Lévy Statistics and Anomalous Transport: Lévy flights and Subdiffusion
Ralf Metzler, Aleksei V. Chechkin, Joseph Klafter
讨论了Levy飞行和次扩散过程及其性质。我们推导了空间和时间分数输运方程，并考虑了它们在外部势中的解。一个广泛的参考名单包括在内。
Levy flights and subdiffusive processes and their properties are discussed. We derive the space- and time-fractional transport equations, and consider their solutions in external potentials. An extensive list of references is included.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Directed transport driven by Lévy flights coexisting with subdiffusion
研究了在无外力作用下，Lévy飞行与次扩散共存的非对称周期势场中布朗粒子的输运。利用Langevin型动力学和从属技术，我们得到了可以测量输运的群速度。结果表明，群速度随次扩散指数单调增加，且存在一个最佳Lévy指数值，在该值处群速度最大.亚扩散指数存在一个阈值，低于该阈值，棘轮效应消失。莱维飞行的非热特征和势的不对称性对于获得定向传输是必要的。还观察到了Lévy飞行与次扩散之间的竞争所引起的一些特殊现象。正态扩散将出现在中值的水平上。
The Monte Carlo and fractional kinetics approaches to the underground anomalous subdiffusion of contaminants
本文比较了分数阶导数法和蒙特卡罗法在粒子输运领域中对反常扩散的模拟。这项研究的目的是提供一个更好的洞察行为（放射性）污染物示踪剂流经非均质介质时。
Subdiffusion-limited reactions
考虑一维亚扩散运动粒子的凝聚动力学A+A -> A和A+ <->AA以及湮灭动力学A+A -> 0。这种情况下结合了“异常动力学”和“异常扩散”的问题，其中每一个导致有趣的动态单独和更有趣的动态组合。我们的分析是基于分数阶扩散方程。
Fractional Fokker-Planck subdiffusion in alternating fields
从连续时间随机游动出发，导出了含时力场中次扩散的分数阶Fokker-Planck方程。它的局限性进行了讨论，然后将其应用到时间周期矩形力的影响下的亚扩散的研究。作为主要结果，我们表明，这样的力量不影响普遍的标度关系的异常电流和扩散时，施加到偏置动力学：在长时间限制亚扩散电流和异常扩散是免疫的驱动。这是在鲜明的对比与无偏的情况下，当子扩散系数可以被强烈增强，即零频率响应的周期性驱动是存在的。
Fractional time random walk subdiffusion and anomalous transport with finite mean residence times: faster, not slower
连续时间随机游走（CTRW）的子扩散以及与之相关的分数阶Fokker-Planck方程（FFPE）传统上是以平均周期发散的随机钟为前提的。这项工作考虑了另一种CTRW和FFPE描述的特点是有限的平均停留时间（MRT）在任何空间域的有限大小。瞬态亚扩散输运可以发生在一个非常大的时间尺度$τ_c$，它可以大大超过平均停留时间在任何陷阱，$τ_c\gg <τ>$，甚至不相关。渐近地，在宏观尺度上的运输成为正常的$t\ggτ_c$。然而，介观输运是反常的。从粘弹性subdiffusion没有长程反相关的位置增量是必需的。此外，我们的研究表明，瞬态亚扩散和输运比宏观尺度上的正态渐近极限所期望的要快。由于细胞质的宏观粘度是有限的，这一观察对生物细胞中的异常介观输运过程具有深远的意义。
Transport Equations for Subdiffusion with Nonlinear Particle Interaction
