Analytic Fits to Separable Volumes and Probabilities for Qubit-Qubit and Qubit-Qutrit Systems
Paul B. Slater
备注：
16 pages, modest revisions, retitled, some new references incorporated, including to quant-ph/0609006, "Two-Qubit Separability Probabilities and Beta Functions"
我们研究了推导15维可分体积的解析公式的可能性，根据任何一个感兴趣的度量（Hilbert-Schmidt [HS]，Bures，.），双量子比特（四能级）系统。这似乎需要在一个复杂的凸体（由可分性和可行性约束定义）上进行15次符号积分。相关的15维被积函数--根据4 x 4密度矩阵ρ（math-ph/0202002）的基于Tilma-Byrd-Sudarshan欧拉角的参数化--将是12维Haar测度μ_{Haar}（每个度量共有）和3维测度μ_{metric}（每个度量特有）在由ρ的4个特征值形成的3d单纯形上的乘积。本文试图估计/确定μ Haar在12个欧拉角上（假定）12次积分后剩余的三维被积函数（各种已知μ度量与未知对称加权函数W的乘积）。我们通过拟合W来做到这一点，使得所述的HS可分离体积和超区域（quant-ph/0410238; cf. Quant-pH/0609006）。我们进一步评估了W的一些可能的选择，看看它们是否也产生了Bures，Kubo-Mori，Wigner-Yanase和（算术）平均单调度量的约束可分体积以及约束可分Bures超面积（quant-ph/0308037，表VI）。事实上，我们找到了两个这样的精确（相当相似）的选择，使这五个约束（非HS）值都在5%以内。除了上面提到的ρ的欧拉角参数化之外，我们还在一组双量子比特可分性分析中广泛使用了布洛尔参数化（J. Phys. A 9 [1976]，2059）。
英文摘要：
We investigate the possibility of deriving analytical formulas for the 15-dimensional separable volumes, in terms of any of a number of metrics of interest (Hilbert-Schmidt [HS], Bures,...), of the two-qubit (four-level) systems. This would appear to require 15-fold symbolic integrations over a complicated convex body (defined by both separability and feasibility constraints). The associated 15-dimensional integrands -- in terms of the Tilma-Byrd-Sudarshan Euler-angle-based parameterization of the 4 x 4 density matrices ρ(math-ph/0202002) -- would be the products of 12-dimensional Haar measure μ_{Haar} (common to each metric) and 3-dimensional measures μ_{metric} (specific to each metric) over the 3d-simplex formed by the four eigenvalues of ρ. We attempt here to estimate/determine the 3-dimensional integrands (the products of the various [known] μ_{metric}'s and an unknown symmetric weighting function W) remaining after the (putative) 12-fold integration of μ_{Haar} over the twelve Euler angles. We do this by fitting W so that the conjectured HS separable volumes and hyperareas (quant-ph/0410238; cf. quant-ph/0609006) are reproduced. We further evaluate a number of possible choices of W by seeing how well they also yield the conjectured separable volumes for the Bures, Kubo-Mori, Wigner-Yanase and (arithmetic) average monotone metrics and the conjectured separable Bures hyperarea (quant-ph/0308037,Table VI). We, in fact, find two such exact (rather similar) choices that give these five conjectured (non-HS) values all within 5%. In addition to the above-mentioned Euler angle parameterization of ρ, we make extensive use of the Bloore parameterization (J. Phys. A 9 [1976], 2059) in a companion set of two-qubit separability analyses.
