Sharp Lorentz space estimates for rough operators
Andreas Seeger, Terence Tao
我们证明了几个粗糙算子的$(H^1,L^{1,2})$或$(L^p,L^{p,2})$映射性质。在所有情况下，这些估计都是尖锐的，因为洛伦兹指数2不能被任何更小的数字所取代。
We demonstrate the $(H^1,L^{1,2})$ or $(L^p,L^{p,2})$ mapping properties of several rough operators. In all cases these estimates are sharp in the sense that the Lorentz exponent 2 cannot be replaced by any lower number.
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Sharp Weighted Bounds for Multilinear fractional Maximal type Operators with Rough Kernels
本文给出了具有粗糙齐次核的多线性分式极大型算子$\mathcal{M}_{Ω,α}$的加权界.我们获得了$\mathcal{M}_{Ω,α}$的混合$A_{(\vec{P},q)}-A_\infty$界和$A_{\vec{P}}$类型估计。作为应用，我们给出了具有粗糙核的多线性分数次积分算子$\mathcal{I}_{Ω,α}$的一个几乎尖锐估计。
On Sharpness of $L\log L$ Criterion for Weak Type $(1,1)$ boundedness of rough operators
本文证明在 $T_Ω$ 具 $L^2$ 有界性时，球面上齐次粗糙核的 $L\log L$ 条件是保证其奇异积分弱型 $(1,1)$ 有界的最强尺寸条件。
Bilinear Rough Singular Integrals near the Critical Integrability via Sharp Fourier Multiplier Criteria
本文研究了双线性粗糙奇异积分算子在临界可积性附近的有界性问题，提出了一种新的傅里叶乘子算子有界性准则，改进了已有条件并接近线性理论推测的端点估计。
We provide an asymptotic formula for the maximal Strichartz norm of small solutions to the cubic wave equation in Minkowski space. The leading coefficient is given by Foschi's sharp constant for the linear Strichartz estimate. We calculate the constant in the second term, which differs depending on whether the equation is focussing or defocussing. The sign of this coefficient also changes accordingly.
We provide an improvement of Calderón and Torchinsky's version of the Hörmander multiplier theorem on Hardy spaces $H^p$ ($0<p<\infty$), by replacing the Sobolev space $L_s^2(A_0)$ by the Lorentz-Sobolev space $L_s^{τ^{(s,p)} ,\min(1,p) }(A_0)$, where $τ^{(s,p)} =\frac{n}{s-(n/\min{(1,p)}-n)}$ and $A_0$ is the annulus $\{ξ\in \mathbb{R}^n: 1/2<|ξ|<2\}$. Our theorem also extends that of Grafakos and Slavíková to the range $0<p\le 1$. Our result is sharp in the sense that the preceding Lorentz-Sobolev space cannot be replaced by a smaller Lorentz-Sobolev space $L^{r,q}_s(A_0)$ with $r< τ^{(s,p)}…
Sharp constants related to the triangle inequality in Lorentz spaces
本文研究了在$1<p<s\le \infty$范围内的Lorentz空间$L^{p,s}(R,μ)$，其中标准泛函$$ ||f||_{p,s}=(\int_0^\infty (t^{1/p}f^*(t))^s\frac{dt}{t})^{1/s} $$只是一个拟范数.我们发现最佳常数的三角不等式这个准规范，这使我们考虑以下分解规范：$$ ||f||_{(p,s)}=\inf\bigg\{\sum_{k}||f_k||_{p,s}\bigg\}, $$其中的下确界是采取所有有限表示$f=\sum_{k}f_k. $我们还证明了分解规范和对偶规范$$ ||f||_{p,s}'= \sup\left\{\int_R fg dμ: ||g||_{p',s'}=1\right\} $$同意所有值$p,s>1$。
Given a bounded measurable function $σ$ on $\mathbb{R}^n$, we let $T_σ$ be the operator obtained by multiplication on the Fourier transform by $σ$. Let $0<s_1\le s_2\le \cdots \le s_n<1$ and $ψ$ be a Schwartz function on the real line whose Fourier transform $\widehatψ$ is supported in $[-2,-1/2]\cup[1/2,2]$ and which satisfies $\sum_{j \in \mathbb{Z}} \widehatψ\left(2^{-j} ξ\right)=1$ for all $ξ\neq 0$. In this work we sharpen the known forms of the Marcinkiewicz multiplier theorem by finding an almost optimal function space with the property that, if the function \begin{equation*} (ξ_1,\dots…
Mixed modulus of smoothness and best approximation in Lorentz spaces
本文在Lorentz空间中研究正阶混合光滑模与“角”最佳逼近，证明了混合光滑模性质及逼近论逆定理的精确版本。
A note on weighted bounds for rough singular integrals
证明了复合$M\!\circ T_Ω$的$L^2(w)$算子范数二次依赖于$[w]_{A_2}$，且这种依赖性是尖锐的，其中$M$是极大算子，$T_Ω$是带角部的粗糙齐次奇异积分$Ω\in L^{\infty}(S^{n-1})$.