我们展示了如何非线性相互作用的影响“体积填充”和“粘附”可以被纳入分数subdiffusive运输的细胞和个体生物。为此，我们使用微观随机游走模型与异常捕获和系统地推导出通用的非马尔可夫和非线性控制方程的平均浓度的subdiffusive细胞或生物体。我们发现了一个有趣的非线性和非马尔可夫性质的运输之间的相互作用。在次扩散的情况下，这种相互作用表现在一个非平凡的非线性项与分数阶导数的组合。但在较长的时间限制下，这些方程简化为不含分数阶算子的形式。这为聚集现象的研究提供了一种简便的方法。特别是，这使我们能够表明，体积填充可以防止“异常聚集”，这发生在subdiffusive系统与空间变化的异常指数。
Subdiffusion, Anomalous Diffusion and Propagation of a Particle Moving in Random and Periodic Media
本文研究了单粒子在二维正方形晶格上的运动，该晶格的位置分别被左、右旋转子占据。这些左旋转器和右旋转器分别确定性地将粒子的速度向右或向左旋转，并且在散射粒子之后将\emph{flip}取向从右向左或从左向右旋转。我们研究了三种类型的左，右旋转体的配置，我们认为这是类型的媒体，通过与粒子的运动。这些是完全随机（CR）、随机周期（RP）和完全周期（CP）配置。对于CR配置，粒子的动力学以以下方式取决于右散射体与左散射体的比率$r$。对于小的$r\simeq0$，当构型接近均匀时，颗粒以2/3的指数亚扩散，类似于拥挤环境中的大分子扩散。此外，粒子的轨迹具有$d_f\simeq4/3$的分形维数，与自回避行走的分形维数相当。随着比例增加到$r\simeq 1$，粒子的动力学从亚扩散过渡到异常扩散，其分形维数为$d_f\simeq 7/4$，类似于2-d中的扩散团簇。在RP配置，这是更多的结构比CR配置，但也随机产生的，我们发现，在CR情况下的粒子有相同的统计。相比之下，CP配置，这是高度结构化的，通常会导致粒子通过一个短暂的阶段，亚扩散，然后突然改变到传播。有趣的是，亚扩散阶段的指数约为2/3，分形维数为$d_f\simeq4/3$，类似于小$r$的CR和RP配置的情况。
Viscoelastic subdiffusion: from anomalous to normal
本文用广义朗之万方程方法研究了周期势和非周期势中的粘弹性次扩散。我们的研究结果证明了（超）慢的波动率的观点，相应的非马尔可夫动力学显示爆裂和反相关的停留时间在两个潜在的井。当势垒$V_0$数倍超过热能$k_BT$（$V_0\sim 2 - 10 k_BT$）时，相变动力学是渐近拉伸指数的，不能用非马尔可夫速率理论（NMRT）描述.然而，随着势垒高度的增加，即停留时间的最可能对数，众所周知的NMRT结果更接近。此外，速率描述逐渐恢复时，势垒高度超过一个模糊的边界，这取决于幂律指数的自由亚扩散$α$。这种无势次扩散是遍历的。令人惊讶的是，在周期性电位，它是不敏感的势垒高度在长时间的渐近极限。然而，过渡到这个渐近制度是非常缓慢的，它深刻地依赖于势垒高度。这种次扩散的时间尺度可以超过在势阱中或在有限空间域中的平均停留时间许多数量级。所有这些功能是在鲜明的对比，与一个替代的亚扩散机制，涉及陷阱之间的跳跃，在这些陷阱中的平均停留时间不同。
Is subdiffusional transport slower than normal?
本文研究了在一个常力场F的作用下，布朗粒子在具有很大但有限宏观粘性的粘弹性类流体介质中的反常非马尔可夫输运。该介质的粘弹性性质由幂律粘弹性记忆核表征，该记忆核在强粘弹性相关的时间尺度τ上随时间超慢衰减。当t<τ时，亚扩散输运机制出现瞬时现象。然而，对于t>>τ，输运变得渐近正态。结果表明，即使瞬时平均位移和方差都是次线性的，即在时间上非常慢，<δx（t）> ~ F t^α，<δx^2（t）> ~ t^α，0<α<1，但在每个时刻的平均位移总是大于在具有相同宏观粘度的纯粘性介质中正常输运的平均位移。这可能对生物细胞中的亚扩散运输产生深远的影响，因为“超慢”的概念在纳米和介观尺度上发生的异常扩散限制运输和反应过程的背景下可能会产生误导。
Nonlinear degradation enhanced transport of morphogens performing subdiffusion
我们研究了非线性退化和亚扩散输运下的形态梯度的形成。在长的时间限制，我们得到的非线性效应的退化增强扩散，导致非马尔可夫亚扩散输运的非线性反应的相互作用。我们发现固定的配置文件的幂律型，这对鲁棒性的影响，配置文件的形状由异常指数控制。远离形态发生素的来源，生产率的任何变化都感觉不到。
Anomalous diffusion in a quenched-trap model on fractal lattices
具有异常亚扩散混合源的模型对于理解生物系统中的输运被认为是重要的。在这里，这样的混合模型，淬火陷阱模型（QTM）的分形晶格，进行了研究。结果表明，无论是合奏和时间平均均方位移（MSD）显示子扩散与不同的标度指数，即，该系统表现出弱遍历性破缺。此外，时间平均的MSD表现出老化和收敛到一个随机变量以下的修改Mittag-Leffler分布。当分形格的谱维数小于2时，分形格上的QTM不能化为连续时间的随机游动。
