Triangulable locally nilpotent derivations in dimension three
Moulay A. Barkatou, Hassan El Houari, M'hammed El Kahoui
本文给出了一个识别三维可三角化局部幂零导子的算法。在给定的推导是三角形的情况下，我们的方法产生一个坐标系，它表现出三角形的形式。
In this paper we give an algorithm to recognize triangulable locally nilpotent derivations in dimension three. In case the given derivation is triangulable, our method produces a coordinate system in which it exhibits a triangular form.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
A note on rigidity and triangulability of a derivation
设A为$\mathfrak Q$ -域，K=frac（A），B=A^{[n]}，D为\in \lnd_A（B）.假设秩D=秩D_K=r，其中D_K是D到K^{[n]}的扩展。证明了：（i）若D_K是刚性的，则D是刚性的。(ii)假设n=3，r=2，B=A[X，Y，Z]，DX=0。则D在A上可三角化当且仅当D在A[X]上可三角化。如果A是一个字段，则此结果是由于Daigle。
On locally nilpotent derivations of polynomial algebra in three variables
本文研究特征零域上三元多项式代数的局部幂零导子，通过迭代构造刻画秩2导子并扩展Freudenburg的秩3例子族，进而利用交换导子集合给出按秩刻画的方法。
Characterization of rank two locally nilpotent derivations in dimension three
本文给出了三维秩二局部幂零导子的一个算法刻画。结合计算plinth理想的算法，给出了计算三维局部幂零导子秩的方法。
Homogeneous locally nilpotent derivations of non-factorial trinomial algebras
本文描述了一类仿射三叉超曲面的正则函数代数的齐次局部幂零导子。这个类包含所有非阶乘三项式超曲面。
Homogeneous locally nilpotent derivations on trinomial varieties
研究三元多项式簇的正则函数代数最细分级下的同质局部nilpotent导出的显式描述。
Linear locally nilpotent derivations and the classical invariant theory, I: The Poincare series
利用经典不变量理论的方法，得到了线性局部幂零导子核的Poincare级数的一个计算公式。
On homogeneous locally nilpotent derivations of trinomial algebras
本文给出了仿射三项超曲面上正则函数代数的齐次局部幂零导子的一个显式描述。作为应用，我们描述了三项式代数的根的集合。
On sums of homogeneous locally nilpotent derivations
设A是交换结合的无零因子的整闭k-代数.得到了A上两个纤维型齐次局部幂零导子之和的局部幂零性的一个度判据。对于两个均匀LND的双稳态器，解决了相同的问题。
Generalization of the ABC theorem on locally nilpotent derivations
该研究将局部幂零导子的ABC定理推广到含m个单项式且每个变量仅出现在一个单项式中的多项式情形，还借此构造刚性与半刚性代数、描述特殊形式代数的Makar-Limanov不变量。
The freeness property for locally nilpotent derivations of k[x,y,z]
本文证明了Freudenburg的Freeness猜想：设B是特征为零的域上的三元多项式环，D：B --> B是非零局部幂零导子，A = ker（D）.则B是自由A-模，且存在B的基$(e_i)_{i \in \mathbb{N}}$使得对所有$i \in \mathbb{N}$都有deg $_D(e_i) = i$。
$\mathbb T$-homogeneous locally nilpotent derivations of trinomial algebras
本文研究了三项多项式代数中$\mathbb T$-齐次的局部 nilpotent 导出，这些导出在自然的复杂度为一的 torus 作用下保持齐次。
Locally nilpotent derivations of graded integral domains and cylindricity
设B是特征为零的交换$\mathbb{Z}$ -分次整环. B的一个元素f称为柱面的，如果它是非零的，非零次齐次的，并且使得$B_{(f)}$是一个子环上的单变量多项式环。研究了B的柱元的存在性与B的非零局部幂零导子的存在性之间的关系。同时，在d > 0的条件下，给出了$B^{(d)} = \oplus_i B_{di}$的每个导子都能推广为B的导子的充分条件.本文推广了Kishimoto，Prokhorov和Zauberberg关于（Y，H）上的仿射锥上存在非平凡G_a作用与极化射影簇（Y，H）的圆柱性有关的一些结果.
