On large girth regular graphs and random processes on trees
本文研究了定义在正则树$T_d$上的各类随机过程，这些随机过程在$T_d$的自同构群下是不变的.其中最重要的是i.i.d.因子。过程（随机局部算法），分支马尔可夫链和一个新的类，我们称之为典型的过程。利用过程的Glauber动力学，给出了分支马尔可夫链是独立同分布因子的一个充分条件。典型过程的定义方式，他们创建一个随机$d$正则图和遍历论之间的对应原则，$T_d$。利用这一对应原理，结合典型过程的熵不等式，我们证明了随机$d$ -正则图的一族组合命题。
2015-07-27 math.CO math.PR
S.L.L.N. and C.L.T. for Random Walks in I.I.D. Random Environment on Cayley Trees
我们考虑独立同分布（i.i.d.）中的随机游动。本文讨论了$\mathbb{Z}$和$\mathbb{Z}_2$拷贝的有限自由积的Cayley图上的随机环境。这样的凯莱图很容易被看作是一个正则树。在一致椭圆性假设下，环境下的图距离的退火中心极限定理。
2020-01-27 math.PR
Cutoff for random Cayley graphs of nilpotent groups
研究秩和幂零类有界的有限幂零群随机Cayley图上简单随机游走的截止现象，证明随机生成元情形下高概率出现截止，并给出一般生成元集合下谱隙和混合时间与阿贝尔化投影渐近等价的判据。
2024-03-19 math.GR math.PR
Random Walks in I.I.D. Random Environment on Cayley Trees
考虑了$d \geq 3$的无限$d$ -正则树上的\emph{i.i.d.}随机环境中的随机游动.我们把树看作是$\Zbold$和$\Zbold_2$的两个拷贝的自由积的Cayley图，并定义了i.i.d.在这个群体的作用下，环境是不变的。在一个温和的非退化假设下，我们证明了行走总是瞬态的。
2014-04-29 math.PR
Occupation measure of random walks and wired spanning forests in balls of Cayley graphs
我们证明了对于一般瞬态Cayley图上的有限范围对称随机游动，任何给定半径为$r$的球的期望占用时间是$O(r^{5/2})$.我们还研究了一般Cayley图上的连线生成森林的体积增长性质，证明了在任何给定的半径为$r$的球内的恒等式的分量中的期望顶点数是$O(r^{11/2})$。
2018-11-08 math.PR
Graph-theoretical estimates of the diameters of the Rubik's Cube groups
本文提出一种基于图阶数、度数、围长及过顶点圈数等局部参数的对称图直径严格下界方法，并应用于魔方群凯莱图，获得比随机正则图下界更紧、达到正确直径60%至77%的估计。
2024-10-01 cs.DM math.CO math.GR
Cubic graphs and the golden mean
图$G$的连接常数$μ(G)$是从给定顶点开始的自避免行走数的指数增长性。研究了不等式$μ\ge ϕ$对无限可迁简单三次图的有效性，其中$ϕ:= \frac12(1+\sqrt 5)$是黄金平均数.证明了几类图的不等式，包括（i）具有三个生成元和严格正的第一贝蒂数的无限群的Cayley图，（ii）无限的、传递的、拓扑局部有限（TLF）的平面三次图，和（iii）两端的三次Cayley图.给出了围长为$3$或$4$的传递三次图以及某些拟传递三次图的$μ$的界.
