Adaptive BEM with optimal convergence rates for the Helmholtz equation
University of Birmingham（伯明翰大学）；University College London（伦敦大学学院）；TU Wien（维也纳工业大学）
本文研究了针对二维和三维亥姆霍兹问题的自适应边界元方法，通过残差误差估计器驱动算法，无需依赖任何先验信息，证明了误差估计器具有最优代数收敛率，并证明了与亥姆霍兹方程相关的边界积分算子的局部反型估计。
2018-12-05 cs.NA math.NA
Wavenumber-explicit stability and convergence analysis of hp finite element discretizations of Helmholtz problems in piecewise smooth media
该研究针对大波数下带分段解析系数的非均匀Helmholtz问题，开展hp有限元方法的波数显式收敛性分析，覆盖多种边界条件与完美匹配层情形。
2024-02-02 cs.NA math.AP math.NA
Convergence analysis of GMRES applied to Helmholtz problems near resonances
Eindhoven University of Technology（埃因霍温理工大学）；CNRS（法国国家科学研究中心）；Inria（法国国家计算机科学研究所）；ENSTA（国立高等先进技术学院）；Institut Polytechnique de Paris（巴黎理工学院）
针对共振或准共振频率附近亥姆霍兹问题有限元求解中迭代求解器收敛退化现象，基于调和Ritz值推导GMRES收敛估计，分析紧缩策略与复位移拉普拉斯预条件子的相互作用，实验验证理论并展示紧缩策略有效性。
2026-10-12 cs.NA math.NA
A two-level shifted Laplace preconditioner for Helmholtz problems: Field-of-values analysis and wavenumber-independent convergence
用于求解由亥姆霍兹方程的离散化产生的线性系统的主要工具之一是移位拉普拉斯预条件子，其由扰动亥姆霍兹问题$-Δu - (k^2 + i \varepsilon )u = f$的离散化产生，其中$0 \neq \varepsilon \in \mathbb{R}$是吸收参数。在这项工作中，我们重新审视的想法相结合的移位拉普拉斯预条件与两级紧缩，并将其应用到亥姆霍兹问题离散线性有限元。我们使用的GMRES的收敛理论的价值领域的基础上证明，GMRES应用到两个水平的预处理系统的移位参数$\varepsilon \sim k^2$收敛在一些迭代独立的波数$k$，提供的粗网格尺寸$H$满足形式$Hk^{2} \leq C$的一些恒定的$C$依赖于域，但独立于波数$k$的条件。这种行为与独立的移位拉普拉斯算子截然不同，对于独立的移位拉普拉斯算子，仅在[M. J. Gander，I.G.格雷厄姆和E.A.斯宾思，努默数学，131（2015），567-614]。最后，我们提出的数值证据表明，波数无关的GMRES收敛也适用于无污染网格，其中粗网格尺寸满足$Hk^{3/2} \leq C $，和不精确的粗网格解决。
2020-06-17 cs.NA math.NA
A note on error analysis for a nonconforming discretisation of the tri-Helmholtz equation with singular data
我们将Wu和Xu（2019）的离散化应用于平面上的tri-Helmholtz方程，其中源项是在一维网格对齐嵌入曲线上评估检验函数的函数。我们提出了误差分析的离散化和线性收敛作为网格步长的函数的收敛性恢复几乎处处远离嵌入曲线，符合经典的正则性理论。
2021-01-11 cs.NA math.NA
Long-time convergence of an adaptive biasing force method: Variance reduction by Helmholtz projection
École des Ponts ParisTech, Université Paris Est（巴黎路桥大学，巴黎东大学）；Université Libanaise, Ecole Doctorale des Sciences et de Technologie（黎巴嫩大学，科学与工程学院）
本文改进了自适应偏置力方法，通过将估计的平均力投影到梯度上，证明了该随机过程指数收敛到平稳状态，并通过数值示例展示该技术减少了平均力的方差，提高了算法效率。
2015-01-28 cs.NA math.NA
Approximation of the high-frequency Helmholtz kernel by nested directional interpolation
本文提出一种近似高频振荡核函数的方法，通过多项式插值与平面波预后乘结合，实现指数收敛，并支持多级近似技术。
2017-03-07 cs.NA math.NA