Subdiffusion, superdiffusion and chemotaxis
我们提出了两个非线性随机游走模型，这两个模型都适用于分析的趋化性和异常运输。当无规行走的转移速率取决于停留时间、趋化物质和粒子数密度时，我们导出了粒子数密度的平衡方程。我们引入了异常趋化敏感性，发现了异常聚集现象。因此，我们提出了一个新的解释，众所周知的趋化崩溃的影响。我们建立了一个非马尔可夫的“速度跳跃”模型，得到了细菌的超扩散行为与幂律的“运行”时间。
Subdiffusion-limited single species reactions
我们考虑了一维亚扩散运动粒子的凝聚动力学A+A -> A和湮灭动力学A+A -> 0，包括晶格上和连续体上。该分析结合了“异常动力学”和“异常扩散”问题，每个问题分别导致有趣的动力学，并导致更有趣的动力学组合。我们计算了短时间和长时间的浓度，并比较和对比连续和离散的情况下。我们的分析是基于分数阶扩散方程及其离散模拟。
Stochastic fluctuations and quasi-pattern formation in reaction-diffusion systems with anomalous transport
许多方法来模拟具有反常输运的反应扩散系统依赖于确定性方程，而忽略了由于有限粒子数而产生的波动。从一个基于个人的模型，我们使用生成函数的方法来推导出高斯近似的subdiffusive系统中的本征噪声。这导致确定性分数阶反应扩散方程的修正。利用这种分析方法，我们研究了反应亚扩散系统中噪声驱动的拟斑图的发生。我们发现，子扩散可以有利于确定性和随机模式的形成。我们的分析表明，子扩散和内在随机性的组合可以降低有效扩散系数的阈值比所需的斑图形成到一个更大的程度比其本身的效果。
Non-Markovian Random Walks and Non-Linear Reactions: Subdiffusion and Propagating Fronts
我们提出了一个具有非线性反应和非指数等待时间分布的CTRW反应输运模型。导出了介观粒子密度的非线性演化方程。我们将此方程应用于具有反常扩散的反应输运系统的波前向不稳定态的传播问题。我们已经找到了一个显式表达式的传播速度的情况下，亚扩散输运。
A reaction-subdiffusion model of fluorescence recovery after photobleaching (FRAP)
异常扩散，特别是亚扩散，经常被调用作为在致密的生物介质中的运动机制，并可能在细胞水平上的结合/解结合事件的动力学有显着的影响。在这项工作中，我们将异常扩散在先前开发的FRAP实验模型。我们的具体实施subdiffusive运输是基于连续时间随机游走（CTRW）的荧光粒子的运动的描述，因为CTRW借给自己特别好的结合/非结合事件的列入。为了模拟荧光亚扩散粒子的束缚态和非束缚态之间的转换，我们推导出一个具有相当普遍适用性的分数阶反应亚扩散方程。使用合适的初始和边界条件，这个方程，然后被纳入模型描述的二维动力学FRAP实验。我们发现，这个模型可以用来获得良好的拟合实验数据。此外，对应于不同半径的圆形漂白斑的恢复曲线可以由一组参数拟合。虽然没有足够的证据已经收集到肯定的说法，CTRW是FRAP实验中的基本传输机制，我们的结果与实验数据的兼容性燃料的讨论是否正常扩散或异常扩散是适当的模型，以及是否异常扩散效应是重要的，以充分了解FRAP实验的结果。在一个更技术性的方面，我们得到明确的解析解，我们的模型在一定的限制。
Anomalous features of diffusion in corrugated potentials with spatial correlations: faster than normal, and other surprises
具有空间不相关的高斯能量无序的波纹势中的正常扩散著名地解释了无序系统中非阿克里乌斯$\exp[-σ^2/(k_BT^2)]$温度依赖性的起源。在这里，我们表明，无偏扩散仍然是渐近正常的空间相关性衰减到零的存在。然而，由于缺乏时间的自平均瞬态亚扩散出现在中尺度上，它可以很容易地达到宏观尺度，即使是中等强度的无序波动的$σ\sim 4-5\, k_BT$。由于它的非遍历起源，这样的次扩散表现出一个大的分散在单轨迹平均。然而，与直觉不一致的是，它发生的速度比人们在没有相关性的情况下从正常扩散中预期的要快。我们将这些结果应用于DNA分子上的调节蛋白的扩散，并预测这种扩散应该是异常的，但比以前预期的几个房间$k_BT$，或仅仅是$0.05-0.075$ eV的现实能量紊乱的基因的典型长度快得多。
