Rigidity of $C^2$ Infinitely Renormalizable Unimodal Maps
Wellington de Melo, Alberto Pinto
给定具有二次临界点和相同有界组合类型的可无限重正化单峰映射$f$和$g$，证明了对于某些$α>0$，它们沿临界点的正向轨道的闭包是$C^{1+α}$共轭的.
Given $C^2$ infinitely renormalizable unimodal maps $f$ and $g$ with a quadratic critical point and the same bounded combinatorial type, we prove that they are $C^{1+α}$ conjugate along the closure of the corresponding forward orbits of the critical points, for some $α>0$.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Statistical properties of periodic points for infinitely renormalizable unimodal maps
对于具有非平坦临界点的可无限重正化的负Schwarzian单峰映射$f$，分析了当周期趋于无穷大时周期点的统计性质.通过引入权函数$φ$（它是一个连续势或几何势$φ=-β\log|f'|$（$β\in\mathbb R$）），建立了加权周期点的二级大偏差原理.由此，我们推导出所有加权周期点相对于势$φ$的平衡态均匀分布。特别是，它遵循的所有周期点是均匀分布的最大熵的措施，和所有的周期点加权的李雅普诺夫指数是均匀分布的吸引康托集上支持的后临界措施。
Combinatorial rigidity for some infinitely renormalizable unicritical polynomials
本文证明了无穷可重正化单临界多项式P_c：z \mapsto z^d+c，在先验界和一定的“组合条件”下的组合刚性。这意味着连通性轨迹（d = 2时的Mandelbrot集）在相应参数处的局部连通性。
Rigidity of non-renormalizable Newton maps
该研究针对不可重整化Newton映射的刚性问题，证明其Julia集无不变线场，且拓扑共轭与拟共形共轭等价，推进了复动力系统领域的相关理论研究。
Physical Measures for Infinitely Renormalizable Lorenz Maps
对系统吸引子的物理度量描述了典型轨道的统计行为。一个例子发生在单峰动力学。也就是说，所有无限可重整单峰映射都有一个物理测度。对于洛伦兹动力学，即使在无限可重整系统的简单情况下，物理测度的存在性也更加微妙。在这篇文章中，我们构造了无限可重正化的Lorenz映射的例子，这些映射没有物理测度。几何上的先验界在（单峰）动力学中起着至关重要的作用。存在无限可重正化的Lorenz映射，它们没有先验界。这种现象与连续重整化的临界点的位置有关。在没有物理测量的情况下获得这些例子的关键技术成分是控制这些临界点的位置。
Local connectivity and quasi-conformal rigidity of non-renormalizable polynomials
证明了拓扑共轭的不可重正化多项式是拟共形共轭的。由此我们得出，每个这样的多项式可以近似为一个双曲多项式。作为副积，我们证明了仅含双曲周期点的不可重正化多项式的朱利亚集是局部连通的，并证明了Branner-Hubbard猜想.主要的工具是增强的巢建设（开发在以前的联合文件与沈伟晓）和一个引理的卡恩和Lyubich（为此，我们给出了一个基本的证明，在实际情况下）。
Quasisymmetric conjugacies between unimodal maps
证明了S-单峰映射的某些拓扑等价类与拟对称共轭类是等价的。这包括一些无限重正化多项式的无界型。
Parapuzzle of the Multibrot set and typical dynamics of unimodal maps
研究了单临界多项式$f_c:z\mapsto z^d+c$的参数空间。对于复参数，我们证明了Lebesgue几乎每个$c$，映射$f_c$是双曲或无限重正化。对于实参数，我们证明了Lebesgue几乎每个$c$，映射$f_c$是双曲的，或Collet-Eckmann，或无限重正化。这些结果是基于控制在“主巢”的parapuzzle件的连续元素之间的间距。
Rigidity for infinitely renormalizable area-preserving maps
