Sharp $L^1$ estimates for singular transport equations
Sergiu Klainerman, Igor Rodnianski
对一类含奇异积分算子的迁移方程给出了$L^1$估计.虽然我们的主要应用是在广义相对论中的一个具体问题，但我们相信，我们的结果所说明的现象具有更普遍的意义。
We provide $L^1$ estimates for a class of transport equations containing singular integral operators. While our main application is for a specific problem in General Relativity we believe that the phenomenon which our result illustrates is of a more general interest.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Sharp essential self-adjointness of relativistic Schrödinger operators with a singular potential
研究了具有奇异齐次势的相对论性薛定谔算子的本质自伴性。从奇异项系数的一个显式条件出发，给出了本质自伴的一个充分和必要条件。
Sharp singular Adams inequalities in high order Sobolev spaces
本文在$\mathbb{R}^{n}$中证明了任意有限测度区域上具有锐常数的分数次积分的指数型加权不等式。在临界情形下，利用这一定理证明了有界域上的高阶索伯列夫空间中的一个尖锐奇异Adams不等式.然后证明了无界域上高阶导数的尖锐奇异Adams不等式。我们的结果将\cite{Ad2, R, LR, AdY}中的一阶奇异Moser-Trudinger不等式推广到高阶索伯列夫空间$W^{m,\frac{n}{m}}$，并将\cite{RS}关于无界域上Adams型不等式的结果推广到奇异情形.我们在临界情形下得到了具有标准Sobolev范数的$W^{2,2}(\mathbb{R}^{4})$上的奇异Adams不等式，解决了\cite{Y}中一个未解决的问题.
A sharp strong maximum principle and a sharp unique continuation theorem for singular minimal hypersurfaces
证明了标题中的两个定理，解决了奇异极小超曲面局部理论中两个长期存在的问题。任何一个结果的尖锐性都与其关于允许奇异集的大小的假设有关。这两个定理的证明在很大程度上依赖于作者最近的稳定极小超曲面的正则性和紧性理论，以及Ilmanen，Simon和Solomon-White的早期工作。
On Sharp Fronts and Almost-Sharp Fronts for singular SQG
本文考虑一族速度场由$u = Λ^{-1+α}\nabla^{\perp} θ$给出的有源标量，其中$α\in (0,1)$ .这个方程族是二维表面准地转（SQG）方程的一个更奇异的版本，它对应于$α=0$。通过研究准锐锋族，我们考虑了锐锋的演化。这些是具有简单几何形状的光滑解，其中解中的急剧过渡发生在管状邻域（大小为$δ$）中。我们研究他们的演变和兼容的曲线，并介绍了脊柱的概念，我们获得改进的进化结果，获得一个完整的权力（$δ$）相比，其他兼容的曲线。
Sharp gradient estimates for a class of singular/degenerate fully nonlinear elliptic equations with oblique boundary conditions and Hamiltonian terms
研究一类具斜边界条件和哈密顿项的奇异/退化完全非线性椭圆方程，在一般条件下，于统一框架内建立直至边界的精确 \(C^{1,\alpha}\) 正则性。
Sharp boundary regularity for some degenerate-singular Monge-Ampère Equations on k-convex domain
本文引入k-严格凸性的概念来描述某些方向边界可能平坦的凸区域的精确凸性。在此精确凸性的基础上，我们构造了退化奇异Monge-Ampère型方程Dirichlet问题的子解，并证明了该问题凸黏性解的精确边界估计.结果得到了凸黏性解的最优整体Hölder正则性.