Weighted Lorentz spaces: sharp mixed $A_p-A_{\infty}$ estimate for maximal functions
本文在加权 Lorentz 空间中证明 Hardy–Littlewood 极大函数的精确混合 $A_p-A_{\infty}$ 估计，方法无需重排，并推广至双权、强极大算子及对偶情形。
A sharp version of the Hörmander multiplier theorem
本文给出了Hörmander乘子定理的一个改进，其中具有可积性指标$r$和光滑性指标$s>n/r$的索伯列夫空间$L^r_s(\mathbb R^n)$被建立在Lorentz空间$L^{n/s,1}(\mathbb R^n)$上的具有光滑性指标$s$的索伯列夫空间所取代.
Sharp Poincaré--Sobolev Inequalities of Choquet--Lorentz Integrals with Respect to Hausdorff Contents on Bounded John Domains
本文证明了有界 John 域上关于 Hausdorff 容度的 Choquet--Lorentz 积分具有精确指数范围的 Poincaré--Sobolev 不等式，发展了分数阶极大不等式等新工具，并给出了临界情形的端点估计及 Riesz 位势的精确有界性。
Sharp weighted estimates involving one supremum
本文研究了含一个上确界的sharp加权估计。特别是，我们给出了一个肯定的回答Lerner和Moen提出的一个开放的问题\cite{LM}。我们也将结果推广到粗糙齐次奇异积分算子。
We prove the following sharp Sobolev inequality on the circle $$\int_{\mathbb{S}^1} [4(v')^2 - v^2] \mathrm{d} θ\geq - \frac{4π^2}{\int_{\mathbb{S}^1} v^{-2} \mathrm{d} θ},$$ with the equality being achieved when $v^{-2} (θ) = \frac{k\sqrt{1-α^2}}{1+ α\cos(θ- θ_o)}$where$k>0$, $α\in (-1,1)$, $θ_0 \in \mathbb{R}$. If $v$ vanishes somewhere on the circle, then $$4 \int_{\mathbb{S}^1} (v')^2 \mathrm{d} θ\geq\int_{\mathbb{S}^1} v^2 \mathrm{d} θ.$$ The basic tools to prove the inequality are the rearrangement inequality on the circle and the variational method. We investigate the variational proble…
In this paper we consider anisotropic Lorentz-Karamata space $2π$ of periodic functions of $m$ variables and Nikol'skii--Besov's class . In this paper, we establish order-sharp estimates of the best approximation by trigonometric polynomials with harmonic numbers from the step hyperbolic cross of functions from the Nikol'skii - Besov class in the norm of the anisotropic Lorentz-Karamata space.
Composition of rough singular integral operators on rearrangement invariant Banach type spaces
本文研究满足零次齐次与球面消失条件的粗糙奇异积分算子T_Ω的复合算子，在重排不变Banach及拟Banach函数空间上的定量加权界与加权有界性，涵盖Lorentz、Orlicz等经典空间特例。
Given $1\leq q<p<\infty$ quantitative weighted L^p estimates, in terms of Aq weights, for vector valued maximal functions, Calderón-Zygmund operators, commutators and maximal rough singular integrals are obtained. The results for singular operators will rely upon suitable convex body domination results, which in the case of commutators will be provided in this work, obtaining as a byproduct a new proof for the scalar case as well.
