Skew-orthogonal polynomials: the quartic case
Saugata Ghosh
我们提出了一种迭代技术，以获得斜正交多项式的四次权，在随机矩阵的辛系综的研究中产生的。
We present an iterative technique to obtain skew-orthogonal polynomials with quartic weight, arising in the study of symplectic ensembles of random matrices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Skew-orthogonal polynomials for a quartic Freud weight: two classes of quasi-orthogonal polynomials
研究四次Freud权下斜正交多项式的评估方法，提出通过递推关系求解系数，并发现偶次和奇次多项式分别构成两种不同半经典拉盖尔权下的准正交多项式。
Bulk asymptotics of skew-orthogonal polynomials for quartic double well potential and universality in the matrix model
本文推导了斜正交多项式（sop）$π^{\bt}_{m}$，$β=1$，4的整体渐近性。权重$\exp(-2NV(x))$、$V (x)=gx^4/4+tx^2/2$、$g>0$和$t<0$。我们假设存在一个$ε> 0$作为$m,N \to\infty$，使得$ε\leq (m/N)\leq λ_{\rm cr}-ε$，其中$λ_{\rm cr}$是区分两个切口的sop和一个切口的sop的临界值。同时，我们推导出斜正交多项式的递归系数的渐近性。证明是基于获得有限项之间的递归关系SOP和正交多项式（OP）和使用渐近结果的OP导出\cite{bleher}。最后，我们将这些渐近结果应用于广义Christoffel-Darboux公式（GCD）\cite{ghosh3}中，得到了随机矩阵正交系综和辛系综在谱块中的能级密度和正弦核.
Generalized Christoffel-Darboux formula for skew-orthogonal polynomials and random matrix theory
得到了斜正交多项式的广义Christoffel-Darboux（GCD）公式。利用这一点，我们提出了一种替代推导的水平密度和两点函数的高斯正交系综（GOE）和高斯辛系综（GSE）的随机矩阵。
Laurent skew orthogonal polynomials and related symplectic matrices
引入并研究了一类特殊的具有Laurent对称性的斜正交多项式。它们也被证明是辛广义本征值问题的本征函数。这些多项式的修改给出了一些辛特征值问题，相应的矩阵被证明是等价的蝴蝶矩阵，这是一个标准形式的辛矩阵。
Discrete Spectral Transformations of Skew Orthogonal Polynomials and Associated Discrete Integrable Systems
给出了斜正交多项式的离散谱变换。从这些谱变换中，我们得到了相应的1+1维和2+1维离散可积系统。特别是在（2+1）维情况下，相应的系统可以推广到2 × 2矩阵形式。随机矩阵理论中斜正交多项式的Christoffel核的分解定理是这些变换的副产品。
Skew-orthogonal polynomials, differential systems and random matrix theory
研究了关于权函数$\exp[-2V(x)]$的斜正交多项式，其中有$V(x)=\sum_{K=1}^{2d}(u_{K}/{K})x^{K}$，$u_{2d} > 0$，$d > 0$ .在随机矩阵的正交和辛系综的研究中出现的这种斜正交多项式的有限子序列满足微分差分变形方程组。由这样的子序列形成的向量的秩等于四元数意义下的势的次数。这些解满足一定的相容性条件，因而存在一个联立基本解系。
Asymptotics of skew orthogonal polynomials