A Note on Sharpened Singular Adams-Type Inequalities
建立带奇异权重的尖锐Adams型不等式，证明改进的奇异集中紧致原理，并应用于含奇异指数增长的非齐次拟线性椭圆方程非平凡解的存在性。
Singular Liouville Equations on $S^2$: Sharp Inequalities and Existence Results
本文证明了一个尖锐的Onofri型不等式和球面上Moser-Tudinger泛函在具有正阶奇点的势的存在下极值的不存在性。在对称性和非简并性假设下，我们还研究了临界点的存在性，并给出了一些充分条件。
Sharp regularity for a singular fully nonlinear parabolic free boundary problem
本文建立了具有奇异吸收项的完全非线性抛物型自由边界问题黏性解的局部正则性估计。主要的困难是由于沿自由边界的源的爆破和缺乏变分结构。该证明结合了石井-狮子方法与本质上抛物振荡估计的功率。结果是新的，即使是二阶线性算子的非发散形式。
A sharper energy method for the localization of the support to some stationary Schr{ö}dinger equations with a singular nonlinearity
本文针对具有奇异非线性项的稳态 Schrödinger 方程，提出了一种更敏锐的能量方法，并据此证明了解的支集紧致性。
Sharp second order inequalities with distance function to the boundary and applications to a p-Biharmonic singular problem
本文将带边界距离函数奇异项的Hardy-Rellich不等式推广到L^p情形，给出尖锐常数或新界，并应用于p-双调和奇异问题解的存在性与非存在性研究。
Sharp L^p estimates for singular transport equations
我们证明了尖锐的$L^p$估计的奇异传输方程的建设，我们称之为\emph{cascading solution}，该方程研究乘以有界函数和应用的希尔伯特变换的综合效果。在此过程中，我们证明了希尔伯特变换的不变性结果，这可能是独立的利益。最后，我们给出了一个有界的\emph{incompressible}速度场的例子，其中方程：$$\partial_t f +u\cdot\nabla f= H(f)$$发展急剧的$L^p$增长。我们研究的方程是相关的，作为模型，在流体方程的研究，以及在广义相对论。
Local Existence of Analytic Sharp Fronts for Singular SQG
本文利用抽象的Cauchy-Kowalevskaya定理证明了一类广义SQG方程解析尖锋解的局部存在唯一性。这里，速度由$u = |\nabla|^{-2β}\nabla^\perpθ$确定，它（对于$1<β\leq 2$）比SQG中的更奇异。这是实现尽管出现伪微分算子的顺序高于一个在我们的方程，通过重铸我们的方程在一个合适的积分形式。我们还提供了一个完整的证明的抽象版本的柯西-Kowalevskaya定理，我们使用。
Carleman estimates with sharp weights and boundary observability for wave operators with critically singular potentials
我们建立了一个新的家庭的Carleman不等式的波运营商的圆柱形时空域包含一个潜在的是临界奇异的，发散作为一个平方反比的所有边界的域。这些估计是尖锐的意义上说，他们捕获的自然边界条件和自然$H^1$能量。证明是基于围绕三个关键成分：选择一个新的Carleman重量，而奇异的衍生物的边界上，一个推广的经典Morawetz不等式，允许反平方奇异性，和系统使用的衍生操作适应的潜力。作为这些估计的应用，我们证明了相关的波动方程的边界可观性。
Sharp regularity estimates for a singular inhomogeneous (m, p)-Laplacian equation
本文针对一类双重非线性发展偏微分方程，结合几何切向方法与内蕴尺度技术建立解在Hölder空间的精确正则性，统一处理三类扩散情形推广经典结果，并给出相关非线性模型的应用。
Sharp regularity for singular obstacle problems
对于由$$ Δ_p u=γ(u-φ)^{γ-1}\,\text{ in }\,\{u>φ\}, $$给出的Euler-Lagrange方程的奇异障碍问题，对于$0<γ<1$和$p\ge2$，得到了解的局部$C^{1,α}$正则性.在自由边界$\partial\{u>φ\}$，我们证明了解的最优$C^{1,τ}$正则性，其中$τ$是用$p$，$γ$和$φ$的光滑性显式给出的，这在线性环境下也是新的.
