alexander duality
Ali Soleyman Jahan
本文研究了多项式环上无平方模的素滤子和无平方Stanley分解以及外代数关于Alexander对偶的性质。
In this paper we study how prime filtrations and squarefree Stanley decompositions of squarefree modules over the polynomial ring and the exterior algebra behave with respect to Alexander duality.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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On the Stanley Depth of Squarefree Veronese Ideals
设$K$为字段，而$S=K[x_1,...,x_n]$。在1982年，Stanley定义了$S$ -模块$M$的Stanley深度，表示为$\sdepth(M)$，并证明了对于所有的可编程生成的$S$ -模块$M$，都有$\depth(M) \le \sdepth(M)$.这个猜想在大多数情况下仍然是开放的。然而，Herzog，Vladoiu和Zheng最近提出了一种攻击的情况下，当$M = I / J$与$J \subset I$是单项$S$理想。具体来说，他们的方法将$M$与偏序集相关联。在本文中，我们利用这种关联使用组合工具来分析平方自由Veronese理想$S$。特别是，如果$I_{n,d}$是无平方Veronese理想的程度$d$生成的所有无平方单项式，我们表明，如果$1\le d\le n < 5d+4$，那么$\sdepth(I_{n,d})= \floor{\binom{n}{d+1}\Big/\binom{n}{d}}+d$，如果$d\geq 1$和$n\ge 5d+4$，那么$d+3\le \sdepth(I_{n,d}) \le \floor{\binom{n}{d+1}\Big/\binom{n}{d}}+d$。
On the Stanley depth of squarefree monomial ideals
设$\mathbb{K}$是一个域，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$是域$\mathbb{K}$上的$n$变量的多项式环。假设$\mathcal{C}$是具有$n$顶点的弦杂波，并假设$\mathcal{C}$的最小边基数至少为$d$。证明了$S/I(c_d(\mathcal{C}))$满足Stanley猜想，其中$I(c_d(\mathcal{C}))$是$\mathcal{C}$的$d$ -补的边理想.这特别表明$S/I$满足Stanley猜想，其中$I$是具有线性分辨率的二次单项理想。定义了单项式理想$I$的Schmitt-Vogel数，记为${\rm sv}(I)$，证明了对任意无平方根的单项式理想$I$，不等式${\rm sdepth}(I)\geq n-{\rm sv}(I)+1$和${\rm sdepth}(S/I)\geq n-{\rm sv}(I)$成立.
Stanley depth on five generated, squarefree, monomial ideals
设$I\supsetneq J$是$\geq d$次生成域上多项式代数的两个无平方单项式理想. $\geq d+1$。假设$I$是由四个次数为$d$和其他次数为$\geq d+1$的无平方根单项式生成的，或者是由五个次数为$d$的特殊单项式生成的。如果$I/J$的斯坦利深度是$\leq d+1$，则$I/J$的通常深度也是$\leq d+1$。
Stanley depth and symbolic powers of monomial ideals
本文研究了无平方根单项理想的符号幂的Stanley深度。证明了对任意的无平方根单项理想$I$和任意的整数对$k, s\geq 1$，不等式${\rm sdepth} (S/I^{(ks)}) \leq {\rm sdepth} (S/I^{(s)})$和${\rm sdepth} (I^{(ks)}) \leq {\rm sdepth} (I^{(s)})$成立.此外，如果$I$是不混合的高度$d$，那么我们表明，对于每个整数$k\geq1$，${\rm sdepth}(I^{(k+d)})\leq {\rm sdepth}(I^{(k)})$和${\rm sdepth}(S/I^{(k+d)})\leq {\rm sdepth}(S/I^{(k)})$。最后，我们考虑了无平方单项式理想的符号幂的Stanley深度的极限行为。我们还介绍了一种比较单项理想的因子的Stanley深度的方法。
