Toric integrable geodesic flows
Eugene Lerman, Nadya Shirokova
通过研究切触流形上的完全可积环面作用，证明了Toth和Zelditch的一个猜想：环面上的环面可积测地流必有平坦度量。
By studying completely integrable torus actions on contact manifolds we prove a conjecture of Toth and Zelditch that toric integrable geodesic flows on tori must have flat metrics.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
On integrable natural Hamiltonian systems on the suspensions of toric automorphism
指出了\cite{liu}主语句中的一个错误，并提出了一个正确的语句，并给出了证明.
Integrable geodesic flows on the suspensions of toric automorphisms
对任何只具有实特征值的环面自同构，构造了一个在其悬挂上具有可积测地流的黎曼度量。本文对作者在数学DG/9905078中构造的三解流形上的这类流动作了定性分析。这个流是测地流的一个例子，测地线流的刘维尔熵为零，而且是可积的，但具有正的拓扑熵。讨论了测地流的可积性及相关问题。
3-Manifolds admitting toric integrable geodesic flows
本文利用余球面丛在环面可积时具有的接触环面流形结构，通过比较Betti数，得到紧连通3维流形上测地流环面可积的必要条件。
Finite-gap potentials and integrable geodesic equations on a 2-surface
本文证明一维薛定谔方程可视为二维曲面上的测地线方程，并利用Baker-Akhiezer函数显式构造了有限间隙势情形的度量与测地线。
Test configurations, large deviations and geodesic rays on toric varieties
本文包含了详细的研究，在复曲面的情况下，测试配置测地线射线定义的Phong Sturm。我们证明了Phong-Sturm的“Bergman逼近”在C^1中收敛于测地线，测地线本身也是C^{1，1}。与位势的测地线相关联的\kahler度量在某些超曲面上是不连续的，并且在某些开集上是退化的。分析中的一个新颖之处是Bergman度量、Bergman核和大偏差理论之间的联系。
We present a geometric interpretation of integrability of geodesic flow by quadratic integrals in terms of the web theory and construct integrable billiards on surfaces admitting such integrals.
Minimal geodesics and integrable behavior in geodesic flows
在这篇综述文章中，我们收集了经典的以及最近的结果最短测地线的黎曼或Finsler度量，特别注意二维的情况下。此外，我们提出了一些开放的问题，以及解决方案的初步想法。
New examples of manifolds with completely integrable geodesic flows
我们构造了具有完全可积的测地流的黎曼流形，特别是各种非齐次的例子。所采用的方法是一个修改的Thimm的方法，黎曼淹没和连接的总和。
Integrable systems with symmetries: toric, semitoric, and beyond
本文介绍了具有对称性的可积系统理论，包括托里系统、半托里系统及其分类方法，并探讨了通过受控变形构造半托里系统的技术。
Integrable geodesic flows on surfaces
本文提出了一个新的条件$\aleph$，它使得闭曲面上可积测地流的研究有了新的结果.本文分为两部分.第一，我们加强了Kozlov关于高亏格曲面不可积性的定理。第二部分研究了2-环面上的可积测地流。我们对2-环面的主要结果描述了可积流的相图。我们证明了它们本质上是标准的外链，我们称之为分界线链。对分界线链的并的补是$C^0$ -由丛的不变部分分叶的。
The goal of the paper is to develop a systematic approach to the study of (perhaps degenerate) singularities of integrable systems and their structural stability. As the main tool, we use "hidden" system-preserving torus actions near singular orbits. We give sufficient conditions for the existence of such actions and show that they are persistent under integrable perturbations. We find toric symmetries for several infinite series of singularities and prove, as an application, structural stability of Kalashnikov's parabolic orbits with resonances in the real-analytic case. We also classify all …
Completely Integrable Contact Hamiltonian Systems and Toric Contact Structures on $S^2\times S^3$
我首先给出一个一般性的讨论完全可积的哈密顿系统的设置接触几何。然后我们转到流形$S^2\times S^3$上复曲面切触结构的特殊情况。特别地，我们给出了物理学家发现的一类复曲面切触结构$Y^{p,q}$的接触等价问题的完整解，证明了$Y^{p,q}$和$Y^{p',q'}$作为切触结构是不等价的当且仅当$p\neq p'$ .
