On Point Coverings of Boxes in $\mathbb R^d$
Arseny Akopyan
考虑$\mathbb R^d$中的盒族。本文改进了由空间维数和独立数给出的最小断面大小的一个上界。
Families of boxes in $\mathbb R^d$ are considered. In the paper an upper bound on the size of a minimum transversal in terms of the space dimension and the independence number of the given family was improved.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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A note on the intersection property for flat boxes and boxicity in $\mathbb{R}^d$
通过推广盒性的定义，通过降低周围空间中盒的维数，推广了Danzer和Grumbaum关于$d$维欧氏空间中盒族的2-穿孔的一个Helly型结果.
Neighborly boxes and bipartite coverings; constructions and conjectures
本文研究$\mathbb{R}^d$中两两$k$-相邻盒子的最大数量$n(k,d)$，针对$k=2$提出递归构造，给出下界并猜想其最优性，得到显式公式，由数值实验支持。
Nearly neighbourly families of standard boxes
证明了$\mathbb{R}^3$中的每个几乎相邻的标准盒族至多有12个元素。一个组合分类的所有这些家庭，有正好12个元素。所有的家庭满足一个额外的属性称为不可压缩性的描述。简要讨论了可压缩族。
Fractional discrete Helly for pairs in a family of boxes
本文研究轴平行盒族的分数离散 Helly 性质，证明只需 $S$-相交对密度足够大，即可保证存在与族大小呈线性关系的 $S$-相交子族。
Extensions of discrete Helly theorems for boxes
本文证明了 $\mathbb{R}^d$ 中轴平行盒子 Halman 离散 Helly 定理的彩色、分数和定量扩展版本，并将结果推广至 $H$-凸集。
A new upper bound for the size of $s$-distance sets in boxes
令$q,d\geq 2$为整数。定义$$ J(q,d):=\frac 1q \Big( \min_{0<x<1} \frac{1-x^q}{1-x} x^{-\frac{q-1}{d}}\Big). $$令$\mbox{$ \cal G $}\subseteq {\mathbb R}^n$为任意子集.我们表示由$d(\mbox{$ \cal G $})$的一组（非零）之间的距离$\mbox{$ \cal G $}$：$$ d(\mbox{$\cal G$}):=\{d( p_1, p_2):~ p_1, p_2\in \mbox{$\cal G$}, p_1\ne p_2\}. $$我们的主要结果是一个新的上界的大小$s$距离集的盒子。更具体地，令$A_i\subseteq \mathbb R$、$|A_i|=q\geq 2$为每个$1\leq i\leq n$的子集。考虑框$\mbox{$ \cal B $}:=\prod_{i=1}^n A_i\subseteq {\mathbb R}^n$。假设$\mbox{$ \cal G $}\subseteq \mbox{$ \cal B $}$是一个集合，使得$|d(\mbox{$ \cal G $})|\leq s$。设$d:=\frac{n(q-1)}{s}$。然后$$|\mbox{$\cal G$}|\leq 2(qJ(q,d)…
Lower bounds for piercing and coloring boxes
