Elliptic hypergeometric functions
V. P. Spiridonov
这是一个简要概述的地位理论的椭圆超几何函数到2012年底写的补充章节，俄罗斯版的书由G. E.安德鲁斯河，巴西-地Askey和R.李文，特殊函数，数学应用，第71期，北京：清华大学出版社，1999年。
This is a brief overview of the status of the theory of elliptic hypergeometric functions to the end of 2012 written as a complementary chapter to the Russian edition of the book by G.E. Andrews, R. Askey, and R. Roy, Special Functions, Encycl. of Math. Appl. 71, Cambridge Univ. Press, 1999.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Multidimensional Matrix Inversions and Elliptic Hypergeometric Series on Root Systems
多维矩阵求逆是研究多重超几何级数的有力工具。为了将这一技巧推广到椭圆超几何级数，我们提出了三个新的多维矩阵求逆。作为应用，我们得到了一个新的$A_r$椭圆Jackson求和公式，以及几个二次、三次和四次求和公式.
Determinants of elliptic hypergeometric integrals
我们从解释的$BC_2$ -对称的“I型”（椭圆狄克逊）椭圆超几何积分评价作为一个公式的一个Casoratian椭圆超几何方程，并给出了一个扩展到高维积分和高阶超几何函数。这使我们能够证明相应的椭圆β积分和转换公式在一个新的方式，通过证明双方满足相同的差分方程，和差分方程满足伽罗瓦理论条件，确保唯一性的同时解决方案。
Transformations of hypergeometric elliptic integrals
本文对具有局部指数差的高斯超几何函数的代数变换进行了分类：$(1/2,1/4,1/4)$、$(1/2,1/3,1/6)$和$(1/3,1/3,1/3)$。这些形成了一类特殊的代数变换的高斯超几何函数，任意高的程度。高斯超几何函数可以表示为亏格为1的曲线$y=x^3-x$或$y=x^3-1$上的椭圆积分。特别有趣的是代数变换的超几何函数到自己的，这些转变来自同源的各自的椭圆曲线。
Duality transformation formulas for multiple elliptic hypergeometric series of type $BC$
对$BC$型和$C$型多重椭圆超几何级数提出了新的对偶变换公式.作为特殊情况，导出了各种变换和求和公式，以恢复一些已知的结果。
Basic Hypergeometric Functions as Limits of Elliptic Hypergeometric Functions
我们描述了一个统一的方法来获得基本的超几何函数作为极限的椭圆β积分。这种描述产生了一个多面体的建设与不同的基本超几何函数附加到这个多面体的每个面。我们可以随后得到的各种关系，如变换和三项关系，这些功能，通过考虑几何性质的这个多面体。我们用这种方法描述的最一般的函数是两个非常平衡的${}_{10}ϕ_9$和它们的Nassrallah-Rahman型整表示的和。
Elliptic Hypergeometric Solutions to Elliptic Difference Equations
它示出了如何定义差分方程上的特定格$\{x_n\}$，$n\in\mathbb{Z}$，由一个椭圆函数的值在一个序列的参数在等差数列（椭圆格）。特殊差分方程的解具有显著的简单插值展开式。这里只考虑一阶线性差分方程。
An elliptic hypergeometric beta integral transformation
本文证明了一个新的椭圆超几何积分恒等式。它以前出现（作为一个猜想）在文章中由雨，Spiridonov和Vartanov。此外，它在Rains的另一篇文章中给出了一个不同的身份证明。我们也给出了这个恒等式的一些基本的超几何极限和经典极限。经典极限给出了塞尔伯格积分的推广之间的身份（一些已知的，一些新的）。
An elliptic hypergeometric integral with W(F_4) symmetry
本文给出了椭圆超几何β积分之间的一个新的变换，它产生了F_4型的外尔群对称性。该变换是Langer、Schlosser和Warnaar发现的级数变换的推广。此外，我们考虑各种限制的基本超几何函数，使p趋于0的这种转换。
Limits of elliptic hypergeometric integrals