Anomalous Subdiffusion from Subsystem Symmetries
我们介绍了量子线路在两个和三个空间的维度是经典的模拟，尽管产生了高度的运营商纠缠。我们提供了这些“自动机”的部分表征量子线路，并使用它们来研究运营商的增长，信息传播，和局部电荷弛豫量子动力学与子系统对称性，我们定义为重叠的对称性，作用于低维子流形。有了这些对称性，我们发现了保守电荷的反常次扩散，也就是说，电荷在子系统对称性的维度上扩散得比扩散慢。通过研究一个有效的运营商在这些对称性的存在下的流体动力学，我们预测的电荷自相关衰减（$i$）为$\log(t)/\sqrt{t}$在二维与$U(1)$电荷沿交叉\emph{lines}，和（$ii$）为$1/t^{3/4}$在三维空间与交叉\emph{planar} $U(1)$对称性。通过对具有这些对称性的自动机动力学的大规模研究，我们在数值上观察到与这些预测一致的电荷弛豫。在这两种情况下，空间电荷分布是明显的非高斯，并让人想起沿分形表面的电荷扩散。我们数值研究了这些自动机动力学下的局部算子的传播中量子混沌的发生，并观察到在二维和三维中演化算子的弹道传播前沿的幂律加宽，以及与量子混沌行为一致的时间有序相关性的饱和值。
Forward and Backward Governing EQuations for Anomalous Diffusion Models Based on the Continuous Time Random Walk
连续时间随机游动（Continuous Time Random Walks，CTRW）是一种跳跃过程，跳跃之间具有随机的等待时间.我们研究了CTRW的缩放限制，其中跳跃和等待时间的分布是耦合的，并在空间和时间上变化。这样的过程模拟例如空间和时间依赖的势中的异常扩散过程。给出了CTRW过程收敛的条件，并用四个系数描述了极限。导出了含非局部时间算子的Kolmogorov向前和向后方程，并给出了三种反常扩散模型：i）含时势的次扩散，ii）含空间变化等待时间的次扩散和iii）含空间和时间漂移的Lévy行走.
Crossover from anomalous to normal diffusion: truncated power-law noise correlations and applications to dynamics in lipid bilayers
在许多复杂系统中出现的扩散动力学表现出从反常扩散到正常扩散的特征交叉行为，否则由两个独立的幂律拟合。亚扩散-扩散交叉的一个突出例子是粘弹性系统，如脂质双层膜，而超扩散-扩散交叉发生在主动移动生物细胞的系统中。在这里，我们考虑由所谓的回火分数高斯噪声驱动的随机粒子的一般动力学，该噪声具有高斯振幅和幂律相关性，在某些介观时间尺度上被切断。具体来说，我们认为这样的噪声与内置的指数或幂律回火，驱动过阻尼朗之万方程（分数布朗运动）和分数朗之万方程运动。我们推导出显式的均方位移和关联函数，包括不同形状的交叉行为取决于混凝土回火，并讨论回火的物理意义。在幂律回火的情况下，我们也发现了一个交叉行为，从更快到更慢的超扩散和更慢到更快的次扩散。作为我们的模型的一个直接应用，我们证明了所获得的动力学定量描述的亚扩散扩散和亚扩散-亚扩散交叉的脂质双层系统。我们还表明，回火分数布朗运动最近提出的Sabzikar和Meerschaert模型导致物理上非常不同的行为与一个看似矛盾的弹道长时间标度。
Anomalous reaction-diffusion equations for linear reactions
导出同时考虑反常扩散和反应的演化方程是出了名的困难，即使在最简单的情况下也是如此。与正常扩散相反，反应动力学不能仅仅通过将反应项添加到描述空间运动的方程中来并入模拟亚扩散的演化方程中。一系列以前的工作推导出分数反应扩散方程的时空演变的粒子进行subdiffusion在一个空间维与线性反应之间的有限数量的离散状态。在本文中，我们首先给出了这些结果的一个简短而初等的证明。然后，我们展示了如何这个参数给出了更一般的情况下，包括亚扩散以下的任何分数福克-普朗克方程在任意$d$维空间域与无限多个离散状态之间的时间相关的反应。与以前采用各种技术数学方法的工作相比，我们的分析表明，演化方程遵循（i）描述单个粒子的随机空间和离散过程的概率独立性和（ii）描述空间运动的积分微分算子的线性。我们也将我们的结果与超扩散反应相结合的系统。
Subdiffusive Brownian ratchets rocked by a periodic force