给定$\mathbb{R}^d$中的一个平行轴盒族$\mathcal{B}$，设$τ$表示它的刺穿数，$ν$表示它的独立数。对于给定的$d\geq 2$，$τ/ν$是否可以任意大是一个老问题。在这里，对于每个$ν$，我们构建了一个家庭的轴平行盒实现$$τ\geq Ω_d(ν)\cdot\left(\frac{\log ν}{\log\log ν}\right)^{d-2}.$$这不仅回答了前面的问题，为每个$d\geq 3$积极，但也匹配最好的已知的上界的双对数因子。我们的主要建设有进一步的影响的拉姆齐和着色性质的配置框以及。我们证明了在$\mathbb{R}^{d}$中存在一个$n$盒族，其相交图具有团和独立数$O_d(n^{1/2})\cdot \left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)^{-(d-2)/2}.$。这是对平凡上界$O_d(n^{1/2})$的第一次改进，并与最知名的下界匹配到双对数因子。最后，对于每一个$ω$满足$\frac{\log n}{\log\log n}\ll ω\ll n^{1-\varepsilon}$，我们构建了一个相交图的$n$盒的团数最多$ω$，色数$Ω_{d,\varepsilon}(ω)\cdot \left(\frac{\log n}{\log\log n}\right)^{d-2}.$这匹配最好的已知…
Coloring lines and Delaunay graphs with respect to boxes
本文利用概率工具构造了$\mathbb{R}^3$中色数为$Ω(n^{1/15})$的无三角直线相交图，以及$\mathbb{R}^d$中关于轴平行盒子独立数极小的Delaunay图，改进了已有界限并推广了平面情形。
Cyclically covering subspaces in $\mathbb{F}_2^n$
如果$\mathbb{F}_2^n$中的每个向量都有一个在子空间内的循环移位，则称$\mathbb{F}_2^n$的子空间是循环覆盖的。令$h_2(n)$表示$\mathbb{F}_2^n$的循环覆盖子空间的最大可能余维数。我们证明了$h_2(p)= 2$对于每个素数$p$，使得2是模$p$的原根，假设Artin猜想，回答了Peter Cameron从1991年提出的一个问题。我们还证明了各种界限上的$h_2(ab)$取决于$h_2(a)$和$h_2(b)$和扩展我们的一些结果，以更一般的设置卡梅伦，埃利斯和雷诺。
A dichotomy for hypergraph Zarankiewicz problems on axis-parallel boxes
研究轴对齐盒子在R^d中形成的r-部r-均匀交集超图的扎兰基问题，发现其复杂度取决于2-一致性条件，从而得出二元性结论。
Neighborly boxes and strings with jokers; constructions and asymptotics
本文研究d维空间中两两相交维数受限的轴对齐盒族的极值问题，通过带百搭符的Hamming立方体构造改进下界，并得到当k接近d时n(k,d)的渐近公式。
No more than $2^{d+1}-2$ nearly neighbourly simplices in $\mathbb R^d$
本文证明了一个关于离散立方体的不相交子盒族的组合定理，它意味着在$\mathbb R^d$中至多存在$2^{d+1}-2$近邻单形。
A fractional Helly theorem for boxes
设$\mathcal{F}$是$\mathbb{R}^d$中的$n$轴平行盒族，$α\in (1-1/d,1]$是实数.存在一个实数$β(α)>0$，使得如果在$\mathcal{F}$中存在$α{n\choose 2}$相交对，则$\mathcal{F}$包含大小为$βn$的相交子族。一个简单的例子表明，在如果$α\leq 1-1/d$，则在$\mathbb{R}^d$中可能没有点属于$\mathcal{F}$的多于$d$的元素的意义上，上述语句是最可能的。
Piercing boxes and products of trees
该研究针对轴平行矩形族及树笛卡尔积上的子树对象族，在每p个成员含一对相交成员的条件下，改进了刺穿数的上界并证明其量级无法进一步优化。
Covering rectangles by few monotonous polyominoes
一个单调的多角形由一个固定的单调连续函数$f:[a,b] \to \mathbb{R}$与$f(k) \notin \mathbb{Z}$的图所满足的所有格单位正方形构成，当$k \in \mathbb{Z}$。我们的主要结果是：格$(m \times n)$ -矩形的单调多项式覆盖的最小基数是$\left\lceil \frac{2}{3}\left(m+n-\sqrt{m^2+n^2-mn}\right)\right\rceil$。本文是由棋盘上直线的排列问题所引起的。
Box and segment intersection graphs with large girth and chromatic number
证明了$\mathbb{R}^3$中存在轴对齐盒的交图和$\mathbb{R}^3$中直线的交图，它们具有任意大的围长和色数.