在数学QA/0309252中，作者证明了一些多元椭圆超几何积分。本说明的目的是更仔细地探讨存在的各种极限情况（双曲，三角，理性和经典）。特别是，我们表明（使用一些新的估计广义Γ函数），双曲积分（以前被视为纯粹的形式限制）确实是极限情况。我们还获得了一些新的三角（q-超几何）积分恒等式的限制，从椭圆水平。
The Elliptic Hypergeometric Functions Associated to the Configuration Space of Points on an Elliptic Curve I : Twisted Cycles
我们考虑椭圆曲线上点的位形空间的Euler型积分，它是射影直线上点的位形空间的超几何函数的一个类似。我们计算{ \it扭同调群}，在局部系统中的系数与椭圆函数$g$的幂函数$g^α$，和交叉形式。应用这些计算，我们描述了{ \it连接矩阵}表示的线性同构引起的解析延拓的功能定义的积分的$g^α$扭曲的循环。
More basic hypergeometric limits of the elliptic hypergeometric beta integral
在本文中，我们继续arXiv：0902.0621的工作。在这篇文章中，埃里克·雷恩斯和本作者认为极限的椭圆β积分为p->0，而参数t_r有一个p-依赖的形式t_r=u_rp^{α_r}（对于固定的u_r和某些实数α_r）。在这篇文章中，我们再次考虑这样的限制，但是现在我们让p->0沿着等比数列p=xq^{sk}（对于某个整数s，而k -> \infty），并且只允许α_r \in 2/s Z。这些选择允许我们采取更多的限制。特别地，我们现在还获得了双边基本超几何级数作为可能的极限，例如非常平衡的{}_6 <$_6的求值公式。
Two multivariate quadratic transformations of elliptic hypergeometric integrals
EricRains在“EllipticLittlewood恒等式”中利用被积函数与插值函数相乘的方法，给出了多元椭圆超几何函数之间的几个二次变换。本文在插值函数为常数的情况下证明了其中的两个猜想，并得到了第三个猜想作为推论。另外两个方程的椭圆Selberg积分与10个参数，其中两个乘以pq/t，给出，因为他们需要在证明。证明基本上包括一个计算串在一起的许多椭圆狄克逊变换。在产品轮廓不存在的情况下使用Fubini进行了一些说明。
Elliptic hypergeometric functions: integrals versus series
本文研究椭圆超几何函数，将椭圆贝塔积分表示为无穷级数组合，并讨论其收敛性及终止级数的渐近行为。
Limits of elliptic hypergeometric biorthogonal functions
本文的目的是给（基本）超几何双正交系，特别是基本超几何正交多项式的q-Askey方案带来结构。我们的目标是实现这一目标，通过寻找在极限为p->0的椭圆超几何双正交函数Spiridonov，与参数依赖于在不同的方式对p.作为结果，我们得到38个系统的双正交函数与每个系统至少有一个明确的措施的双线性型。其中，我们确实恢复了q-Askey方案。每个系统由（基本超几何的）有理函数或多项式组成。
Theta hypergeometric series
本文给出了由Jacobi θ函数构造超几何型级数的一般原理，推广了普通的和基本的超几何级数。详细讨论了单变量和多变量椭圆超几何级数。证明了单变量全椭圆超几何级数的一个特征定理。
Summation formulae for elliptic hypergeometric series
证明了椭圆超几何级数的几个新恒等式。值得注意的是，其中一些是基本超几何级数的恒等式的椭圆模拟，这些恒等式是平衡的，但不是很平衡。
Elliptic hypergeometric terms
描述了多元平面项、q-超几何项和一元椭圆超几何项的一般结构。一些明确的例子，导致多维积分的根系，无论是可计算的或服从非平凡对称变换的全椭圆超几何项。
Limits of multivariate elliptic hypergeometric biorthogonal functions
在这篇文章中，我们推广了我们的文章“椭圆超几何双正交函数的极限”的结果到多元设置。在这篇文章中，我们确定了哪些家庭的双正交函数出现的限制，从椭圆超几何双正交函数从Spiridonov当p-> 0。本文证明了第二作者提出的多元BC_n型双正交函数的极限分类与单变量分类是一致的。也就是说，对于每个单变量极限家庭存在一个多变量的扩展，特别是我们得到的所有元素的q-Askey计划的多变量版本。对于阿斯基-威尔逊多项式，这些是Koornwinder多项式，和帕斯特罗多项式的多变量版本形成一个双参数家庭，其中包括麦克唐纳多项式。
Recurrences for elliptic hypergeometric integrals
