The mean-square of Dirichlet L-functions
J. Brian Conrey
证明了[CFKRS]关于复合模q的Dirichlet L函数临界点附近均方的猜想。当素数模的二阶矩被另一素数上的特征标扭转时，我们还证明了一种倒易公式。
We verify the conjecture of [CFKRS] for the mean square near the critical point of Dirichlet L-functions for a composite modulus q. We also prove a kind of reciprocity formula when the second moment for a prime modulus is twisted by a character evaluated at a different prime.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
The mean square of the product of a Dirichlet $L$-function and a Dirichlet polynomial
我们建立了一个类似的猜想Balasubramanian，Conrey，和Heath-Brown的家庭的所有Dirichlet字符与导体高达$Q$。这是我们在发展渐近大筛方面工作的另一个应用。
The Dirichlet Series for the Exterior Square $L$-function on GL(n)
本文给出了GL（n）上的外平方L-函数的Jacquet-Shalika构造的一个初等推导，作为傅里叶系数$A(m_1,...,m_{n-1})$的经典狄利克雷级数.
On two mean square averages of Dirichlet $L$-function
求具有相同奇偶性的Dirichlet特征标$χ$上的Dirichlet $L$ -函数的均方平均是数论中的一个活跃问题.在这里，我们明确评估这种平均值的$L(3,χ)$和$L(4,χ)$使用某些三角和伯努利多项式，并表示为欧拉totient函数$ϕ$和约旦totient函数$J_s$。
The twisted mean square and critical zeros of Dirichlet $L$-functions
本文得到了Dirichlet $L$ -函数的扭曲均方的一个渐近公式，它的系数也比以前更一般.作为应用，我们得到了对于每个Dirichlet $L$ -函数，有41.72%以上的零点在临界线上，有40.74%以上的零点是简单的且在临界线上.这些比例也改善了以前的结果，证明了只有黎曼ζ函数。
Arithmetic Progressions of Squares and Multiple Dirichlet Series
本文研究计数平方数本原三项等差数列的二元多重 Dirichlet 级数，证明其在 $\mathbb{C}^2$ 上的亚纯延拓，并借助 Tauberian 方法获得相关平方数等差数列与圆锥曲线有理点的计数。
The mean square of the product of $ζ(s)$ with Dirichlet polynomials
改进了Balasubramanian，Conrey和Heath-Brown的早期工作，得到了Riemann zeta函数乘以任意长度为$T^{1/2 + δ}$的Dirichlet多项式的均方的渐近公式，并利用$δ= 0.01515....$得到了黎曼ζ函数的三阶矩的正确数量级的上界.我们还完善以前的工作Deshouillers和Iwaniec，获得渐近估计的地方的界限。使用瓦特的工作，我们计算的均方黎曼ζ函数倍的狄利克雷多项式的长度去$T^{3/4}$提供的狄利克雷多项式假定一个特殊的形状。最后，我们给出了Kloosterman分式三线性和的一个几何估计，它包含Lindelof假设。
The mean square of the product of the Riemann zeta-function and a Dirichlet polynomial in the critical strip
本文改进了Matsumoto和Ishikawa的工作，通过获得Atkinson型误差项显式公式，给出了临界带内黎曼zeta函数与Dirichlet多项式乘积均方值的渐近公式，与广义Dirichlet除数问题紧密相关。
Mean square of inverses of Dirichlet $L$-functions involving conductors
本文研究Dirichlet $L$-函数的负平方矩，得到涉及导子的负二阶矩渐近公式，并应用于改进分圆数域中恢复短生成元算法的成功概率下界。
Exponential sums with Dirichlet coefficients of L-functions
改进和推广了作者最近的结果，给出了区间上所有整数和素数上L函数的Dirichlet系数指数和的条件估计.特别是，我们建立了新的条件结果指数和Hecke特征值和平方的Hecke特征值素数。我们利用这些估计来改进我们最近关于对称平方L函数的Hecke本征形在黎曼假设下的Piatetski-Shapiro素数处的Hecke本征值平方的结果。
Mean square values of Dirichlet $L$-functions associated to fixed order characters