得到了正交（β =1）和辛（β =4）随机矩阵系综中斜正交多项式的精确积分表达式：（偶数秩）斜正交多项式是随机矩阵的平均特征多项式。从那里，斜正交多项式的渐近推导。
Classical skew orthogonal polynomials in a two-component log-gas with charges $+1$ and $+2$
存在具有Boltzmann因子的双组分对数气体系统，其提供$β= 1$和$β= 4$不变随机矩阵系综的本征值PDF之间的插值。这个对数气体系统的可解性依赖于特定的斜正交多项式的构造，其中斜内积是$β= 1$和$β= 4$内积的线性组合，每个都涉及权重函数。对于适当相关的经典权重函数，我们试图将斜正交多项式表示为基本正交多项式的线性组合。它被发现，在每种情况下（高斯，拉盖尔，雅可比和广义柯西）的系数可以表示在超几何多项式与参数有关的逸度。例如，在雅可比的情况下，这些是威尔逊多项式的特殊情况。
Generalized Christoffel-Darboux formula for classical skew-orthogonal polynomials
证明了关于Jacobi权$w_{a,b}(x)={(1-x)}^a{(1+x)}^b$，$a$，$b>-1$定义的斜正交函数，包括Laguerre权（$w_{a}(x)=x^{a}e^{-x}$，$a > -1$）和高斯权（$w(x)=e^{-x^2}$）的极限情形，在四元数空间中满足三项递归关系.由此，我们推导出了随机$2N\times 2N$矩阵正交系综和辛系综的核函数的广义Christoffel-Darboux（GCD）公式。我们用GCD公式计算了能级密度，证明了在适当的尺度下，在谱的大部分中，本征值关联是普适的。我们还提供了证据表明，存在着斜正交函数之间的映射所产生的正交和辛系综的随机矩阵的研究。
Classical discrete symplectic ensembles on the linear and exponential lattice: skew orthogonal polynomials and correlation functions
辛不变随机矩阵系综的本征值概率密度函数可以推广到涉及线性或指数格的离散设置。相应的关联函数可以分别用某些离散的、$q$、斜正交多项式表示。我们给这两个类的多项式的理论，和相关内核确定的关联函数，在相应的离散酉系综的权重是经典的情况下。对于这一点至关重要的是某些差分算子，它们将相关的对称内积与反对称内积联系起来，并且对相应的（离散或$q$）正交多项式具有三对角作用。
A Riemann-Hilbert Approach to Skew-Orthogonal Polynomials of Symplectic Type
本研究针对偶次正首项系数多项式权函数，通过将斜正交性转化为多重正交性，给出辛型（β=4）斜正交多项式的矩阵Riemann-Hilbert表示，推导了对应Christoffel-Darboux公式与Toda晶格的Lax对。
Evaluations of certain Catalan-Hankel Pfaffians via classical skew orthogonal polynomials
本文利用斜正交多项式的理论对Catalan-Hankel算子进行了计算。由于Askey方案中包含不同类型的超几何正交多项式，我们构造了经典的斜正交多项式，并给出了连续和$q$矩序列的Catalan-Hankel Pfrons的不同例子.
Christoffel transformations for (partial-)skew-orthogonal polynomials and applications
本文研究了斜正交多项式和部分斜正交多项式的Christoffel变换。我们证明了Christoffel变换可以作为离散可积族的谱问题，因此我们从这些变换中得到某些可积族。一些约化的情况也被考虑。
Multiple skew orthogonal polynomials and 2-component Pfaff lattice hierarchy
本文引入多重斜正交多项式，并研究了它与经典可积系统的关系。通过使用Pfwean技巧，我们证明了多个斜正交多项式可以表示为多分量Pfwean τ-函数适当的变形。此外，通过考虑多个斜正交多项式的递推关系和Cauchy变换，得到了一个与Takasaki研究的Pfaff-Toda族等价的二分量Pfaff格族.