Convergence analysis of GMRES for the Helmholtz equation via pseudospectrum
Aalto University（阿尔托大学）
本文通过伪谱分析研究GMRES求解非正常系数矩阵的收敛性，分析了亥姆霍兹方程在有吸收边界条件和预处理下的伪谱特性。
2015-05-29 cs.NA math.NA
Convergence of the Waveholtz Iteration on $\mathbb{R}^d$
本文分析Waveholtz时域迭代法在全空间常系数情形下的收敛性，证明迭代与出射解之差满足特定强迫项方程，并以$1/\sqrt{n}$速率收敛。
2025-10-17 cs.NA math.NA
Convergence of Restricted Additive Schwarz with impedance transmission conditions for discretised Helmholtz problems
带阻抗传输条件的限制性加性Schwarz方法，又称优化限制性加性Schwarz（ORAS）方法，是一种简单的重叠一层并行区域分解方法，已成功地用作离散Helmholtz边值问题的迭代求解器和预处理器。在本文中，我们给，第一次，收敛性分析ORAS作为一个迭代求解器-也作为一个预条件-节点有限元亥姆霍兹系统的任何多项式阶。分析开始显示（一般区域分解），ORAS作为一个非常规的有限元近似的一个经典的并行迭代Schwarz方法，制定在PDE（非离散）水平。最近在[Gong，Gander，Graham，Lafontaine，Spence，arXiv 2106.05218]中分析了这种非离散Schwarz方法，本文给出了这种分析的相应离散版本。特别是，对于区域分解在2-D条，我们表明，当网格步长是足够小的，ORAS继承的Schwarz方法的收敛性能，独立的多项式阶。证明依赖于表征的ORAS迭代离散的“阻抗阻抗映射”，我们证明（通过一种新的加权有限元误差分析）收敛为$h\rightarrow 0$在运营商规范，他们的非离散同行。
2022-06-12 cs.NA math.NA
Convergence of overlapping domain decomposition methods with PML transmission conditions applied to nontrapping Helmholtz problems
University College London（伦敦大学学院）；The Chinese University of Hong Kong, Shenzhen（香港中文大学（深圳））；Shenzhen Research Institute of Big Data（深圳大数据研究院）；University of Bath（巴斯大学）；CNRS and Institut de Mathématiques de Toulouse, UMR5219（法国国家科学研究中心与图卢兹数学研究所；图卢兹大学）；Université de Toulouse
本文研究Helmholtz方程重叠Schwarz方法，提出PML传输条件，证明在指定迭代次数后误差小于波数任意负幂次，为波数显式收敛性首例。
2026-09-11 cs.NA math.NA
Min max method, shape, topological derivatives, averaged Lagrangian, homogenization, two scale convergence, Helmholtz equation
在本文中，我们执行一个严格的版本的形状和拓扑导数的优化问题的约束下的Helmoltz问题。通过引入代价泛函，建立了一个形状和拓扑最优化问题。我们首先通过考虑拉格朗日方法推导出泛函的形状导数。用同样的方法证明了它是一个拓扑导数.文中还给出了对微分几何中几个无约束形函数的应用。
2022-11-16 cs.NA math.NA math.OC
Wavenumber explicit convergence of a multiscale generalized finite element method for heterogeneous Helmholtz problems
本文系统地研究了求解高频非均匀Helmholtz问题的一种具有最优局部逼近空间的广义有限元法。局部空间是从精心设计的局部本征值问题定义在广义调和空间上的选定特征向量建立的。在连续和离散的水平上，$(i)$波数显式和近指数衰减率的局部和全局近似误差得到没有任何假设的子域的大小; $(ii)$一个准最优收敛的方法是通过假设子域的大小是$O(1/k)$（$k$是波数）。分析暗示了波数和局部空间维度之间对误差随过采样大小衰减的新型共振效应。进一步证明了对于固定维数的局部空间，离散的局部误差以$h\rightarrow 0$（$h$表示网格尺寸）收敛于连续的局部误差.这种方法在连续层上推广了平面波单位单位分解法[I. Babuska和J.M. Melenk，Int. J.\;编号。\;方法工程，40（1997），pp.~ 727--758]，并在离散层次上，给出了一种有效的非迭代区域分解方法，用于求解由标准有限元离散化产生的离散Helmholtz问题。数值结果证实了理论分析和验证所提出的方法。
2022-09-14 cs.NA math.NA