Stanley depth of weakly polymatroidal ideals and squarefree monomial ideals
设$I$是多项式环$S$的弱多拟阵理想或无平方根的单项理想.本文给出了$I$和$S/I$的Stanley深度的一个下界.特别地，我们证明了：如果$I$是一个单次生成的无平方单项式理想，则有${\rm sdepth}(I)\geq n-\ell(I)+1$和${\rm sdepth}(S/I)\geq n-\ell(I)$，其中$\ell(I)$表示$I$的解析扩展.这证明了作者在特殊情况下的一个猜想。
On a conjecture of Stanley depth of squarefree Veronese ideals
本文部分地证实了Cimpoeastern，Keller，Shen，Streib和Young关于无平方Veronese理想$I_{n,d}$的Stanley深度的一个猜想.这个猜想表明，对于正整数$1 \le d \le n$，$\sdepth (I_{n,d})= \lfloor \binom{n}{d+1}/\binom{n}{d} \rfloor+d$。Herzog，Vladoiu和Zheng建立了单项理想的子项的Stanley深度与某些关联偏序集的区间划分之间的联系。基于这种联系，Keller，Shen，Streib和Young最近开发了一个有用的组合工具来分析与平方自由Veronese理想相关的偏序集的区间划分。我们修改了他们的思想，证明了如果$1 \le d \le n \le (d+1) \lfloor \frac{1+\sqrt{5+4d}}{2}\rfloor+2d$，那么$\sdepth (I_{n,d})= \lfloor \binom{n}{d+1}/\binom{n}{d} \rfloor+d$。我们还得到了$n > (d+1) \lfloor \frac{1+\sqrt{5+4d}}{2}\rfloor+2d$的$ \lfloor \frac{d+\sqrt{d^2+4(n+1)}}{2} \rfloor \le \sdepth(I_{n,d}) \le …
Stability of depth and Stanley depth of symbolic powers of squarefree monomial ideals
设$\mathbb{K}$是一个域，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$是$\mathbb{K}$上$n$变量的多项式环。设$I\subset S$是一个无平方根的单项理想.对于每个整数$k\geq 1$，我们用$I^{(k)}$表示$I$的$k$次符号幂。最近，Montaño和Núñez-Betancourt \cite{mn}证明了对于每一对整数$m, k\geq 1$，$${\rm depth}(S/I^{(m)})\leq {\rm depth}(S/I^{(\lceil\frac{m}{k}\rceil)}).$$，我们为这个不等式提供了另一种证明。此外，我们还重新证明了序列$\{{\rm depth}(S/I^{(k)})\}_{k=1}^{\infty}$是收敛的和序列$$\min_k{\rm depth}(S/I^{(k)})=\lim_{k\rightarrow \infty}{\rm depth}(S/I^{(k)})=n-\ell_s(I),$$的已知结果，其中$\ell_s(I)$表示$I$的符号解析展度.我们还确定了$I$的符号权力的深度稳定性指数的上限。其次，我们考虑了符号幂的Stanley深度，证明了序列$\{{\rm sdepth}(S/I^{(k)})\}_{k=1}^{\infty}$和$\{{\rm sdepth}(I^{…
On the quasi-depth of squarefree monomial ideals and the sdepth of the monomial ideal of independent sets of a graph