Invariant stably complex structures on topological toric manifolds
证明了在维数为$2n$的拓扑复曲面流形上的任何$(\C ^*)^n$ -不变稳定复结构都是可积的.我们还证明了这样的流形是弱$(\C ^*)^n$ -等变同构的环面流形。
Bergman metrics and geodesics in the space of Kähler metrics on toric varieties
射影Kähler流形X上的固定Kähler类中Kähler度量的无限维对称空间$\hcal$上的测地线是齐次复蒙日-安培方程在$\hcal$上的解，其中$A \subset \C$是一个环。它们是对称空间$G_{\C}/G$上的单参数子群（1 PS）的类似物。Donaldson，Arezzo-Tian和Phong-Sturm提出了一个问题：在Bergman度量的对称空间中，Monge-Ampère测地线是否可以用1 PS测地线来近似。Phong-Sturm证明了一般\kahler流形上Bergman到Monge-Ampère测地线的弱C^0收敛性。在这篇文章中，我们证明了收敛的$C^2(A \times X)$的情况下，复曲面Kähler度量，扩展我们以前的结果$\CP^1$。
Integrable sub-Riemannian geodesic flows on the special orthogonal group
本文研究特殊正交群上橡胶滚动分布诱导的次黎曼几何，通过构造Lax对和双哈密顿结构，证明了任意右不变次黎曼度量的几乎所有正规测地线完全可积。
In this work, magnetic geodesics over the space of Kähler potentials are studied through a variational method for a generalized Landau-Hall functional. The magnetic geodesic equation is calculated in this setting and its relation to a perturbed complex Monge-Ampère equation is given. Lastly, the magnetic geodesic equation is considered over the special case of toric Kähler potentials over toric Kähler manifolds.
On the Existence of a Codimension 1 Completely Integrable Totally Geodesic Distribution on a Pseudo-Riemannian Heisenberg Group
本文证明了具有左不变伪黎曼度量的海森堡群存在余维为1的完全可积全测地分布。这与T. Hangan
Hydrodynamic-type systems describing 2-dimensional polynomially integrable geodesic flows
从一个齐次多项式的动量的任意阶，我们提取多组分流体动力学型系统，描述二维测地流承认初始多项式作为积分。所有这些流体动力学型系统是半哈密顿的，从而意味着它们是可积的根据广义速端图方法。此外，他们是可积的建设性意义上的多项式首次积分允许构建生成方程的守恒律。根据多项式积分根的重数，我们分离出可积的特殊情况。
Quadratically integrable geodesic flows on the torus and on the Klein bottle
本文证明了：若度量G在环面T上的测地线流是二次可积的，则环面T等距覆盖一个其上具有Liouville度量的环面，并描述了Klein瓶上的二次可积测地线流集.
Integrable Geodesic Flows on Cones over Riemannian Manifolds
本文研究了锥面上的测地流，证明其超积分性及可积性，受Birkhoff弹道研究启发。
Integrable geodesic flow in 3D and webs of maximal rank
本文以测地4-网刻画三维空间中具有两个交换二次积分的可积测地流，并证明在自然几何条件下度量为 Stäckel 型。
A Liouville classification of a natural Hamiltonian system on the projective plane with a rotation metric and a linear integral is obtained. All Fomenko--Zieschang invariants (i.e., labeled molecules) of the system are calculated.
Jacobi vector fields of integrable geodesic flows
我们表明，一个不变的表面允许沿测地线构造雅可比向量场，并构造雅可比场的法向分量的公式。如果测地线是两个不变曲面的横截交（例如，如果测地线是双曲的，我们就有这种情况），那么我们可以构造雅可比-希尔方程的基本解。这是二次可积测地线流。
Integrable geodesic flow with positive topological entropy
构造了一个紧致流形上的实解析度量的例子，该流形的测地流是Liouville可积的$C^\infty$函数，并且具有正的拓扑熵.
In this paper we construct a new class of surfaces whose geodesic flow is integrable (in the sense of Liouville). We do so by generalizing the notion of tubes about curves to 3-dimensional manifolds, and using Jacobi fields we derive conditions under which the metric of the generalized tubular sub-manifold admits an ignorable coordinate. Some examples are given, demonstrating that these special surfaces can be quite elaborate and varied.