2019-08-15 math-ph math.CO math.MP
Vector Colorings of Random, Ramanujan, and Large-Girth Irregular Graphs
我们证明了在平均度为$d$的稀疏ErdŸ-Rényi图中，向量色数（来自Lovàsz theta函数的色数松弛）通常是$\tfrac{1}{2}\sqrt{d} + o_d(1)$。这符合一个长期存在的猜想，即关于稀疏Erdens-Rényi图的$k$着色的各种反驳和假设检验问题在低于“Kesten-Stigum阈值”$d_{KS,k} = (k-1)^2$时变得难以计算。一路上，我们使用著名的Ihara-Bass身份和精心构造的非回溯随机行走证明两个确定性的结果独立的利益：一个下界的向量色数（从而色数）使用的频谱的非回溯行走矩阵，和一个上限只依赖于周长和通用覆盖。我们的上界可以等价地看作是Alon-Boppana定理对不规则图的推广
2019-07-04 cs.CC cs.SI math.CO
On the trace of branching random walks
研究Cayley图上的分支随机游动。第一个结果是Cayley图上的瞬时分支随机游动的迹是a. s。对于简单随机游动是瞬态的。此外，它还拥有A. S。临界逾渗概率小于1，体积指数增长。证明依赖于这样一个事实，即迹诱导的分支随机游动的家庭树不变的渗流。此外，我们证明了迹是a.s.对于任何（非平凡）分支随机游动都是强返回的。这是从迹的观察得出的，在适当偏置根之后，迹定义了么模测度。所有的结果表明，在更一般的情况下，分支随机游动的单模随机图。
2010-10-21 math.GR math.PR
Asymptotic metric behavior of random Cayley graphs of finite abelian groups
利用Marklof和Strömbergsson的方法，我们建立了有限阿贝尔群的随机Cayley图关于随机选取的一组固定大小的生成元的度量参数的几个极限律.这样做，我们解决了阿米尔和古雷尔古列维奇的猜想。
2017-06-12 math.CO math.DS math.PR
Random induced subgraphs of Cayley graphs induced by transpositions
本文研究了由任意最小转置生成集诱导的对称群的Cayley图的随机诱导子图。通过选择具有独立概率的置换$λ_n$，得到了这个Cayley图的随机诱导子图.我们的主要结果是：对于任意的换位的最小生成集，对于概率$λ_n=\frac{1+ε_n}{n-1}$，其中$n^{-{1/3}+δ}\le ε_n<1$和$δ>0$，随机诱导子图有a. s.大小为$\wp(ε_n)\frac{1+ε_n}{n-1}n!$的唯一最大组分，其中$\wp(ε_n)$是特定分支过程的存活概率。
2011-07-19 math.CO math.PR
The diameter of a random Cayley graph of Z_q
考虑具有k个一致选择生成元的素数阶q的循环群的Cayley图。对于固定的k，我们证明了所述图的直径是渐进的（在q）的阶为q^（1/k）。当生成集被取为大小为2k的对称集时，这同样成立。
2009-10-04 math.CO math.MG math.PR
Supplementary Material for Random Cayley Graphs Project
本文档包含我们的Random Cayley Graphs项目中主要文章的补充材料。我们证明了整数上和循环上简单随机游动的精化结果。我们主要感兴趣的是这些随机游动在特定时刻的熵，以及当时变时熵是如何变化的。此外，我们证明了一些大偏差和退出时间的估计。我们证明了一些结果的离散晶格球的大小，以及如何这个大小的变化时，半径略有变化。我们在一般的$L_q$规范中使用$q \in [1,\infty]$来实现这一点。我们还证明了一些其他的技术结果推迟从主要文件。我们希望，一些结果，特别是简单的随机游动估计，将是有用的，在自己的权利，为其他研究人员。
2021-02-04 math.PR
Monotonicity for continuous-time random walks
考虑Cayley图上的连续时间随机游动，其中分配给每条边的速率仅取决于相应的生成元。我们发现，极限速度是单调增加的速率无限凯莱图，所产生的Coxeter系统，但不是所有的凯莱图。在有限凯莱图，我们表明，距离-在各种意义上-平稳性是单调递减的Coxeter系统和阿贝尔群的速度，但不是所有的凯莱图。我们还发现了一些令人惊讶的行为的例子，在依赖的距离平稳率。这包括一个反例猜想熵的Benjamini，里昂和施拉姆。我们还表明，在任何固定的时间随机游动在$\mathbb{Z}^+$的期望距离是单调增加的速率为任意率函数，这是不正确的所有$\mathbb{Z}$。各种中间结果也很有趣。
2022-09-29 math.PR
Partition functions of discrete coalescents: from Cayley's formula to Frieze's ζ(3) limit theorem
在这些简要的注释中，我们描述了乘法结合图的一些特征及其与随机图和最小生成树的联系。我们使用Pitman的凯莱公式的证明，该公式通过计算添加剂聚结剂的分拆函数来进行，作为动机和发射台。我们定义了一个随机变量，可以合理地称为经验分拆函数的乘法合并，并表明其典型值是指数小于其期望值。我们的论证使我们分析了Erdens-Rényi随机图过程的敏感性，并由此得到了Frieze随机最小生成树权的n（3）-极限定理的一个新的证明.