如果$J\subset I$是两个单项式理想，我们给出了$J/I$的Stanley深度的一个实用上界，称之为$J/I$的\emph{quasi-depth}.此外，我们还计算了几类平方自由单项理想的拟深度。我们还研究了图的独立集所对应的单项式理想的Stanley深度。
The v-numbers of Stanley-Reisner ideals from the viewpoint of Alexander dual complexes
本研究从Alexander对偶复形视角探究Stanley-Reisner理想的v-数，推导其与合冲模初始次数、Serre深度等的关联，还得到2-纯单纯复形下v-数与Stanley-Reisner环维数的等式关系。
Alexander duals of symmetric simplicial complexes and Stanley-Reisner Ideals
给定$\Sym$ -不变的无平方根单项理想的升链$(I_n)_{n\in\mathbb{N}}$，研究了Alexander M的相应链$(I_n^\vee)_{n\in\mathbb{N}}$ .使用一种新的组合工具，我们称之为\emph{avoidance up to symmetry}，我们提供了一个明确的描述的最小生成集对称的原始发电机。结合这个结果与离散几何的方法，这使我们能够表明，轨道生成器的$I_n^\vee$的数量是由一个多项式在$n$足够大的$n$。对于最小次数的轨道发生器的数目也是如此，该次数最终在$n$中是线性函数。前一个结果表明，当$n$较大时，$I_n$的主分量的$\Sym$ -轨道数在$n$中呈多项式增长.作为另一个应用程序，我们表明，对于每个$i\geq 0$，相关的斯坦利-Reisner复合物的$I_n$的$i$ -维面的数量也给出了一个多项式在$n$大$n$。
Alexander duality and Stanley depth of multigraded modules
本文应用Miller关于多项式环上多阶模的理论，研究了这类模的Stanley深度.发展了Stanley猜想的几种工具，并给出了一些部分答案。例如，我们表明，采取亚历山大对偶两次（但不同的“中心”）是有用的这个主题。推广了Apel的一个结果，证明了Stanley猜想对于同属单项式理想的商成立。
When will the Stanley depth increase
设$I\subset S=\KK[x_1,...,x_n]$是由次数为$\ge d$的无平方单项式生成的理想.若$d$的次数极小生成单项式$μ_d(I)\le \min(\binom{n}{d+1},\sum_{j=1}^{n-d}\binom{2j-1}{j})$，则斯坦利深度为$\sdepth_S(I)\ge d+1$。
Stanley-Reisner rings, sheaves, and Poincare-Verdier duality
最近，我定义了多项式环$S = k[x_1, >..., x_n]$上的无平方模，推广了单纯复形$Δ\subset 2^{1, ..., n}$的Stanley-Reisner环$k[Δ] = S/I_Δ$。本文从一个无平方模$M$出发，构造了一个$(n-1)$单纯形$B$上的$k$层$M^+$，它是$2^{1, ..., n}$的几何实现.例如，$k[Δ]^+$是几何实现$|Δ| \subset B$上的常数层（$B$的直接映像）。我们为所有$i > 0$提供$H^i(B, M^+) = [H^{i+1}_m(M)]_0$。$B$上层$M^+$的Poincare-Verdier对偶对应于$S$上无平方模的局部对偶。例如，如果$|Δ|$是一个流形，那么$k[Δ]$是一个Buchsbaum环，它的正则模是一个无平方模，给出了$|Δ|$的方向层，其系数在$k$中。
Arithmetical ranks of Stanley-Reisner ideals via linear algebra
我们提出了一些例子的squarefree单项式理想的算术秩可以计算使用线性代数的考虑。
Stanley-Reisner ideals with linear powers
本文彻底解决了交换代数中关于无平方单项式理想线性分解与线性幂的两个基本开放问题，证明了二者等价及基域独立性仅在特定次数成立，并对其他次数给出了反例与组合分类。
Cohen-Macaulayness of powers of two-dimensional squarefree monomial ideals
