Integrable geodesic flow with positive topological entropy
A. V. Bolsinov, I. A. Taimanov
构造了一个紧致流形上的实解析度量的例子，该流形的测地流是Liouville可积的$C^\infty$函数，并且具有正的拓扑熵.
An example of a real-analytic metric on a compact manifold whose geodesic flow is Liouville integrable by $C^\infty$ functions and has positive topological entropy is constructed.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Quadratically integrable geodesic flows on the torus and on the Klein bottle
本文证明了：若度量G在环面T上的测地线流是二次可积的，则环面T等距覆盖一个其上具有Liouville度量的环面，并描述了Klein瓶上的二次可积测地线流集.
We present a geometric interpretation of integrability of geodesic flow by quadratic integrals in terms of the web theory and construct integrable billiards on surfaces admitting such integrals.
Minimal geodesics and integrable behavior in geodesic flows
在这篇综述文章中，我们收集了经典的以及最近的结果最短测地线的黎曼或Finsler度量，特别注意二维的情况下。此外，我们提出了一些开放的问题，以及解决方案的初步想法。
New examples of manifolds with completely integrable geodesic flows
我们构造了具有完全可积的测地流的黎曼流形，特别是各种非齐次的例子。所采用的方法是一个修改的Thimm的方法，黎曼淹没和连接的总和。
Toric integrable geodesic flows
通过研究切触流形上的完全可积环面作用，证明了Toth和Zelditch的一个猜想：环面上的环面可积测地流必有平坦度量。
On the Existence of a Codimension 1 Completely Integrable Totally Geodesic Distribution on a Pseudo-Riemannian Heisenberg Group
本文证明了具有左不变伪黎曼度量的海森堡群存在余维为1的完全可积全测地分布。这与T. Hangan
Integrable geodesic flows on surfaces
本文提出了一个新的条件$\aleph$，它使得闭曲面上可积测地流的研究有了新的结果.本文分为两部分.第一，我们加强了Kozlov关于高亏格曲面不可积性的定理。第二部分研究了2-环面上的可积测地流。我们对2-环面的主要结果描述了可积流的相图。我们证明了它们本质上是标准的外链，我们称之为分界线链。对分界线链的并的补是$C^0$ -由丛的不变部分分叶的。
Jacobi vector fields of integrable geodesic flows
我们表明，一个不变的表面允许沿测地线构造雅可比向量场，并构造雅可比场的法向分量的公式。如果测地线是两个不变曲面的横截交（例如，如果测地线是双曲的，我们就有这种情况），那么我们可以构造雅可比-希尔方程的基本解。这是二次可积测地线流。
Hydrodynamic-type systems describing 2-dimensional polynomially integrable geodesic flows
从一个齐次多项式的动量的任意阶，我们提取多组分流体动力学型系统，描述二维测地流承认初始多项式作为积分。所有这些流体动力学型系统是半哈密顿的，从而意味着它们是可积的根据广义速端图方法。此外，他们是可积的建设性意义上的多项式首次积分允许构建生成方程的守恒律。根据多项式积分根的重数，我们分离出可积的特殊情况。
3-Manifolds admitting toric integrable geodesic flows
本文利用余球面丛在环面可积时具有的接触环面流形结构，通过比较Betti数，得到紧连通3维流形上测地流环面可积的必要条件。
On a class of Kähler manifolds whose geodesic flows are integrable
我们研究了$n$维Kähler流形，其测地线流具有$n$第一积分的对合，是纤维厄米形式和同时规范化。在一些温和的假设下，可以将这样的流形与无穷小自同构的$n$维交换李代数联系起来。这与给定的$n$第一积分相结合，使得测地线流可积。如果流形是紧的，那么它就成为复曲面簇。
Integrable Geodesic Flows on Cones over Riemannian Manifolds
本文研究了锥面上的测地流，证明其超积分性及可积性，受Birkhoff弹道研究启发。
Integrable geodesic flow in 3D and webs of maximal rank
本文以测地4-网刻画三维空间中具有两个交换二次积分的可积测地流，并证明在自然几何条件下度量为 Stäckel 型。
A Liouville classification of a natural Hamiltonian system on the projective plane with a rotation metric and a linear integral is obtained. All Fomenko--Zieschang invariants (i.e., labeled molecules) of the system are calculated.