在最近关于多元超几何积分的工作（math.QA/0309252）中，作者将van Diejen和Spiridonov的一个积分公式推广为在外尔群E_7作用下可证不变的十参数积分。本文考虑仿射外尔群的作用，更确切地说，考虑积分的特殊情形所满足的递归性。这有两种口味：线性递归，只保持到6维，和三个家庭的双线性递归，保持在任意维，受一个条件的参数。作为推论，我们发现，余维的一个特殊情况下的积分是一个tau函数的椭圆Painlevé方程。
Elliptic functions from hypergeometric integrals
作为对拉马努金理论的贡献，椭圆函数的替代基地，李坚沉已表明如何类似的雅可比椭圆函数可能来自不完全超几何积分的签名三和四。我们确定精确的签名中的雅可比类似物或他们的平方确实是椭圆形的。
Properties of generalized univariate hypergeometric functions
基于Spiridonov对Gauss超几何函数的椭圆推广的分析，我们建立了一个7参数广义椭圆、双曲和三角一元超几何函数族的通用框架.在每一种情况下，我们使用适当的Nassrallah-Rahman β积分形式导出E_7型（椭圆、双曲）和E_6型（三角）外尔群下广义超几何函数的对称性，并使用θ函数和正弦函数的基本加法公式导出邻接关系。分别用Ruijsenaars的相对论性超几何函数和Askey-Wilson函数证明了双曲和三角超几何函数的顶层退化.我们表明，退化过程产生各种新的和已知的身份双曲和三角特殊函数。我们还描述了一个密切的双曲和三角理论之间的联系，这产生了一个双曲超几何函数的表达作为一个明确的双线性和三角超几何函数。
Felder's elliptic quantum group and elliptic hypergeometric series on the root system A_n
我们引入了椭圆6 j-符号的推广，它可以被解释为费尔德椭圆量子群的余表示之间的交织矩阵元素。对于特殊的参数值，可以用与根系A_n有关的多元椭圆超几何级数表示。作为结果，我们得到了新的双正交关系，这样的系列。
Elliptic hypergeometric series on root systems
本文导出了椭圆超几何级数在根系A_n，C_n和D_n上的一些求和公式和变换公式。在经典和q-级数的特殊情况下，我们的方法导致相应的身份新的初等证明。
Monotonicity Properties of Gaussian Hypergeometric Functions with Respect to the Parameter
建立了高斯超几何函数与初等函数的某些组合在参数上单调的充要条件，推广了Qiu等人关于第一类和第二类广义椭圆积分的最新结果，并从另一个角度证明了广义椭圆积分的两个单调性定理.
Multiple elliptic hypergeometric series --An approach from the Cauchy determinant--
研究了椭圆型超几何级数的多重推广，提出了多重超几何级数的对偶变换。本文利用Weierstrass σ函数的Cauchy行列式公式中的一个恒等式，通过特殊形式的特殊化，得到对偶变换.
Rarefied elliptic hypergeometric functions
证明了与最简透镜空间有关的多重稀疏椭圆β积分的两个精确计算公式。他们概括了评价的I型和II型椭圆β积分附加到根系$C_n$。在一个特殊的$n=1$情形下，证明了最简单的$p\to 0$极限导致了一类新的$q$ -超几何恒等式.描述了欧拉-高斯超几何函数的一个稀疏椭圆模拟的对称性，并构造了相应的超几何方程的推广。后一个功能的$C_n$和$A_n$根系和相应的对称变换被认为是一些扩展。简要讨论了稀疏II型$C_n$椭圆超几何函数在某些本征值问题中的应用。
Continuous biorthogonality of the elliptic hypergeometric function
本文构造了一类与高斯超几何函数的椭圆型类似物有关的连续双正交函数族。其中的关键工具是作者在前面介绍的椭圆型Beta积分和积分Bailey链。Sklyanin代数和椭圆类似物的Faddeev模双的关系进行了详细讨论。
New transformations for elliptic hypergeometric series on the root system An
最近，Kajihara给出了一个Bailey型变换，它将不同维数n的根系An上的基本超几何级数联系起来.我们给，一个新的，基本的，证明，一个椭圆形模拟这个变换。我们还得到进一步的Bailey型变换作为我们的结果的后果，其中一些是新的情况下，也基本和经典的超几何级数。
An Isomonodromy Interpretation of the Hypergeometric Solution of the Elliptic Painlevé Equation (and Generalizations)