Rank and rigidity of locally nilpotent derivations of affine fibrations
在这一论述中，我们提出了仿射纤维化的局部幂零导子的秩和刚性的概念。我们表明，这个概念是类似的感知的秩和刚度的局部幂零导数的多项式代数。通过对不动点自由的局部幂零导子的秩进行分类，刻画了具有切片的$\mathbb{A}^3$ -纤维化的局部幂零导子.
Structure of $\mathbb{A}^2$-fibrations Having Fixed Point Free Locally Nilpotent Derivations
本文证明了含$\mathbb{Q}$的诺特环上$\mathbb{A}^2$ -纤维化的无不动点的局部幂零导子有片.
Locally nilpotent derivations on $\mathbb{A}^2$-fibrations with $\mathbb{A}^1$-fibration kernels
本文给出了含有核同构于$\mathbb{A}^1$ -纤维化的$\mathbb{Q}$的Noether整环上$\mathbb{A}^2$ -纤维化的局部幂零导子的一个刻画.
The Filtration Induced by a Locally Nilpotent Derivation
研究了由非零局部幂零导子诱导的度函数对应的滤子及其相应的分次代数。作为应用，我们提供了一个有效的方法来恢复经典已知代数的Makar-Limanov不变量，同构类和自同构群。我们还提出了一个新的类的例子，可以完全描述这种方法。
Locally nilpotent module derivations and the fourteenth problem of Hilbert
给定特征为零的域$k$上的仿射代数$B$上的局部幂零导子，我们考虑一个允许局部幂零模导子$δ_M$的可生成$B$ -模$M$（见下面的定义1.1）.设$A=\Ker δ$和$M_0=\Ker δ_M$。我们询问$M_0$是否是一个可编译生成的$A$模块。一般来说，存在与希尔伯特第十四问题密切相关的反例。我们还寻找了有限生成的一些充分条件。
A note on homogeneous rank $2$ locally nilpotent derivations on $k[X,Y,Z]$
本文证明了任意素数 $p$ 下秩为 $2$ 且次数为 $p-2$ 的不可约齐次局部幂零导子可三角化，并描述了次数为 $pq-2$ 的不可约非可三角化导子的结构，进而给出了特定秩 $2$ 导子像理想生成元的明确描述。
On nice $\mathbb{G}_m$-actions arising from locally nilpotent derivations with slice
本文研究局部 nilpotent 导出的 nice $\mathbb{G}_m$-作用，证明了在 nice 情况下，导出的 $\mathbb{G}_m$-作用线性化当且仅当导出与偏导数 $\partial/\partial x_n$ 自动共轭，并且切片在区分变量上为仿射线性。
Locally nilpotent sets of derivations
设B是域k上的代数，Der（B）是从B到B的k-导子的集合。我们定义了Der（B）的子集是局部幂零集的含义。我们证明了一些基本结果的概念，并探讨以下问题。设L是Der（B）的一个李子代数，如果L的每个元素都是局部幂零导子，那么L是局部幂零集吗？L是幂零李代数吗？
Maximal Lie subalgebras of locally nilpotent derivations
Gene Freudenburg证明了：对于多项式环，三角李代数是位于该环的局部幂零导子集合中的极大李代数.证明了位于多项式环的局部幂零导子集合中的每一个极大李代数都与三角李代数共轭。在本工作中，我们证明了这个猜想的第一部分，并提供了反例的第二部分。证明了猜想的第二部分对于局部幂零导子间的极大李代数成立，并给出了一些自然的附加性质。
Locally Nilpotent Derivations of Free Algebra of Rank Two
在交换代数中，如果$δ$是特征为0的域$K$上的多项式代数$K[x_1,\ldots,x_d]$的局部幂零导子，并且$w$是$δ$的核的非零元素，则$Δ=wδ$也是与$δ$具有相同核的局部幂零导子。本文证明了自由结合代数$K\langle X,Y\rangle$的局部幂零导子$Δ$是由其核决定的直到一个乘法常数。我们还证明了$Δ$的核是一个自由的结合代数，并给出了它的自由生成元的一个显式集合。