Integrable geodesic flows on the suspensions of toric automorphisms
对任何只具有实特征值的环面自同构，构造了一个在其悬挂上具有可积测地流的黎曼度量。本文对作者在数学DG/9905078中构造的三解流形上的这类流动作了定性分析。这个流是测地流的一个例子，测地线流的刘维尔熵为零，而且是可积的，但具有正的拓扑熵。讨论了测地流的可积性及相关问题。
In this paper we construct a new class of surfaces whose geodesic flow is integrable (in the sense of Liouville). We do so by generalizing the notion of tubes about curves to 3-dimensional manifolds, and using Jacobi fields we derive conditions under which the metric of the generalized tubular sub-manifold admits an ignorable coordinate. Some examples are given, demonstrating that these special surfaces can be quite elaborate and varied.
Homogeneous spaces with geodesic orbit Riemannian metrics and with integrable invariant distributions
本文研究了具有可积不变分布和测地轨道度量的齐性空间，发现部分空间属于前者但不属于后者，并指出其中存在允许不变爱因斯坦度量的案例。
Integrable geodesic flows with simultaneously diagonalisable quadratic integrals
研究显示，若n维流形上测地流的n个功能独立二次动量积分在每一点的切空间同时对角化，则这些积分源自Stäckel构造，表明度量允许正交分离变量。
Finite-gap potentials and integrable geodesic equations on a 2-surface
本文证明一维薛定谔方程可视为二维曲面上的测地线方程，并利用Baker-Akhiezer函数显式构造了有限间隙势情形的度量与测地线。
Integrable geodesic flows of non-holonomic metrics
本文从哈密顿系统理论的观点出发，讨论了卡诺-卡拉西奥多里的正规测地线流。本文将三维海森堡群上对应于左不变度量和左右不变秩2分布的测地线流作为可积系统来分析。李群上的左不变度量和左不变分布所对应的流被简化为李群上的欧拉方程。这些结构的分析力学问题的关系进行了讨论。
Integrable sub-Riemannian geodesic flows on the special orthogonal group
本文研究特殊正交群上橡胶滚动分布诱导的次黎曼几何，通过构造Lax对和双哈密顿结构，证明了任意右不变次黎曼度量的几乎所有正规测地线完全可积。
Integrable geodesic flows on 2-torus: formal solutions and variational principle
本文研究了2-环面上可积测地流的拟线性偏微分方程组，它描述了关于动量的多项式首次积分的存在性。我们在[3]中证明了这是一个半哈密顿系统，并在这里证明了与该系统有关的度量是Egorov型度量。我们利用这一事实，以证明，在三次和四次积分的情况下，该系统实际上相当于一个显着的3阶和4阶方程。值得注意的是，四次方程具有变分意义：它是一个变分原理的欧拉-拉格朗日方程。其次，我们证明了该方程的$n=4$有形式的双周期解作为一个小参数的系列。
Given two c-projectively equivalent metrics on a Kähler manifold we show that the canoncially constructed, Poisson-commuting integrals of motion of the geodesic flow, linear and quadratic in momenta, also commute as quantum operators. The methods employed here also provide a proof of a similar statement in the case of projective equivalence. We also investigate the addition of potentials, i.e. the generalization to natural Hamiltonian systems. We show that the commuting operators lead to separation of variables for Schrödinger's equation.
Rich quasi-linear system for integrable geodesic flows on 2-torus
考虑两个环面上的黎曼度量。我们证明了多项式首次积分的存在性问题自然地导出一个显著的拟线性方程组，它是一个丰富的守恒律组。这减少了问题的可积性问题的光滑（准）周期解的存在性这个丰富的准线性系。
Applications of Nijenhuis Geometry V: geodesically equivalent metrics and finite-dimensional reductions of certain integrable quasilinear systems
本文刻画了与gl-正则Nijenhuis算子测地相容的全部度量，并证明由此构造的流体动力学型PDE系统在测地线集上的约化等价于积分生成的Poisson作用，从而给出有限维约化。
In this work we study the geodesic flow on nilmanifolds associated to graphs. We are interested in the construction of first integrals to show complete integrability on some compact quotients. Also examples of integrable geodesic flows and of non-integrable ones are shown.
