阿贝尔群的随机Cayley图的几何性质
Geometry of Random Cayley Graphs of Abelian Groups
AI总结：
研究了有限阿贝尔群随机Cayley图的几何性质，证明了图距离和直径渐近集中且仅依赖群规模与生成元数，并推广了Alon-Roichman谱隙结果。
摘要：
考虑有限阿贝尔群 $G$ 关于均匀随机选取的 $k$ 个生成元的随机Cayley图，其中 $1 \ll \log k \ll \log |G|$。抽取一个顶点 $U \sim \operatorname{Unif}(G)$。我们证明了，在温和条件下，从单位元到 $U$ 的图距离 $\operatorname{dist}(\mathsf{id},U)$ 集中于一个特定值 $M$，该值是 $\mathbb Z^k$ 中基数至少为 $|G|$ 的球的最小半径。换言之，对于 $G$ 中除 $o(|G|)$ 外的所有元素，其到单位元的距离都位于区间 $[M - o(M), M + o(M)]$ 内。在 $k \gtrsim \log |G|$ 的范围内，我们证明图的直径也渐近为 $M$。秉承Aldous和Diaconis（1985）猜想的精神，该 $M$ 仅依赖于 $k$ 和 $|G|$，而不依赖于 $G$ 的代数结构。记 $d(G)$ 为 $G$ 的生成子集的最小大小。我们证明了，当 $k - d(G) \asymp k$ 且 $|G|$ 属于 $\mathbb N$ 的密度为 $1$ 的子集时，或者当 $k - 2 d(G) \asymp k$ 时，谱隙的阶为 $|G|^{-2/k}$。对于阿贝尔群而言，这推广了Alon和Roichman（1994）的一个著名结果。上述所有结果在随机Cayley图上均以高概率成立。
英文摘要：
Consider the random Cayley graph of a finite Abelian group $G$ with respect to $k$ generators chosen uniformly at random, with $1 \ll \log k \ll \log |G|$. Draw a vertex $U \sim \operatorname{Unif}(G)$. We show that the graph distance $\operatorname{dist}(\mathsf{id},U)$ from the identity to $U$ concentrates at a particular value $M$, which is the minimal radius of a ball in $\mathbb Z^k$ of cardinality at least $|G|$, under mild conditions. In other words, the distance from the identity for all but $o(|G|)$ of the elements of $G$ lies in the interval $[M - o(M), M + o(M)]$. In the regime $k \gtrsim \log |G|$, we show that the diameter of the graph is also asymptotically $M$. In the spirit of a conjecture of Aldous and Diaconis (1985), this $M$ depends only on $k$ and $|G|$, not on the algebraic structure of $G$. Write $d(G)$ for the minimal size of a generating subset of $G$. We prove that the order of the spectral gap is $|G|^{-2/k}$ when $k - d(G) \asymp k$ and $|G|$ lies in a density-$1$ subset of $\mathbb N$ or when $k - 2 d(G) \asymp k$. This extends, for Abelian groups, a celebrated result of Alon and Roichman (1994). The aforementioned results all hold with high probability over the random Cayley graph.
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