Sharp boundary $\varepsilon$-regularity of optimal transport maps
本文对具有$C^{1,α}$ -边界的有界开集之间的最优输运映射建立了一个边界$\varepsilon$ -正则性理论.我们的主要结果断言尖锐的$C^{1,α}$ -正则性的运输地图在边界处的线性估计的形式在一定的假设下：主要的定量假设是，当地的无量纲运输成本是小的，在$C^{1,α}$的边界是当地几乎平坦的。我们的方法是完全变分的，并建立在最近发展的内部正则性理论。
Regularity estimates for singular parabolic measure data problems with sharp growth
本文证明了具有测量数据的抛物型$p$型方程的整体梯度估计，其模型为$$u_t - \textrm{div} \left(|Du|^{p-2} Du\right) = μ\quad \textrm{in} \ Ω\times (0,T) \subset \mathbb{R}^n \times \mathbb{R},$$，其中$μ$是具有有限总质量的带符号Radon测度.我们考虑了奇异情形$$\frac{2n}{n+1} <p \le 2-\frac{1}{n+1}$$，给出了关于$Ω$的非线性和边界的可能极小条件，从而保证了这类测度数据问题的正则性结果.
Sharp interface limit of stochastic Cahn-Hilliard equation with singular noise
本文研究了在时空白噪声和保守噪声驱动下二维随机Cahn-Hilliard方程与$\varepsilon$相关的锐界面极限为$\varepsilon\to 0$ .在噪声足够小的情况下，通过比较方程（1.1）的解与文献[ABC 94]中构造的近似解，我们证明了解的极限也是确定性Hele-Shaw问题的解。
Sharp solvability for singular SDEs
吸引的平方反比漂移为奇异微分方程的可解性提供了一个典型的反例：如果漂移系数大于某个临界值，则不存在弱解。我们证明了一个积极的结果奇异的SDES的可解性，这个临界值是从下面（严格不等式）的形式有界漂移的整个类。这个类包含例如平方反比漂移、临界Ladyzhenskaya-Prodi-Serrin类。证明是基于德乔治的方法的$L^p$变体。
Sharp polynomial decay for polynomially singular damping on the torus
本文研究环面上无界奇异阻尼的波动方程能量衰减，证明多项式控制奇异阻尼具有锐多项式衰减，并进一步给出紧流形上正规 $L^p$-阻尼的多项式衰减及圆周情形的指数衰减结果。
A Note on Singularity Formation for a Nonlocal Transport Equation
$α$ -补丁模型用于研究流体方程的各个方面。我们表明，该模型的解决方案在有限时间内形成奇点，并给出了在奇异时间的解决方案配置文件的表征。
Sharp gradient stability for a class of Hardy-Sobolev-Maz'ya inequalities
本文针对具有部分（更强）奇异权和非径向极值函数的一类Hardy-Sobolev-Maz'ya不等式，证明了尖锐梯度稳定性，这是首个关于非径向极值函数的稳定性结果。
Sharp blow up estimates and precise asymptotic behavior of singular positive solutions to fractional Hardy-Hénon equations
本文研究了在原点具有孤立奇点的分数阶Hardy-Hénon方程$$ (-Δ)^σu = |x|^αu^p ~~~~~~~~~~~ in ~~ B_1 \backslash \{0\} $$正解的渐近性态，其中$σ\in (0, 1)$和具有$n \geq 2$的穿孔单位球$B_1 \backslash \{0\} \subset \mathbb{R}^n$.当$-2σ< α< 2σ$和$\frac{n+α}{n-2σ} < p < \frac{n+2σ}{n-2σ}$满足时，我们给出了正解的孤立奇点的分类，特别地，这意味着奇异解的尖锐爆破估计.此外，我们描述了精确的渐近行为的解决方案附近的奇异性。更一般地，我们分类孤立的边界奇异性和描述的精确渐近行为的奇异解的相关退化椭圆方程的非线性Neumann边界条件。这些结果与Gidas和Spruck（Comm. Pure Appl.Math.34：525-598，1981）证明的Laplacian对应物的已知结果相似，但是方法非常不同，因为常微分方程分析在分数情况下是缺失的成分。我们的证明是基于一个单调性公式，结合爆破（下）的论点，开尔文变换和有关退化方程的解的唯一性$\mathbb{S}^{n}_+$。我们还研究了分数阶Hardy-Hénon方程无穷远处的孤立奇点。