Poisson derivations and cohomology of Poisson nilpotent algebras
研究在特定假设下计算单参数泊松幂零代数的泊松导数及第一泊松上同调群，此成果适用于与博特 - 萨梅森簇相关的泊松代数。
Locally nilpotent derivations and automorphism groups of certain Danielewski surfaces
我们描述了商环$\mathbb{K}[X,Y,Z]/(f(X)Y - φ(X,Z))$的所有局部幂零导子的集合，该商环是由$\mathbb K^3$中的广义Danielewski曲面的定义方程$f(X)Y = φ(X,Z)$构造的，对于多项式$f$和$φ$的特定选择，其中$\mathbb K$是特征为零的代数闭域。作为这种描述的结果，我们计算的$ML$ -不变量和德克森不变量的环。我们还确定了一组发电机组的$\mathbb K$ -自同构的$\mathbb K[X,Y,Z]/(f(X)Y - φ(Z))$也为一个特定的选择多项式$f$和$φ$。
Some Open Problems on Locally Finite or Locally Nilpotent Derivations and ${\mathcal E}$-Derivations
设$R$是交换环，$\mathcal A$是$R$ -代数. $\mathcal A$的$R$ - $\mathcal E$ -导子是$\mathcal A$的某个$R$ -代数自同态$ϕ$的形式为$\operatorname{I}-ϕ$的$R$ -线性映射，其中$\operatorname{I}$表示$\mathcal A$的恒等映射.本文讨论了$\mathcal A$的局部有限$R$ -导子或$\mathcal E$ -导子的象是否是$\mathcal A$的Mathieu子空间[Z ~ 2，Z ~ 3]，以及$\mathcal A$的局部幂零$R$ -导子或$\mathcal E$ -导子是否将$\mathcal A$的每个理想映射到$\mathcal A$的Mathieu子空间的问题.我们提出并讨论了两个定理，证明了当基环$R$是特征为零的域时，上述两个问题都有正解。本文举例说明了这两个条件的必要性，并讨论了文献中已知的一些正例。我们还展示了这两种情况的一些案例。特别地，对于特征为零的整环的局部有限或局部幂零代数导子和$\mathcal E$ -导子，证明了这两个定理.
On nilpotent and solvable Lie algebras of derivations
设K是域，A是交换结合K-代数，且A是整环. A的所有K-导子的李代数Der A自然地是A-模，如果R是A的商域，则RDer A是R上的向量空间。证明了若L是R上秩为k的RDer A的幂零子代数（即使得dim_{R} RL=k），则L的导长至多为k，且L在其常数域上是有限维的.在特征为零的域上的可解李代数的情况下，它们的导出长度不超过2k。刻画了R上的李代数李代数A的秩为1和秩为2的幂零可解李代数.作为结果，我们得到相同的估计幂零和可解李代数的向量场多项式，合理的，或正式的系数。
Automorphisms of affine Veronese surfaces
证明了特征为零的域$K$上二元多项式代数$K[x,y]$的子代数$K[x^n, x^{n-1}y,\ldots,xy^{n-1}, y^n]$（其中$n\geq 2$）的每个导子和每个局部幂零导子分别由$K[x,y]$的导子和局部幂零导子诱导.证明了特征为零的代数闭域$K$上的$K[x^n, x^{n-1}y,\ldots,xy^{n-1}, y^n]$的每一个自同构都是由$K[x,y]$的一个自同构诱导的.我们还证明了$K[x^n, x^{n-1}y,\ldots,xy^{n-1}, y^n]$的自同构群具有合并的自由积结构。
Associative, Lie, and left-symmetric algebras of derivations
