Hypergeometric Functions II (q-analogues)
这是一份手写手稿的打印版本，由伊恩·G·史密斯完成。1987年或1988年的麦克唐纳。它是“超几何函数I”手稿的续篇。“这两份手稿是非常非正式的工作文件，从未打算正式出版。尽管如此，手稿的副本已经广泛流传，在随后的25年中引起了相当多的引用。因此，似乎有理由使手稿提供给整个数学界。作者善意地允许将打印版本张贴在arXiv上。
2013-09-23 math.CA math.CO math.QA
A Characterization of Macdonald's Jack Hypergeometric Series ${}_pF_q(x;α)$ and ${}_pF_q(x,y;α)$ via Differential Equations
本文通过构造三个显式偏微分算子，确定了刻画 Macdonald 多变量 Jack 超几何级数的偏微分方程，回答了 Macdonald 提出的问题，并证明了相关级数解的唯一性。
2025-10-13 math.CA math.CO math.PR
The Opdam-Cherednik kernel is the Laplace transform of a positive measure
Institute of Mathematics, Academia Sinica（中央研究院数学研究所）；Department of Mathematics, Rutgers University（罗格斯大学数学系）
本文证明Opdam-Cherednik核可表示为支撑在其参数Weyl群轨道凸包上的正测度的拉普拉斯变换，从而三角Dunkl交织算子保持正性。
2026-06-16 math.CA math.CO math.RT
Transformation formulae for multivariable basic hypergeometric series
本文研究与（$A$型）Macdonald多项式相关的多元（双边）基本超几何级数.我们得到了这类级数的几个变换和求和性质，包括Heine的${}_2ϕ_1$变换，$q$ -Pfaff-Kummer和欧拉变换，$q$ -Saalschütz求和公式和Sear的终止平衡${}_4ϕ_3$级数的变换.对于双边级数，我们重新推导了${}_1ψ_1$求和公式的Kaneko类比，并给出了Bailey ${}_2ψ_2$变换的多元推广.
1998-03-30 math.CA math.QA
Convergence of Magnus integral addition theorems for confluent hypergeometric functions
在1946年，马格努斯提出了一个补充定理汇合型超几何函数的第二类$U$与参数$x+y$表示为一个积分的产品的两个$U$的，一个与参数$x$和另一个与参数$y$。我们利用最近获得的渐近性$U$与大复杂的第一个参数，以确定一个域的收敛Magnus的结果。利用著名的特殊化$U$，我们得到相应的积分加法定理与精确的收敛域的修改抛物柱面函数，和Hankel，Macdonald，和贝塞尔函数的第一和第二类零和一阶。
2016-01-11 math.CA
Elliptic Littlewood identities
我们证明类似物的椭圆插值函数的麦克唐纳版本的Littlewood身份（斜）麦克唐纳多项式，在这个过程中发展的解释一般椭圆形的“超几何”和斜插值函数。一个这样的模拟有一个解释为“消失积分”，概括了arXiv：maths/0606204的结果;这个模拟的结构提供了足够的洞察力，使我们能够推测arXiv：maths/0606204的大多数其他消失积分的椭圆版本。因此，我们得出了十个猜想，每个猜想都可以被视为多元二次变换，并且可以在许多特殊情况下得到证明。
2012-03-01 math.CA math.CO
Properties of some families of hypergeometric orthogonal polynomials in several variables
极限情况下研究的Koornwinder-Macdonald多变量推广的Askey-Wilson多项式。我们恢复最近，而不是最近推出的家庭超几何正交多项式在多变量威尔逊，连续哈恩和Jacobi型多项式组成的几个变量，分别。对于每一类多项式，我们提供系统的差异（或微分）方程，递归关系，并表示为规范的多项式的规范方面的常数多项式。
1996-04-03 math.CA math.QA q-alg
Elliptic hypergeometric functions associated with root systems
本文综述了与根系相关的椭圆超几何函数，主要包括三个部分。前两个形式在本质上是一个注释表的主要评价和转换公式椭圆超几何积分和系列的根系。第三部分也是最后一部分介绍了雷恩斯的椭圆Macdonald-Koornwinder理论（部分也是由Coskun和Gustafson发展的）。
2019-02-14 math-ph math.CA math.CO