A Riemann-Hilbert problem for skew-orthogonal polynomials
我们发现了一个局部的$(d+1) \times (d+1)$黎曼-希尔伯特问题，其特征在于与具有$d$次势函数的随机矩阵的高斯正交包络的分拆函数相关联的斜正交多项式。我们的黎曼-希尔伯特问题类似于Kuijlaars和McLaughlin发现的局部$d \times d$黎曼-希尔伯特问题，刻画了双正交多项式.这为寻找高阶黎曼-希尔伯特问题的渐近性的方法提供了更多的动力，并使我们更接近于寻找斜正交多项式的渐近性。
Discrete orthogonal ensemble on the exponential lattices
受Aomoto的$q$ -Selberg积分的启发，本文研究了指数格点上的正交系综.通过引入一个反对称核，构造了该系综的对称位形空间，从而得到了相应的反内积、反正交多项式以及关联函数.包括Al-Salam & Carlitz、$q$ -Laguerre、小$q$ -Jacobi和大$q$ -Jacobi情形的例子被考虑。
Skew orthogonal polynomials for the real and quaternion real Ginibre ensembles and generalizations
有一些非厄米特随机矩阵的特殊集合，它们的联合概率密度函数可以显式地写下来，不受旋转的影响，而且它们的特征值形成了一个普费特点过程。对于这些合奏，其中的元素的矩阵是真实的，或真正的四元数，核心的Pfidian是完全确定的某些斜正交多项式，这允许一个表达式的平均数超过特征多项式，和特征多项式乘以跟踪。我们使用舒尔多项式理论，知识的舒尔多项式平均对真正的价值，真正的四元数高斯矩阵，和Selberg积分来评估这些平均值。
Skew-orthogonal polynomials in the complex plane and their Bergman-like kernels
具有辛对称性的非厄米特随机矩阵为复平面上的Pfavian点过程提供了例子。这些点过程的特点是由一个矩阵值核的斜正交多项式。我们发展他们的理论，提供一个明确的建设斜正交多项式的正交多项式，满足三项递归关系，一般的权重函数在复平面。辛系综提供了新的例子，根据最近的发展，在平面域或曲线在复平面上的正交多项式。进一步，导出了斜正交Hermite多项式和Laguerre多项式的Bergman核，由此证明了椭圆辛Ginibre系综及其手征子系综在原点处的强非Hermiticity的极限下的普适性.本文给出了斜正交多项式在量子场论中的应用。
Painleve I asymptotics for orthogonal polynomials with respect to a varying quartic weight
我们研究了对于t<0，关于变化的四次权\exp（-N（x^2/2+tx^4/4））正交的多项式，其中正交性发生在复平面中的某些轮廓上。受二维量子引力发展的启发，Fokas、Its和Kitaev证明了t存在一个临界值，在该值附近，递归系数的渐近性可以用Painleve I方程的精确指定解来描述。本文通过对与多项式有关的黎曼-希尔伯特问题的Deift/Zhou最速下降分析，给出了这一结果的另一种更直接的证明.此外，我们将分析扩展到轮廓的非对称组合。在最速下降分析的特点是一个修改的equililillance问题，并使用Painleve我方程的PSI功能的建设中的局部参数。
Tracy-Widom distributions for the Gaussian orthogonal and symplectic ensembles revisited: a skew-orthogonal polynomials approach
我们研究了随机矩阵理论的“Pfalan”经典系综，即高斯正交系综（GOE）和高斯辛系综（GSE）中最大特征值的分布，使用半经典斜正交多项式，类似于Nadal和Majumdar（NM）的高斯酉系综（GUE）的方法。推广的技术阿德勒，Forrester，长尾和范Moerbeke，并使用“重叠Pfwean”身份由于Knuth，我们明确地构造这些半经典的斜正交多项式的半经典正交多项式NM研究的情况下的GUE。利用这些多项式，我们得到了GOE和GSE中最大特征值的累积分布函数的表达式。此外，通过在大矩阵大小的限制下对这些斜正交多项式进行渐近分析，我们获得了GOE和GSE的Tracy-Widom分布的另一种推导。这种渐近分析依赖于一个特定的普夫朗恒等式，它的证明采用了普夫朗在完美匹配和链接图方面的特征。