具有不同平均Jacobian的强耗散Henon型映射的倍周期Cantor集不是光滑共轭的。雅可比刚性猜想认为具有相同平均雅可比矩阵的二维Henon-like映射的倍周期Cantor集是光滑共轭的。这个猜想对于平均雅可比零点是正确的，例如一维情况。另一个极端的情况是当地图保留面积时，例如平均雅可比矩阵是1。事实上，在Eckmann-Koch-Wittwer重整化不动点的普适类中，保面积映射的倍周期康托尔集是光滑共轭的。
Nonexistence of Wandering Domains for Infinitely Renormalizable Hénon Maps
本文将单峰映射的无游荡域定理推广到强耗散（面积收缩）域中的无限倍周期可重正化Hénon-like映射.该定理解决了几位作者[van Strien（2010）and Lyubich and Martens（2011）]提出的一个公开问题，并涵盖了非双曲高维环境中的一类映射。单峰映射的经典证明在Hénon环境下失效，引入“面积论证”和“好区域和坏区域”两种技巧解决主要困难.该定理还有助于理解这类映射的异宿网的拓扑结构：所有周期点的稳定流形的并是稠密的。
The topological complexity of Cantor attractors for unimodal interval maps
对于一个具有Cantor吸引子的非平坦的$C^3$单峰映射，证明了对于这个吸引子的任何开覆盖$\mathcal U$，其复杂性函数$p(\mathcal U, n)$是$n\log n$阶的.在附录中，我们构造了一个具有Cantor吸引子的不可重正化映射，使得对于任何开覆盖$\mathcal{U}$，$p(\mathcal{U}, n)$是上有界的。
Rigidity of Newton dynamics
本文研究了任意次多项式牛顿求根法所得到的有理映射的刚性。我们建立了这些映射的动力学刚性：牛顿映射的朱利亚集中的每个点要么是刚性的（即它的轨道可以在组合术语中与所有其他轨道区分开来），要么这个点的轨道最终落在原始映射的多项式限制的填充朱利亚集中。作为推论，我们证明了在许多非平凡情形下牛顿映射的朱利亚集是局部连通的，特别地，每一个不含Siegel点的三次牛顿映射都有局部连通的朱利亚集.在任意次Newton映射的参数空间中，我们得到了如下刚性结果：任意两个组合等价的Newton映射在其朱利亚集的邻域内是拟共形共轭的，只要它们不可重正化，或都“以相同的方式”重正化.我们的主要工具是由于Kozlovski，沉，范Strien复杂的盒子映射的概念，我们还扩展了这样的映射的动态刚性结果，以包括非理性的冷漠或renormalizable的情况。
Rigidity of bounded type cubic Siegel polynomials
本文证明有界型旋转数的不可重整化三次Siegel多项式的组合等价蕴含共形等价，并由此验证了Blokh-Oversteegen-Ptacek-Timorin关于Zakeri单参数切片中不可重整化映射轨迹拓扑结构的猜想。
On the invariant Cantor sets of period doubling type of infinitely renormalizable area-preserving maps
本文证明了在Eckmann-Koch-Wittwer重整化不动点的普适类中，任意可无限重整化的保面积映射的倍周期型不变康托尔集总是包含在Lipschitz曲线中，而不包含在平滑曲线中.这扩展了以前的结果de Carvalho，Lyubich和Martens关于强耗散映射的平面接近单峰映射的面积保持设置。用于构造Lipschitz曲线的方法与耗散情况下使用的方法非常相似，但是证明不存在平滑曲线需要新的技术。
The full renormalization horseshoe for unimodal maps of higher degree: exponential contraction along hybrid classes
证明了在任意偶数度$d$中，沿着无穷可重正单峰映射（具有任意组合）的混合类的重正化的指数收缩。然后，我们得出结论，重整化轨道是渐近的充分重整化马蹄铁，我们构建。我们对指数收缩的论证是基于重整化算子的预紧性（“Beau边界”），这在全纯迭代的抽象分析中是有杠杆作用的。除了更大的一般性，它产生了一个统一的方法，所有的组合和程度：没有必要考虑到不同的几何细节的动态，这是典型的来源收缩在以前的限制证明。
Teichmüller space of Fibonacci maps