Stand-alone Multigrid for Helmholtz Revisited: Towards Convergence Using Standard Components
针对高频亥姆霍兹方程标准多重网格高效求解的开放问题，提出采用标准组件、结合高阶网格转移算子与复常数的独立多重网格求解器，实现接近k和h无关的收敛，推动波传播问题可扩展求解器研究。
2023-08-25 cs.NA math.NA
Adaptive Nonoverlapping Preconditioners for the Helmholtz Equation
本文针对大波数Helmholtz方程的计算挑战，在NOSAS方法框架内提出了两类纯代数的自适应非重叠预条件子，有效缓解了局部Dirichlet问题的不适定性，数值实验证明其在大波数下具有稳健的收敛率与可扩展性。
2025-05-01 cs.NA math.NA
FEM-BEM mortar coupling for the Helmholtz problem in three dimensions
本文提出一种用于可变声速介质中时谐声散射的FEM-BEM mortar耦合策略，借助耦合边界上的阻抗迹实现，证明了其满足Garding不等式及准最优收敛性，并通过数值算例验证了理论结果。
2020-04-07 cs.NA math.NA
A Novel Computational and Analytical Framework for 2D Quasiperiodic Helmholtz Eigenvalue Problems via the Projection Method
School of Mathematics and Shing-Tung Yau Center, Southeast University（东南大学数学系及苏步青中心）；Shanghai Institute for Mathematics and Interdisciplinary Sciences (SIMIS)（上海数学与交叉学科研究院）；Department of Applied Mathematics, National Yang Ming Chiao Tung University（国立阳明交通大学应用数学系）；School of Mathematical Sciences, Nanjing Normal University（南京师范大学数学科学学院）
提出一种通过投影法将准周期亥姆霍兹特征值问题嵌入高维周期空间，并利用加权期望点瑞利商验证特征值的谱方法，实现准确、鲁棒且可扩展的求解。
2026-05-27 cs.NA math.NA
Wavenumber-explicit convergence of the $hp$-FEM for the full-space heterogeneous Helmholtz equation with smooth coefficients
在论文[Melenk-Sauter，2010]、[Melenk-Sauter，2011]、[Esterhazy-Melenk，2012]、[Melenk-Parsania-Sauter，2013]中率先提出了应用于各种常系数亥姆霍兹问题的$hp$-FEM的收敛理论。这一理论表明，如果解算子在波数$k$中多项式有界，则Galerkin方法是拟最优的，只要$hk/p \leq C_1$和$p\geq C_2 \log k$满足，其中$C_1$充分小，$C_2$充分大，且两者都独立于$k,h,$和$p$ .该结果的意义在于，如果$hk/p= C_1$和$p=C_2\log k$，则通过与$k^d$成比例的自由度总数实现准最优性;即，$hp$-FEM不受污染影响。本文证明了$\mathbb{R}^d$，$d=2,3$中提出的变系数非均匀Helmholtz方程在无穷远处的Sommerfeld辐射条件和$C^\infty$系数下的类似拟最优性结果.我们还证明了在特定情况下的平面波散射问题的Galerkin解决方案的相对误差的一个界。这是有史以来第一个结果的波数显式收敛的$hp$-FEM的Helmholtz方程的变系数。
2022-03-05 cs.NA math.AP math.NA
An investigation of global radial basis function collocation methods applied to Helmholtz problems
全局径向基函数（RBF）配置法是求解偏微分方程（PDE）的一类具有无限光滑基函数的方法，它适用于一般几何条件下，且对光滑解函数具有指数收敛性质.同时，对于大量的未知数和决定基函数平坦程度的形状参数的小值，出现的线性系是稠密的和严重病态的。我们以Helmholtz方程作为应用问题进行了理论分析和数值实验。我们分析和证明了收敛性作为未知数的函数和不同的形状参数范围。我们提供了理论结果的PDE解决方案的平坦极限和调查时，非对称配置矩阵成为奇异的。我们还提供了实用的策略选择的方法参数和评估结果亥姆霍兹问题在弯曲波导的几何形状。
2020-01-29 cs.NA math.NA
Preconditioning of GMRES for Helmholtz problems with quasimodes
本文针对 Helmholtz 问题中准模导致 GMRES 收敛困难的现象，推导了基于调和 Ritz 值的收敛界，并结合区域分解与特征向量紧缩技术改善共振条件下的求解性能。