这项工作提出了一个推广的著名的摇摆马尔可夫布朗棘轮领域的反持续非马尔可夫亚扩散粘弹性介质。在具有幂律记忆核$η(t)\propto t^{-α}$（$0<α<1$）的非马尔可夫广义朗之万方程（GLE）描述下，研究了宇称破缺棘轮势中周期性受迫子扩散.结果表明，亚扩散整流电流，定义通过平均位移和亚速度$v_α$，$<δx(t)>\sim v_α t^α/ Γ(1+α)$，出现渐近由于打破的细致平衡对称性的驱动。渐近指数为$α$，与自由子扩散的指数$<δx^2(t)>\propto t^α$相同。然而，根据势垒高度和驱动场强度，到具有一些随时间逐渐衰减的时间依赖性$α_{\rm eff}(t)$的该状态的瞬态$α\leq α_{\rm eff}(t)\leq 1$可能非常慢。与其正常扩散对应物形成鲜明对比的是，在具有频率$Ω\to 0$的绝热驱动的极限中，不存在渐进的异常整流电流，显示出对驱动频率的共振依赖性。然而，异常电流反转发生足够快的驱动，像在正常扩散的情况下。在驱动场的最低阶，这样的整流电流呈现二次响应效应。在微扰区之外，它表现出一个很宽的最大值与驱动场强的关系。此外，异常电流表现出最大值与电位振幅。
Anomalous stochastic transport of particles with self-reinforcement and Mittag-Leffler distributed rest times
我们引入了一个持久的随机行走模型的随机传输的粒子涉及自增强和Mittag-Leffler分布的停留时间的休息状态。该模型涉及一个系统的双曲型偏微分方程的非局部开关项描述的黎曼-刘维导数。从蒙特卡罗模拟，该模型产生超扩散在中间时间，但恢复到亚扩散在长时间的渐近极限。为了证实这一结果，我们推导了二阶矩方程，发现它在长时间内是次扩散的。两个更简单的模型的分析也包括在内，这表明了主导地位的Mittag-Leffler休息状态导致subdiffusion。观察到瞬态超扩散发生在一个最终subdiffusive系统是一个有用的功能，在随机生物运输的应用。
Anomalous diffusion on a fractal mesh
本文对分形网格上的反常扩散进行了精确的解析分析。分形网格结构是属于主干分支和分支的两个分形集的直积。在整个（无限）$y$和$x$轴上构造骨干和指的分形集。为此，我们提出了一个特殊的算法，这种特殊的建设。研究了分形网格的输运性质，特别是利用色散关系$\langle x^2(t)\rangle\sim t^β$得到了沿骨架的亚扩散，其中输运指数$β<1$由骨架和指状物的分形维数决定.超扩散与$β>1$已被观察到，以及当环境是由一个内存内核的装置控制。
Anomalous diffusion in systems driven by the stable Levy noise with a finite noise relaxation time and inertia
考虑了由一般Lévy稳定噪声驱动的动力系统。的惯性包括和噪声，由一个广义的Ornstein-Uhlenbeck过程，具有有限的弛豫时间。一个一般的线性问题（加性噪声）得到解决：所得到的分布收敛于白噪声，无质量的情况下的分布随时间的推移。此外，还讨论了乘性噪声。它可以使分布变陡，并且方差是有限的，次线性地依赖于时间（子扩散）。对于小质量，白噪声极限对应于Stratonovich解释。另一方面，如果惯性很大，分布尾部与伊藤解释一致。计算从势阱的逃逸时间。
Anomalous wave transport in one-dimensional systems with Levy disorder
利用随机矩阵理论研究了一维随机介质中Levy无序波的输运统计特性。
Langevin picture of anomalous diffusion processes in expanding medium
膨胀介质在生物学、宇宙学等许多领域都很常见。它对颗粒的扩散产生了不可忽视的影响，这与外力场的作用有很大的不同。粒子在膨胀介质中运动的动力学机制仅在连续时间无规行走的框架下得到研究。为了研究更多的扩散过程和物理观测量，我们建立了膨胀介质中反常扩散的Langevin图像，并在Langevin方程的框架下进行了详细的分析。借助于从属子，讨论了膨胀介质中的亚扩散过程和超扩散过程。我们发现，不同变化率的膨胀介质（指数形式和幂律形式）导致了完全不同的扩散现象。颗粒的固有扩散行为也起着重要的作用。我们详细的理论分析和模拟展示了在朗之万方程框架下研究膨胀介质中反常扩散的全景。
Subdiffusion and many-body quantum chaos with kinetic constraints