Formation of singularities for a transport equation with nonlocal velocity
我们研究了一个一维非局部速度输运方程，并给出了一个通用族的初始数据在有限时间内奇点的形成。通过增加扩散项，避免了有限时间奇异性，并且解在时间上全局存在。
Sharp Sobolev inequalities on minimal immersions via optimal transport
该研究证明了无边界完备n维欧氏极小浸入上的最优L^p-Sobolev常数为欧氏Aubin--Talenti常数，采用最优传输与双核比较的方法完成证明。
Formation of singularities for multi-dimensional transport equations with nonlocal velocity
研究了一类具有非局部速度的多维迁移方程。通过De Giorgi迭代技术证明了局部光滑解在时间上不可能全局存在。
To substantiate the asymptotics of solving the Cauchy problem for a singularly perturbed weakly nonlinear transport equation
证明了奇摄动微分算子弱非线性迁移方程临界情形初值问题解的渐近展开式关于小参数的剩余项的一致估计定理.
Sharp asymptotic profiles for singular solutions to an elliptic equation with a sign-changing nonlinearity
给定$B_1(0)$为$\mathbb{R}^n$（$n\geq 3$）的单位球，研究了$u\in C^2(B_1(0)\setminus \{0\})$的光滑正奇异解.这里，$0< s<2$、$2^\star(s):=2(n-s)/(n-2)$对于Sobolev嵌入、$q>1$和$μ> 0$至关重要。当$μ=0$和$s=0$时，在奇点$0$处的轮廓由Caffarelli Gidas Spruck完全描述。我们证明，当$μ>0$和$s>0$，除了这个配置文件，两个新的配置文件可能会出现。我们提供了所有奇异配置文件的完整描述。特别注意$\liminf_{x\to 0}|x|^{\frac{n-2}{2}}u(x)=0$和$\limsup_{x\to 0}|x|^{\frac{n-2}{2}}u(x)\in (0,+\infty)$等解决方案。特殊情况$q=(n+2)/(n-2)$需要单独分析，我们也进行了分析。
Sharp upper bound for a branched transport problem coming from Ginzburg-Landau models
本文研究了一类弱边界条件下的分支运输问题，证明了当灌溉测度局部Ahlfors正则时，其维数不超过8/5，支持Conti等人的猜想。
Sharp radial estimates in Besov spaces
我们证明了尖锐的径向估计使用Besov空间。我们还证明了Besov空间中奇点的奇性传播。
Sharp Pointwise Weyl Laws for Schrödinger Operators with Singular Potentials on Flat Tori
针对低维平坦环面拉普拉斯算子Weyl定律精确误差项这一公开难题，本文证明一类奇异扰动下任意维数都存在带精确误差项的逐点Weyl定律，验证了作者此前相关定理的精确性并将三维结果推广至任意维。
Remarks on sharp boundary estimates for singular and degenerate Monge-Ampère equations