On exact estimates of the order of approximation of functions of several variables in the anisotropic Lorentz-Zygmund space
该研究针对各向异性Lorentz-Zygmund空间与Nikol'skii--Besov类多元周期函数，建立了阶双曲交叉调和数三角多项式最佳逼近的阶精确估计。
A sharpened Hausdorff-Young inequality
欧几里得空间的Hausdorff-Young不等式，在Beckner的精确形式下，给出了傅里叶变换在勒贝格空间范数下的上界，并有一个最佳常数。利布把极端化者确定为高斯型。我们建立了一个改进的上界，几乎极值不等式的功能，与负的第二项大致成正比的距离的平方的极值集。这个术语的一种表述方式有它自己的尖锐常数。主要步骤是证明任何极值序列是预紧的，模的作用组的自然对称的不等式。这个步骤依赖于加法组合性质的逆定理。
Quantitative weighted estimates for rough homogeneous singular integrals
我们考虑齐次奇异核，其角部分有界，但不需要有任何连续性。对于加权空间$L^2(w)$上相应的奇异积分算子的范数，得到了关于$A_2$常数$[w]_{A_2}$的二次界.我们不知道这是否是尖锐的，但它是这类算子最著名的定量结果。证明依赖于一个经典的分解这些运营商顺利件，为此，我们使用了定量阐述莱西的二进分割的迪尼连续运营商：依赖于常数的迪尼规范的内核是至关重要的控制的可求和性的系列扩展的粗糙运营商。最后，我们的应用程序和相关的加权界的权力的Beurling变换的示意图。
Jump and variational inequalities for rough operators
本文系统地研究了由Jones { \it et al}开创的粗糙算子的跳变和变分不等式.更精确地说，我们证明了分别由$$ T_\varepsilon f(x)=\int_{|y|>\varepsilon}\frac{Ω(y')}{|y|^n}f(x-y)dy $$和$$M_t f(x)=\frac1{t^n}\int_{|y|<t}Ω(y')f(x-y)dy, $$定义的截断奇异积分族$\mathcal T:=\{T_\varepsilon\}_{\varepsilon>0}$和粗糙核平均算子族$\mathcal M:=\{M_t\}_{t>0}$的跳跃和变分不等式，其中核$Ω$属于$L\log^+\!\!L(\mathbf S^{n-1})$或$H^1(\mathbf S^{n-1})$或$\mathcal{G}_α(\mathbf S^{n-1})$（Grafakos和Stefanov引入的条件）.我们的一些结果是尖锐的意义上说，基本的假设是最好的已知条件相应的极大算子的有界性。
Pseudodifferential operators with rough symbols
在这项工作中，我们开发了$L^p$有界性理论的伪微分算子粗糙（甚至不连续的一般）符号的$x$变量。此外，$B(L^p)$运营商的范数估计明确的尺度不变量涉及的符号。相对于$ξ$变量中所需的平滑度，所有估计值均显示为尖锐。作为推论，我们获得了最大方向希尔伯特变换和Carleson算子（平滑版本）的$L^p$界。
An alternate approach to bilinear rough singular integrals
本文提出一种新方法，通过输入函数局部傅里叶级数展开得到带衰减的三线性估计，证明核远离对角线时极大截断双线性粗糙奇异积分的最优$L^p$估计，并给出其全维度最优指数范围$L^p$有界性的自包含新证明。
Endpoint multiplier theorems of Marcinkiewicz type
建立了粗糙一维乘子的尖锐（H^1，L^{1，q}）和局部（L \log^r L，L^{1，q}）映射性质.特别地，我们证明了Marcinkiewicz乘数定理中的乘数映射H ^1到L^{1，\infty }和L \log^{1/2} L到L^{1，\infty }，并且这些估计是尖锐的。
Bourgain-Morrey-Lorentz spaces and operators on them
引入Bourgain-Morrey-Lorentz空间，通过块空间刻画其前对偶，利用对偶性证明多种算子有界性，并给出BMO函数及交换子紧性的刻画。
Characterization of the boundedness of the discrete Fractional maximal operator between weighted in Lorentz sequence spaces
本文完整刻画了离散分数阶极大算子在加权Lorentz序列空间间的有界性，通过尖锐重排估计将其归结为上确界算子的有界性，并利用近期结果得到最终判定。
Real-Variable Theory of Hardy--Lorentz Spaces on Quasi-Ultrametric Spaces of Homogeneous Type with Reverse-Doubling Property
本文基于超RD空间构造逼近单位，推导了Calderón复现公式，并建立了Hardy-Lorentz空间的小波特征，证明了与Campanato-Lorentz空间的对偶定理及真实插值定理。
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