2025-11-06 cs.NA math.NA
Field of values analysis of preconditioners for the Helmholtz equation in lossy media
Aalto University（阿尔托大学）
本文通过分析预条件系统矩阵在复平面上的值域，研究了有损介质中亥姆霍兹方程一阶有限元离散的预条件GMRES方法的收敛性，考虑了Laplace预条件子、非精确Laplace预条件子和两级预条件子，并首次在两级预条件子的收敛分析中考虑了介质影响。
2011-06-02 cs.NA math.NA
A two-grid method with dispersion matching for finite-element Helmholtz problems
本文提出一种结合色散匹配粗层离散与复平移区域分解光滑器的二重网格方法，用于高效求解有限元亥姆霍兹问题，并通过理论与数值实验证明其收敛性几乎不依赖问题规模。
2025-09-22 cs.NA math.NA
High-frequency limit of the inverse scattering problem: asymptotic convergence from inverse Helmholtz to inverse Liouville
本文研究了以Helmholtz方程和辐射传输方程为物理模型的反问题在高频极限下的渐近关系。特别地，我们评估了基于Helmholtz方程的广义逆散射问题的渐近收敛到Liouville方程的逆散射问题（RTE的简化版本）。这两个逆问题通过Wigner变换和Husimi变换连接，Wigner变换将物理空间上的波型描述转换为相空间上的动力学型描述，Husimi变换对位置和方向上的数据进行建模。这一发现表明，碰撞紧密集中的单色光束确实可以提供稳定的重建介质，渐近在高频制度。这一事实与经典逆散射问题在探测信号为平面波时的不稳定重建形成了鲜明的对比。
2022-08-09 cs.NA math-ph math.MP
Trace Transfer-based Diagonal Sweeping Domain Decomposition Method for the Helmholtz Equation: Algorithms and Convergence Analysis
利用完全匹配层（PML）和源传输技术，提出了$\mathbb{R}^n$中求解高频Helmholtz方程的对角扫描区域分解方法（DDM），该方法采用$\mathbb{R}^n$中的棋盘格区域分解沿对角方向扫描。虽然这种对角扫描DDM本质上是乘法的，但当与流水线处理相结合时，它非常适合于具有多个右侧的亥姆霍兹问题的并行计算，因为每次扫描中的顺序步骤的数量比子域的数量小小于。本文提出并分析了一种基于轨迹转移的对角扫描DDM算法。对于在相邻子域之间传递的信息，从源转移改变为迹转移的主要优点在于，所得到的对角扫描变得更容易分析和实现并且更有效，因为所转移的迹在相邻子域之间仅具有$2n$基本方向，而所转移的源来自总共$3^n-1$基本方向和角方向。我们严格证明了对角扫描DDM不仅在常数介质情况下给出了全局PML问题的精确解，而且在两层介质情况下最多只需要额外一轮对角扫描就能得到全局PML问题的精确解，这为该方法的理论基础奠定了基础.性能和并行可扩展性的建议DDM作为直接求解器或预处理器也通过大量的实验在二维和三维数值证明。
2020-12-10 cs.NA math.NA
A Bernoulli Phase-Fitted finite difference method with wavenumber-explicit analysis for the Helmholtz problem
TU Wien（维也纳工业大学）；Soochow University（苏州大学）；The University of Hong Kong（香港大学）
本文提出了一种伯努利相适应有限差分方法，用于求解具有阻抗边界条件的一维亥姆霍兹方程。该方法基于复数化的Scharfetter-Gummel离散化，对亥姆霍兹算子的一向因子分解进行离散化。该方法在内部离散化中具有相适应性，并能精确地闭合离散的阻抗边界条件。对于齐次问题，该方法对平面波是精确的，因此在内部不会引入数值色散，也不在边界处引入人工反射。对于非齐次问题，证明了问题的适定性，推导了波数显式的稳定性估计，并建立了适用于所有kh∉πZ的二阶一致性和收敛性。特别地，在固定分辨率条件kh≤s0（其中0<s0<π）和kL≥π的情况下，误差界中的常数对波数是均匀的，从而在主尼奎斯特域中实现了无污染的收敛理论。数值实验验证了理论分析并显示了与标准和色散修正有限差分方法相比的良好性能。
2026-07-22 cs.NA math.NA
Fast Galerkin Method for Solving Helmholtz Boundary Integral Equations on Screens
我们解决第一类Fredholm边界积分方程所产生的亥姆霍兹和拉普拉斯问题的有界，光滑屏幕在三维Dirichlet或诺依曼条件。建议的Galerkin-Bubnov方法作为离散元素的标准球谐函数的推进加权方位投影到规范磁盘。我们表明，这些基地允许频谱收敛，并提供完全离散的误差分析。数值实验支持我们的主张，与Nyström型和$hp$ -方法的结果。