设$P_n=k[x_1,x_2,\ldots,x_n]$是特征为零的域$x_1,x_2,\ldots,x_n$上的多项式代数，$\mathscr{L}_n$是$P_n$ \cite{Dzhuma99,UU2014-1}的所有导子的左对称代数.使用$\mathscr{L}_n$语言，对于每个导子$D\in \mathscr{L}_n$，我们定义了结合代数$A_D$，李代数$L_D$和与雅可比猜想研究有关的左对称代数$\mathscr{L}_D$.对于每个派生$D\in \mathscr{L}_n$，存在唯一的$n$-$P_n$的元素的元组$F=(f_1,f_2,\ldots,f_n)$，使得$D=D_F=f_1\partial_1+f_2\partial_2+\ldots+f_n\partial_n$。在这种情况下，使用行动的Hopf代数的非交换对称函数$\mathrm{NSymm}$ $P_n$，我们表明，这些代数是密切相关的多项式自同态$X+tF$，其中$X=(x_1,x_2,\ldots,x_n)$和$t$是一个独立的参数的形式逆的系数的描述。我们证明了Jacobian矩阵$J(F)$是幂零的当且仅当$\mathscr{L}_n$中$D_F$的所有右幂$D_F^{[r]}$都是零发散.特别地，如果$J(F)$是幂零的，则$D_F$是右幂零的。我们讨论了这些代数的一些优点和缺点，…
Some K-theoretic properties of the kernel of a locally nilpotent derivation on k[X_1, \dots, X_4]
设k是特征为零的代数闭域，D是多项式环k[X_1，X_2，X_3，X_4]上的局部幂零导子，A是D的核. M的问题。Miyanishi问A上的投射模是否一定是自由的。隐式是一个子问题：Grothendieck群K_0（A）是否平凡.本文证明了k[X_1，X_2，X_3，X_4]的显式k[X_1]-线性不动点自由局部幂零导子D，其核A有一个孤立奇点，且其Grothendieck群K_0（A）不是单生成的，特别地，在核A上存在无限族成对非同构的投射模.我们还将表明，虽然宫西的原始问题没有一个肯定的答案一般，适当修改版本的问题确实有肯定的答案时，D零化一个变量。例如，我们将证明在这种情况下群G_0（A）和G_1（A）确实是平凡的。进一步，我们将看到，如果上面的核A是正则环，那么A实际上是k上的多项式环;特别地，通过Quillen-Suslin定理，Miyanishi的问题有一个肯定的答案。我们的构造涉及由关系u^mv=F（z，t）定义的环，其中F（Z，T）是k[Z，T]中的不可约多项式.我们将证明这样一个环是多项式环k[X_1，.，.，的k[X_1]-线性局部幂零导子D的核的一个充要条件，X_4]是F定义多项式曲线。
Locally nilpotent Lie algebras of derivations of integral domains
设$\mathbb K$是特征为零的域，$A$是$\mathbb K.$上的整环。$A$的所有$\mathbb K$ -导子的李代数$\Der_{\mathbb K} A$携带关于代数$A.$的非常重要的信息。该李代数嵌入到李代数$R\Der_{\mathbb K} A\subseteq \Der_{\mathbb K}R$中，定义$R={\rm Frac}(A)$的一个子代数$L$的秩$rk_{R}L$为维数$\dim_R RL.$，证明了每个$L$的秩$rk_{R}L$为维数$\dim_R RL.$具有$rk_{R}L=n$的$R\Der_{\mathbb K} A$的局部幂零子代数$L$有一系列理想$0=L_0\subset L_1\subset L_2\dots \subset L_n=L$使得$\rank_R L_i=i$和所有的商李代数$L_{i+1}/L_{i}, i=0, \ldots , n-1,$是交换的.我们还用$rk_{R}L=3.$刻画了李代数$R\Der_{\mathbb K} A$的所有极大（关于包含）局部幂零子代数$L$
Centralizers of linear and locally nilpotent derivations
设$K$是特征为零的代数闭域，$A = K[x_1,\dots,x_n]$是多项式环，$R = K(x_1,\dots,x_n)$是有理函数域，$W_n(K) = \Der_{K}A$是$A$上所有$K$ -导子的李代数.如果$D \in W_n(K),$ $D\not =0$是线性的（即形式为$D = \sum_{i,j=1}^n a_{ij}x_j \frac{\partial}{\partial x_i}$），我们给出了一个描述的中心化$D$在$W_n(K)$和指出一个算法，用于寻找发电机的$C_{W_n(K)}(D)$作为一个模块的环常数的情况下，当$D$是基本Weitzenboeck推导。在更一般的情形下，当环$A$是$K$上的一个环生成整环，$D$是$A,$上的一个局部幂零导子时，我们证明了中心化子$C_{{\rm Der}A}(D)$是${\rm Der}_{K} A$中的一个“大子代数，即$\rk_A C_{\Der A}(D) := \dim_R RC_{\Der A}(D)$等于${\rm tr}.°_{K}R,$，其中$R$是环$A的分式域.