New Helly-type results for discrete boxes: Quantitative colorful and $(p,q)$-variants
本文研究了$2d-1$族的定量彩色Halman问题及其$(p,q)$型变体，证明了在横截交集包含至少$n$个点的条件下，存在特定盒族使每个盒包含大小受限子集的至少$n$个点。
Toroidal boards and code covering
我们用$\mathbb{F}_q$表示具有$q$元素的字段。在$\mathbb{F}_q^3$的$1$维向量子空间$V$中具有中心的半径- $r$扩展球是$\mathbb{F}_q^3$的元素的集合，其中到$V$的汉明距离至多为$r$。我们定义$c(q)$为半径- $1$扩展球对$\fqt$的最小覆盖的大小.我们定义一个半皇后为一个环形棋盘上的一个棋子，它通过西南-东北对角线延伸了车的覆盖范围。令$ξ_D(n)$为$n\times n$环形棋盘上覆盖除西南-东北对角线之外的整个棋盘所需的最小半皇后数。证明了对于$q\ge 7$，$c(q)=ξ_D(q-1)+2$ .此外，我们的证明展示了一种方法来建立这样的覆盖$\mathbb{F}_q^3$从半皇后覆盖的董事会。通过这种新方法，我们确定了$q$的奇数值的$c(q)$，并改进了偶数情况下的两个现有界限。
Covering three-tori with cubes
令$μ(\varepsilon)$为覆盖单位三环面$[\mathbb{R}/\mathbb{Z}]^3$所需的边$\varepsilon$的立方体的最小数目。我们证明了新的上下上界$μ(\varepsilon)$和找到的确切值为所有$\varepsilon\geq\frac{7}{15}$和所有$\varepsilon\in\left[\frac{1}{r+1/(r^2+r+1)},\frac{1}{r-1/(r^2-1)}\right)$的任何整数$r\geq 2$。
Asymptotically optimal bracketing covers for anchored boxes with applications to star discrepancy
针对锚定盒的 bracketing 覆盖与 δ-覆盖，证明其下界并构造 bracketing 覆盖，结合下界得到 bracketing 数的渐近等价结果，还得到两类覆盖数的显式上界。
Cluster tori over $\mathbb{F}_2$, hexagonal moves on triangulations, and minimal coverings of cluster manifolds
研究 $\mathbb{F}_2$ 上的簇代数，通过 Laurent 现象建立种子到簇流形的映射，在 $A$ 型中描述纤维，并证明存在种子簇环面覆盖簇流形的截面，也存在不覆盖的截面。
On $q$-covering designs
$q$覆盖设计$\mathbb{C}_q(n, k, r)$，$k \ge r$，是$\mathrm{PG}(n-1, q)$的$(k-1)$ -空间的集合$\mathcal X$，使得$\mathrm{PG}(n-1, q)$的每个$(r-1)$ -空间包含在$\mathcal X$的至少一个元素中.令$\mathcal{C}_q(n, k, r)$表示$q$ -覆盖设计$\mathbb{C}_q(n, k, r)$中$(k-1)$ -空间的最小数目.本文给出了$\mathcal{C}_q(2n, 3, 2)$，$n \ge 4$，$\mathcal{C}_q(3n + 8, 4, 2)$，$n \ge 0$和$\mathcal{C}_q(2n,4,3)$，$n \ge 4$的改进上界.通过构造相应的$q$覆盖设计，得到了相应的结果.
Homology group of branched cyclic covering over a 2-bridge knot of genus two
纽结的循环覆盖的第一个同调群的结构是纽结理论中一个重要的不变量。上个世纪，H.塞弗特发展了一种计算覆盖的同调群的一般方法。根据他的想法，R。Fox发现了$H_{1}(M_{n},\mathbb{Z}),$的显式形式，其中$M_{n}$是在允许亏格为一个Seifert曲面的纽结$K$上的$n$-折叠循环覆盖.本文的目的是寻找允许亏格为2的Seifert曲面的$2$-桥结的$H_{1}(M_{n},\mathbb{Z})$的结构.结果是明确的亚历山大多项式的纽结。
The Simultaneous Lattice Packing-Covering Constant of Octahedra
本文证明了八面体的同时格堆积-覆盖常数为$7/6$，即对于任意以原点为中心的八面体，存在格使其在三维欧几里得空间中同时满足堆积与覆盖的最小正数比值为$7/6$。