2020-11-11 cs.NA math.NA
New preconditioners for Laplace and Helmholtz integral equations on open curves: Analytical framework and Numerical results
二维Helmholtz波散射问题可转化为第一类积分方程，离散后可得到病态的线性系。对于弧上满足Dirichlet和Neumann条件的相应问题，我们分别以局部算子的平方根形式引入了两个新的预条件子。他们概括了所谓的“分析”预条件可用于Lipschitz散射。我们引入了一个功能设置适应的奇异性的问题，使这些预条件的分析。几个数值算例证明了该方法的有效性。
2019-12-02 cs.NA math.AP math.NA
Numerical assessment of PML transmission conditions in a domain decomposition method for the Helmholtz equation
针对亥姆霍兹方程区域分解求解器的效率问题，提出将PML作为界面传输条件结合ORAS预处理器的高效求解器，通过二维三维模型数值模拟，对比阻抗边界条件评估其收敛速率和精度。
2025-04-05 cs.NA math.NA
AAA least squares solution of Helmholtz problems
本文提出了一种基于 AAA 算法的无网格方法，用于高效求解亥姆霍兹方程的外部散射问题，通过解析延拓和有理逼近技术实现奇点自动识别与最优源分布。
2026-01-26 cs.NA math.NA
A Robust Multilevel Method for Hybridizable Discontinuous Galerkin Method for the Helmholtz Equation
Xiamen University（厦门大学）；Academy of Mathematics and System Sciences, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出一种基于混合不连续伽辽金方法的鲁棒多级预处理器，用于高波数亥姆霍兹方程。核心方法包括选择合适的跨网格传输算子和在粗网格上使用GMRES平滑。通过局部傅里叶分析验证了算法收敛性，数值结果表明算法收敛性与网格无关，且对波数依赖较弱。
2013-06-25 cs.NA math.NA
Scalable DPG Multigrid Solver for Helmholtz Problems: A Study on Convergence
本文提出基于细网格算子限制的粗网格系统新定义的可扩展DPG多重网格预处理器，通过并行MPI/OpenMP实现将收敛自由度规模提至约10^9，验证了h、p鲁棒收敛性及与波频率的线性关系，完成含高对比度地震基准的hp自适应数值实验。
2023-10-05 cs.CE cs.NA math.NA
Exponentially convergent multiscale methods for high frequency heterogeneous Helmholtz equations
在本文中，我们提出了一个多尺度框架求解Helmholtz方程在非均匀介质中没有尺度分离，在高频区的波数$k$可以很大。主要的创新是，我们的方法实现了近指数收敛速率相对于计算的自由度，使用粗网格的网格步长$O(1/k)$，而不遭受众所周知的污染效应。其关键思想是一个非重叠的区域分解及其相关的粗-细尺度分解的解决方案空间，适应介质的属性和波数，这种分解的灵感来自多尺度有限元法（MsFEM）。我们表明，粗的部分是\textit{low complexity}的意义上说，它可以近似通过局部基函数的收敛速率接近指数，由于紧凑的限制算子，映射亥姆霍兹调和函数，他们的插值残留的边缘，而精细的部分是\textit{local}，它可以有效地计算使用的局部信息的右手边。这两个部分的组合产生了我们的多尺度方法的总体接近指数的收敛速率。我们的方法在文献中，我们将详细评论多尺度方法绘制了许多连接。我们证明了我们的方法的有效性，理论和数值;指数收敛速率一致观察和确认。此外，我们观察到我们的方法的鲁棒性，在媒体数值上的高对比度。在我们的论述中，我们特别关注2D问题，因为在这种情况下，非重叠区域分解的几何形状最容易解释;最后将概述3D的推广。
2022-10-20 cs.NA math.NA
An extension of the approximate component mode synthesis method to the heterogeneous Helmholtz equation
本文将 ACMS 多尺度区域分解方法推广到非均质 Helmholtz 方程，结合局部问题与全局界面问题，完成误差分析并通过数值实验验证其代数乃至指数收敛性。
2023-09-26 cs.NA math.NA
Wavelet-based Edge Multiscale Finite Element Method for Helmholtz problems in perforated domains
我们引入了一个新的有效的算法Helmholtz问题在穿孔域的设计方案允许可能大的波数。我们的方法是基于最近在[14]中提出的基于小波的边缘多尺度有限元法（WEMsFEM）。对于网格步长为H的规则粗网格，在分辨率假设下，当水平参数足够大时，证明了算法的O（H）收敛性。该算法的性能证明了广泛的二维数值测试，包括那些激发光子晶体。