二维无平方根单项理想可以看作是图的Stanley-Reisner理想。本文的主要结果是这样一个理想的普通幂和符号幂的Cohen-Macaulay性的组合特征。
On the Stanley depth of powers of monomial ideals
设$\mathbb{K}$是一个域，$S=\mathbb{K}[x_1,\dots,x_n]$是$\mathbb{K}$上$n$变量的多项式环。1982年，R. Stanley将组合不变量关联到任何可重构生成的$\mathbb{Z}^n$分级$S$模块，该模块现在被称为Stanley深度。Stanley指出这个不变量是模深度的一个上界。Stanley猜想已被Duval等人的\cite{abcj}证明是不成立的，其反例是无平方根的单项理想的商.另一方面，也有证据表明Stanley不等式对于单项理想的高次幂成立。在这篇调查文章中，我们收集了这方面的最新成果。更准确地说，我们研究了单项式理想的幂的Stanley深度，幂的整闭包和符号幂。
Alexander Duality for Monomial Ideals and Their Resolutions
亚历山大对偶在过去通过单纯复形的斯坦利-莱斯纳环进入交换代数。这有一个缺点，即一个是有限的平方自由单项理想。亚历山大对偶的概念在这里推广到任意单项理想。它表明如何这种对偶性自然地表示巴斯数，在他们的关系，贝蒂数的一个单项理想和亚历山大对偶。相对上同调的建设细胞复形的单项式理想的自由分解的亚历山大对偶理想的自由分解。作为应用，构造了单项式理想的一个新的标准分解。
Monomial ideals arising from distributive lattices
研究了与分配格的某些子集相关的无平方单项理想的自由分解和Alexander对偶。
Janet's Algorithm
本文介绍了多项式环S = K[x_1，. x_n]，并证明了Janet算法给出了S/I的无平方的Stanley分解。我们还表明，珍妮特算法给出了一个分区的单纯复形。
Betti Cones of Stanley-Reisner Ideals
本文利用 Stanley-Reisner 对应和 Boij-Soderberg 理论，研究无平方单项式理想的 Betti 锥，给出其维数、纯 Betti 图性质，并提出生成任意次数类型纯 Betti 图的算法，部分证明了第一个 Boij-Soderberg 猜想的类比。
Distributive Lattices, Bipartite Graphs and Alexander Duality
从交换代数和组合数学的角度研究了由有限偏序集$P$产生的某个无平方根的单项理想$H_P$.首先证明了$H_P$的Rees代数的定义理想具有二次Gröbner基。因此，特别地，$H_P$的所有幂都具有线性分辨率。其次，明确构造了$H_P$的最小自由分次分解，并给出了计算$H_P$的贝蒂数的组合公式.第三，利用其Stanley-Reisner理想与$H_P$重合的单纯复形$Δ$的Alexander对偶是Cohen-Macaulay这一事实，对所有的Cohen-Macaulay二部图进行分类.
Squarefree P-modules and the cd-index
在本文中，我们引入了一个新的代数概念，我们称之为无平方P-模。这一概念是受Karu关于Gorenstein* 偏序集的cd-指标的非负性证明的启发而提出的，它为从交换代数的角度研究cd-指标提供了一条途径.利用无平方P-模的理论，我们给出了CW-偏序集的几个新的代数和组合结果。首先，我们定义了一个类似的cd-指标的任何CW-偏序集，并证明了它的非负性时，CW-偏序集是Cohen-Macaulay。这个结果证明了Cohen-Macaulay正则CW-复形的重心重分的h-向量是单峰的。其次，证明了奇数维Cohen-Macaulay多面体复形的重心重分的Stanley-Reisner环具有弱Lefschetz性质.第三，我们得到了固定秩生成函数的Gorenstein* 偏序集的cd-指标的精确上界。
Graph and depth of a monomial squarefree ideal
设$I$是域$K$上的多项式环$S$的一个单项无平方理想，使得它的每三个不同的极小素理想之和是$S$的极大理想，或者更一般地是一个常数理想。我们将$I$与$[s]$上的一个图$s=|\Min S/I|$相关联，在该图上我们可以{ \em读取} $I$的深度。特别地，$\depth_S\ I$不依赖于字符$K$。证明了$I$满足Stanley猜想.