我们构造了一族二阶线性差分方程，其参数由椭圆型Painlevé方程（或高阶类似物）的超几何解决定，并允许一族保持单值的变形.解决方案是某些半经典双正交函数（及其柯西变换），双正交的高阶类似物Spiridonov的椭圆β积分。
Aspects of elliptic hypergeometric functions
一般椭圆超几何函数由椭圆超几何积分定义。它们包括椭圆β积分，椭圆类似物的欧拉-高斯超几何函数和Selberg积分，以及椭圆扩展的许多其他平原超几何和$q$ -超几何建设。特别是，贝利链技术，用于证明罗杰斯-拉马努金型身份证，已被推广到积分。在椭圆的水平上，它产生一个解决方案的杨-巴克斯特方程作为一个积分算子与椭圆超几何内核。我们简要介绍了这一领域的发展情况。
Theta Functions, Elliptic Hypergeometric Series, and Kawanaka's Macdonald Polynomial Conjecture
我们给出了一个新的θ-函数恒等式，并利用它的一个特例证明了Kawanaka的Macdonald多项式猜想。θ-函数恒等式进一步给出了多元椭圆超几何级数的一个变换公式，即使在一元基本情形下，这个公式也是新的。
Elliptic Hypergeometric Laurent Biorthogonal Polynomials with a Dense Point Spectrum on the Unit Circle
利用椭圆Frobenius行列式的技巧，构造了$QD$ -算法的新的椭圆解.这些解也可以解释为离散时间Toda链的椭圆解。作为副产品，我们得到了新的显式正交和双正交多项式的椭圆超几何函数${_3}E_2(z)$。它们的递推系数用椭圆函数表示。在退化情形下，我们得到Krall-雅可比多项式及其双正交类似。
Essays on the theory of elliptic hypergeometric functions
本文对数学物理中一类新的特殊函数--椭圆超几何函数理论的主要结果作了简要的回顾。证明了推广欧拉β积分的最一般的一元精确积分公式，称为椭圆β积分。本文构造了高斯超几何函数的一个椭圆模拟及其椭圆超几何方程，并描述了该函数及其特殊子情形的双正交关系。我们列出已知的椭圆β积分的根系，并考虑对称变换为相应的椭圆超几何函数的高阶。
On Warnaar's elliptic matrix inversion and Karlsson-Minton-type elliptic hypergeometric series
利用Krattenthaler算子方法，给出了Warnaar对Krattenthaler的矩阵求逆的近期椭圆扩张的一个新的证明.进一步，利用与Warnaar反演密切相关的θ函数恒等式，导出了Karlsson-Minton型椭圆超几何级数的求和与变换公式.一个特殊的情况下产生一个特定的总和，被用于Warnaar推导二次，三次和四次变换的椭圆超几何级数。本文从另一个θ函数恒等式出发，导出了Karlsson-Minton型椭圆超几何级数的不同求和与变换公式。这些后者的身份似乎很不寻常，似乎是新的已经在三角（即，p=0）情况下。
Elliptic Hypergeometric Summations by Taylor Series Expansion and Interpolation
利用椭圆泰勒级数的展开和插值方法，导出了椭圆超几何级数的一些求和式。我们扩展到良好的平衡椭圆形的情况下，在$q$的情况下，以前已经获得了库珀和伊斯梅尔和斯坦顿的结果。我们还提供了涉及S的恒等式。Bhargava的三次θ函数。
Infinite elliptic hypergeometric series: convergence and difference equations
本文研究 theta 与椭圆超几何级数的无穷阶差分方程、解空间及收敛条件，将 Hardy–Littlewood 判据推广至椭圆情形。
The Determinant of an Elliptic Sylvesteresque Matrix
我们评估的行列式矩阵的条目是椭圆超几何的条款，其形式是让人想起西尔维斯特矩阵。一个超几何行列式评价矩阵的这种类型已经出现在背景下的逼近论，在工作冯，Krattenthaler和徐。我们的行列式求值是其求值的椭圆扩展，它有两个额外的参数（除了在椭圆超几何项中发现的基$q$和名$p$）。我们还扩展到一个公式的评价转换成另一个椭圆形行列式的倍数的椭圆形行列式。这种转换还有两个参数。行列式求值和变换公式的证明需要Warnaar的椭圆行列式引理，以及Frenkel和Turaev的$_{10}V_9$求和公式和$_{12}V_{11}$变换公式（Warnaar，Rosengren，Rains，Coskun和Gustafson的结果）的两个$C_n$椭圆公式的应用.