The Riemannian geometry of orbit spaces. The metric, geodesics, and integrable systems
本文研究了轨道空间$M/G$上李群在黎曼流形上的等距真作用的黎曼几何的基础。最短测地线弧是度量空间$M/G$中的长度最小化曲线，它们只能在端点处到达更奇异的层。这被表述为凸性结果。在$TM/G$上，测地线被看作是一个（地层保持的）向量场，这导致了$M/G$中测地线的概念，它是在$M\to M/G$下垂直于轨道的测地线的投影。它还导致“弹道曲线”，即其他测地线的投影。在例子中（厄米特和对称矩阵，更一般的极表示），我们计算他们的方程奇异辛约化，并获得推广的Calogero-Moser系统的自旋。
We study the magnetic geodesic flows on 2-surfaces having an additional first integral which is independent of the Hamiltonian at a fixed energy level. The following two cases are considered: when there exists a quadratic in momenta integral, and also the case of a rational in momenta integral with a linear numerator and denominator. In both cases certain semi-Hamiltonian systems of PDEs appear. In this paper we construct exact solutions (generally speaking, local ones) to these systems: in the first case via the generalized hodograph method, in the second case via the Legendre transformation …
The horizontal Laplacian of a Riemannian submersion with totally geodesic fibers and an integrable horizontal distribution
研究具有全测地纤维和可积水平分布的黎曼浸没的水平拉普拉斯算子的谱性质，证明其酉等价于基流形上某个无限秩平坦向量丛的扭曲拉普拉斯算子，并应用于缩放第一非零特征值的渐近行为。
Projective connections arise from equivalence classes of affine connections under the reparametrization of geodesics. They may also be viewed as quotient systems of the classical geodesic equation. After studying the link between integrals of the (classical) geodesic flow and its associated projective connection, we turn our attention to 2-dimensional metrics that admit one projective vector field, i.e. whose local flow sends unparametrized geodesics into unparametrized geodesics. We review and discuss the classification of these metrics, introducing special coordinates on the linear space of …
Minimal geodesics and topological entropy on T^2
设（T^2，g）是一个二维黎曼环面。本文证明了限制在最短测地线的初始条件集上的测测地流的拓扑熵为零，与黎曼度量的选择无关。
Contact magnetic geodesic and sub-Riemannian flows on $V_{n,2}$ and integrable cases of a heavy rigid body with a gyrostat
本文研究了在$V_{n,2}$上$SO(n)$不变度量的磁流形和子黎曼流形的可积性，并将其应用于重刚体带陀螺仪的可积情形。
Topological entropy of minimal geodesics and volume growth on surfaces
设（M，g）是紧致双曲型黎曼流形，即M是一个允许另一个严格负曲率度量的流形.本文研究了限制在泛覆盖上极小测地线集合上的测地流。特别是表面，我们表明，拓扑熵的最短测地线符合体积熵（M，g）推广工作的弗莱雷和鬃毛。
Chaotic Geodesics in Carnot Groups
对角线上有1的实4 × 4上三角矩阵群具有左不变的次黎曼（或卡诺-卡拉西奥多里）结构，其基本分布对应于超对角线。我们证明了相应的次黎曼测地流是不完全可积的。这提供了具有不可积测地线流的卡诺群（分次幂零李群，其生成子空间支持不变的次黎曼结构）的第一个例子。我们应用这一结果来证明，中心化相应的二次“量子”哈密顿在通用包络代数为这个群体是“尽可能小”。
Characterization of geodesic flows on T^2 with and without positive topological entropy
本文研究了任意黎曼度量下2-环面$T^2$的单位切丛上测地线流的性质。测量测地线流复杂性的一个自然的非负量是拓扑熵。特别地，正拓扑熵意味着在正Hausdorff维（马蹄形）的相空间中的不变集上的混沌行为。证明了在拓扑熵为零的情况下，该流具有类似于可积系统的性质。特别是存在一个非平凡的连续常数的运动，它的措施的方向测地线解除到通用覆盖$\Br^2$。此外，这些测地线在以欧几里得线为边界的带中行进。此外，我们还得到了$T^2$上包含单测地线相交性质的拓扑熵为零的充要条件。
We use a theorem of P. Berger and D. Turaev to construct an example of a Finsler geodesic flow on the 2-torus with a transverse section, such that its Poincaré return map has positive metric entropy. The Finsler metric generating the flow can be chosen to be arbitrarily $C^\infty$-close to a flat metric.
