关于来自局部 nilpotent 导出的 nice $\mathbb{G}_m$-作用
On nice $\mathbb{G}_m$-actions arising from locally nilpotent derivations with slice
AI总结：
本文研究局部 nilpotent 导出的 nice $\mathbb{G}_m$-作用，证明了在 nice 情况下，导出的 $\mathbb{G}_m$-作用线性化当且仅当导出与偏导数 $\partial/\partial x_n$ 自动共轭，并且切片在区分变量上为仿射线性。
摘要：
设 $k$ 为特征为零的代数闭域，$B$ 为有限生成的 $k$-域。给定一个在 $B$ 上具有切片 $s$ 的局部 nilpotent 导出 $D$，导出 $\partial=NsD$（$N\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$）是半单的，并定义了 $\mathrm{Spec}(B)$ 上的正则 $\mathbb{G}_m$-作用。本文证明该导出提供了 Freudenburg 引入的 $\mathbb{G}_m$-作用的新显式描述，以微分生成元 $\partial=NsD$ 为基准。在 nice 情况下（即对于所有生成元 $D^2(x_i)=0$），证明了一个线性化准则：对应的 $\mathbb{G}_m$-作用线性化当且仅当 $D$ 自动共轭到 $\partial/\partial x_n$，并且切片在区分变量上为仿射线性；此外，该准则与切片的选择无关。
英文摘要：
Let $k$ be an algebraically closed field of characteristic zero and $B$ a finitely generated $k$-domain. Given a locally nilpotent derivation $D$ on $B$ admitting a slice $s$, the derivation $\partial=NsD$ ($N\in\mathbb{Z}\setminus\{0\}$) is semisimple and defines a regular $\mathbb{G}_m$-action on $\mathrm{Spec}(B)$. We show that this derivation provides a new explicit description of the $\mathbb{G}_m$-action introduced by Freudenburg in terms of the infinitesimal generator $\partial=NsD$. In the nice case ($D^2(x_i)=0$ for all generators), we prove a linearizability criterion: the associated $\mathbb{G}_m$-action is linearizable if and only if $D$ is automorphically conjugate to $\partial/\partial x_n$ and the slice becomes affine-linear in the distinguished variable; moreover, this criterion is independent of the choice of slice.
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