通过构造适当的光滑的、可能非凸的上解，我们在$\mathbb{R}^n$中的有界区域上建立了具有零边界条件的$\det D^2 u =|u|^q$形式的奇异退化蒙日-安培方程的非平凡解的模的边界附近的精确下界.这些界限意味着，目前已知的全球Hölder正则性结果，这些方程是最佳的所有$q$负，几乎最佳的$0\leq q\leq n-2$。我们的研究还建立了具有有限全Monge-Ampère测度的蒙日-安培方程凸解的全局$C^{\frac{1}{n}}$正则性的最优性.此外，当$0\leq q<n-2$时，唯一解在边界的任何平坦部分附近具有其梯度爆破。$q$是$0$的情况与二聚体模型中的表面张力有关。我们还获得了新的全球log-Lipschitz估计，并将其应用到Abreu方程退化的边界数据。
Sharp estimates for solutions of mean field equation with collapsing singularity
Brezis-Merle [7]、Li-Shafrir [27]、Li [26]和Bartolucci-Tarantello [4]的开创性工作表明，Liouville型（奇异）平均场方程的任何爆破解序列都必须具有“质量集中”性质。当我们让方程（见下式（1.1））中涉及的奇异（涡旋）点坍缩在一起时，就会出现爆破的典型情形。然而，在这种情况下，Lin-Tarantello在[30]中指出，“冒泡意味着质量浓度”的现象可能不会发生，新的情况需要研究。在本文中，我们提出了两个明确的例子，说明（与数学严谨性）如何“非浓度”的情况下发生，它的新特点。除其他事实外，我们表明，在某些情况下，奇点的崩溃率可以作为爆破参数来描述的解决方案序列的起泡性能。通过这种方式，我们能够在爆破点周围建立精确的估计，我们希望将其用于下面的阴影系统（1.34）的度计数公式。
A decomposition of a measurable function f by a one-sided local sharp maximal function and applications to one-sided operators
遵循Andrei Lerner在[ A pointwise estimate for the local sharp maximum function with applications to奇异积分“Bull.London Math.Soc.42（2010）843856]中的思想，我们获得了任意可测函数f在局部平均振荡方面的另一种分解。这使得我们可以得到新的估计涉及单边奇异积分和单边极大算子。作为这个结果的应用，我们得到了两个单侧奇异积分的加权不等式和一个关于可测函数f和sharp单侧算子的L（w）不等式.这些估计是更精确的意义上说，他们是有效的更大类的权重。
Sharp non-uniqueness of singular solutions to the one-dimensional periodic cubic nonlinear Schrödinger equation
本文通过凸积分构造了一维周期三次非线性薛定谔方程的奇异解，证明其在 $H^{1/6}(\mathbb T)$ 阈值下的强非唯一性，补充了该方程奇异解的相关理论结果。
Regularity of singular set in optimal transportation
本文研究目标为两个不相交凸区域的最优运输问题，在不要求源区域凸性的条件下，通过新方法证明了奇异集的高阶正则性，与Caffarelli的经典理论相呼应。
A sharp inequality for transport maps in W^{1,p}(R) via approximation
对于$f$凸的和增的，证明了不等式$ \int f(|U'|) \geq \int f(nT')$，每当$U$是一个单变量的Sobolev函数，$T$是定义在同一区间上的非减映射，其像测度与$U$相同，且函数$n(x)$考虑了$U$在每一点的原像数.这可能适用于一些变分问题在质量运输框架或体积约束下。
Absence of splash singularities for SQG sharp fronts and the Muskat problem