根据Sullivan，具有相同组合学（模光滑共轭）的单峰映射的空间${\cal E}$应该被视为无限维的Teichmüller空间。这是沙利文重正化猜想的基本思想。其主要成分之一是为${\cal E}$提供Teichmüller公制。要有这样一个度量，首先必须知道${\cal E}$的所有映射都是拟对称共轭的。对于某些不可重正化映射（当临界点不太常返时），[Ji]和[JS]证明了这一点.在这里，我们考虑一个空间的不可重正单峰映射在某种意义上最快的可能复发的临界点（称为斐波那契）。我们的目标是为这个空间提供Teichmüller度量。
Dynamics and Universality of Unimodal Mappings with Infinite Criticality
研究了具有拓扑型且在重整化下为周期的无穷可重整单峰映射。研究了重整化算子不动点随临界点阶数增加到无穷大的极限行为。结果表明，存在一个极限动力学，临界点是平坦的，但仍然有一个良好的解析延拓的实区间附近捏在临界点。我们研究了极限映射的动力学，并证明了它们的刚性。特别地，有限临界重整化的不动点序列在实域上一致收敛于极限型映射。
The Rigidity Conjecture
动力学中的一个中心问题是系统的拓扑结构是否决定了它的几何形状。这就是所谓的刚性。在温和的拓扑条件下，刚性对许多经典的情形都成立，包括：克莱因群、圆同态、单峰区间映射、临界圆映射和带断点的圆映射。最近的发展表明，在类似的拓扑条件下，刚性并不适用于稍微更一般的系统。在本文中，我们陈述了一个猜想，描述了拓扑类是如何组织成刚性类。
Phase-parameter relation and sharp statistical properties for general families of unimodal maps
得到了单峰映射解析族的相空间和参数空间的估计。使用这些估计，我们表明，典型的解析单峰映射承认一个拟二次重整化。这减少了典型单峰映射的统计性质的研究，拟二次的情况下，已研究了\cite {AM 2}。这里证明的估计完全对应于相位参数关系证明在\cite {AM}在二次的情况下，并允许一个获得尖锐的估计的动力学的典型单峰映射，只有在二次的情况下：作为一个例子，我们得出结论，多项式递归的临界轨道的指数正好是1。我们还表明，这些想法导致一个新的证明定理的Shishikura：在边界上的Mandelbrot集的非renormalizable参数集有勒贝格测度为零。这些结果的进一步应用可以在配套论文\cite {AM3}中找到。
Geometry of quadratic polynomials: moduli, rigidity and local connectivity
不久前，Douady和Hubbard证明了准双曲点的MLC（Mandelbrot集是局部连通的猜想），Yoccoz证明了双曲分量边界的MLC。最近Yoccoz证明了MLC的所有在最多可重正化的参数值。我们的目标之一是证明MLC的一些无限重正化参数值。不严格地说，我们需要所有的重整化具有有界的组合旋转数（假设C1）和足够高的组合类型（假设C2）。对于组合型有界的实二次多项式，Sullivan给出了复的先验界.我们的结果补充了Sullivan在无界情形下的结果。此外，它给出了Sullivan的重整化理论的一些有界型多项式的实数线以外的先验界的问题，没有处理之前的任何单一的多项式的背景。先验界的一个重要结果是朱利亚集（McMullen）上不存在等价于拟共形（qc）刚性的不变可测线场.为了证明更强的拓扑刚性，我们构造了任意两个拓扑共轭多项式之间的qc共轭（定理III）。我们这样做是通过一个拉回参数，基于线性增长的模量和先验界。实际上，该论证给出了更强的组合刚性，这意味着MLC。
Induced expansion for quadratic polynomials
证明了非双曲不可重整化的二次多项式是展开诱导的。对于可重正化多项式，这一陈述的对应物是，在无界组合数学的情况下，重正化映射几乎变成二次的。从技术上讲，这是由盒子几何的衰变引起的。具体的估计，这种衰减率示出这是尖锐的一类S-单峰映射组合相关的旋转有界型。我们使用真正的方法的基础上交比和Schwarzian导数补充复解析估计的共形模。
Period tripling and quintupling renormalizations below $C^2$ space
本文研究了$C^2$类单峰映射的三倍周期重整化和五倍周期重整化。证明了对于给定的适当尺度数据，在可无限重正化的分段仿射映射空间上存在重正化不动点。此外，我们证明了这个重整化不动点被推广到一个$C^{1+Lip}$单峰映射，考虑周期三倍和周期五倍组合。此外，我们证明了存在一个连续的不动点的重整化通过考虑一个小的变化的标度数据。最后，这导致了作用在$C^{1+Lip}$单峰映射空间上的三重和五重整化具有无界的拓扑熵。
Recurrence, symbolic dynamics, and wild attractors for unimodal maps