Skew orthogonal polynomials and the partly symmetric real Ginibre ensemble
部分对称的实Ginibre系综由实对称和实反对称高斯随机矩阵的线性组合构成。这样的矩阵通常具有实特征值和复特征值。对于固定数目的实特征值，早期的工作已经给出了联合特征值概率密度函数的显式形式。利用这一点，我们导出了相应的求和广义配分函数的Pfiran公式.这个Pfidian公式允许将恰好存在$k$特征值的概率写成具有显式项的行列式。它也可以用来给出关联函数的显式形式，只要计算了某些斜正交多项式。这个任务是完成厄米多项式，并允许我们继续分析各种缩放限制的相关性，包括其中的矩阵只有弱非对称。
Quartic Poisson algebras and quartic associative algebras and realizations as deformed oscillator algebras
我们引入了由二维超可积经典系统的二阶和四阶运动积分生成的最一般的四次Poisson代数。我们得到相应的四次（结合）代数的量子模拟，我们延长Daskaloyannis的建设中获得的背景下，二次代数，我们得到的实现作为变形振子代数这个四次代数。我们得到了Casimir算子，并讨论了这些实现如何允许获得有限维酉不可约表示的四次代数和代数获得退化的超可积系统的能量谱。我们将构造的结构函数和得到的结构函数公式应用于最近引入的与I型Laguerre例外正交多项式有关的超可积系统。
Partial-skew-orthogonal polynomials and related integrable lattices with Pfaffian tau-functions
斜正交多项式（SOP）是在研究正交和辛随机矩阵系综的n点分布函数时产生的。受文献[22]研究的Bures随机矩阵系综特征多项式平均值的启发，我们提出了部分斜正交多项式（PSOP）的概念，作为对SOP的改进，并讨论了具有各种特殊斜对称核函数和权函数的PSOP。通过考虑权函数的适当变形，我们得到了九个不同维数的可积格。因此，这些系统的τ-函数被示出为表示在Pfirkans和波矢量PSOP方面。事实上，τ-函数也允许多重积分的表示。在这些可积格中，其中一些是已知的，而另一些则是我们所知的新的。特别是，一个可积格是有关的配分函数的Bures随机矩阵合奏。此外，我们还得到了一个离散的可积格，它可以用来计算某些向量Padé逼近。这就产生了关于可积格和向量Padé逼近之间联系的第一个例子，对此Hietarinta、Joshi和Nijhoff指出：“这个领域在很大程度上仍有待探索。”在最近的专著[27，第4.4节]。
On Asymptotic Regimes of Orthogonal Polynomials with Complex Varying Quartic Exponential Weight
研究了带四次指数权$\exp[-N(\frac 12 z^2+\frac 14 tz^4)]$的一元正交多项式$π_n(z)$的递推系数的渐近性，其中$t\in {\mathbb C}$和$N\in{\mathbb N}$，$N\to\infty$ .我们的目标是描述这些渐近行为的全球$t\in {\mathbb C}$在不同的地区。我们还描述了分离这些区域的“断裂”曲线，并讨论了它们的特殊（临界）点。所有这些信息的组合提供了$π_n(z)$的递归系数的全局渐近“相图”，在[Constr.约41（2015），529-587，arXiv：1108.0321]。本文的主要目的是通过对相应的Riemann-Hilbert问题（RHP）的非线性最速下降分析（采用$g$函数机制）和参数空间延拓原理，为全局渐近刻画提供一个严格的框架.后者允许将非线性最速下降分析从复杂$t$平面的某些部分扩展到$t$的所有非临界值。我们还提供了明确的解决方案的递归系数的黎曼θ函数。在[Constr.约41（2015），529-587，arXiv：1108.0321]和[Asymptotics of complex orthogonal polynomials on the cross with variing quartic weight：critical point behaviour and the sec…
Semiclassical asymptotics of orthogonal polynomials, Riemann-Hilbert problem, and universality in the matrix model