本文研究固定阶特征相关Dirichlet $L$-函数的均方值，建立了其在半临界线上二阶矩的界，给出离散形式并推导了相应的零点密度估计。
On the integral of the error term in the Dirichlet divisor problem
得到了几个结果有关的功能$Δ_k(x)$，它代表的误差项在一般狄利克雷除数问题。这些包括该函数的积分估计，以及相应的均方积分。详细研究了$Δ_2(x)$的均方积分。
Factorisation of the product of Dirichlet series of completely multiplicative functions
在第一章中，我们将给出与Dirichlet特征标相关的L函数模的平方值的计算。这个计算建议询问是否存在算术乘法函数的某个环，以及它是否唯一。这种探索导致了第二章中那个环的构建。最后，在第三章中，我们将给出与此环相关的一些命题。下面的结果是本工作的主要结果之一：对于F和G两个完全乘性函数，$ s $一个复数如狄利克雷级数$ D(F,s) $和$ D(G,s) $收敛：$ \forall F,G \in \mathbb{M}_{c} : D(F,s) \times D(G,s) = D(F \times G,2s) \times D(F \square G,s) $其中运算$ \square $在第二章中定义为前面提到的环的和。以下是一些类似的版本，带有$ s = x+iy $：$ \forall F, G \in \mathbb{M}_{c} : ~ D(F,s) \times D(G,\overline{s}) = D(F \times G,2x) \times D(\frac{F}{\text{Id}_{e}^{iy}} \square \frac{G}{\text{Id}_{e}^{-iy}}, x) $ $ \forall F, G \in \mathbb{M}_{c} : ~ |D(F,s)|^{2} = D(|F|^{2},2x) \times D(\frac{F}{\t…
On twisted period functions and Moments of a weighted mean square of Dirichlet L-functions on the critical line
本文将周期函数等工具推广至任意本原特征的 Dirichlet L-函数，给出了加权均方测度矩的闭式表达式，完整刻画了临界线上的模性质，并导出了适用于所有本原特征的无限个非平凡正性条件。
On Mean Values of Dirichlet Polynomials
给出了Dirichlet多项式均值的一个一般下界
Non-vanishing of Dirichlet $L$-functions with smooth conductors
针对大的无平方因子光滑导子，研究证明至少35.9%的本原狄利克雷L函数中心值非零，推进了狄利克雷L函数非零性的定量结果。
Convolution formula for the sums of generalized Dirichlet L-functions
利用Kuznetsov迹公式，证明了广义Dirichlet $L$ -函数和的谱分解.在应用程序是一个明确的公式有关的规范的总理测地线矩的对称平方$L$ -功能和渐近展开的平均中心值的广义狄利克雷$L$ -功能。
Möbius functions of higher rank and Dirichlet series
我们引入了高阶的默比乌斯函数，这是一类新的算术函数，使得经典的默比乌斯函数的秩为2.利用这一思想，我们计算了所有$r$ -free数的平方倒数之和的狄利克雷级数。在证明过程中，黎曼ζ函数和分圆多项式起着关键作用。
Conditional mean values of long Dirichlet polynomials
在黎曼假设的基础上，我们证明了包含vonMangoldt函数的各种长Dirichlet多项式的平均值的渐近公式。我们的研究结果避免了使用相关和估计，虽然除了黎曼假设，我们必须假设我们的狄利克雷多项式的权重从一个特定的类，其变换是足够集中的原点附近。我们也给出了这些长Dirichlet多项式的大偏差估计。
On the mean values of products of Dirichlet $L$-functions at positive integers
本文研究Dirichlet $L$-函数在正整数处乘积的均值分布，给出了由Dirichlet特征加权、涉及Bernoulli函数和Jordan totient函数的显式公式，推广了多种已知结果。
Mean values of long Dirichlet polynomials with higher divisor coefficients
本文在高阶移位除数函数的光滑加法除数猜想的假设下，证明了高阶移位除数函数的长Dirichlet多项式均值的一个渐近公式.作为这项工作的结果，我们证明了特殊情况下的Conrey-Keating的平均值的长Dirichlet多项式与高阶移位除数函数的系数。
Mean values of cubic and quartic Dirichlet Characters
我们评估的平均三次和四次狄利克雷特征的总和与模的大小可比的长度的个人总和。这推广了Conrey，Farmer和Soundararajan关于二次Dirichlet特征和的一个结果.