Idempotents in Intersection of the Kernel and the Image of Locally Finite Derivations and $\mathcal E$-derivations
令$K$是特征为零的域，$\mathcal A$是$K$ -代数，$δ$是$\mathcal A$的$K$ -导出或$\mathcal E$ -导出（即，$δ=\operatorname{Id}_A-ϕ$对于某些$K$ -$\mathcal A$的代数自同态$ϕ$）。受[Z4]中提出的幂等猜想的启发，我们首先证明了：对于既位于核${\mathcal A}^δ$中又位于象$\operatorname{Im}δ\!:=δ({\mathcal A})$中的所有幂等$e$，如果$δ$是$\mathcal A$的局部有限$K$ -导子或局部幂零$\mathcal E$ -导子，则主理想$(e)\subseteq \operatorname{Im} δ$;和$e{\mathcal A}, {\mathcal A}e \subseteq \operatorname{Im} δ$，如果$δ$是$\mathcal A$的局部有限$\mathcal E$ -导出。因此，幂等猜想对$\mathcal A$的所有局部有限$K$ -导子和所有局部幂零$\mathcal E$ -导子成立.然后证明了$1_{\mathcal A} \in \operatorname{Im} δ$，（当且仅当）$δ$是满射的，从而将交换$K$ -代数的局部幂零$K$ -导子的相同结果[GN，W]推广到所有$K$-代数$\math…
Some results on homogeneous locally nilpotent $R$-derivations on $R[X,Y,Z]$
本文研究了 $R[X,Y,Z]$ 上关于标准权重的齐次局部幂零 $R$-导数，证明了当 $R$ 为 PID 且导数次不超过3时秩至多为2，并在 $R$ 为 Dedekind domain 时给出了核代数的最小生成元数界。
A characterization of local nilpotence for dimension two polynomial derivations
设K是一个代数闭域。证明了二元多项式K-导子$D$局部幂零当且仅当与D可换的多项式K-自同构的子群中含有任意大次数的元素.
Nilpotent Jacobian maps in dimension three and stable tameness in block extensions
本文研究特征零域上具有幂零雅可比矩阵的多项式映射，通过几何与推导论证给出三维情形的规范形及显式逆与驯良分解，并推广到块扩展情形，利用剩余域判据证明稳定驯良性。
Images of Ideals under Derivations and $\mathcal E$-Derivations of Univariate Polynomial Algebras over a Field of Characteristic Zero
设$K$是特征为零的域，$x$是自由变量. $K[x]$的$K$ - $\mathcal E$ -导子是$K[x]$的某个$K$ -代数自同态$ϕ$的形式为$\operatorname{I}-ϕ$的$K$ -线性映射，其中$\operatorname{I}$表示$K[x]$的恒等映射.本文研究了$K[x]$的理想在某些$K$ -导子和$K[x]$的$K$ - $\mathcal E$ -导子下的象.证明了[Z4]中的LFED猜想对所有的$K$ - $\mathcal E$ -导子和$K[x]$的所有局部有限$K$ -导子成立.证明了[Z4]中提出的LNED猜想对$K[x]$的所有局部幂零$K$ -导子成立，对$K[x]$的所有局部幂零$\mathcal E$ -导子和理想$uK[x]$成立，使得$u=0$，$\operatorname{deg}\, u\le 1$，或$u$在$K$的代数闭包中至少有一个重根.作为一种双积，还对任意域上的一元多项式代数的齐次Mathieu子空间（Mathieu-Zhao空间）进行了分类。
Rigidity for Lie algebras of locally finite derivations