Uniqueness of the measure of maximal entropy for geodesic flows on coarse hyperbolic manifolds without conjugate points
本文在无共轭点且基本群为Gromov双曲、剩余有限的闭黎曼流形上，通过对扩张集施加适当条件，证明了测地流最大熵测度的唯一性，从而推广了此前仅在负截面曲率背景度量下成立的相关结果。
Flat metrics are local strict minimizers for the polynomial entropy
正如我们在[L]中所证明的，与T^2上的平坦度量相关联的测地流使多项式熵最小化。本文证明了在Bott可积且动态相干的测地流中，与平坦度量相关联的测地流是多项式熵的局部严格极小.为此，我们证明了近可积系统中不变拉格朗日环面的一个图形性质。
We study invariant Nijenhuis $(1,1)$-tensors on a homogeneous space $G/K$ of a reductive Lie group $G$ from the point of view of integrability of a Hamiltonian system of differential equations with the $G$-invariant Hamiltonian function on the cotangent bundle $T^*(G/K)$. Such a tensor induces an invariant Poisson tensor $Π_1$ on $T^*(G/K)$, which is Poisson compatible with the canonical Poisson tensor $Π_{T^*(G/K)}$. This Poisson pair can be reduced to the space of $G$-invariant functions on $T^*(G/K)$ and produces a family of Poisson commuting $G$-invariant functions. We give, in Lie algebra…
Local high-degree polynomial integrals of geodesic flows and the generalized hodograph method
针对二维曲面测地流的动量高次多项式第一积分问题，将其转化为半 Hamilton 拟线性偏微分方程组，并利用广义速端曲线法构造了次数3、4、5的局部可积示例。
Minimal geodesic foliation on T^2 in case of vanishing topological entropy
在黎曼2-环面$(T^2,g)$上，我们研究了低复杂度下拓扑熵为零的测地线流。我们表明，这个假设意味着一个几乎可积的行为。在我们以前的论文\cite{GK}中，我们已经得到了所有测地线的渐近方向和旋转数都存在。本文证明了对所有的$r \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$，万有覆盖$\Br^2$由旋转数$r$的最短测地线构成.对于无理$r \in \mathbb{R}$，所有测地线都是最小的，对于有理$r \in \mathbb{R} \cup \{\infty\}$，所有测地线都在相邻最小轴之间的条中。在这样一个地带的最短测地线是渐近的相邻的最小轴，并产生两个叶理。
Barcode entropy of geodesic flows
该研究引入闭黎曼流形测地流的条形码熵，证明其与测地流及双曲紧不变集拓扑熵的上下界关系，得出曲面黎曼度量下二者相等的结论，核心工具为能量泛函梯度流线的交叉能量定理。
Entropy and self-intersection number of geodesic currents on compact hyperbolic surfaces
研究测地电流在双曲面上的熵与自交数关系，建立熵与自交数及系统最小长度的定量上界，证明小自交数导致小熵。
Ergodic components and topological entropy in geodesic flows of surfaces
考虑2-球面和2-环面上可逆Finsler度量的测地流，其测地流的拓扑熵为零.在A. Katok，我们讨论了芬斯勒度量的例子，这两个表面上，有大遍历组件的测地流的单位切丛。另一方面，利用J. Franks和M. Handel的方法，我们证明了当Finsler度量具有正的旗曲率和至少两条闭测地线时，2-球面的满单位切丛中不存在遍历性和稠密轨道.在2-环面的情况下，我们证明了遍历性被限制到严格的子集之间的流动不变环面的2-环面的单位切丛的管。
Uniqueness of the measure of maximal entropy for geodesic flows on surfaces
本文证明了在闭合可定向曲面上，遍历且具有正拓扑熵的几何流具有唯一的最大熵测度，并探讨了SRB测度的唯一性。