我们研究了具有守恒电荷和动力学约束的多体量子系统的光谱和输运性质。使用随机酉电路，我们计算整体平均的频谱形状因子和线性响应关联函数，并发现它们的特征时间尺度给出了一个有效的哈密顿$-$或等效的，一个转移矩阵描述一个经典的马尔可夫过程的逆间隙。我们的方法使我们能够直接连接的无干扰的时间，$t_{\text{Th}}$，由光谱形状因子，传输特性和线性响应放大器。使用张量网络方法，我们确定的动力学指数，$z$，一些约束，保守的模型。我们发现普遍性类扩散，subdiffusive，quasilocalized，和本地化的动态，这取决于约束的严重程度。特别地，我们证明了具有“Fredkin约束”的量子系统表现出动力学指数为$z \simeq 8/3$的反常输运。
Fractional Chemotaxis Diffusion Equations
我们引入介观和宏观模型方程的趋化性与异常subdiffusion建模化学定向运输的生物有机体在不断变化的化学环境中的扩散阻碍陷阱或大分子拥挤。介观模型采用连续时间随机游动主方程，宏观模型采用分数阶微分方程。不同的模型提出了不同的趋化强迫的时间。还导出了包括线性反应动力学的模型的推广。最后介绍了模拟具有趋化性的反常次扩散的蒙特卡罗方法，并将模拟结果与模型方程的数值解进行了比较。本文所建立的模型方程可用来代替Keller-Segel方程，用于研究具有陷阱、大分子拥挤或其他障碍物的生物系统中的输运。
Subdiffusive Transport in Heterogeneous Patchy Environments
跨异质、斑块环境的运输是一种普遍存在的现象，跨越了包括生态运动、细胞内运输和细胞中专门功能区域在内的研究领域。这些区域或斑块的性质可能是高度异质的，并且经常表现出异常的行为（例如拥挤或粘弹性效应），这需要在他们的研究中包括非马尔可夫动力学。然而，许多这样的过程也受到内部自我调节或回火过程，由于同时进行竞争功能。在这项工作中，我们开发了一个模型，在一个不均匀的，斑块状的环境进行回火的异常传输。我们表明，在很长一段时间的平衡可能会达到恒定的有效传输率之间的补丁。这一结果是定性的不同，从untempered系统中的子扩散的结果在所有粒子的长时间积累的补丁与最低的异常指数，$0<μ<1$。
Fractional dynamics on networks: Emergence of anomalous diffusion and Lévy flights
我们介绍了一种形式主义的分数扩散网络的基础上的分数拉普拉斯矩阵，可以直接从特征值和特征向量的拉普拉斯矩阵。这种分数方法允许随机游走与长程动态提供了一个一般的框架，异常扩散和导航，并动态诱导任何网络上的小世界属性。我们获得了稳态概率分布、平均分数返回概率和全局时间的精确结果，表明如果我们使用分数随机游走，则导航网络的效率比正常随机游走更高。对于环的情况下，我们得到了精确的分析结果表明，分数转移和返回概率遵循长程幂律衰减，导致网络上的Lévy航班的出现。我们的一般分数扩散形式主义适用于规则，随机和复杂的网络，可以实现从拉普拉斯矩阵的谱特性，提供了一个重要的工具来分析网络上的异常扩散。
Anomalous transport and current fluctuations in a model of diffusing Levy walkers
列维行走是一个非马尔可夫随机过程，其中步行者的基本步骤包括在随机选择的方向上和随机时间段内以恒定速度运动。从具有有限均值但无穷方差的长尾分布中选择飞行时间。在这里，我们考虑一个开放的系统与边界注入和删除的粒子，在规定的速率，并研究系统的稳态特性。特别是，我们计算在这个系统中的密度分布，电流和电流波动。我们还考虑了环几何上有限密度的Levy Walkers的情况。在这里，我们引入了一个大小相关的截止时间的飞行分布，并考虑当前波动的属性。
Diffusion and Relaxation Controlled by Tempered α-stable Processes
从回火α稳定过程理论出发，导出了反常扩散和非指数弛豫的一般性质.它最重要的应用是克服α稳定随机操作时间τ的无穷矩困难。回火导致τ的所有矩的存在。逆回火α稳定过程的从属性提供了扩散（弛豫），它占据了亚扩散（科尔-科尔定律）和正常扩散（指数定律）之间的中间位置。在这里，我们得到明确的福克-普朗克方程，均方位移和弛豫函数。该模型包括子扩散作为一个特殊的情况。
Probability distribution functions of sub- and super-diffusive systems
我们研究了在梳状晶格上的随机行走系统（RW）的异常输运分形分支，显示subdiffusion，并在一个系统的布朗粒子驱动的随机剪切沿x方向，显示superdiffusive行为。特别是，我们讨论是否缩放和普遍性存在或不沿优先传输方向（x轴）的颗粒分布的形状。