2019-06-20 cs.NA math.NA
High order Nyström methods for transmission problems for Helmholtz equation
Universidad Pública de Navarra（纳瓦拉公立大学）；NJIT（新泽西理工学院）
本文提出适用于Calderón算术中二维光滑闭合曲线的四重亥姆霍兹边界算子的超代数兼容Nyström离散化方法，通过合理分割核函数与高精度乘积求积规则实现超代数收敛。
2016-05-12 cs.NA math.NA
Variants of an explicit kernel-split panel-based Nyström discretization scheme for Helmholtz boundary value problems
Centre for Mathematical Sciences（数学科学中心）；Lund University（隆德大学）
本文提出一种改进的Nyström离散化方案，结合分析核信息、核和矩阵分裂、粗细网格、高阶多项式插值等技术，实现计算域内快速稳定收敛。
2014-08-18 cs.NA math.NA
On the discontinuous Galerkin method for solving boundary value problems for the Helmholtz equation: A priori and a posteriori error analyses
Universidad Católica de la Santísima Concepción（天主圣神天主教大学）；Universidad de Concepción（康塞普西翁大学）；Universidad Pública de Navarra（纳瓦拉公立大学）
本文研究了不连续伽辽金方法在二维多边形域中求解亥姆霍兹方程混合边界值问题的先验和后验误差分析，证明了离散方案的稳定性与收敛性，并给出了数值实验验证理论结果。
2013-10-10 cs.NA math.NA
Semi-analytical calculation of the singular and hypersingular integrals for discrete Helmholtz operators in 2D BEM
利用边界元法，通过离散相应的边界积分算子并求解所得到的线性代数方程组，可以得到具有已知核的椭圆型偏微分方程的近似解。由于奇异和超奇异积分的存在，算子矩阵项的评估需要使用正则化技术。在这项工作中，奇异和超奇异积分与一阶Galerkin离散边界算子的二维Helmholtz方程减少到准封闭形式的表达。所得公式可用于二维电磁、声学和量子力学问题的边界元法的实现。
2019-09-14 cs.NA math.NA physics.comp-ph
Towards Accuracy and Scalability: Combining Isogeometric Analysis with Deflation to Obtain Scalable Convergence for the Helmholtz Equation
找到快速而准确的数值解的亥姆霍兹方程仍然是一个具有挑战性的任务。污染误差（即数值和分析波数k之间的差异）要求网格分辨率保持足够精细，以获得精确的解。最近的一项研究表明，使用等几何分析（IgA）的空间离散化显着减少了污染的错误。然而，当考虑大的波数或多个维度时，通过直接求解器求解所得的线性系在计算上仍然是昂贵的。另一种方法是使用（预处理）Krylov子空间方法。最近，使用精确的复数移位拉普拉斯预处理器（CSLP）与一个小的复杂的位移已被证明导致波数无关的收敛，同时获得更准确的数值解使用IgA。在本文中，我们提出了使用紧缩技术结合使用几何多重网格方法的CSLP的近似逆。一维和二维模型问题，包括恒定和非恒定波数，得到的数值结果显示可扩展的收敛相对于波数和近似阶p的空间离散化。此外，当kh保持恒定时，所提出的方法与使用具有小位移的CSLP的精确逆相比，导致计算时间的显著减少。
2020-10-20 cs.CE cs.NA math.NA
Analytical computation of boundary integrals for the Helmholtz equation in three dimensions
通过积分方程方法求解偏微分方程的一个关键问题是评估可能的奇异积分，该积分涉及格林函数及其导数乘以边界的离散表示上的简单函数。对于Helmholtz方程，虽然许多作者使用数值积分来评估这些边界积分，我们提出了这样的积分在平面多边形的无穷级数的形式的解析表达式。这些可以有效地截断的基础上准确的误差界，这是关键，他们的集成方法，如快速多极子方法。
2021-03-31 cs.NA math-ph math.MP
Scalable Multigrid Solver for the Helmholtz Equation: Real-Shifted Coarse Grid Correction