Classical elliptic hypergeometric functions and their applications
概述了椭圆超几何级数和椭圆积分的一般理论。主要注意力是服从“经典”特殊函数的性质的例子。特别地，描述了高斯超几何函数的椭圆模拟及其一些性质。目前的审查是基于作者的historical论文[Spi7]包含更详细的说明的主题。
Elliptic Hypergeometric Functions
在这些课堂讲稿中，我将对椭圆超几何函数进行初步的介绍。我专注于激发主要思想和结构，而不是给出一个全面的调查。讲座包括在可解晶格模型的背景下椭圆超几何函数的历史起源的简要解释。特别地，我给出了一个新的证明的事实，即融合玻尔兹曼重量的椭圆固体上固体模型可以表示为椭圆超几何和。
Gustafson-Rakha-Type Elliptic Hypergeometric Series
本文证明了由Spiridonov证明的Jackson求和公式的一个多元椭圆推广。这个结果的三角极限情况是由于古斯塔夫森和Rakha。作为应用，我们得到了两个进一步的多变量椭圆Jackson求和和两个多变量椭圆Bailey变换。后四个结果即使在三角函数的情况下都是新的。
New hypergeometric formulae to $π$ arising from M. Roberts hyperelliptic reductions
在这篇文章中，我们开发了一个特殊的主题，我们的纯数学论文有关的超几何理论。基于超椭圆积分到椭圆积分的Roberts约化方法及其多元超几何级数的同时求值，得到了用椭圆函数、超几何函数和Γ函数的特殊值表示$π$的几个恒等式.通过它们，$π$可以通过仅一个或两个参数以及通过虚数单位来提供。在任何情况下，这样的结果，所有未发表的和令人信服的新的，将提供，超越自己的美丽，一个有用的工具，以检查例程（或多或少天真），其中一个可以建立的实际计算劳里切拉的职能经常遇到的研究力学或弹性。
Introduction to the theory of elliptic hypergeometric integrals
我们简要介绍了椭圆超几何积分的关键性质-一个相对最近发现的超几何型超越特殊函数的顶级类。特别地，我们描述了Euler和Selberg的β积分的椭圆推广，Euler-Gauss超几何函数的椭圆模拟和根系上的一些多元椭圆超几何函数。椭圆傅立叶变换和相应的积分Bailey引理技术概述连同连接到一个置换群的星形三角关系和Coxeter关系。我们还回顾了椭圆超几何积分作为四维超对称量子场论的超共形指数的解释及其在Seiberg型对偶中的应用。
Coxeter Symmetry in Hypergeometric Functions and Elliptic Integral Moments
本文建立超几何框架，利用$W(D_5)$对称性统一推导椭圆积分矩、调和和及特殊值恒等式，揭示其共同对称性来源。
Theta hypergeometric integrals
本文定义了一类与Jacobi θ函数有关的超几何型（重）积分。这些积分通过留数演算与θ超几何级数相联系。在单变量情形下，得到Meijer函数的θ函数扩张.描述了与根系$A_n$和$C_n$有关的椭圆β积分[S2]的若干多重推广。一些$C_n$ -例子是由van Diejen和作者早先提出的，但其他积分是新的。与椭圆β积分的双正交关系的一个例子被认为是详细的。
Elliptic hypergeometric function and $6j$-symbols for the SL(2,$\mathbb{C}$) group
证明了描述$SL(2,\mathbb{C})$群的$6j$ -符号的复超几何函数是$V$ -函数的一种特殊退化--它是Euler-Gauss $_2F_1$超几何函数的一个椭圆模拟.对于这个函数，我们得到了混合差分递归关系作为椭圆超几何方程的极限形式和一些对称变换。在计算的中间步骤，出现了一个函数描述的$6j$ -符号的Faddeev模倍和相应的差分方程和对称变换。
Expansion formulas for elliptic hypergeometric series
本研究提出一种沿良配Bailey引理思路获取椭圆超几何级数展开公式的替代方法，复现已有结果并得到1个新展开公式，进而推导出19个新变换公式，这些公式在p=0的基本超几何情形下也属全新。
Landen inequalities for zero-balanced hypergeometric functions
对于零平衡的高斯超几何函数$ F(a,b;a+b;x),$ $a,b>0,$，我们确定最大区域的$ab$平面，著名的兰登身份的第一类完整的椭圆积分打开各自的不等式有效的每个$x\in (0,1)$。因此，一个令人疲惫的答案是一个开放的问题。