2014-07-31 math.PR
Invariant random matchings in Cayley graphs
我们证明了任何不顺从的Cayley图都存在IID完美匹配因子。我们还证明了任何连通的d-正则顶点传递图都允许完美匹配。这两个结果意味着每个Cayley图都有不变的随机完美匹配。证明中的一个关键步骤是关于图形的结果，该结果也适用于有限图形。有限版本说，对于有限正则图的任何部分匹配，这是一个很好的扩展器，总是可以找到一个增广路径的长度是在一个不匹配的顶点的比率的多对数。
2012-11-11 math.CO math.DS math.PR
The thresholds for diameter 2 in random Cayley graphs
给定一个群G，模型$\mathcal{G}(G,p)$表示G的所有Cayley图的概率空间，其中生成集的每个元素以概率p独立地随机选择。在这篇文章中，我们证明了对于任何$ε> 0$和任何n_k阶群G_k族，其中$n_k \to \infty$，如果$p \geqslant \sqrt{(2 + ε) \frac{\log{n_k}}{n_k}}$，则具有高概率的图$Γ_k \in \mathcal{G}(G_k,p)$具有至多2的直径，并且如果$p \leqslant \sqrt{(1/4 + ε)\frac{\log{n_k}}{n_k}}$，则具有高概率的图$Γ_k \in \mathcal{G}(G_k,p)$具有大于2的直径。我们还提供了家庭的图形，这表明这两个结果是最好的可能的例子。特别有趣的是，对于某些群族，相应的随机凯莱图达到直径2的速度明显快于Erdens-Renyi随机图。
2011-08-17 math.CO math.PR
Coloring sparse random Cayley graphs
Stanford University（斯坦福大学）
证明了任何有限阿贝尔群上由c log|Z|个随机元素生成的Cayley图以高概率是3-可着色的，改进了Alon的1/4 log log|Z|界，并朝Alon猜想迈进一步。
2026-08-14 math.CO math.PR
The Foata-Fuchs proof of Cayley's formula, and its probabilistic uses
我们给出了Foata和Fuchs（1970）的Cayley公式的一个非常简单的双射证明。这种双射原来是非常有用的，当看到通过概率透镜，我们解释了一些方法，它可以用来获得概率的身份，界限，和增长过程中的随机树与给定的程度，包括随机d-ary树。我们还在有根树的度序列上引入了一个偏序，并猜想它诱导了给定度的随机有根树的高度上的随机偏序。
2022-11-17 math.CO math.PR
Bounded cutoff window for the non-backtracking random walk on Ramanujan Graphs
我们证明了具有大围长的Ramanujan图上的非回溯随机游动具有最快的有界窗口截止。
2021-05-06 math.CO math.GR math.NT
Girth, magnitude homology, and phase transition of diagonality
研究了图的大小同调，主要研究了图的对角性与围长的关系。幅值和幅值同调分别是有限度量空间的欧拉示性数和相应同调的公式，最早由Leinster和Hepal-Willerton提出。有几个作者将它们限制在具有路度量的图上进行研究，并发现了一些与普通的同调论相似的性质。然而，他们的行为的全貌仍然没有被揭示，预计他们会抓住一些图的几何性质。本文证明了图的图的围长部分地决定了图的大小同调，即围长越大，图的对角部附近的同调消失的越多。此外，将此结果应用于一个典型的随机图，我们研究了图的对角性如何随着边密度的增加而统计地变化。特别地，我们证明了对角化存在相变现象。
2021-02-09 math.AT math.CO math.PR
Octonion random functions and integration of stochastic PDEs
本文研究了八元数代数和Cayley-Dickson代数上模中的随机函数。对于他们的研究过渡措施与价值观的octonion代数和Cayley-Dickson代数。研究了这些代数上的随机积分。它们被应用于随机偏微分方程的集成。这种方法允许随后分析和整合的订单高于两个不同类型的偏微分方程，包括抛物型，椭圆型和双曲型。
2020-12-11 math.PR
Diameter of Ramanujan Graphs and Random Cayley Graphs
研究了LPS Ramanujan图$X_{p,q}$的直径.证明了二部Ramanujan图的直径大于$ (4/3)\log_{p}(n) +O(1)$，其中$n$是$X_{p,q}$的顶点数.我们还构造了一类$(p+1)$ -正则LPS Ramanujan图$X_{p,m}$，使得这些图的直径大于或等于$ \lfloor (4/3)\log_{p}(n) \rfloor$ .另一方面，对于任何$k$ -正则Ramanujan图，我们表明，只有一小部分的所有顶点对的距离大于$(1+ε)\log_{k-1}(n)$。我们还对LPS Ramanujan图和随机Cayley图进行了数值实验，结果表明它们的直径分别是渐近的$(4/3)\log_{k-1}(n)$和$\log_{k-1}(n)$.