Estimates for character sums and Dirichlet $L$-functions to smooth moduli
我们使用van der Corput方法的$q$ -模拟来估计短特征和以平滑模。若$χ$是模无平方的本原Dirichlet特征标，则$q^δ$ -光滑整数$q$证明了$$L(\frac12,χ)\ll_εq^{\frac{27}{164}+O(δ)+ε}.$$
On certain integrals involving the Dirichlet divisor problem
证明了由$ζ^k(s)$（$Δ_2(x) \equiv Δ(x)$）生成的$d_k(n)$的求和函数的渐近公式中的误差项为$$ \int_1^XΔ(x)Δ_3(x)\,dx \ll X^{13/9}\log^{10/3}X, \quad \int_1^XΔ(x)Δ_4(x)\,dx \ll_\varepsilon X^{25/16+\varepsilon}, $$.这些界限比由柯西-施瓦茨不等式和均方结果$Δ_k(x)$遵循的界限更尖锐。当$\D(x)$被$E(x)$（$|ζ(1/2+it)|$的均方公式中的误差项）取代时，我们也得到了上述界的类似物。
Twisted first moment of central values of primitive quadratic Dirichlet $L$-functions
本文利用双Dirichlet级数与递归论证求值原始二次Dirichlet L-函数中心值的扭曲一阶矩，得到误差项大小为主项平方根的渐近公式。
Averages of long Dirichlet polynomials
研究了$ζ(s)^k$的狄利克雷级数截断均方的渐近性态。我们讨论了这个问题的连接，在短时间间隔和等差数列的除数函数的方差，回顾了最近的结果在这个话题上。最后，我们将展示如何这些结果都可以证明假设一个合适的版本的时刻猜想。
Breaking the $\frac{1}{2}$-barrier for the twisted second moment of Dirichlet $L$-functions
研究了Dirichlet $L$ -函数对任意Dirichlet多项式平方扭的大素模$q$的二阶矩.在此问题中，我们打破了$\frac{1}{2}$ -障碍，并在Dirichlet多项式的长度小于$q^{51/101} = q^{1/2 +1/202}$的条件下得到了一个渐近公式.作为应用，我们得到了Dirichlet $L$ -函数的三阶矩的正确数量级的上界.当Dirichlet多项式的系数更特殊时，我们给出了进一步的结果。
The second moment of Dirichlet twists of Hecke $L$-functions
固定一个Hecke尖点形式$f$，并考虑由一个本原Dirichlet特征标扭曲的$f$的$L$ -函数.当我们在一个大模$q$的所有本原特征标上取值时，这个$L$ -函数的中心值的平方的平均行为是什么？Stefanicki证明了一个渐近有效的只有$q$有很少的素因子，我们将其扩展到几乎所有的$q$。
The equidistribution of L-functions of twists by Witt vector Dirichlet characters over function fields
Katz证明了F_q（t）的所有Dirichlet特征标的L函数，当q趋于无穷大时，在极限上是等分布的.本文将这一命题推广到任意伽罗瓦表示的Dirichlet特征标的扭的L函数，包括不同表示的扭的L函数的Dirichlet特征标的独立性。霍尔、基廷和罗迪蒂-格申证明了一个类似的推广，但没有独立性声明，适用于具有无平方导体的字符。
The Euler Product expressions of the absolute tensor products of the Dirichlet $L$-functions
本文计算了Dirichlet $L$ -函数的绝对张量平方，并证明了它表示为素数对上的Euler积。该方法是构造一个方程，将素数与具有Dirichlet $ L $ -函数的绝对张量积因子的级数联系起来。该研究是赤冢关于黎曼ζ函数的定理的推广，并给出了黑川1992年提出的预测的证明。
Mean values of long Dirichlet polynomials with divisor coefficients
本文研究带除数系数的长光滑Dirichlet多项式的均值问题，借助已有一般性定理推导出含所有低阶项与幂节省误差项的渐近公式，在除数函数情形下强化了Conrey与Gonek的猜想。
Twelfth moment of Dirichlet L-functions to prime power moduli
证明了Heath-Brown关于Dirichlet L函数对奇素数幂模的黎曼ζ函数的十二次幂矩的结果的q-方面的相似性.我们的结果依赖于p-adic的平稳相位稳定相位法的产品和和补充努内斯的光滑无平方模的界。
The first moment of quadratic Dirichlet L-functions
得到了本原二次Dirichlet L函数在中心点的光滑加权一阶矩的渐近公式，其误差项为主项的平方根.我们的方法使用了一种递归技术，将结果反馈给自己，连续改善误差项。
Mean values of Dirichlet polynomials and applications to linear equations with prime variables