Investigating bound entangled two-qutrit states via the best separable approximation
我们使用Akulin等人[V.M. Akulin，G. A. Kabatiansky和A. Mandilara，Phys.Rev.A92，042322（2015）]，以在两个四分之一随机密度矩阵上执行最佳可分离近似。我们将数值计算结果与理论方法相结合，生成了具有随机代表性的部分转置束缚纠缠态族，并分析了它们的性质。我们的研究结果表明，对于两个quutrit系统的BE状态具有可以忽略的体积，这些形式的微小的“岛屿”零星分布在可分离状态的多面体的表面。我们设计了一种方法来估计这些地层的平均厚度和它们的出现频率。被检测到的家庭的BE状态被发现位于一层伪单拷贝不可分割的负部分转置状态，后者覆盖了绝大多数的表面的可分离多面体。
克服我们最近的计算密集型（准蒙特卡罗）工作的情况下，N=4（quant-ph/0308037），我们承担了N=6的高数值精度计算任务，Sommers和Zyczkowski的公式（quant-ph/0304041）的（N^2-1）维体积和（N^2-2）维超面积，（可分和不可分）N x N密度矩阵，基于Bures（最小单调）度量-以及（非单调）希尔伯特-施密特度量的类似公式（quant-ph/0302197）。使用相同的70亿个分布良好（“低差异”）的样本点，我们基于五个额外的（单调）感兴趣的度量（包括Kubo-Mori和Wigner-Yanase）来估计未知体积和超面积。此外，我们估计所有这七个体积和七个超面积（未知）的数量时，限制可分离的密度矩阵。可分离体积（超区域）与可分离体积加不可分离体积（超区域）的比值产生一般秩六（秩五）密度矩阵的可分离概率的估计。基于35维体积获得的（秩6）可分性概率似乎是--独立于所采用的度量（7个诱导Haar度量中的每一个）--是基于34维超面积的（秩5）可分性概率的两倍。接受这样的关系，我们适合确切的公式估计的Bures和希尔伯特-施密特可分离的体积和超面积。(An秩6的希尔伯特-施密特可分性概率与秩4的希尔伯特-施密特可分性概率之比的额外估计-- 33.9982 --也非常明显地接近于积分。对于N=4的希尔伯特-施密特度规，加倍关系似乎也成立，但其…
8 Boolean Atoms Spanning the 256-Dimensional Entanglement-Probability Three-Set Algebra of the Two-Qutrit Hiesmayr-Loffler Magic Simplex of Bell States
The Minimal Dimension of Entangled-Noise Advantage
National Laboratory of Solid State Microstructures and School of Physics, Collaborative Innovation Center of Advanced Microstructures, Nanjing University（南京大学固体微结构物理国家重点实验室和物理学院，先进微结构协同创新中心）
Bures/statistical distinguishability probabilities of triseparable and biseparable Eggeling-Werner States
在以前的一些研究中，我们已经研究了使用Bures（最小单调）度量的体积元素-同样，统计可扩展性（SD）度量的四分之一-作为n x n密度矩阵的（n^2-1）维凸集上的自然度量。这使得我们在n = 4和6的情况下估计了量子位-量子位和量子位-四元组对可分离的先验（Bures/SD）概率。在这里，我们将这项工作从这样的二分系统扩展到最近由Eggeling和Werner（Phys. Rev. A 63 [2001]，042324）构造的具有U × U × U对称性的三分“实验室”量子系统。我们推导出相关的SD度量张量的三个量子比特和三个qutrit的情况下，然后使用Monte Carlo方法获得各种相关的Bures/SD概率的估计。
Qubit-Qubit and Qubit-Qutrit Separability Functions and Probabilities
We list in increasing order -- 1/3, 3/8, 2/5, 135 pi/1024, 16/(3 pi^2), 3 pi/16, 5/8, 105 pi/512, 2 - 435 pi/1024, 11/16, 1 -- a number of exact two-qubit Hilbert-Schmidt (HS) separability probabilities, we are able to compute. Each probability corresponds to a specific scenario -- a class of 4 x 4 density matrices (rho) with an m-subset (m<6) of its six off-diagonal pairs of symmetrically located entries set to zero. Initially, we consider only scenarios in which the (6-m) non-nullified pairs are real, but then permit them to be complex (as well as quaternionic) in nature also. The general an…
Ratios of maximal concurrence-parameterized separability functions, and generalized Peres-Horodecki conditions
一般的实数、复数或四元数两量子比特态可分离的概率可以被认为是三个贡献的总和。一种是来自那些绝对可分的态，也就是那些谱轨道上的最大共点（C_{max}）为零的态（不能被幺正变换纠缠）。另外两个贡献来自C_{max}在[0，1/2]和C_{max}在[1/2，1]中的状态。我们以前（arXiv：0805.0267）发现了量子态上希尔伯特-施密特度规的绝对可分贡献的精确公式，并在这里提出了关于[1/2，1]中C_{max}的精确贡献的假设。理解另外两个贡献的一个关键因素是复态的C_{max}参数化可分性函数与实态的可比函数的平方之比（R）的性质--这两个函数在C_{max} =1/2时都清楚地显示出跳跃不连续性。对于[0，1/2]中的C_{max}，R似乎是1+ k C_{max}的形式，除了接近C_{max} =1/2，而对于[1/2，1]中的C_{max}，它似乎是一个常数（因此根据随机矩阵理论的戴森指数模式）。最小简并双量子比特态和量子比特-量子三态也出现了相关的现象。我们的研究结果有直接的应用程序的可分性概率的计算方面的其他度量，如Bures（最小单调）度量。本文从连续嵌入的可分性概率问题的四个指标的兴趣，使用“广义Peres-Horodecki条件”。