Institute for Interdisciplinary Computational Science, the Stein Faculty of Computer and Information Science, Ben-Gurion University of the Negev（内盖夫本-古里安大学斯坦计算机与信息科学学院跨学科计算科学研究所）
本文提出一种可扩展的多网格求解器，通过实移粗网格的伽辽金算子修正数值色散，实现高频率亥姆霍兹方程的高效求解。
2026-04-21 cs.NA math.NA
Recursive Analytical Quadrature of Laplace and Helmholtz Layer Potentials in $\mathbb{R}^3$
本文对Laplace和Helmholtz方程的配点边界元法中出现的层势问题，提出了一种多项式形函数的分段平板边界元的解析计算方法。该方法是基于降维通过发散定理和递归计划评估所得的线积分多项式元素（RIPE）。它是用来评估单层，双层，伴随双层，和超奇异的潜力，拉普拉斯和亥姆霍兹内核。它自然地支持几乎奇异，奇异和超奇异积分下一个单一的框架没有单独的修改。开发的框架具有准确性和效率。
2023-02-04 cs.NA math-ph math.AP
FEM and CIP-FEM for Helmholtz Equation with High Wave Number and PML truncation
Nanjing University（南京大学）
本文研究高波数亥姆霍兹方程的PML截断问题，采用CIP-有限元方法进行离散，证明了截断PML问题满足inf-sup条件，并讨论了稳定性与收敛性，提出预渐进行误差估计及惩罚参数调优减少污染误差。
2018-06-25 cs.NA math.NA
Finite elements for Helmholtz equations with a nonlocal boundary condition
外部Helmholtz问题的数值解需要某种区域截断方法。作为替代近似非反射边界条件和调用的狄利克雷到诺依曼映射，我们引入了一个新的，非局部边界条件。这个条件是准确的，需要评估涉及自由空间格林函数的层电位。然而，它似乎工作在一般的非结构化的几何形状，和Galerkin有限元离散导致收敛下的Gårding型不等式施加的通常的网格约束。非局部边界条件很容易近似的快速多极方法，和所得到的线性系可以预处理的纯本地运营商涉及传输边界条件。
2021-03-03 cs.NA math.NA
The $hp$-FEM does not suffer from the pollution effect for piecewise-smooth Helmholtz problems with Gevrey regularity at boundaries
University College London（伦敦大学学院）；University of Bath（巴斯大学）
研究亥姆霍兹散射问题，在特定条件下（如亥姆霍兹解算子在$k$上多项式有界等），证明当$p\geq 1+\varepsilon \log k$且$hk/p$足够小时，$hp$有限元法是拟最优的，不存在污染效应，推广了相关结果。
2026-07-20 cs.NA math.NA
Convergence of HX Preconditioner for Maxwell's Equations with Jump Coefficients (ii): The Main Results
本文是两篇系列文章的第二篇，其目的是证明HX预条件子（Hiptmair和Xu，2007）对具有跳跃系数的Maxwell方程的收敛性。本文基于第一篇论文（Hu，2017）中的辅助结果，我们建立了三维边有限元函数的一个新的正则Helmholtz分解，该分解关于权函数几乎稳定。利用这种Helmholtz分解，我们给出了HX预条件子在强间断系数情况下的收敛性分析。我们表明，HX预条件子具有快速收敛，这不仅是接近最优的有限元网格步长，但也是独立的系数跨越两个相邻子域之间的接口。
2023-01-30 cs.NA math.NA
Convergence of parallel overlapping domain decomposition methods for the Helmholtz equation
我们分析了并行重叠施瓦茨区域分解方法的亥姆霍兹方程，其中子域问题满足一阶吸收（阻抗）传输条件，和子域之间的信息交换是使用单位分解实现的。我们提供了一个新的分析，这种方法在PDE水平（无离散化）。首先，我们制定的方法作为一个不动点迭代，并显示（在维度1，2，3），它是良好定义的张量积适当的局部函数空间，每个$L^2$阻抗边界数据。鉴于此，我们然后得到的不动点运营商的局部规范的某些阻抗阻抗映射所产生的局部子域之间的相互作用的范数上的一个界。这些界限提供了条件，在这些条件下，不动点算子（的某个幂）是一个压缩算子。在2-D，矩形域和带状区域分解（每个子域只重叠其近邻），我们提出了两种技术，用于验证假设的阻抗阻抗映射，确保功率收缩的不动点运营商。第一种是通过半经典分析，它给出了严格的估计有效的频率趋于无穷大。这些结果验证了足够大的重叠所需的假设。对于更现实的区域分解，我们直接计算的阻抗阻抗映射的规范，通过解决某些典型的（本地）本征值问题。我们给出数值实验来说明理论。这些也表明，迭代法保持收敛和/或提供了一个很好的预处理的理论，包括一般的区域分解，如通过自动图形分区软件获得的情况下，没有覆盖。