On a class of Kähler manifolds whose geodesic flows are integrable
我们研究了$n$维Kähler流形，其测地线流具有$n$第一积分的对合，是纤维厄米形式和同时规范化。在一些温和的假设下，可以将这样的流形与无穷小自同构的$n$维交换李代数联系起来。这与给定的$n$第一积分相结合，使得测地线流可积。如果流形是紧的，那么它就成为复曲面簇。
This work is devoted to a systematic study of symplectic convexity for integrable Hamiltonian systems with elliptic and focus-focus singularities. A distinctive feature of these systems is that their base spaces are still smooth manifolds (with boundary and corners), similarly to the toric case, but their associated integral affine structures are singular, with non-trivial monodromy, due to focus singularities. We obtain a series of convexity results, both positive and negative, for such singular integral affine base spaces. In particular, near a focus singular point, they are locally convex a…
Homogeneous spaces with geodesic orbit Riemannian metrics and with integrable invariant distributions
本文研究了具有可积不变分布和测地轨道度量的齐性空间，发现部分空间属于前者但不属于后者，并指出其中存在允许不变爱因斯坦度量的案例。
Integrable geodesic flows with simultaneously diagonalisable quadratic integrals
研究显示，若n维流形上测地流的n个功能独立二次动量积分在每一点的切空间同时对角化，则这些积分源自Stäckel构造，表明度量允许正交分离变量。
Integrable geodesic flows of non-holonomic metrics
本文从哈密顿系统理论的观点出发，讨论了卡诺-卡拉西奥多里的正规测地线流。本文将三维海森堡群上对应于左不变度量和左右不变秩2分布的测地线流作为可积系统来分析。李群上的左不变度量和左不变分布所对应的流被简化为李群上的欧拉方程。这些结构的分析力学问题的关系进行了讨论。
Given two c-projectively equivalent metrics on a Kähler manifold we show that the canoncially constructed, Poisson-commuting integrals of motion of the geodesic flow, linear and quadratic in momenta, also commute as quantum operators. The methods employed here also provide a proof of a similar statement in the case of projective equivalence. We also investigate the addition of potentials, i.e. the generalization to natural Hamiltonian systems. We show that the commuting operators lead to separation of variables for Schrödinger's equation.
Contact toric manifolds
我们完成了分类的紧连接接触环面流形发起的Banyaga和Molino和Galicki和Boyer。作为应用，我们证明了Toth和Zelditch关于n-环面和2-球面上环面可积系统的定理。
We study the magnetic geodesic flows on 2-surfaces having an additional first integral which is independent of the Hamiltonian at a fixed energy level. The following two cases are considered: when there exists a quadratic in momenta integral, and also the case of a rational in momenta integral with a linear numerator and denominator. In both cases certain semi-Hamiltonian systems of PDEs appear. In this paper we construct exact solutions (generally speaking, local ones) to these systems: in the first case via the generalized hodograph method, in the second case via the Legendre transformation …
In this work we study the geodesic flow on nilmanifolds associated to graphs. We are interested in the construction of first integrals to show complete integrability on some compact quotients. Also examples of integrable geodesic flows and of non-integrable ones are shown.
Rich quasi-linear system for integrable geodesic flows on 2-torus
考虑两个环面上的黎曼度量。我们证明了多项式首次积分的存在性问题自然地导出一个显著的拟线性方程组，它是一个丰富的守恒律组。这减少了问题的可积性问题的光滑（准）周期解的存在性这个丰富的准线性系。
We present an algebraic method to study four-dimensional toric varieties by lifting matrix equations from the special linear group ${\rm SL}_2({\mathbb Z})$ to its preimage in the universal cover of ${\rm SL}_2({\mathbb R})$. With this method we recover the classification of two-dimensional toric fans, and obtain a description of their semitoric analogue. As an application to symplectic geometry of Hamiltonian systems, we give a concise proof of the connectivity of the moduli space of toric integrable systems in dimension four, recovering a known result, and extend it to the case of semitoric …
Flat metrics are local strict minimizers for the polynomial entropy
正如我们在[L]中所证明的，与T^2上的平坦度量相关联的测地流使多项式熵最小化。本文证明了在Bott可积且动态相干的测地流中，与平坦度量相关联的测地流是多项式熵的局部严格极小.为此，我们证明了近可积系统中不变拉格朗日环面的一个图形性质。
The interior regularity of the Calabi flow on a toric surface
设X是Delzant多边形P的复曲面，u（t）是P上Calabi流方程的解，且Calabi流存在于[0，T）中.通过研究Calabi流下Riemann曲率和测地距离的局部估计，证明了u（t）的一致内估计，其中t < T.