Summations and transformations for multiple basic and elliptic hypergeometric series by determinant evaluations
利用多重q-积分和行列式估计，我们建立了Bailey无限10-phi-9变换的多变量扩展。从这个结果出发，我们推出了新的多元终止10-phi-9变换，8-phi-7求和和其它恒等式。我们也使用类似的方法来获得新的多变量1-psi-1求和。我们的一些结果被推广到椭圆超几何级数的情形。
Elliptic hypergeometric functions
这是作者的Happiness Thesis（Dr. Sci.论文）于2004年9月初提交。它是用俄语写的，由于不断有人要求提供手稿，所以才贴在网上。内容：1.第二章介绍。具有离散时间的非线性链及其自相似解，3。一般理论的θ超几何级数，4。Theta超几何积分，5。双正交函数，6. |q| =1，7的椭圆超几何函数。结论，8.参考资料。它包含了一个大纲的一般启发式计划建设单变量特殊函数通过自相似减少频谱变换链，允许建设的微分差分q-Painleve方程，以及最普遍的已知一套椭圆双正交函数，包括所有经典的正交多项式和双正交有理函数。本文的主要结果之一是发现了由椭圆超几何积分决定的真超越椭圆超几何函数。这种积分的整个理论可以建立从单变量椭圆β积分-最复杂的已知定积分与精确的评价，它推广了普通二项式定理及其q-扩展，欧拉的β积分，措施阿斯基威尔逊多项式，和许多其他先前建立的结果对普通和q-超几何函数。
Jacobian elliptic Kummer surfaces and special function identities
利用有理基变换和二次扭曲，从极值有理椭圆曲面出发，得到了两条非等距椭圆曲线的Kummer曲面上所有不等价Jacobian椭圆纤维化的构造公式.然后，我们表明，每个这样的分解产生的描述的Picard-Fuchs系统满足的全纯两个形式的周期，无论是张量积的两个高斯超几何微分方程，Appell超几何系统，或GKZ微分系统。由于答案必须是独立的纤维化使用，身份有关的微分系统得到。它们包括一个新的身份有关Appell的超几何系统的产品的两个高斯超几何微分方程的三次变换。
Elliptic hypergeometric functions associated with root systems
本文综述了与根系相关的椭圆超几何函数，主要包括三个部分。前两个形式在本质上是一个注释表的主要评价和转换公式椭圆超几何积分和系列的根系。第三部分也是最后一部分介绍了雷恩斯的椭圆Macdonald-Koornwinder理论（部分也是由Coskun和Gustafson发展的）。
Turán-Type Inequalities for Gaussian Hypergeometric Functions, and Baricz's Conjecture
本文作者用多种方法推翻了Baricz于2007年提出的关于Gaussian超几何函数的Turán型不等式猜想，并提出了该函数的Turán型双重不等式及第一类完全和广义椭圆积分的精确界。
Complex hypergeometric functions and integrable many-body problems
本文将椭圆超几何方程一般化为复超几何函数。导出的方程推广到新的有理可积$N$体系统的哈密顿本征值问题出现从特定退化的椭圆Ruijsenaars和van Diejen模型。
On the interplay among hypergeometric functions, complete elliptic integrals, and Fourier-Legendre expansions
受我们以前关于超几何函数和parbelos常数的工作的启发，我们对广义完全椭圆积分、Fourier-Legendre（FL）级数展开和${}_p F_q$级数之间的相互作用进行了更深入的研究。我们通过使用如下概述的积分方法，为涉及调和数的新级数产生新的超几何变换和封闭形式的求值：让$K$表示第一类完全椭圆积分，对于合适的函数$g$，我们以两种不同的方式求值积分，例如$$ \int_{0}^{1} K\left( \sqrt{x} \right) g(x) \, dx $$：（1）通过将$K$展开为麦克劳林级数，可能在变换或变量变换之后，然后逐项积分;以及（2）通过将$g$展开为移位FL级数，然后逐项积分。使这两种方法产生的表达式相等通常会给我们新的封闭形式的求值，如在包含Catalan常数$G$ $$ \sum _{n = 0}^{\infty } \binom{2 n}{n}^2 \frac{H_{n + \frac{1}{4}} - H_{n-\frac{1}{4}}}{16^{n} } = \frac{Γ^4 \left(\frac{1}{4}\right)}{8 π^2}-\frac{4 G}π,$$ $$ \sum _{m, n \geq 0} \frac{\binom{2 m}{m}^2 \binom{2 n}{n}^2 }{ 16^{m + n} (m+n+1) (2…