On $\mathbb{Z}_p$-towers of graph coverings arising from a constant voltage assignment
本文研究了由常值电压分配导出的图覆盖 $\mathbb{Z}_p$-塔，证明了其存在性与唯一性，分析了 Iwasawa 不变量，并应用于同构图塔与火山图塔。
Hamiltonicity of covering graphs of trees
本文推广台球策略以建立树覆盖图哈密顿性的新充分条件，并证明大素数阶循环群上随机标号自反树的提升几乎必然哈密顿，且任意非零标号下覆盖具有大围长。
Colorful two-piercing theorem for boxes
本文提出了一种彩色扩展的Helly型定理，针对轴对齐长方体的两个穿刺族，并通过构造极限族证明了结果的紧致性。
There are at most $2^{d+1}-2$ neighbourly simplices in dimension $d$
本文给出了离散立方体的不相交子盒族的一个组合定理，它意味着在$\mathbb R^d$中至多存在$2^{d+1}-2$邻域单形。
An Iwasawa-type asymptotic formula for multiple $\mathbb{Z}_p$-coverings of graphs
对于连通图的可能分歧的 $\\\mathbb{Z}_p^d$-覆盖，建立了复杂度 $p$-进赋值的 Iwasawa 型渐近公式，消除了先前工作中的误差项，并给出了 $\\lambda$ 和 $\\mu$ 不变量在 $p$-覆盖下的 Kida 型公式，以及构造了具有指定不变量的未分歧覆盖。
Almost optimum $\ell$-covering of $\mathbb{Z}_n$
本文研究环 Z_n 的 ℓ-覆盖集构造问题，证明其最优规模为 O((n/ℓ) log n)，并给出下界 Ω((n/ℓ)(log n / log log n))，方法基于筛法和除数和分析，可简化模子集和算法。
Evasive sets, covering by subspaces, and point-hyperplane incidences
给定正整数$k\leq d$和有限域$\mathbb{F}$，一个集合$S\subset\mathbb{F}^{d}$是$(k,c)$ -子空间回避的，如果每个$k$ -维仿射子空间至多包含$S$的$c$元素.通过一个简单的平均参数，$(k,c)$ -子空间回避集的最大大小至多为$c |\mathbb{F}|^{d-k}$ .当$k$和$d$固定，且$c$足够大时，Dvir和Lovett证明了匹配下界$Ω(|\mathbb{F}|^{d-k})$.我们提供了一个替代证明这一结果使用随机代数方法。我们还证明了尖锐的上界$(k,c)$规避集的大小的情况下$d$是大的，本Aroya和Shinkar的扩展结果。最优规避集的存在性在组合几何中有几个有趣的结果。我们证明了覆盖网格$[n]^{d}\subset \mathbb{R}^{d}$所需的$k$ -维线性超平面的最小数目是$Ω_{d}\big(n^{\frac{d(d-k)}{d-1}}\big)$，这与由Cibulka和Valtr证明的上界相匹配，并解决了Brass，Moser和Pach提出的一个问题。此外，我们改进了最好的已知的下界之间的关联点和超平面在$\mathbb{R}^{d}$假设他们的关联图避免完全二部图$K_{c,c}$的一些大常数$c=c(d)$的最大数目。
On Comparable Box Dimension
如果$\mathbb{R}^d$中的两个框之一是另一个框的翻译子集，则这两个框是可比较的。图$G$的可比盒维数是最小整数$d$，使得$G$可以表示为$\mathbb{R}^d$中可比轴对齐盒的接触图。我们表明，适当的小封闭类有界可比盒尺寸，并探讨这一概念的进一步性质。
A Comparison of cluster algebra structures arising from $i$-boxes and Demazure weaves
本文比较了与有限 ADE 型辫群中正元素 $\mathtt{b}$ 相关的两个簇代数，通过构造 Demazure 编织并证明代数同构，建立了 $i$-盒子链与 Demazure 编织种子之间的联系。
Smallest cyclically covering subspaces of $\mathbb{F}_q^n$, and lower bounds in Isbell's conjecture
