发表机构
University of California, Santa Barbara（加州大学圣塔芭芭拉分校）
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本文通过凸积分构造了一维周期三次非线性薛定谔方程的奇异解，证明其在 $H^{1/6}(\mathbb T)$ 阈值下的强非唯一性，补充了该方程奇异解的相关理论结果。
AI 中文摘要
我们通过凸积分方法构造了一维周期三次非线性薛定谔方程的一个非零奇异弱解，该解在时间上紧支、初始数据为零，且满足 $u\in\bigcap_{\alpha<1/6} C_t^0 H_x^\alpha \cap \bigcap_{1\leq p<3} C_t^0 L_x^p$。该构造改编自Gismondi、Ma、Pathak和Radu的间歇平板基元。对于完整的三次非线性薛定谔方程，由非线性项产生的空间常数分量无法被舍弃。我们通过双载波扰动克服了这一零输出阻碍：其唯一的零载波、零平板输出相互作用重现了全部旧误差，包括零傅里叶模式，而其余相互作用在负维纳范数下是微扰的。非线性项通过带符号的绝对傅里叶可和性条件定义，是所有容许傅里叶截断生成的共同极限。当奇异解属于 $C_t^0 L_x^3$ 时，该非线性项与普通乘积 $|u|^2u$ 一致。由于 $H^{1/6}(\mathbb T)\hookrightarrow L^3(\mathbb T)$，且Guo、Kwon和Oh的结果表明在 $C_t^0 H_x^{1/6}$ 中存在无条件唯一性，因此在本文考虑的奇异解类中，阈值 $1/6$ 是最优的。
英文摘要
We construct by convex integration a nonzero singular weak solution of the one-dimensional periodic cubic nonlinear Schrödinger equation that is compactly supported in time, has zero initial datum, and satisfies \[ u\in\bigcap_{α<1/6} C_t^0 H_x^α\cap \bigcap_{1\leq p<3} C_t^0 L_x^p. \] The key new ingredient is a two-carrier perturbation: its zero-output interaction cancels the previous error, without introducing any zero Fourier mode, which is crucial in the cubic NLS. Whenever a singular solution belongs to \(C_t^0L_x^3\), this nonlinearity agrees with the ordinary product \(|u|^2u\). Together with unconditional uniqueness at \(H^{1/6}\), this makes the threshold sharp within the singular solution class considered here.
Comments29 pages