Escape of mass and entropy for geodesic flows
本文研究负曲几何有限流形上测地流的遍历论。我们证明了当没有质量损失时，测度论熵是上连续的。当我们失去质量时，基本群的抛物子群的临界指数就有重要意义。更确切地说，熵的上连续性的失败是由最大抛物临界指数。我们还研究了正的Hölder连续势通过尖点趋于零的压力。我们证明了压力图$t\mapsto P(tF)$是可微的，直到它经历了相变，之后它成为常数。这种描述特别允许计算测地流在无穷远处的熵。
Closed manifolds admitting metrics with the same geodesics
本文的目的是给出关于具有相同测地线的不同度量流形的拓扑的最新结果。我们强调的作用，理论的可积系统在获得这些结果。
Polynomial growth of volume of balls for zero-entropy geodesic systems
本文的目的是陈述和证明经典Manning不等式的多项式类似物，该不等式将测地流的拓扑熵与泛覆盖中球的体积增长率联系起来。为此，我们使用两个数值共轭不变量，{ \em强多项式熵$h_{pol}$ }和{ \em弱多项式熵$h_{pol}^*$ }。当拓扑熵为正时，它们都是无穷大的，并且满足$h_{pol}^*\leq h_{pol}$。我们首先证明了球的体积的增长率是有界的强多项式熵的装置，我们表明，对于平坦的环面这个不等式成为一个等式。然后，我们研究了明确的例子，我们可以给一个确切的渐近等价的增长率的体积球，我们涉及到弱多项式熵的革命环面。
Boundary distance, lens maps and entropy of geodesic flows of Finsler metrics
证明了$n$ -圆盘上简单Finsler度量的边界距离函数的小扰动也是某些Finsler度量的边界距离函数.（简单度量形成包含所有平坦度量的开放类。镜头映射是当测地线穿过圆盘时将出口向量发送到入口向量的映射。我们表明，一个简单的芬斯勒度量的透镜映射的一个小扰动是在其反过来的透镜映射的一些芬斯勒度量。我们利用这个结果在标准四维球面上构造了一个光滑的度量扰动，以产生测地流的正度量熵。此外，该流动表现出局部生成的度量熵，即正熵产生在任意小的管道周围的一个轨迹。
The geodesic flow of a generic metric does not admit nontrivial integrals polynomial in momenta
任何光滑的测地流都可以用光滑积分局部积分。我们表明，一般这失败，如果我们需要，此外，积分是多项式（或更一般地说，解析）的动量。因此，我们得到，一个通用的实解析度量不承认，甚至局部，一个实解析积分。
On Local Description of Two-Dimensional Geodesic Flows with a Polynomial First Integral
本文构造了具有多项式首次积分的二维度量的多参数族。这样的可积测地线流描述的解决方案的一些半哈密顿流体动力学型系统。我们发现这个系统有无穷多个守恒律和交换流。这个过程允许我们提出无限多个特定的度量的广义速端图方法。
Integrability of geodesic flows and isospectrality of Riemannian manifolds
我们构造了一对紧致的八维两步黎曼流形$M$和$M'$，它们对于函数上的Laplace算子是等谱的，并且使得$M$具有Liouville意义下的完全可积测地线流，而$M'$没有.此外，对于这两个流形，我们分析了单位切丛的子流形的结构给出了极大连续家庭的闭测地线一般的速度场。这些子流形的结构反映了上述（非）可积性。另一方面，它们的维数大于$M$中的拉格朗日环面的维数，这表明了一种简并性，这可能解释了波不变量在这里不能区分可积系统和不可积系统的事实。最后，我们证明了$M$，不变的8维环面是由封闭测地线叶状的单位切丛中是稠密的，并且$M$和$M'$都满足所谓的干净相交假设。
In this paper, we study the regularity of topological entropy, as a function on the space of Riemannian metrics endowed with the $C^0$ topology. We establish several instances of entropy robustness (persistence of entropy non-vanishing after small $C^0$ perturbations). A large part of this paper is dedicated to metrics on the 2-dimensional torus, for which our main results are that metrics with a contractible closed geodesic have robust entropy (thus generalizing and quantifying a result of Denvir-Mackay) and that metrics with robust positive entropy on the torus are $C^{\infty}$ generic. More…