证明了一个新的关于系数由von Mangoldt函数给出的Dirichlet多项式的中值定理。然后，我们使用我们的定理，以获得新的估计某些指数和素数。后者有应用程序添加剂的问题与素变量。特别是，我们能够改进J.Y. Liu和K.M. Tsang关于素变量线性方程解的大小。
Siegel's mass formula and averages of Dirichlet L-functions over function fields
设D是F_q[t]中的无平方多项式，其中q是奇数，G是F_q[t]上行列式为D的定三元格的亏格.本文给出了G的类上本原表示数的加权和公式及G的质量公式的完备的、较初等的证明。我们的质量公式的证明显示了一个有趣的关系与某些平均的狄利克雷L函数。
On the mean values of Dirichlet L-functions
本文研究了Dirichlet L函数L（s，χ）在临界带中心（s=1/2）的2k次幂矩，其中平均值是所有本原特征标χ（mod q）上的平均值.我们将Gonek、Hughes和Keating关于黎曼ζ函数的混合欧拉-阿达玛积结果扩展到这种情况。这使我们能够恢复基于随机矩阵模型的矩的计算结果，以自然的方式合并算术项。
On the mean value of the generalized Dirichlet L-functions with the weight of the Gauss Sums
设$q\ge3$是一个整数，$χ$表示模$q$的Dirichlet特征标，对任意实数$a\ge 0$，定义了广义Dirichlet $L$ -函数$$ L(s,χ,a)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{χ(n)}{(n+a)^s}, $$，其中$s=σ+it$中的$σ>1$和$t$都是实数.通过解析延拓，它可以推广到所有的$s$。对于任何整数$m$，著名的高斯和$G(m,χ)$定义如下：$$G(m,χ)=\sum_{a=1}^{q}χ(a)e\left(\frac{am}{q}\right), $$其中$e(y)=e^{2πiy}$。本文主要目的是用解析方法研究广义Dirichlet $L$ -函数的均值性质，得到一个精确的渐近公式。
Mean value of real characters using a double Dirichlet series
研究了双特征和$\sum\limits_{\substack{m\leq X,\\m\odd}}\sum\limits_{\substack{n\leq Y,\\n\odd}}\leg mn$及其光滑加权对应. Conrey，Farmer和Soundararajan应用Poisson求和公式得到了一个包含节能误差项的渐近公式。结果很有趣，因为主项涉及非光滑函数。本文应用两次Mellin逆变换，研究了涉及二重狄利克雷级数的二重积分。这种方法有两个优点-它导致了一个更好的误差项，和令人惊讶的主要条款自然产生的三个残留的双重狄利克雷级数。
Twists by Dirichlet characters and polynomial Euler products of L-functions, II
在以前的文章中，我们证明了如果一个来自Selberg类的$L$ -函数$F$有次数$2$，它的导体$q_F$是素数，并且$F$在所有素数$p\neq q_F$处是弱扭正则的，那么$F$有多项式Euler积.本文将这一结果推广到具有平方自由导体$q_F$的二次$L$ -函数，它在所有素数$p\nmid q_F$处是弱扭正则的
Zeros of Dirichlet $L$-functions on the critical line
该研究利用 Feng 的平滑因子与 Dirichlet $L$-函数均方渐近公式，证明本原特征和导子平均下至少 61.07% 的零点在临界线上、60.44% 为临界线上的单零点，改进了已有结果。
On Divisor Function Polynomials and Dirichlet Series
该研究针对和集系计数函数推导狄利克雷级数与收敛界，定义并研究了除数函数多项式，揭示其与伯努利数、有序贝尔多项式的关联。
Mean values with cubic characters
我们研究各种均值问题，涉及三阶原始狄利克雷字符。特别是，我们得到了一个渐近公式的Dirichlet L-函数的中心值的第一时刻与这个家庭，与功率节省的误差项。我们还得到了一个大筛型的结果，为三（和六）狄利克雷字符。
Strong multiplicity one for the Selberg class
本文研究了由Selberg类的狄利克雷级数在素数处的系数确定Selberg类元素的问题。我们表明，这是可能的，当度是1，但在一般情况下，需要一个额外的弱假设的狄利克雷级数系数在平方素数。
Zeta functions enumerating subforms of quadratic forms
本文构造枚举二次形式满秩子形式等价类的 Dirichlet 级数，建立其与相关虚二次域理想类计数级数的联系，并给出方格、六角格等情形的显式公式及解析性质。
Explicit formulae for the mean value of products of values of Dirichlet $L$-functions at positive integers
本文给出 Dirichlet L-函数在正整数处单值平方均值及多值乘积均值的显式公式，适用于同奇偶性特征模 f>2 的情形。
Numerical estimates on the Landau-Siegel zero and other related quantities