2022-09-06 cs.NA math.NA
Parallel Controllability Methods For the Helmholtz Equation
University of Basel（巴塞尔大学）；Université Pierre et Marie Curie（皮埃尔和玛丽·居里大学）；ALPINES INRIA（INRIA ALPINES团队）
本文提出了一种用于求解高频亥姆霍兹方程的并行可控性方法，通过将问题转换到时域中，寻找对应的时域波动方程的时谐解，并展示了该方法在大规模并行架构上的鲁棒性和可扩展性。
2019-03-29 cs.NA math.NA
Evaluation of layer potentials close to the boundary for Laplace and Helmholtz problems on analytic planar domains
Dartmouth College（达特茅斯学院）
本文提出了一种高效的方案，用于准确计算拉普拉斯和赫姆霍兹方程的单层和双层势，通过在边界附近放置中心的替代局部展开，实现边界附近的高精度计算。
2013-10-20 cs.NA math.NA
An adaptive C0IPG method for the Helmholtz transmission eigenvalue problem
Guizhou Normal University（贵州师范大学）
本文提出一种自适应C0IPG方法用于亥姆霍兹传输特征值问题，设计了后验误差指标并证明其可靠性与有效性，通过数值实验验证了算法的高效性与最优收敛率。
2017-08-21 cs.NA math.NA
A Multi-level Mixed Element scheme of the two dimensional helmholtz transmission eigenvalue problem
Academy of Mathematics and System Sciences, Chinese Academy of Sciences（中国科学院数学与系统科学研究院）
本文提出了一种用于非矩形网格覆盖多边形域的二维亥姆霍兹传输本征值问题的多级混合元方案，通过构造等价线性混合公式并使用低正则性拉格朗日有限元进行离散化，实现最优收敛性和计算成本。
2017-07-03 cs.NA math.NA
A Least-Squares Finite Element Method Based on the Helmholtz Decomposition for Hyperbolic Balance Laws
本文提出并研究了标量非线性双曲平衡律的最小二乘有限元法。该方法是基于一个配方，利用适当的亥姆霍兹分解的通量矢量和相关的标准概念的弱解。这种关系，连同相应的连接到负范数最小二乘，详细描述。结果，得到了一个重要的数值守恒定理，类似于著名的Lax-Wendroff定理。本文中的方法的数值守恒性质并不完全属于Lax和Wendroff介绍的框架，但它们在精神上是相似的，因为它们保证当$L^2$收敛时，得到的近似逼近双曲问题的弱解。最小二乘泛函在$H^{-1}$型范数下是连续的和强制的，但不是$L^2$ -强制的。然而，$L^2$收敛性的方法进行了讨论。收敛可以通过显式正则化的功能，提供控制的$L^2$规范，或通过适当地选择有限元空间，提供隐式控制的$L^2$规范。数值结果表明，所得到的近似解是$L^2$收敛到物理可采纳解的.数值方法利用了最小二乘泛函，在有限元空间上最小化，以及具有嵌套迭代的高斯-牛顿技术。我们相信，遇到这种提法的线性系是服从多重网格技术和自适应网格细化的方法相结合，将使这种方法成为一种有效的工具，解决平衡法（这是未来研究的重点）。
2020-01-28 cs.NA math.NA
A Fast Isogeometric BEM for the Three Dimensional Laplace- and Helmholtz Problems
Universität Basel（巴塞尔大学）；Technische Universität Darmstadt（达姆施塔特工业大学）
本文提出一种高阶边界元法，利用NURBS映射实现精确几何表示，并结合基于插值的快速多极子方法降低计算复杂度，通过数值实例展示高阶B-样条基函数在解决拉普拉斯和赫尔姆霍兹问题时的高收敛性。
2017-10-13 cs.NA math.NA
A novel coarse space applying to the weighted Schwarz method for Helmholtz equations
本文研究了一类二维Helmholtz问题的带局部阻抗变换条件的约束可加Schwarz问题。这些问题用协调节点有限元的有限元法离散。我们设计并分析了一个新的自适应粗糙空间，用于这种限制性的可加Schwarz方法。该粗糙空间由局部广义本征值问题的特征值函数所张成，这些特征值函数由阻抗边界数据的局部离散Helmholtz-调和函数构成的子空间上的加权半正定双线性型所定义.在适当的假设下，证明了在所提出的粗糙空间上的两层混合Schwarz预条件子具有与网格步长、子域大小和波数无关的一致收敛性.为了避免求解广义本征值问题，我们还引入了一个经济的粗空间。数值实验证实了理论结果。
2024-02-10 cs.NA math.NA