2017-03-25 math.CO math.NT math.PR
Spectra of Cayley graphs of the lamplighter group and random Schrodinger operators
我们表明，点灯组L有一个系统的生成元的离散Laplacian的Cayley图的频谱是一个工会的一个区间和可数集的孤立点积累到一个点以外的这个区间。这是第一个例子，一个群有无限多的差距，在频谱的凯莱图。这个结果是通过研究L上单参数卷积算子族的谱性质得到的。结果表明，对于每个参数值，谱都是纯点谱，特征值是包含第二类切比雪夫多项式的代数方程的解，当参数通过点1和-1时，谱的拓扑结构发生分叉.
2019-05-08 math.GT math.OA math.PR
Random walks which prefer unvisited edges. Exploring high girth even degree expanders in linear time
我们考虑修改后的随机游走，尽可能使用未访问的边缘，否则，使一个简单的随机游走。我们称这样的行走为边缘过程。我们假设有一个规则A，它告诉遍历在有选择时使用哪个未访问的边。在最简单的情况下，A是对与当前行走位置关联的未访问边缘的均匀随机选择。然而，我们并不排除规则A的任意选择。例如，规则可以由对手在线确定，或者可以从顶点到顶点变化。对于最大度有界的偶度扩张图，我们有如下结果。设G是一个n点偶度扩张图，G的每个顶点至少在一个长度为L的点诱导圈中。G上的任何边过程都有覆盖时间（n+（nlogn）/L）。这个结果是独立的规则A用于选择未访问的边缘，这可以选择在线的对手的顺序。作为一个例子，在高概率下，随机r-正则图（r至少为4，偶数）是L = Omega（log n）的扩展器。因此，对于几乎所有这样的图，边过程的顶点覆盖时间是Theta（n）。与任何加权随机游走的Omega（n log n）覆盖时间相比，这将此类图的顶点覆盖时间提高了log n倍。
2012-05-27 cs.DC cs.DS math.CO
First passage percolation on nilpotent Cayley graphs and beyond
我们的主要结果是一个扩展的Pansu定理的随机度量，其中的Cayley的边缘是i.i.d.具有有限指数矩的随机变量。根据第二作者以前的工作，证明依赖于Talagrand的浓度不等式，并在潘苏定理。利用Z^d的一个著名的证明，证明了与Z不同构的虚幂零群的方差的一个次线性估计。进一步讨论了一般无限连通图上的首通渗流的渐近锥面：证明了这些渐近锥面是a.e.确定性当且仅当体积增长是次指数的。
2015-05-12 math.PR
Connective Constants on Cayley Graphs
对于传递无限连通图$G$，设$μ(G)$为其连通常数.用$\mathbf{\cal G}$表示具有独立于其它生成元的无限阶生成元的非线性生成无限群的Cayley图的集合.假设$G\in\mathbf{\cal G}$是一个群的Cayley图，并且Cayley图序列$\{G_n\}_{n=1}^{\infty}\subset \mathbf{\cal G}$局部收敛到$G.$，则$μ(G_n)$收敛到$μ(G)$为$n\rightarrow\infty.$，这部分证实了Benjamini [2013]提出的一个猜想。{ \it粗糙几何和随机性。}数学讲义{ \bf 2100}。Springer.]证明了连通常数关于无限可迁连通图的局部收敛是连续的。
2014-10-08 math.PR
Asymptotics in percolation on high-girth expanders
我们考虑一类高围长$d$正则展开子上的超临界键渗流。Alon、Benjamini和Stacey（2004）确定了线性尺寸（“巨型”）组件出现的临界概率是$p_c=1/(d-1)$。我们的主要结果恢复了在任何$p>p_c$的巨星和它的2-核心的顶点的大小和度分布的尖锐渐近性。在[ABS 04]中进一步表明，对于某些$ω<1$，在任何$0<p<1$处，第二大分量的大小最多为$n^ω$。我们发现，与经典的Erdens-Rényi随机图中的情况不同，即使具有任意大的围长，在常规膨胀剂上的键渗流中的第二大组分可以具有任意接近$1$的尺寸$n^{ω'}$（对于$ω'$）。此外，作为该构造的副产品，我们否定地回答了Benjamini（2013）关于扩张子上渗流中分量的直径与巨分量存在性之间的关系的问题。最后，我们建立了巨分支的其他典型特征，例如，一条直线路径的存在
2020-01-08 math.CO math.PR