Derived Category of Squarefree Modules and Local Cohomology with Monomial Ideal Support
多项式环$S = k[x_1, .., x_n]$上的“无平方模”是Stanley-Reisner环的推广，它使我们能够将同调方法系统地应用于单项式理想的研究.设$Sq$是无平方模的范畴。则$Sq$的导出范畴$D^b(Sq)$有三个对偶函子，它们作用于$D^b(Sq)$，就像对称群$S_3$的三个转置一样（直到平移）。这种现象与Koszul dulaity（特别是Bernstein-Gel'fand-Gel'fand对应）密切相关。利用无平方模研究了Stanley-Reisner理想$I_Δ$上的局部上同调模$H_{I_Δ}^i(S)$.除其他事项外，我们看到，Hochster的公式的希尔伯特函数的$H_m^i(S/I_Δ)$也是一个公式的特征周期的$H_{I_Δ}^{n-i}(S)$作为一个模块的Weyl代数$S<\partial_1, ..., \partial_n >$（如果$chara(k)=0$）。
Powers of Alexander Duals of Stanley-Reisner Ideals of Chessboard Complexes
本文研究棋盘复的Alexander对偶的Stanley-Reisner理想的符号幂与普通幂，刻画线性商条件，给出正则度、初始次数、Waldschmidt常数及v-数的显式公式，并反驳Lu-Wang猜想。
Triplets of pure free squarefree complexes
在多项式环S上的无平方生成自由模的有界复范畴中，存在标准对偶函子D = Hom_S（-，omega_S）和Alexander对偶函子A.组合AD是这个范畴上的一个内函子，其阶数为3，直到翻译为止。我们考虑自由平方模的复形F，使得F，AD（F）和（AD）^2（F）都是纯的，当考虑为单阶化复形时。我们猜想i）对于给定的三元组的度序列，存在这样的三元组的复形，和ii）他们的贝蒂数的唯一性，直到标量倍。我们表明，这种独特性如下的存在，我们构建这样的三胞胎，如果其中两个是线性的。
Gröbner bases of syzygies and Stanley depth
设F.是多项式环K[x_1，.，x_1，.，x_1，.，x_1，.，x_1，.上自由模的Z^n-分次子模的任意自由分解x_n]。我们证明了对于F上的一个合适的项序，第p个合合模Z_p的初始模由项m_ie_i生成，其中m_i是K[ x_{p+1}，.，x_n]。同样对于一大类自由分解F.，在Eliahou-Kervaire分解的基础上，我们证明了Z_p的Gröbner基由F_p的生成元的边界给出.我们应用上述结果给出了合冲模Z_p的Stanley深度的下界，特别是证明了它至少为p+1.我们还证明了，如果I是K[x_1，...，x_n]，则I的Stanley深度至少是2n的平方根的数量级。
Density of $f$-ideals and $f$-ideals in mixed small degrees
如果一个无平方根的单项理想的Stanley-Reisner复形和小平面单纯复形具有相同的$f$ -向量，则称之为$f$ -理想.我们证明了当变量个数趋于无穷大时，在固定度上生成的$f$ -理想具有渐近密度零。我们还提供了新的算法来构建小度生成的$f$ -理想。
Notes on C-graded modules over an affine semigroup ring K[C]
设$C \subset {\bf N}^d$是仿射半群，$R=K[C]$是它的半群环.本文是关于“$C$ -分次”$R$ -模，特别是单项式理想的各种结果的集合.例如，我们证明如下：如果$R$是正规的，并且$I$是根单项理想（即，$R/I$是Stanley-Reisner环的推广），则$R/I$的序贯Cohen-Macaulay性质是与$I$相关的胞腔复形的“几何实现”的拓扑性质.此外，我们可以给出这个结果的一个无平方模/可构造层版本。
Linearity Defects of Face Rings
设$S = K[x_1, ..., x_n ]$是域$K$上的多项式环，$E = K < y_1, ..., y_n >$是外代数.生成的分级$E$模块$N$的“线性缺陷”$ld_E(N)$测量$N$偏离“分量线性”的程度。已知所有$N$的$ld_E(N) < \infty$。但是该值可以是任意大的，而对于一个$S$ -模块$M$的相似不变量$ld_S(M)$总是至多为$n$。我们表明，如果$I_Δ$（resp. $J_Δ$）是$S$（resp. $E$）对应于${1, >..., n}$上的单纯复形$Δ$，则为$ld_E(E/J_Δ) = ld_S(S/I_Δ)$。此外，除了某些极端情况外，$ld$是$Δ$的Alexander对偶$Δ^\vee$的拓扑不变量.我们还证明了，当$n > 3$，$ld_E(E/J_Δ) = n-2$（这是最大可能值）当且仅当$Δ$是$n$ -边形.
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