Anomalous diffusion in stochastic systems with nonhomogeneously distributed traps
研究了含陷阱的非均匀介质中的随机运动，讨论了该系统的扩散性质。粒子受到随机刺激，服从一般的Lévy稳定统计，并由于陷阱的密度取决于位置而经历长时间的休息。记忆是考虑到从属的过程，以一个随机的时间，然后从属方程是位置相关的。这个问题是近似的陷阱的几何形状和内存的解耦的装置，并精确地解决了幂律陷阱密度，对应于分形介质结构，在高斯统计的情况下：导出的密度分布和时刻。根据几何形状和记忆参数，该系统可以揭示亚扩散和增强扩散。对Lévy飞行进行了类似的分析，其中方差的有限性来自乘性噪声，这是边界处的杂质和缺陷的结果。两个扩散制度被发现：在散装和表面附近。导出了反常扩散指数随系统参数的变化关系。
Subdiffusion in one-dimensional Hamiltonian chains with sparse interactions
我们严格地建立了一类无序一维哈密顿链的输运比扩散慢。这是通过导出能量或粒子流的平衡方差的定量界限作为时间的函数来完成的。缓慢的传输源于稀有绝缘区域（格里菲斯区域）的存在。在多体无序量子链中，它们对应于高度无序的区域，在那里系统处于定域相。相反，我们处理量子和经典无序链的相互作用，通常被称为非谐耦合在经典系统中，是稀疏的。因此，该系统拥有没有相互作用的稀有区域，并且由于链在没有相互作用的情况下是安德森局域化的，因此非相互作用的稀有区域是绝缘的。我们的模型的数学兴趣的一部分是，它是为数不多的不可积模型，其中扩散常数可以严格证明不是无限的。
Weak disorder: anomalous transport and diffusion are normal yet again
已知由外部恒定力驱动通过周期性势的粒子在限定锁定状态和运行状态之间的转变的临界力周围表现出明显的扩散峰。最近的实验和数值计算都表明，如果在周期性势上叠加一定量的空间无序，这个峰会大大增强。在这里，我们表明，除了一个简单的增强在于一个更有趣的现象。对于某些参数区域，系统表现出从正常扩散到超扩散、亚扩散甚至亚输运的丰富多样的行为。
Effective diffusion coefficients in reaction-diffusion systems with anomalous transport
我们证明了在具有次扩散的反应系统中的图灵模式可以在具有马尔可夫交叉扩散的有效系统中复制。有效系统具有与原系统相同的图灵不稳定性和相同的模式。如果粒子是短命的，瞬态动力学也被捕获。我们使用的交叉扩散系统来定义有效的扩散系数与异常传输的系统，我们展示了它们如何可以用来有效地描述图灵不稳定性。我们还表明，一个适当定义的合奏subdiffusing粒子的均方位移随时间线性增长，与我们以前的计算同意的扩散系数。我们通过数值积分分数阶反应扩散方程和它的正常扩散对应验证这些推论。我们的研究结果表明，交叉扩散行为可以作为异常运输的结果。
From Random Walks to Thermal Rides: Universal Anomalous Transport in Soaring Flights
研究揭示了上升飞行中普遍的亚弹道传输特性，通过间歇性和持久性机制，发现学习在搜索阶段提升探索效率。
Anomalous random flights and time-fractional run-and-tumble equations
本文将d维随机飞行的一般性分析扩展至由动力学方程非局部广义化产生的时间分数阶过程，通过时间分数阶方程解的概率解释导出原始输运过程的时间变换版本，并重点研究了一维电报过程的时间分数阶方程及其随机解。
Fractal Properties of Anomalous Diffusion in Intermittent Maps
研究了产生次扩散的间歇非线性映射。计算机模拟表明，该映射的广义扩散系数对控制参数具有分形的、不连续的依赖性。一个修正的连续时间随机游走理论很好地近似了这个数量在连续函数方面的粗糙行为。该理论还再现了扩散强度的完全抑制，扩散强度发生在从一种扩散行为到另一种扩散行为的动态相变。同样，这个地图的概率密度函数表现出非平凡的精细结构，而其粗糙的功能形式是由时间分数扩散方程。广义扩散系数的不规则结构的一个更详细的理解是由一个异常的泰勒-格林-久保公式建立一个关系到德拉姆型分形函数。
Anomalous diffusion in quantum system driven by heavy-tailed stochastic processes