本文通过符号动力学研究临界轨道递归性质与野Cantor吸引子的关系，构造了具有野吸引子的非重整化单峰映射族，并证明了长分支组合与持续递归的不兼容性。
Existence of the Lyapunov exponent for $S$-unimodal maps
研究S-单峰映射李雅普诺夫指数，证明非平坦临界点的该映射对几乎每个勒贝格点李雅普诺夫指数存在且为常数λ_T，给出其为0的充要条件，还得出相关特殊映射的结论。
Statistical properties of unimodal maps: physical measures, periodic orbits and pathological laminations
在这项工作中，我们将典型解析单峰映射的混沌吸引子的几何形状与临界轨道的行为联系起来。我们的主要结果是一个明确的公式有关的临界轨道的组合与周期轨道的指数。拓扑不变量和光滑不变量之间的这种联系是通过对物理测度的分析得到的。由于周期轨道的指数形成一个完整的光滑不变量集，在这种情况下，我们有“典型的几何刚性”的动态这样的混沌吸引子。这个意想不到的结果意味着解析映射空间的层结构（通过划分为拓扑共轭类得到，见\cite {ALM}）具有绝对奇异的性质。
Renormalization for critical orders close to 2N
本文研究了作用在对空间（v，t）上的重整化算子的动力学，其中v是一个双同态，t属于[0，1]，解释为单峰映射x->v（q_t（x）），其中q_t（x）=-2t |x| ^a+2 t-1.利用有界组合学证明了充分重正化对的复界。这使我们能够证明，如果临界指数a接近于一个偶数，那么重整化算子有一个唯一的不动点。而且这个不动点是双曲型的，它的余维为1的稳定流形包含所有的无穷重正化对。
Complex bounds for multimodal maps: bounded combinatorics
我们证明了所谓的复界的多峰，无限重正化的解析映射与有界组合：深重正化有多项式样的扩张与确定的模。复边界是将单峰映射的重整化理论推广到多峰映射的第一步。
Global hyperbolicity of renormalization for C^r unimodal mappings
本文推广了M. Lyubich关于类二次芽到具有二次临界点的C^r单峰映射空间的重正化的整体双曲性的最新结果。我们表明，在这个空间中的重整化算子的有界型极限集有一个不变的双曲结构提供rge 2+ α与α接近1。作为Lyubich结果和我们结果之间的中间步骤，我们证明了重整化算子在实解析映射的巴拿赫空间中是双曲的。我们构造了局部稳定流形，证明了它们构成了一个连续的层，其叶是C^1余维1，是周围空间的Banach子流形，并且对于某个β>0，其完整性是C^{1+β}。我们还证明了全局稳定集也是C^1浸入（余维1）子流形，只要rge 3+ alpha且alpha接近1。作为推论，我们推导出在一般的单参数C^r单峰映射族中，对应于有界组合型无限重正化映射的参数集是一个豪斯多夫维数小于1的康托尔集.
Spectral properties of renormalization for area-preserving maps
已经观察到保面积映射经历普遍的倍周期级联，类似于一维动力学中著名的Feigenbaum-Coullet-Tresser倍周期级联。Eckmann，Koch和Wittwer在计算机辅助下证明了守恒重整化不动点的存在性。此外，Gaidashev，Johnson和Martens已经证明，在这个不动点的邻域中的无限可重整映射允许具有消失的李雅普诺夫指数的不变康托集，在该不变康托集上，任何两个映射的动力学是光滑共轭的。这种刚性是几何衰减和重正化向不动点的收敛速度之间相互作用的结果。在本文中，我们证明了一个结果，这是至关重要的刚性演示：这收敛速度上界的无限重正化映射的重正化是足够小的。
Renormalization of Unicritical Diffeomorphisms of the Disk
本文引入圆盘上无限可重整化的单临界微分同胚，证明其重整化后成为 Hénon 型并超指数收敛至一维单峰映射，同时刻画稳定与中心流形几何。
Absorbing Cantor sets in dynamical systems: Fibonacci maps
本文证明了存在一个多项式单峰映射f：[0，1] -> [0，1]，它是1）不可重正化的（因此对于来自剩余集的每个x，$ω(x)$等于一个区间），2）$ω(c)$是康托尔集，3）对于Lebesgue的$ω(x)=ω(c)$几乎所有x.所以这样一个映射的拓扑吸引子和度量吸引子是不重合的。这就回答了米尔诺提出的一个问题。
Combinatorics, geometry and attractors of quasi-quadratic maps