对于一个素数幂$q$和一个正整数$n$，如果$U$的循环移位的并等于$\mathbb{F}_q^n$，则称${\mathbb{F}_q^n}$的子空间$U$是{ \em循环覆盖}.研究了$\mathbb{F}_q^n$的循环覆盖子空间的最小可能维数的确定问题。(This是第一作者在1991年提出的问题的自然概括。我们证明了几个上限和下界，并为每个固定的$q$，我们完全回答了这个问题的无穷多个值的$n$（采取某些几何级数的形式）。我们的结果意味着下界的一个著名的猜想Isbell，和一个推广定理，补充下界由于Spiga。我们还考虑了群的一般表示的类似问题。我们使用的参数从组合，表示论和有限域理论。
Construction of graph coverings with prescribed Iwasawa invariants
本文研究了图覆盖的Iwasawa不变量，证明在满足条件的情况下，任何(λ, μ)对均可作为无分支覆盖的不变量，且允许分支覆盖时无需奇偶条件。
Covering Arrays on Product Graphs
如果对于所有对$(a,b)\in \mathbb{Z}_g\times \mathbb{Z}_g$，存在$i\in \{1,2,\ldots,n\}$使得$(x_i,y_i)=(a,b)$，则$\mathbb{Z}_g^n$中的两个向量$x,y$是$ qualitatively$ $ independent$。图$G$上的覆盖数组，记作$CA(n,G,g)$，是$\mathbb{Z}_g$上的一个$|V(G)|\times n$数组，它具有这样的性质：$G$中相邻顶点对应的任意两行是定性独立的.这样的数组中的列数称为$size$。给定一个图$G$，$G$上具有最小尺寸的覆盖数组称为$optimal$。我们在本文中主要关注的是与建设，使最佳覆盖阵列的大型图，这些是从较小的图的产品。我们考虑了文献中研究最广泛的四种图积，并给出了图积上覆盖数组的大小的上界和下界。我们发现家庭的图的覆盖阵列的笛卡尔积的大小达到下界。最后，我们给出了一个多项式时间近似算法，该算法的近似比为$\log(\frac{V}{2^{k-1}})$，用于构造具有$k>1$素因子的图$G=(V,E)$上关于笛卡尔积的覆盖阵列。
Mixed Covering Arrays on 3-Uniform Hypergraphs
覆盖数组是一种组合对象，已成功应用于软件、电路和网络等测试系统的测试集设计中，这些测试系统的故障可能是由参数之间的相互作用引起的。在本文中，我们进行了一个新的推广覆盖阵列称为覆盖阵列上的3-一致超图。令$n, k$是正整数，其中$k\geq 3$。如果对于任何三元组$(a, b, c) \in \mathbb Z_{g_1}\,\times\, \mathbb Z_{g_2}\,\times\,\mathbb Z_{g_3}$，存在索引$ j\in \lbrace 1, 2,...,n \rbrace $使得$( x(j), y(j), z(j)) = (a, b, c)$，则三个向量$x\in \mathbb Z_{g_1}^n$，$y\in \mathbb Z_{g_2}^n$，$z\in \mathbb Z_{g_3}^n$是{ \it 3-定性独立}的。设$H$是一个3-一致超图，其$k$顶点$v_1,v_2,\ldots,v_k$具有各自的顶点权值$g_1,g_2,\ldots,g_k$ . $H$上的混合覆盖数组，记为$3-CA(n,H, \prod_{i=1}^{k}g_{i})$，是一个$k\times n$数组，使得行$i$对应于顶点$v_i$，行$i$中的条目来自$Z_{g_i}$ ;并且如果$\{v_x,v_y,v_z\}$是$H$中的超边，则行$x,y,z$…
On a relation between packing and covering densities of convex bodies
证明了凸体在$\mathbb{R}^d$中存在平移稠密填充的充要条件是凸体存在平移经济覆盖。
The Davenport constant of balls and boxes
本文研究离散欧几里得球的 Davenport 常数，针对二维和三维整数格给出结果，并应用于盒子（整数区间乘积）的 Davenport 常数估计。
Branched coverings of the 2-sphere
本文将 Thurston 关于二维球面一般分支自覆盖的组合刻画推广到任意分支覆盖，通过推广局部平衡概念，并给出 Shapiro 猜想特殊情形相关定理的新证明，同时引入平衡图运算。
Covering $\mathbb{F}_2^n$ with Hamming Balls
研究将 $\mathbb{F}_2^n$ 划分为 $K$ 个集合时，是否存在某个集合的和集包含低余维数陪集的问题，并在汉明球划分和低密度球两种特殊情形下给出肯定答案。
Zeta functions of graphs with $\mathbb{Z}$ actions
设$Y$是图$X$的一个正则覆盖，其覆盖变换群为$π= \mathbb{Z}$ .本文给出了$Y$的$L^2$ zeta函数的显式表达式，并给出了计算实例。当为$π= \mathbb{Z}$时，$L^2$ zeta函数为代数函数。作为结果，它扩展到一个亚纯函数上的黎曼曲面。亚纯扩张提供了一个设置，推广已知的正则图的zeta函数的性质，如奇点的位置和函数方程。