On the concentration of Gaussian Cayley matrices
给定一个有限群，研究其左正则表示象中矩阵的高斯级数。我们提出这样的随机矩阵作为一个基准改进的非交换Khintchine不等式，我们强调的应用程序的矩阵斯宾塞猜想。
2022-11-30 math.FA math.PR
Elephant random walks on infinite Cayley trees
Indian Statistical Institute（印度统计研究所）
本文将Schütz和Trimper的大象随机游走推广到有限生成群，研究Cayley树的非交换群的渐近速度，发现速度与记忆参数无关，且存在相变点。
2026-04-14 math-ph math.MP math.PR
Indistinguishability of components of random spanning forests
我们证明了Cayley图的自由均匀生成森林的无限分量是不可区分的任何不变性质，给定的森林是不同于其有线对应。对于自由最小生成森林也得到了类似的结果。我们还证明了在上述假设下，只能有0个、1个或无穷多个分量。这些回答了Benjamini，Lyons，Peres和Schramm的问题。我们的方法适用于一个更一般的类的expanations，那些满足“弱插入容差”，并超越凯莱图的工作，在更一般的设置单模随机图。
2016-02-04 math.PR
The measurable Kesten theorem
给出了有限d-正则图的短圈密度与谱半径之间的显式估计。这使得我们能够证明有限d-正则Ramanujan图G的本质围长至少是c log log |G|。我们证明了无限d-正则Ramanujan幺模随机图是树。利用Benjamini-Schramm收敛性，得到了一个刚性结果：如果d-正则有限图G的大多数特征值落在Alon-Boppana区域，则G的特征值分布接近d-正则树的谱测度. Kesten证明了如果一个Cayley图的谱半径与它的泛覆盖相同，那么它一定是一棵树。我们将其推广到单模随机图。
2015-11-27 math.CO math.GR math.PR
Sensitivity of mixing times of Cayley graphs
本文证明全变差混合时间在拟等距下不是不变的，通过构造度数无界的 Cayley 图对及有界度非传递图，展示混合时间之比可趋于无穷大。
2023-05-02 math.PR
Balanced Allocation on Graphs: A Random Walk Approach
本文提出了将$n$顺序球分配到$n$仓中的算法，这些仓互连成一个$d$ -正则$n$ -顶点图$G$，其中$d\ge3$可以是任意整数，$l$是给定的正整数.在每一轮$t$、$1\le t\le n$中，球$t$均匀随机地挑选$G$的一个节点，并从所选节点开始执行长度为$l$的非回溯随机游走，然后将其自身分配到具有最小负载的访问节点之一上（平局均匀随机地断开）。假设$G$具有足够大的围长，并且$d=ω(\log n)$。然后，我们建立了一个上限的最大数量的球在任何仓分配$n$球的算法，称为{ \it最大负载}，在$l$的高概率。我们还表明，上限是最多的一个$O(\log\log n)$因素以上的下限，证明了该算法。特别地，我们证明了，如果我们设置$l=\lfloor(\log n)^{\frac{1+ε}{2}}\rfloor$，对于每个常数$ε\in (0, 1)$，和$G$具有围长至少$ω(l)$，那么由该算法获得的最大负载是有界的$O(1/ε)$与高probability.最后，我们稍微修改算法有类似的结果平衡分配$d$ -正则图与$d\in[3, O(\log n)]$和足够大的围长。
2016-02-27 cs.DM cs.DS math.PR
Exact Diameter Windows for Random Cayley Graphs on Odd-Order Abelian Groups
本文确定了奇阶阿贝尔群上随机Cayley图的直径临界窗口，证明覆盖时间收敛到泊松过程，直径转变呈Gumbel分布，并给出精确阈值常数\\(d!/2^d\\)及\\(d=2\\)时的路径-环分解。
2026-09-25 math.CO math.PR
On the clique number of random Cayley graphs and related topics
本文用纯组合方法证明随机凯莱图的团数高概率为 O(log N log log N)，改进了 Alon 的上界，并据此证明 Alon 关于凯莱图团数与独立数均为 O(log N) 的猜想对几乎所有阿贝尔群成立，还构造了自补凯莱图以强形式解决 Alon–Orlitsky 问题。