本文对不超过10^7的奇素数模的Dirichlet L-函数进行数值计算，给出L(1,χ)的显式下界和Landau-Siegel零点位置的显式上界，并附带得到虚二次域类数相关界的信息。
Simultaneous non-vanishing of Dirichlet L-functions
本文在广义黎曼猜想下证明了四个狄利克雷L函数在临界线上同时非消失，且在无条件情况下证明了对于无限多个字符，四个L函数同时非消失，但比例随q趋向无穷而趋于零。
On the mean square gap between primes
该数学论文改进了连续素数差平方平均值的上界，采用Harman筛法等工具，将Peck的O(x^{0.25+ε})界优化为O(x^{0.23+ε})。
Conditional estimates on the argument of Dirichlet $L$-functions with applications to low-lying zeros
在广义黎曼假设下，利用Beurling-Selberg极值函数对Dirichlet L-函数的论点均值和均方进行界估，并应用于低处零点结果的证明及获得新的零点比例下界。
Non-vanishing of Dirichlet L-functions in Galois orbits
Iwaniec和Sarnak的一个著名的结果指出，对于至少三分之一的本原Dirichlet特征标到一个大模q，相关的L函数在中心点不为零。当q是一个固定素数的大幂次时，我们证明了在任何给定阶的本原特征标之间已经存在相同的比例。给定阶的模q本原特征标集可以描述为相应分圆域的伽罗瓦群作用下的轨道。我们还证明了一个积极的比例非零内产生的中间伽罗瓦群的轨道短得多，只要他们大于大致的平方根的素数功率导体。
An asymptotic formula for the $2k$-th power mean value of $\left| (L'/L)(1+it_0, χ)\right|$
设$q$是正整数（$\geq 2$），$χ$是模$q$的Dirichlet特征标，$L(s, χ)$是附加的Dirichlet $L$ -函数，$L^\prime(s, χ)$表示其关于复变量$s$的导数.设$t_0$为任意固定实数。本文的主要目的是给出当$χ$遍历所有模$q$的Dirichlet特征标（当$t_0=0$时主特征标除外）时，$\left|(L^\prime/L)(1+it_0, χ)\right|$的$2k$次幂均值的一个渐近公式.
Omega Results for The Divisor and Circle Problems Using The Resonance Method
该研究将共振法用于获取带正系数的一般指数和的大值，改进了数论中多个经典问题的Ω界，包括除数问题、圆问题及zeta函数和L函数的均方误差问题。
On the Moments of Certain Families of Dirichlet $L$-functions
本文讨论了当$ψ$是奇数模$q$的固定偶本原非二次特征标，$χ_{8d}$是本原二次特征标，$d\equiv h\pmod r$是奇数无平方数，$r\equiv0\pmod q$是偶数时，本原Dirichlet $L$ -函数$L(1/2,χ_{8d}\otimesψ)$中心值的期望值和二阶矩的渐近公式的计算问题.限制于这些等差数列确保了所得到的$L$ -函数的集合各自形成由Conrey、Farmer、Keating、Rubinstein和Snaith定义的特定意义上的“原始$L$ -函数族”。Soundararajan以前计算过这些量，但没有将它们限制在等差数列中。事实证明，对等差数列的限制引入了非对角项，这需要我们在本文中进行更详细的分析。
Elliptic curves with square-free $Δ$
在Dirichlet L-函数的黎曼假设下，我们改进了无平方因子$Δ=D/16$（D是判别式）的椭圆曲线密度估计的光滑化版本中的误差项。布朗宁和作者。为了实现这一改进，我们详细说明我们的方法计数加权解决方案的非齐次三次同余的幂满模。新颖之处在于更进一步的明确评估完全指数和保存一个因素，平均超过模。
A note on the fourth moment of Dirichlet L-functions
本文证明了在t \in [0，T]上对模q的本原特征标平均的Dirichlet L函数的四次幂均值的一个渐近公式，当q \ge T时，该公式特别有效.在这个范围内，正确的数量级以前是未知的。
Cauchy Means of Dirichlet polynomials
我们研究了Dirichlet多项式$$\int_\R \Big|\sum_{n=1}^N \frac{1}{ n^{\s+ ist}} \Big|^{2q} \frac{\dd t}{π( t^2+1)}.$$的Cauchy平均。当Wilf用积分算子理论和Widom的特征值估计研究了$q=1,\s= 1, s=1/2 $的积分。证明了Wilf给出的一些上界的最优性。我们还获得了新的估计的情况下$q\ge 1$，$\s\ge 0$和$s>0$。我们完成Wilf的方法与其他方法（具有显着的连接与布朗运动），允许简单的证明，并证明新的结果。
Recovering short generators via negative moments of Dirichlet $L$-functions
本文改进Cramer等人恢复分圆域短生成元算法的分析，利用Dirichlet $L$-函数负矩，在广义黎曼假设下获得更高成功概率下界。
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