In Praise of an Elementary Identity of Euler
我们调查的应用程序的一个基本身份所使用的欧拉在他的证明之一的五边形数定理。使用一个适当的重新制定的版本，这个身份，我们称之为欧拉的望远镜引理，我们给所有的关键求和定理的替代证明终止超几何级数和基本超几何级数，包括终止二项式定理，楚-范德蒙和，普法夫-Saalch\”utz和，和他们的$q$ -类似物。我们还证明了杰克逊的$q$ -模拟杜格尔的总和，一个终止的，平衡的，非常平衡的$_8ϕ_7$总和。我们的证明在概念上与WZ方法相同，但不使用计算机。本文综述了Macdonald给出的广义超几何级数的恒等式，并证明了组合中出现的斐波那契数、多项式和Pell数的类似物$q$的几个恒等式.其中一些身份似乎是新的。
2011-06-12 math.CA math.CO
Separation of variables for A2 Ruijsenaars model and new integral representation for A2 Macdonald polynomials
利用Baker-Akhiezer函数技术，我们构造了经典三角三粒子Ruijsenaars模型（Calogero-Moser-Sutherland模型的相对论推广）的分离变量。在量子情形下，由Askey-Wilson围道积分构造一个积分算子M。算子M将交换哈密尔顿算子的本征函数（对于根系A2为麦克唐纳多项式）变换为因子分解形式S（y1）S（y2），其中S（y）是用3 phi 2（y）基本超几何级数表示的一个变量的洛朗多项式。M的反演产生A2麦克唐纳多项式的新积分表示。对于一般的n粒子情形，我们也给出了一些结果和图解。
1996-03-25 hep-th math.CA math.QA
Limits of multivariate elliptic hypergeometric biorthogonal functions
在这篇文章中，我们推广了我们的文章“椭圆超几何双正交函数的极限”的结果到多元设置。在这篇文章中，我们确定了哪些家庭的双正交函数出现的限制，从椭圆超几何双正交函数从Spiridonov当p-> 0。本文证明了第二作者提出的多元BC_n型双正交函数的极限分类与单变量分类是一致的。也就是说，对于每个单变量极限家庭存在一个多变量的扩展，特别是我们得到的所有元素的q-Askey计划的多变量版本。对于阿斯基-威尔逊多项式，这些是Koornwinder多项式，和帕斯特罗多项式的多变量版本形成一个双参数家庭，其中包括麦克唐纳多项式。
2011-10-07 math.CA
Q-operators for the Ruijsenaars model
本研究证明Ruijsenaars模型存在单参数可交换Q-算子族，其交换性等价于Gadde等人的椭圆超几何积分变换猜想，给出两种证明方法，并阐明Noumi-Sano算子是Q-算子的退化形式。
2025-03-23 math-ph math.CA math.MP
A new A_n extension of Ramanujan's 1-psi-1 summation with applications to multilateral A_n series
本文给出了与根系A_n有关的多边基本超几何级数的一些恒等式。首先，我们将Ismail的论证应用于Milne的一个q-二项式定理，得到Ramanujan的1-psi-1求和定理的一个新的推广.由这个新的A_n 1-psi-1求和和由Gustafson的A_n 1-psi-1求和导出了两个引理，用于导出双边基本超几何级数恒等式的简单A_n推广.这些引理与A_n的Macdonald恒等式密切相关。作为这些引理可能应用的例子，我们给出了Bailey的2-psi-2变换的几个A_n扩张，以及一个特殊的2-psi-2求和的几个A_n扩张。
2000-10-16 math.CA math.CO math.QA
q-Special functions, an overview
本文概述q-特殊函数理论，涵盖q-超几何级数、Askey–Wilson多项式、Macdonald多项式及椭圆超几何级数，并讨论其在数论、组合、量子群和统计力学中的应用。
2023-08-05 math.CA
Transformations of elliptic hypergometric integrals
证明了一对与不同维数的椭圆超几何积分相关的变换，对应于根系BC_n和A_n，作为特例，我们恢复了van Diejen和Spiridonov给出的一些积分恒等式.对于BC_n，我们也考虑了它们的“II型”积分。他们对该积分的证明，加上我们的变换，产生了成对的伴随积分算子;另一种不同的证明产生了成对的伴随差分算子。这些使我们能够构建一个家庭的双正交阿贝尔函数推广的Koornwinder多项式，并满足类似的麦克唐纳图。最后，我们讨论了II型积分的一些变换。特别地，我们发现在外尔群E_7的适当作用下，给II型积分加上两个参数，就得到一个积分不变量.
2005-04-20 math.CA math.CO math.QA