对于具有非退化临界点c的S-单峰映射，解决了一维吸引子的Milnor问题.它为我们提供了一个完整的了解可能的极限行为勒贝格几乎每一个点。这个定理来自于对“不可重正化”映射的临界集$ω(c)$的几何研究。它被证明，该集的几何特征的缩放因子至少指数下降到0。解决了小范围非线性控制问题。证明强烈涉及重整化理论和全纯动力学的思想。
Quasisymmetric rigidity in one-dimensional dynamics
在1980年代后期沙利文发起了一项计划，以证明准对称刚性在一维动力学：区间或圆地图是拓扑共轭准对称共轭（提供了一些明显的必要假设是满意的）。本文的目的是在一个自然类的$C^3$映射结束这个程序。这种刚性的例子以前已经建立，但不是，例如，对于具有非实临界点的实多项式。我们的结果也是新的解析映射。在实际分析的情况下的证明的主要新成分是（i）存在无限多（复）域相关联的复解析扩展，使这些域和它们的范围是兼容的，（ii）的组合等价的复盒映射是qc共轭的方法，（iii）的方法来构建qc共轭的存在下，抛物周期点。对于一个$C^3$映射，实映射的任何复扩张的高扩张的伸缩一般是无界的。为了处理这一点，我们引入动态定义的$qc\backslash bg$ $partitions$，适当的映射有界拟共形膨胀，除了与“有界几何”集。为了获得这样的分区，我们证明，我们有很好的几何控制无穷多个动态定义的域。其中一些结果是新的，即使是真正的多项式，事实上一个重要的序列域原来是quasidiscs。该技术也为处理无限重正化问题提供了一种新的方法。我们还将简要地讨论为什么准对称刚性在一维动力学中是如此有用的性质。
Real bounds and Lyapunov exponents
证明了不含周期点的$C^3$临界圆映射关于其唯一不变Borel概率测度的李雅普诺夫指数为零.而且，这种映射的任何临界点都不满足Collet-Eckmann条件.这个结果是直接从著名的实先验界证明的，而不使用Pesin的理论。我们还展示了我们的方法如何产生一个类似的结果无限重正单峰映射的任何组合类型。最后，我们讨论了应用这些事实的研究中立措施的某些合理的映射的黎曼球。
Rigidity and non local connectivity of Julia sets of some quadratic polynomials
对于具有重整化周期序列${k_m}$和旋转数序列${t_m=p_m/q_m}, we prove that if $ \limsup k_m^{-1} \log |p_m| >0 $, then the Mandelbrot set is locally connected at $ c $. We prove also that if $ \limsup的无限可重整化二次映射$f_c: z\mapsto z^2+c$| t_{m+1}| ^{1/q_m}<1 $ and $ q_m \to \infty $, then the Julia set of $ f_c $ is not locally connected and the Mandelbrot set is locally connected at $ c$，条件是所有的重正化都是非基元（卫星）。这量化了A的构造。Douady和J. Hubbard提出的一个条件，并削弱了J. Milnor提出的一个条件.附录摘要：我们改进了上述论文的一个主要结果。
On the Lebesgue measure of the Julia set of a quadratic polynomial
本文的目的是证明以下定理：设$p_a(z) = z^2+a$是一个二次多项式，它没有无理的中立周期点，并且不是无限可重整的.则朱利亚集的$J(p_a)$的勒贝格测度等于零。作为证明的一部分，我们讨论了临界点是{ \it持续常返}的一个性质，并将我们的结果与实一维映射的相应结果联系起来.特别是，我们表明，在持续经常性的情况下，限制$p_a|ω(0)$是拓扑最小的，并有零拓扑熵。Douady-Hubbard-Yoccoz刚性定理遵循这个结果。
Satellite renormalization of quadratic polynomials
证明了作用在无限维全纯变换空间上的近抛物重整化算子的一致双曲性。这意味着70年代物理学家们提出的标度律对于一类组合分岔的普适性。通过近抛物重整化，本文首次成功地研究了卫星型的类多项式重整化，并引入了新的方法来分析具有这种无限重整化结构的映射的细尺度动力学特征.特别地，我们证实了组合数学中二次增长条件下的刚性猜想。本文所讨论的一类映射包括在小尺度下退化几何的无限重正化映射（缺乏先验界）。
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