Asymptotic approximations for the first incomplete elliptic integral near logarithmic singularity
我们找到两个收敛级数展开勒让德的第一不完全椭圆积分$F(λ,k)$的递归计算初等函数。这两种展开式在单位正方形$0<λ,k<1$的每一点上都有效。截断展开式产生$F(λ,k)$的渐近近似，因为$λ$和/或$k$趋于1，包括从任何方向接近对数奇点$λ=k=1$的情况。在每一个近似阶给出了显式的误差界。为了读者的方便，我们提出了明确的表达低阶近似和数值例子来说明其准确性。我们的推导是基于重排的一些已知的二重级数展开，超几何求和算法和不等式的超几何函数。
An extended scheme of classical special functions
本文提出一个统一的超几何型经典特殊函数扩展方案，扩展了 Askey 方案及其 q-类似，顶层包含由椭圆超几何级数构成的双正交函数，并将复超几何函数纳入其中。
Elliptic hypergeometric sum/integral transformations and supersymmetric lens index
我们证明了一对转换公式的多元椭圆超几何和/积分相关的$A_n$和$BC_n$根系，推广以前得到的公式雨。和/积分表示在透镜椭圆伽玛函数，椭圆伽玛函数的推广，取决于一个额外的整数变量，以及一个复杂的变量和两个椭圆诺姆。作为我们结果的应用，我们证明了一对四维$\mathcal{N}=1$超对称规范理论的$S^1\times S^3/\mathbb{Z}_r$超对称指数之间的一个等式，其中规范群为$SU(n+1)$和$Sp(2n)$ .这提供了迄今为止已知的对塞贝格对偶性的最精细的检验之一。作为$A_n$积分的另一个应用，我们证明了第二作者以前给出的统计力学二维可积格点模型的一个星-星关系.
Limits of multivariate elliptic beta integrals and related bilinear forms
本文考虑椭圆Selberg积分，它是椭圆Beta积分的BC_n对称多元延拓.我们将得到的极限分类为p->0，对于给定的参数行为，分类为p->0。因此，这篇文章是我们早期论文“基本超几何函数作为椭圆超几何函数的极限“的多元版本。椭圆Selberg积分的被积函数是第二作者引入的BC_n对称双正交函数的测度，因此我们也考虑了相应的双线性型的极限。我们还提供了这个双线性型，这是一个多变量扩展的Frenkel-Turaev求和的离散版本的限制。
A classification of coverings yielding Heun-to-hypergeometric reductions
Heun和Gauss超几何方程之间的拉回变换给出了Heun函数在更好理解的超几何函数方面的有用表达式。本文分类，莫比乌斯自同构，覆盖P1到P1，产生拉回变换从超几何Heun方程至少有一个自由参数（不包括情况下，涉及的超几何方程有循环或二面角单值）。在所有，61参数hypergeometric-to-Heun变换被发现，最大程度的12。其中，28个拉回是超几何函数和Heun函数之间的较小次数变换的组合。61个变换由48个不同的Belyi覆盖实现（尽管2个覆盖应该计数两次，因为它们的模域是二次的）。同样的Belyi覆盖物出现在其他几个环境中。例如，38个覆盖出现在Herfutner的列表中的椭圆曲面P1与四个奇异纤维，作为其j-不变量。顺便说一下，我们展示了一种优雅的方法来证明不存在具有某些分支模式的覆盖P1-to-P1。
Complex and rational hypergeometric functions on root systems
本文研究了根系统上椭圆超几何积分的新极限，通过准周期退化获得可精确求值的复 beta 积分，证明了非紧自旋链理论中的 Derkachov--Manashov 猜想，并导出了有理函数积分之和的新超几何恒等式。
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