该研究分析由跳跃与重尾等待过程驱动的非平衡量子系统，通过波包平方宽度揭示不同等待假设下的超扩散、亚扩散、扩散行为及遍历性破缺。
Anomalous Diffusion as Structural Memory: An Extended Structural Dynamics Approach
本文提出扩展结构动力学方法，揭示生物系统中亚扩散现象源于不完整相空间的投影，通过结构实体的完整自由度分析，推导出亚扩散指数与分子灵活性的关系，并验证了结构动力学在复杂介质中的实验一致性。
Photon assisted Levy flights of minority carriers in n-InP
我们研究了n掺杂InP体晶片的光致发光光谱，无论是在相对于激发光的反射和透射几何。从所观察到的光谱，我们估计的空间分布的少数载流子允许由于在晶片中的发光的再吸收的光谱过滤。该分布明确地表明了随着距激发区域的距离的非指数下降。这种行为证明了由于发射的高量子效率而增强的少数载流子的异常光子辅助输运。它表明，运输符合非常好的所谓的利维飞行过程对应于一个特殊的随机游走，不减少扩散。发现Levy航班分布的指数γ在γ = 0.64至0.79的范围内，这取决于掺杂。因此，我们提出了高效率的直接带隙半导体作为一个显着的实验室系统，研究反常输运。
Levy Flights in External Force Fields: Langevin and Fractional Fokker-Planck Equations, and their Solutions
我们认为利维飞行受到外力场的影响。这种反常的输运过程可以用两种方法来描述，一种是含有Levy噪声的Langevin方程，另一种是含有分数阶导数的广义Fokker-Planck方程。详细分析了自由飞行、恒力和线性虎克力的情况，并与数值模拟结果进行了比较。我们讨论了虎克力情形下定态解的非吉布斯性质，即长期偏离玻尔兹曼平衡。Tsallis的q统计的可能连接进行了研究。
Slow Lévy flights
在马尔可夫过程中，列维飞行的标志是超扩散，或比布朗动力学更快。在这里，我们表明，Lévy定律，以及高斯，也可以是具有长程记忆的过程的极限分布，表现出非常慢的扩散，对数的时间。这些过程是路径依赖的，异常运动出现频繁的搬迁到已经访问过的网站。我们展示了如何在这方面的中心极限定理是修改，保持通常的区别解析和非解析特征函数。波动耗散关系也来自。我们的研究结果可能有重要的应用在动物和人类的位移的研究。
Transport Regimes of Underdamped Brownian Particles in a Tilted Washboard Potential
在本文中，一个全面的检查的温度和偏压依赖的扩散制度的欠阻尼布朗粒子。一个温度阈值之间的异常和正常的扩散行为的转变位于，产生一个新的相图系统。在低温制度，该系统表现出明显的负微分迁移率，由于持久的，长时间的亚扩散在低偏压;在高温（或临界偏压），该系统迅速接近正常扩散低于中间势垒高度，$U_o \sim k_B T$。考虑到数值结果，比较过阻尼的情况下，和相关的Kramers多稳态逃逸问题，它表明，低偏置非单调的温度依赖性的扩散，持续的亚扩散，和负微分迁移率可以追溯到惯性效应，这是明显的速度功率谱的振荡模式在低偏置。在巨扩散制度中，速度功率谱表现出耦合之间的“锁定”和“运行”状态，与阻尼，驱动平面摆的极限环的临界偏压附近的主频率相对应的特征频率。非线性二次谐波产生，对应于振荡瞬态异常扩散率，观察到随着偏压的增加和温度的降低，进一步强调低噪声扩散问题收敛到无噪声动力学，补充分析结果的平均速度[L. Cheng和N.K. Yip，Physica D，2015]。
Strong anomalous diffusion of the phase of a chaotic pendulum
本文研究了谐波驱动无阻尼摆的相位扩散，证明了它是强反常的。的相空间的分形特性所发挥的作用被突出，提供了一个说明确定性的混乱和异常运输之间的联系。最后，我们建立了一个随机模型，再现了原来的哈密顿系统的大部分属性交替弹道飞行和随机扩散。
Anomalous Dynamics of Superparamagnetic Colloidal Microrobots with Tailored Statistics
本研究展示了具有完全可定制随机动力学的超顺磁胶体微型机器人，通过磁场调节步长分布和速度自相关函数，实现了从亚扩散到超扩散的整个反常扩散频谱，为可编程微型机器人系统复制自然界最优随机导航策略铺平了道路。
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