本文在n，\to \infty的极限下，得到了直线上正交多项式P_n（z）关于指数权\exp（-NV（z））的半经典渐近性，其中V（z）是双阱四次多项式.我们假设ε \le（n/N）\le λ_{cr} - ε，其中λ_{cr}是区分两截正交多项式和单截正交多项式的临界值。同时，我们导出了正交多项式的递归系数的半经典渐近性，并证明了这些系数构成一个周期为2的循环，该循环随n/N的变化而缓慢漂移。半经典渐近性的证明是基于可积系统理论的方法和适当矩阵Riemann-Hilbert问题的分析。作为正交多项式的半经典渐近性质的应用，我们证明了双阱四次相互作用的矩阵模型在存在两个切口时本征值局域分布的普适性。
Skew-orthogonal Laguerre polynomials for chiral real asymmetric random matrices
本文将复平面上的斜正交多项式（SOP）方法应用于两类实元素非对称随机矩阵。显式积分表示有效的任意权重函数推导出的SOP和柯西变换，给出的轨迹和行列式或其逆的期望值，分别。我们的证明使用了这样一个事实，即所有实特征值和复共轭特征值对的组合的联合概率分布函数可以写成乘积。SOP的例子是手性系综的拉盖尔多项式（也称为非埃尔米特实维沙尔-拉盖尔系综），不插入和插入特征多项式。这种特征多项式在场论中的复狄拉克谱的应用中起着质量项的作用。此外，对于椭圆型的实Ginibre系综，我们恢复了Forrester和Nagao的SOP的Hermite多项式。
Mixing of orthogonal and skew-orthogonal polynomials and its relation to Wilson RMT
酉Wilson随机矩阵理论是介于手征高斯酉系综和高斯酉系综之间的一种插值。这种新的插值方式也反映在与这种随机矩阵系综相对应的正交多项式中。虽然手征高斯酉系综以及高斯酉系综与Dyson指数$β=2$相关联，但是中间系综表现出正交多项式和斜正交多项式的混合。我们考虑了Hermitian和非Hermitian的Wilson随机矩阵，导出了相应的多项式，它们的递推关系，Christoffel-Darboux公式，Rodrigues公式以及作为随机矩阵平均的表示.利用这些结果，我们得到了厄米特和非厄米特Wilson随机矩阵的非猝灭$k$ -点关联函数，它们仅用两个味配分函数表示.这种表示法是由于Pfweian因式分解大大简化了数值应用的表达式。它也是研究格点量子色动力学$ε$体系中的Wilson-Dirac算子的一个很好的起点。
Asymptotics of orthogonal polynomials with complex varying quartic weight: global structure, critical point behaviour and the first Painleve' equation
研究了带四次指数权exp [-N（1/2z^2 + t/4z^4）]的一元正交多项式pn（z）的递推系数的渐近性，其中t是复数.我们的目标是：A）描述t中全局不同渐近行为（不同属）的区域; B）识别所有临界点; C）详细研究临界点附近的完整邻域中的渐近性（双标度极限），包括Painleve 'I解y（v）的极点和极点附近，已知这些极点在该极限中提供了领先的校正项。我们的结果是：A）我们发现了全局（在t）渐近的递归系数和"平方范数"的正交多项式的不同配置的轮廓的整合。开发了特殊代码来分析所有可能的情况。B）除了已知的临界点t_0 =-1/12外，我们还发现了新的临界点t_1 = 1/15和t_2 = 1/4。（3）在我们称之为三重标度极限的临界点t_0，t_1附近，我们导出了y（v）的极点处及其附近的递推系数的首阶行为（以及误差估计）。我们证明了递归系数在y（v）的极点附近有无界的"尖峰"，并计算了不同情况下这些尖峰的"普适"形状。Riemann-Hilbert问题（RHP）的非线性最速下降法是本文的主要技术。我们注意到，临界点附近的RHP是非常相似的RHP描述的半经典极限的聚焦NLS附近的梯度突变点，作者以前解决。
Riemann--Hilbert problems, matrix orthogonal polynomials and discrete matrix equations with singularity confinement
本文用一个黎曼-希尔伯特问题来描述实直线上的矩阵正交多项式。这种方法提供了一个简单的推导相应的矩阵递归系数的离散方程。离散方程是显式推导出的矩阵弗洛伊德的情况下，与矩阵四次电位。结果表明，当初始条件和测度同时可三角化时，该矩阵离散方程具有奇异禁闭性质，与所考虑的解是否由四次Freud矩阵正交多项式的递推系数给出无关.