2024-12-30 cs.DM math.CO math.NT
Central limit theorem for exponentially quasi-local statistics of spin models on Cayley graphs
格点随机场（包括自旋模型）线性统计量的中心极限定理通常在适当的混合条件或拟结合性下得到证明。自旋模型的许多有趣的例子不满足混合条件，另一方面，它似乎并不容易证明中心极限定理局部统计通过准结合性。在这项工作中，我们证明了一般的中心极限定理的局部统计和指数拟局部统计的自旋模型的离散凯莱图多项式增长。此外，我们通过证明离散Cayley图上的随机场的类似中心极限定理来补充这些结果，并在可数空间中取值，但在α-混合（局部统计量）和指数α-混合（指数拟局部统计量）的更强假设下。我们所有的中心极限定理假设一个合适的方差下界像许多其他文献中。我们说明了我们的一般中心极限定理与具体的例子晶格自旋模型和统计所产生的计算拓扑结构，统计物理和随机网络。聚类自旋模型的例子包括具有快速衰减协方差的准关联自旋模型，如非临界伊辛模型，具有快速衰减协方差的高斯随机场水平集，如大质量高斯自由场和具有快速衰减内核的决定点过程。局部统计的实例包括随机立方复合物的内禀体积、面计数、组分计数，而指数准局部统计包括自旋模型中的最近邻距离和亚临界随机立方复合物的贝蒂数。
2018-03-25 math-ph math.MP math.PR
Exact and Asymptotic Results on Coarse Ricci Curvature of Graphs
里奇曲率是由Ollivier在度量测度空间的一般框架下提出的，近年来在图的背景下得到了广泛的研究。本文证明了二部图和围长至少为5的图的Ollivier里奇曲率的上界。我们还证明了一个一般的下界的里奇曲率的大小方面的最大匹配在一个适当的子图。作为结果，我们刻画了围长为5的Ricci平坦图。利用我们的一般下界和Birkhoff-von Neumann定理，给出了围长为4的Ricci平坦正则图的结构的一个充要条件.最后，我们得到了随机二部图$G(n,n, p)$和随机图$G(n, p)$在$p$的不同区域下的渐近里奇曲率.
2020-08-22 math.CO math.DG math.PR
On quantum percolation in finite regular graphs
本文研究有限正则图上的量子渗流，定量刻画有限键渗流图的谱与特征向量离域性，并证明低度移除概率下无限正则树保留绝对连续谱。
2014-09-06 math-ph math.MP math.PR
Percolation Perturbations in Potential Theory and Random Walks
我们证明了在一个非顺从群的Cayley图上，Bernoulli渗流的无限簇对于简单随机游动几乎必然是瞬态的，在这些簇上的简单随机游动具有正速度，并且这些簇允许有界的调和函数.一个主要的新发现，这些结果的基础是，这样的集群承认不变的随机子图正等周常数。我们还表明，在任何顺从凯莱图的渗流集群几乎肯定不承认非常数调和狄利克雷函数。相反，在一个含有非常数调和Dirichlet函数的Cayley图上，当$p$充分接近1时，几乎必然$p$ -Bernoulli渗流的无限簇也含有非常数调和Dirichlet函数.提出了许多问题和建议。
1998-04-02 math-ph math.MP math.PR
Universality in random graphs via optimal linking systems: trees and beyond
Tel Aviv University（特拉维夫大学）；TU Wien（维也纳工业大学）；University of Sheffield（谢菲尔德大学）
本文开发了稀疏随机图普适性结果的证明框架，确定了二项随机图包含树和环因子的最优条件，回答了Montgomery的问题并改进了相关研究结果。
2026-11-04 math.CO math.PR
Geometry of Random Cayley Graphs of Abelian Groups
研究了有限阿贝尔群随机Cayley图的几何性质，证明了图距离和直径渐近集中且仅依赖群规模与生成元数，并推广了Alon-Roichman谱隙结果。
2025-10-10 math.CO math.PR
The spectrum of the random environment and localization of noise