Positive metric entropy arises in some nondegenerate nearly integrable systems
著名的KAM理论认为，如果对一个非退化的完全可积系统作一个小扰动，我们仍然可以看到在扰动系统中有一个巨大的具有准周期动力学的不变环面测度。这些不变环面被称为KAM环面。在金汤里外面发生的事情吸引了很多人的注意。本文给出了平面三维环面上测地流的拉格朗日摄动。扰动是$C^\infty$小，但流有一个积极的措施，具有积极的李雅普诺夫指数的轨迹，即，流有积极的度量熵。从这个结果中我们得到了在某个KAM环外正的度量熵。
We prove that for closed surfaces $M$ with Riemannian metrics without conjugate points and genus $\geq 2$ the geodesic flow on the unit tangent bundle $T^1M$ has a unique measure of maximal entropy. Furthermore, this measure is fully supported on $T^1M$ and the flow is mixing with respect to this measure. We formulate conditions under which this result extends to higher dimensions.
Geodesic Flow on Global Holomorphic Sections of TS^2
研究了在${\Bbb{R}}^3$的有向线空间上由中性Kähler度量诱导的丛$π:{TS}^2\to {S}^2$的整体全纯截面上的测地流，我们把它等同于${TS}^2$ .这种流动被证明是完全可积的部分时，辛和行为的测地线描述。
We prove that a surface carries a hexagonal 3-web of geodesics if and only if the geodesic flow on the surface admits a cubic first integral and show that the system of partial differential equations, governing metrics on such surfaces, is integrable by generalized hodograph transform method. We present some new local examples of such metrics, discuss known ones, and establish an analogue of the celebrated Graf and Sauer Theorem for Darboux superintegrable metrics.
Positve Entropy Geodesic Flows on Nilmanifolds
设T是4 × 4实上三角形矩阵的幂零群.本文证明了T上某些左不变黎曼度量的欧拉方程有马蹄形。借助于Melnikov型积分的数值计算，我们还证明了T上亚黎曼卡诺度规的Euler方程具有马蹄形.这使蒙哥马利、夏皮罗和斯托林的一个较早的结果更加尖锐，他们证明了方程在代数上是不可积的。
On the subriemannian geometry of contact Anosov flows
我们研究次黎曼几何和双曲动力系统之间的某些自然联系。特别是，我们研究动态定义的水平分布分裂成两个可积的，并问：如何是一个subriemannian测地线之间的投影到可积和共享的能量？我们表明，如果水平分布是一种特殊类型的接触Anosov流在三维的强稳定和强不稳定的分布的总和，那么对于任何足够短的亚黎曼测地线连接点的Anosov流的同一轨道上，能量的测地线之间共享\emph{equally}其投影到稳定和不稳定的束。证明依赖于测地线方程和谐振子方程之间的联系，以及由雅可比椭圆函数得到的显式解。利用不同的思想，我们证明了一个类似的结果在高维的常负曲率的封闭黎曼流形的测地流。
Dynamical and Topological methods in Theory of Geodesically Equivalent Metrics
本文综述了测地等价度量与可积测地流之间的联系。假设一个流形上的两个不同度量具有相同的测地线。我们表明，然后这些度量的测地流承认足够多的积分（一种特殊形式）在对合，反之亦然。这个结果的量子版本也是正确的。作为一个推论，我们有流形的拓扑（具有两个不同的度量和相同的测地线）必须足够简单。此外，我们有，在一个点的度量的非比例性导致的非比例性的度量在几乎所有的点。
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