本文对锐锋表面准地转方程或Muskat问题，排除了“飞溅奇点”的爆破情形，即证明了当自由边界保持光滑时，从这两个系统演化出来的等值线不可能相交于一点。飞溅奇异性已被证明为在水波轮廓演化问题\cite{ADCPJ}的形式的自由边界不可压缩欧拉方程。我们的结果证实了在\cite{CFMR}中的数值模拟，其中它表明，曲率吹起来，由于轮廓在一个点处塌陷。在这里，我们证明，保持控制的曲率将删除逐点相间崩溃的可能性。另一个结论，我们提供的是一个更好的理解工作\cite{DP3}中，喷射奇点被排除，在这里一个积极的体积之间的轮廓流体不能在有限的时间内喷射。
Sharp Weyl laws with singular potentials
本文研究三维 Riemann 流形上受 Kato 类奇异势扰动的 Laplace–Beltrami 算子，推广 Avakumović 方法，证明带附加项和尖锐余项的逐点 Weyl 定律，并构造反例说明附加项可破坏标准尖锐定律。
Intermittent singular solutions of the stationary 2D Navier-Stokes equations in sharp Sobolev spaces
本文构造了二维环面上定常 Navier-Stokes 方程的非平凡奇异解，通过重新定义解的概念并引入间歇性机制，在特定 Sobolev 空间中实现了对 Lemarié-Rieusset 近期结果的尖锐推广。
The singularities for a periodic transport equation
本文考虑一类具有非局部通量和分数阶耗散的一维周期迁移方程$$ u_{t}-(Hu)_{x}u_{x}+κΛ^αu=0,\quad (t,x)\in R^{+}\times S, $$，其中$κ\geq0$，$0<α\leq1$和$S=[-π,π]$ .我们首先在$H^{3}(S)$中建立了这个输运方程的时间局域适定性。在$κ=0$情形下，我们推导出从光滑奇初值开始的解在有限时间内将发展为奇性。如果加入弱耗散项$κΛ^αu$，我们也证明了有限时间爆破的发生。
Extreme temporal intermittency in the linear Sobolev transport: almost smooth nonunique solutions
在本文中，我们重新审视的概念的时间不一致性得到尖锐的非唯一性结果的线性迁移方程。我们构造了空间维$d\geq 2$中所有$p<\infty$的具有尖锐Sobolev正则性$L^1_t W^{1,p}$的无发散向量场，其输运方程允许所有$p<\infty$和$k\in \mathbb{N}$的属于$L^p_tC^k$的非唯一弱解.特别地，我们的结果表明DiPerna-Lions理论的唯一性中的时间可积性假设是尖锐的。同样的结果也适用于任意维数$d \geq 2$中具有任意大阶扩散算子的输运扩散方程.
On solutions of the transport equation in the presence of singularities
本文考虑了向量场为$BV$偏离一个集合$S\subset [0,T]\times \mathbb{R}^n$的情况下$[0,T]\times \mathbb{R}^n$上的输运方程。我们证明了解决方案的存在，是唯一的，提供了一组奇点具有足够小的各向异性分形维数和正常的向量场的分量是充分可积附近的奇点。这一结果改进了Ambrosio最近的结果，Ambrosio要求向量场处处有界变化。此外，我们证明，在这些条件下，几乎每一个相关的定期拉格朗日流的轨迹不相交的$S$集的奇点。最后，我们考虑的特殊情况下，初始的一组奇点，演变的时间，所以奇点组成的曲线在相空间，这是典型的应用，如涡动力学。我们证明了输运方程的解的存在性和唯一性，只要奇异点的盒维数是有界的曲线的Hölder指数。
Sharp criteria for the existence of solutions to curvature equations with two singular sources on rectangular torus
本文针对矩形环面上带两个奇异源的曲率方程，通过处理广义Lamé方程Hill判别式的本性奇点，完全确定条件稳定集交集，给出解存在与不存在的尖锐判据。
Stochastic transport equation with singular drift
本文证明了一类奇异向量场中漂移随机迁移方程Cauchy问题弱解的存在性、唯一性和Sobolev正则性，特别是一类奇异向量场，其中包含$L^d$类、弱$L^d$类，以及对于任何$\varepsilon>0$甚至不在$L_{\rm loc}^{2+\varepsilon}$中的向量场.