本文研究了有限可迁d-正则图围长递增的弱随机环境中的随机游动。经过缩放和中心化后，转移阵的解析谱在分布上收敛于高斯噪声。在d = 2时出现一个有趣的现象：当极限图从规则树变为整数时，噪声变得局部化。
2008-04-30 math.PR math.SP
Second-order Markov random fields for independent sets on the infinite Cayley tree
最近，人们对马尔可夫随机场（M.r.f.）的性质有了很大的兴趣。定义在稀疏图的独立集上。当这些M.R.F.仅限于成对相互作用（即硬核模型），已经取得了很大进展。然而，相当少的是已知的高阶相互作用的存在下，出现在例如，在分析具有特殊属性的独立集和资源受限的通信网络的研究。在本文中，我们进一步了解这样的模型，通过分析M.r.f.在无限凯莱树的独立集上具有二阶相互作用。我们证明了，只要定义哈密顿量的局部势满足对数凸性条件，相应的Gibbsian规范满足著名的FKG不等式。在此条件下，我们给出了用显式方程组表示的无限体积Gibbs测度存在唯一性的充要条件，证明了相变的存在性，并给出了相应的临界活度的显式界，证明了该界具有一定的鲁棒性.对于那些符合硬核模型在关键活动的小扰动的潜力，我们表征所得到的规格是否有一个独特的无限体积吉布斯措施，这些扰动是否满足明确的线性不等式。我们的分析揭示了一个有趣的非单调性方面的偏向排除节点没有包括邻居。
2015-06-18 cs.CC cs.DM math-ph
A stationary random graph of no growth rate
本文给出了Cayley图的一个随机等距不变子图，使得它的指数增长性以概率1不存在。
2012-08-21 math.MG math.PR
On the critical weight statistics of the Random Energy Model and of the Directed Polymer on the Cayley Tree
我们考虑了两种平均场无序模型的临界点：（i）随机能量模型（REM），由德里达引入的$N$自旋的平均场自旋玻璃模型;（ii）具有随机键能的Cayley树上长度为$N$的定向聚合物（DPCT）。这两种模型都表现出一个冻结之间的过渡高温相的熵是广泛的和一个低温相的有限熵。本文利用熵$S=-\sum w_i \ln w_i$和广义矩$Y_k=\sum w_i^k$研究了临界态的权统计，其中$w_i$是$2^N$组态的Boltzmann权.在REM中，我们发现，临界重量统计是由有限大小的指数$ν=2$：熵尺度为$\bar{S}_N(T_c) \sim N^{1/2}$，典型值$e^{\bar{\ln Y_k}}$衰减为$N^{-k/2}$，和无序平均值$\bar{Y_k}$由稀有事件和衰减为$N^{-1/2}$任何$k>1$。对于DPCT，我们发现熵的尺度类似于$\bar{S}_N(T_c) \sim N^{1/2}$，而另一个指数$ν'=1$支配$Y_k$统计：对于任何$k>1$，典型值$e^{\bar{\ln Y_k}}$衰减为$N^{-k}$，无序平均值$\bar{Y_k}$衰减为$N^{-1}$。因此，重叠$q$的渐近概率分布$\barπ_{N=\infty}(q)$除了具有整个归一化的δ函数$δ(q)$之外，还包含在$q=1$处的孤立点，作为低温相$T<T_c$的δ峰$(1-T/T…
2007-03-01 cond-mat.dis-nn math.PR
Self-avoiding walks and amenability
无限可迁图$G$的连接常数$μ(G)$是从给定原点开始的自避免行走数的指数增长性。本文探讨了连接常数与顺应性之间的关系。连接常数的各种性质取决于所谓的“图高度函数”的存在，即：（i）$μ(G)$是否是从$G$导出的某些图上的局部函数，（ii）$μ(G)$的等式和桥的渐近增长率，以及（iii）是否存在一个终止算法，用于近似$μ(G)$到给定的准确度。在顺从群的背景下，它被证明是无限的凯莱图，生成的，基本顺从群支持图的高度函数，这是另外的调和。相反，Grigorchuk群的Cayley图是可修改的，但不是基本可修改的，它没有图高度函数。在不服从传递图的背景下，给出了图的谱底的连通常数的下界。这加强了同一作者的早期结果。其次，利用Benjamini，Nacheland和Peres的一个渗流不等式，说明了具有大围长的非顺从传递图的连接常数接近于正则树的连接常数。例子给出的非顺从组没有图高度功能，其中之一是Higman组。
2015-11-24 math-ph math.CO math.GR