该研究证明特征零域上有限生成交换代数的局部有限导子生成的有限生成李子代数必有限维，解决了Popov2005年关于幂单单参数子群的问题，还刻画了多项式控制系统的双线性实现。
Weitzenboeck derivations of free metabelian Lie algebras
特征为0的域K上的多项式代数K[X]的d元非零局部幂零线性导子称为Weitzenboeck导子。Weitzenboeck的经典定理指出，常数代数（与单个幂幺变换的不变量代数一致）是可生成的。类似地，我们可以考虑一个局部幂零线性导子的常数代数，它是一个在K上的各种代数中相对自由的n-生成（不一定是交换的或结合的）代数。现在常数代数通常不是直接生成的。除某些平凡情形外，这对具有d个生成元的自由亚交换李代数L/L”的常数代数也成立.我们证明了交换子理想L '/L”中的常数向量空间是K[X]中的常数代数上的有限生成模.对于小d，我们计算了L/L”中常数代数的Hilbert级数，找到了L '/L”中常数模的生成元.这也给出了L/L”中常数的李代数的生成元的（无限）集合。
The LFED and LNED Conjectures for Laurent Polynomial Algebras
令$R$是特征零的整环，$x=(x_1, x_2, ..., x_n)$ $n$交换自由变量，和${\mathcal A}_n:=R[x^{-1}, x]$，即，$R$上$x$中Laurent多项式代数本文首先对${\mathcal A}_n$的所有局部有限或局部幂零$R$ -导子和$\mathcal E$ -导子进行了分类，其中${\mathcal A}_n$的$\mathcal E$ -导子是指对于${\mathcal A}_n$的某些$R$ -代数自同态$ϕ$，形式为$\operatorname{Id}_{{\mathcal A}_n}-ϕ$的$R$ -线性映射.特别地，我们证明了${\mathcal A}_n$没有非零的局部幂零$R$ -导子或$R$ - $\mathcal E$ -导子。因此，在[Z4]中提出的${\mathcal A}_n$的LNED猜想如下。然后，我们展示了在[Z4]中提出的${\mathcal A}_n$的LFED猜想的一些情况。特别是，我们表明，无论是LFED和LNED代数的Laurent多项式代数在一个或两个交换自由变量的特征为零的字段。
Minimal polynomial of an exponential automorphism of C^n
本文证明了C ^n的多项式指数自同构F（即F = exp（D），其中D是局部幂零导子）的最小多项式的形式为μ_F（T）=（T-1）^d，d = min {mPDMATHABMM N：D ^m（X_i）= 0，i = 1，. n}。
On isotropy group of locally finite derivations on $\mathbb{K}[X,Y]$
本文研究了多项式环$\mathbb{K}[X,Y]$上局部有限导出的等价群，利用Van den Essen的分类结果，证明局部nilpotent情况下等价群与指数自同构群相同，而在半单部分非trivial时可能不同，且非零局部有限导出均有非trivial等价群。
Weitzenboeck derivations of free metabelian associative algebras
根据Weitzenboeck的经典定理，常数代数（即，在特征为0的域K上，多项式代数K[X]的d元非零局部幂零线性导子的核（核）被生成.作为一个非交换推广，我们考虑了K上酉结合代数簇V中d-生成相对自由代数F（V）的局部幂零线性导子的常数代数.已知F（V）的常数代数是非生成的当且仅当V满足一个多项式恒等式，而这个多项式恒等式对于2 × 2上三角形矩阵代数不成立.因此自由亚交换结合代数F（M）是一个重要的研究对象。证明了交换子理想F '（M）中的常数向量空间是二维变量多项式代数K[U，V]的常数代数的有限生成模，其中导子对U和V的作用方式与对X的作用方式相同.对于小d，我们计算F '（M）中常数的Hilbert级数，并找到相关模的生成元。这也给出了F（M）中常数代数的生成元的（无限）集合。
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