Singular integrals with angular integrability
本文证明了具有角可积性的加权Lebesgue空间中奇异积分算子的一类尖锐不等式。
Sharp behavior of Dirichlet--Laplacian eigenvalues for a class of singularly perturbed problems
本文研究边界附着细管的Dirichlet特征值问题，通过引入截面扭转刚度，定量刻画了摄动特征值的收敛速率，并推广至边界小部分施加Neumann条件的摄动情形。
Sharp asymptotics for a transport model with a nonlocal condition of the Fisher-KPP type at the boundary
本文针对半平面带Fisher-KPP型非局部边界条件的输运模型，证明初始局化解滞后于最小行波且滞后量随时间对数增长，该模型源于流行病空间传播的Kermack-McKendrick类模型。
Existence of solutions to the fractional semilinear heat equation with a singular inhomogeneous term
本文研究了分数半线性热方程中带有奇异非齐次项的解的存在性，通过建立分数热半群的衰减估计和实插值法，获得了精确的积分估计和存在条件。
Singular multiple integrals and nonlinear potentials
我们证明尖锐的部分正则性准则的非线性潜在的理论性质的Lebesgue-Serrin-Marcellini扩展的非齐次奇异多重积分具有$(p,q)$ -增长条件。
A free boundary singular transport equation as a formal limit of a discrete dynamical system
我们研究连续版本的双曲重新标度的离散游戏，称为开放曼卡拉。由此产生的偏微分方程原来是一个奇异的输运方程，与强迫项采取的值在$\{0,1\}$，和不连续的解决方案本身。我们证明了存在性和唯一性的问题，一定的配方的基础上满足的非局部方程的自由边界划分区域的强迫是一个（活动区域）和区域没有强迫（尾部区域）。几个例子，最值得注意的是黎曼问题，提供了有关奇点形成。有趣的是，该解决方案可以通过一个适当的垂直重排的多功能。此外，PDE承认一个李雅普诺夫泛函。
Sharp nonexistence results for curvature equations with four singular sources on rectangular tori
本文证明了曲率方程\[ Δu+e^{u}=8πnδ_{0}\text{ on }E_τ, \quad n\in\mathbb{N}, \]无解，其中$E_τ$是平坦的矩形环面，$δ_{0}$是格点处的Dirac测度.这证实了\cite{CLW2}中的一个猜想，也改进了Eremenko和Gabrielov \cite{EG}的结果。不存在性是一个微妙的问题，因为如果RHS中的$8πn$被PDMATHAMS和$0<ρ\notin 4\mathbb{N}$取代，方程总是有解。几何上，我们的结果意味着，一个矩形环面$E_τ$允许一个度量与曲率$+1$获得一个圆锥奇点的格点与角度$2πα$当且仅当$α$不是一个奇数。出乎意料的是，我们证明的不存在性的结果是应用谱理论的有限间隙势，或等价的代数几何解的平稳KdV族方程。事实上，我们的证明也可以产生一个尖锐的不存在的曲率方程的奇异源在三个半周期和格点。
Well-posedness of the Deterministic Transport Equation with Singular Velocity Field Perturbed along Fractional Brownian Paths
在这篇文章中，我们证明了路径的唯一性意义下的Davie \cite{Davie07}和Shaubnikov \cite{Shaposhnikov16}的分数布朗运动驱动的Hurst参数$H\in(0,\frac{1}{2})$，一致的初始条件下，漂移向量场被允许只是有界和可测的。利用这个结果，我们构造了具有沿分数布朗路径扰动的奇异速度场的经典迁移方程和连续方程在$W_{loc}^{k,p}\left([0,1]\times\mathbb{R}^d\right)$，$p>d$中的弱唯一正则解.后者的结果提供了一个系统的方法来产生奇异速度场的例子，这不能被DiPerna-Lyons \cite{DiPernaLions89}，Ambrosio \cite{Ambrosio04}或Crippa-De Lellis \cite{CrippaDeLellis08}的正则性理论所处理。\par我们的方法是基于一个先验估计的水平上产生的一系列的软化矢量场，收敛到原来的矢量场，这是均匀的软化参数。此外，我们使用的紧性准则的基础上Malliavin演算\cite{DMN92}以及上确界浓度不等式。\emph{keywords}：输运方程，紧性准则，奇异向量场，噪声正则化。