Stationary reduction method based on nonisospectral deformation of orthogonal polynomials, and discrete Painlevé-type equations
提出基于正交多项式非等谱形变的稳态约化方法，应用于多种（双）正交多项式，推导出多类高阶离散Painlevé型方程及可积差分系统，并给出特解与Lax对。
Minimal Polynomials of Some Matrices Via Quaternions
这项工作提供了明确的特征和各种结构的$4\times 4$矩阵的最小多项式的公式。这些矩阵包括对称矩阵、哈密顿矩阵和正交矩阵。给出了斜Hamilton矩阵Jordan结构的完全判定和Cayley变换的计算等应用。揭示了一些新的矩阵类，其行为，就最小多项式而言，是非常相似的那些斜哈密顿和哈密顿矩阵。主要技术是调用的关联代数同构之间的张量积的四元数与自己和代数的实$4\times 4$矩阵。
Christoffel transform and symplectic skew Howe duality
本文证明 Christoffel 变换下投影算子仅差秩一算子，并应用于斜 Sp Howe 对偶性，得到随机 Young 图局部涨落的四种渐近区域，包括临界区域的离散 Hermite 核。
Universal scaling limits of the symplectic elliptic Ginibre ensemble
我们考虑辛椭圆Ginibre矩阵的特征值，已知这些矩阵形成Pfronan点过程，其相关核可以用斜正交Hermite多项式表示。我们得到的标度限制和相关函数的收敛速度在真正的散装/边缘的频谱，特别是建立在强非厄米性的局部普遍性。此外，我们还得到了边缘相关核的次引导修正，它依赖于与通用首项相反的非厄米性参数。我们的证明是基于复杂的椭圆Ginibre合奏由于李和Riser的渐近行为，以及在一个版本的Christoffel-达布身份，一个微分方程满足的斜正交多项式内核。
Averages of Characteristic Polynomials in Random Matrix Theory
我们计算与随机矩阵理论的正交、酉和辛系综相关的特征多项式的乘积和比率的平均值。这些平均值的pfestrian/determinantal公式，并发现批量缩放渐近极限与高斯权重的合奏。从这些公式出发，通过简单的计算，导出了随机矩阵系综的关联函数及其体尺度极限的经典结果。我们采用了离散近似方法：解决问题的离散模拟随机矩阵合奏起源于表示论，然后进行极限转换。使用线性代数的标准工具证明了离散平均值的精确pfestrian/行列式公式;不需要正交或斜正交多项式的应用。
Exactly solvable anharmonic oscillator, degenerate orthogonal polynomials and Painleve' II
本文研究 Shapiro–Tater 猜想，将四次非谐振子出现重本征值的参数点与 Vorob'ev-Yablonskii 多项式零点及 Painlevé II 有理解极点联系起来，并揭示其与退化正交多项式的深刻关联。
Fluctuations of Young diagrams for symplectic groups and semiclassical orthogonal polynomials
研究辛群下Young图的极限形状及波动，通过Christoffel变换从Krawtchouk多项式导出 semiclassical 正交多项式，分析其渐进行为。
Riemannian Gaussian distributions, random matrix ensembles and diffusion kernels
我们证明了近年来引入的对称空间上的黎曼高斯分布是标准随机矩阵型的。我们利用这一点来计算分析边缘的概率密度函数。对于厄米矩阵空间的情况，这可以完全使用Stieltjes-Wigert正交多项式来完成，其中分布已经出现在物理学文献中。当对称空间是$m \times m$对称正定矩阵的空间的情况下，我们展示了如何有效地计算计算通过评估在特定值的$m$的Pfweans。等价地，我们可以通过构造关于对数正态权函数的特定斜正交多项式（斜Stieltjes-Wigert多项式）来获得相同的结果。其他对称空间进行了研究，并获得了相同类型的结果的四元数的情况下。此外，我们展示了如何的概率密度函数是一个特殊的情况下，扩散再生核的Karlin-McGregor型，描述不相交的布朗运动，这也是扩散过程中的Weyl室李群。
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