Universal convex coverings
在每个维度$d\ge1$中，我们建立了一个常数$v_d>0$和$\mathbb R^d$的一个子集$\mathcal U_d$的存在性，使得以下成立：对于每个体积的凸集$\mathcal C\subset \mathbb R^d$，$\mathcal C+\mathcal U_d=\mathbb R^d$至少包含$v_d$，并且对于每个大的$r$，$\mathcal U_d$包含最多$\log(r)^{d-1}r^d$点，距离原点最多$r$。
Convergence of discrete period matrices and discrete holomorphic integrals for ramified coverings of the Riemann sphere
研究离散全纯函数在黎曼球面分支覆盖中的收敛性，通过三角剖分和立体投影定义离散调和函数，并证明离散周期矩阵收敛于连续情形，同时给出误差估计和离散全纯积分的收敛结果。
Covering the Plane by a Sequence of Circular Disks with a Constraint
我们感兴趣的是下面的问题覆盖的平面上的一系列全等圆盘之间的距离的限制连续磁盘。设$(\mathcal{D}_n)_{n \in \mathbb N}$是一列闭单位圆盘，使得$\cup_{n \in \mathbb{N}} \mathcal{D}_n = \mathbb {R}^2$满足对于$n \ge 2$，圆盘中心$\mathcal{D}_n$位于$\mathcal{D}_{n-1}$中的条件。对于所有$n \in \mathbb{N}$，放置$\mathcal{D}_n$的“最经济”或最佳方法是什么？我们回答这个问题的情况下，没有“急”转是允许的，即如果$C_n$是中心的磁盘$\mathcal{D}_n$，然后为所有$n \ge 2$，% $\angle C_{n-1}C_nC_{n+1}$不是很小。我们还考虑一个相关的问题。我们希望找到一个最优的方法来覆盖平面与单位圆盘的约束，每个磁盘包含至少两个其他磁盘的中心。当圆盘的中心形成二维晶格时，我们找到了答案。
Covering plane curves over finite fields with lines
该研究针对有限域上的平面曲线，证明了固定度数的不可约平面曲线的F_q点可被数量为(1/d + ε)q的直线覆盖，该界渐近紧，证明结合了Entin的切比雪夫密度定理与Pippenger–Spencer超图覆盖定理。
Sparse $k$-AP Covering Sets and the Arithmetic Kakeya Conjecture
该研究否定了Kiss等人关于k-AP覆盖集的猜想，证明k≥6时存在满足特定密度界的k-AP覆盖集，并将该问题与算术Kakeya猜想建立关联。
On asymptotic Lebesgue's universal covering problem
本文研究了高维情况下Jung球的渐近最优性，证明了通用覆盖的体积下界。
On Shallow Packings and Tusnády's Problem
Tusnády问题要求限定$\mathbb{R}^d$中点与平行轴盒的差异。Tusnády问题的数学界使用了Matoušek对点和轴平行盒系统的规范分解，以及其他技术，如部分着色和/或基于随机行走的方法。我们使用的概念，\emph{shallow cell complexity}和\emph{shallow packing lemma}，连同链接技术，以获得一个改进的分解的集合系统。再加上算法技术的Bansal和Garg的差异最小化，我们也稍微延长，这产生了改进的算法界限Tusnády的问题。对于$d\geq 5$，我们的界限与Matoušek，Nikolov和Talwar [IMRN，2020]给出的$Ω(\log^{d-1}n)$的下限相匹配-解决了Tusnády的问题，直到常数因子。对于$d=2,3,4$，我们分别得到了$O(\log^{7/4}n)$、$O(\log^{5/2}n)$和$O(\log^{13/4}n)$的改进算法界，它们匹配或改进了Nikolov关于$d\geq 3$的非构造性界.此外，我们还给出了改进的界限的差异集系统的点和多面体在$\mathbb{R}^d$通过一个固定的超平面集的平移产生。作为应用，我们还得到了$\mathbb{R}^d$中锚定框的几何差异相对于任意测度的界，与Lebesgue测度的上界相匹配，这改进了Aistleitner，Bilyk…
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