On linear hypersingular Boltzmann transport equation and its variational formulation
对于带电粒子输运，线性玻尔兹曼输运方程（BTE）是一个偏超奇异积分-微分算子。这是由于相关的微分截面$σ(x,ω',ω,E',E)$可能具有超奇异性的事实。在这些情况下，碰撞项中的能量积分必须解释为Hadamard有限部分积分，从而导致超奇异积分算子。本文考虑了含超奇点的单粒子方程入流初边值问题的精确输运算子和相关变分形式的精化表达式。我们发现，精确的BTE包含部分Hadamard（一阶）奇异积分算子组合的关于能量的一阶偏导数。此外，它还包含了关于角度的二阶偏导数和一些混合项。分析将仅针对所谓的Møller型相互作用（散射）进行，这是一种超奇异相互作用的原型。对于其他类型的碰撞，例如韧致辐射，也可以类似地加以推广。我们还揭示了一个弱形式（变分提法）的超奇异运输问题。另一种变分公式降低了积分中奇点的水平（出现在应有的双线性型中），只包含一阶奇点，即像${1\over{E'-E}}dE' dE$那样的奇点。变分公式化是证明广义解存在性的必要步骤，例如通过基于Lions-Lax-Milgram定理的方法（这里省略了解空间和存在性理论的程序）。导出了相应的近似输运算符。它是一个CSDA-Fokker-Planck型算子。
Sharp discrete isoperimetric inequalities in periodic graphs via discrete PDE and Semidiscrete Optimal Transport
我们开发标准的基础上通过离散PDE和半离散最佳运输的校准参数，寻找尖锐的等周不等式的形式$(\sharp Ω)^{d-1} \le C (\sharp \overrightarrow{\partialΩ})^d$其中$Ω$是一个图的顶点的子集和$\overrightarrow{\partialΩ}$是定向边边界的$Ω$，以及最佳等周形状$Ω$。该方法是一个离散对应的最优输运和ABP方法证明有效的连续，并回答了一个问题出现在Hamamuki \cite{hamamuki}，延长工作有效的矩形网格，一个更大的类的图形，包括图双等体积的单纯网格。我们还将这个问题的理论Voronoi镶嵌和Aleksandrov解决方案从半离散最优输运。几何算术不等式的作用，在以前的作品中使用的连续体的情况下，在$\mathbb Z^d$-图的情况下，现在发挥的几何细胞优化常数，其中的最优化问题就像在闵可夫斯基的证明他的经典定理凸多面体。最后，我们研究了相关的离散Neumann边界问题的最佳常数，并提出了一系列可能的方向，进一步分类的离散边等周常数和形状。
Noise Prevents Singularities in Linear Transport Equations
研究了一类带乘性噪声的随机线性迁移方程的不爆破问题。假定漂移仅可积到某个幂。相反的确定性的情况下，光滑的初始条件可能会发展不连续性，我们证明了一定的Sobolev程度的正则性保持，这意味着Hölder连续的解决方案。证明是基于对相关的随机流特性的仔细分析。
On sharp singular Moser-Trudinger type inequalities and applications to zero mass $(p,Q)$-Laplace subelliptic equations in the Heisenberg group
本文在Heisenberg群中建立尖锐奇异Moser-Trudinger型不等式，分析其等价性，运用山路定理证明零质量(p,Q)-Laplace次椭圆方程正基态解的存在性。
Sharp global Alexandrov estimates and entire solutions of Monge-Ampère equations
本文研究了Monge-Ampère方程整个解的精确Alexandrov估计及质量分离条件，揭示了凸函数与单模凸二次多项式的关系及渐近刚性特性。
Weighted Gagliardo-Nirenberg inequalities via Optimal Transport Theory and Applications
本文基于最优传输理论在 $\mathbb R^n$ 的开凸锥上证明了三加权 Gagliardo-Nirenberg 不等式，显式计算了等权情形的尖锐常数并刻画了极值函数，进而推导出尖锐的加权 $p$-log-Sobolev、Faber-Krahn 和等周不等式。
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