The Riemannian geometry of orbit spaces. The metric, geodesics, and integrable systems
本文研究了轨道空间$M/G$上李群在黎曼流形上的等距真作用的黎曼几何的基础。最短测地线弧是度量空间$M/G$中的长度最小化曲线，它们只能在端点处到达更奇异的层。这被表述为凸性结果。在$TM/G$上，测地线被看作是一个（地层保持的）向量场，这导致了$M/G$中测地线的概念，它是在$M\to M/G$下垂直于轨道的测地线的投影。它还导致“弹道曲线”，即其他测地线的投影。在例子中（厄米特和对称矩阵，更一般的极表示），我们计算他们的方程奇异辛约化，并获得推广的Calogero-Moser系统的自旋。
Integrable geodesic flows on 2-torus: formal solutions and variational principle
本文研究了2-环面上可积测地流的拟线性偏微分方程组，它描述了关于动量的多项式首次积分的存在性。我们在[3]中证明了这是一个半哈密顿系统，并在这里证明了与该系统有关的度量是Egorov型度量。我们利用这一事实，以证明，在三次和四次积分的情况下，该系统实际上相当于一个显着的3阶和4阶方程。值得注意的是，四次方程具有变分意义：它是一个变分原理的欧拉-拉格朗日方程。其次，我们证明了该方程的$n=4$有形式的双周期解作为一个小参数的系列。
Geometry of nondegenerate $\mathbb{R}^n$-actions on $n$-manifolds
本文系统地研究了$n$ -流形上的非退化$\bbR^n$ -作用的几何性质。这项研究的动机来自动力学和几何学，动力学中这些作用形成了一类特殊的可积动力系统，对它们性质的理解对于研究其他哈密顿和非哈密顿可积系统是重要的，几何学中这些作用与许多其他几何对象有关，包括反射群，奇异仿射结构，复曲面和拟复曲面流形，monodromy现象，拓扑不变量等。我们构造了这些作用的几何理论，得到了一系列结果，包括：局部和半局部规范形，自同构和扭群，反射原理，复曲面度，单值性，与双曲域相关的完全扇，商空间，肘曲作用和复曲面流形，存在性和分类定理。
Applications of Nijenhuis Geometry V: geodesically equivalent metrics and finite-dimensional reductions of certain integrable quasilinear systems
本文刻画了与gl-正则Nijenhuis算子测地相容的全部度量，并证明由此构造的流体动力学型PDE系统在测地线集上的约化等价于积分生成的Poisson作用，从而给出有限维约化。
The horizontal Laplacian of a Riemannian submersion with totally geodesic fibers and an integrable horizontal distribution
研究具有全测地纤维和可积水平分布的黎曼浸没的水平拉普拉斯算子的谱性质，证明其酉等价于基流形上某个无限秩平坦向量丛的扭曲拉普拉斯算子，并应用于缩放第一非零特征值的渐近行为。
Convergence of Kähler to real polarizations on flag manifolds via toric degenerations
本文在复旗流形上构造了一族复结构，它们收敛于Gelfand-Cetlin可积系统的实偏振态，即前量子线丛的全纯截面收敛于Bohr-Sommerfeld光纤上的δ函数截面.我们的结构是基于一个复曲面退化的旗品种和变形的Kähler结构复曲面品种的辛潜力。
Bergman metrics and geodesics in the space of Kähler metrics on principally polarized Abelian varieties
在\kahler几何中，已知极化\kahler流形上的固定\kahler类中的光滑\kahler度量的无限维对称空间$\hcal$可以用高度为$k$的Bergman度量的有限维子流形$\bcal_k \subset \hcal$很好地逼近.那么很自然地会问$\hcal$中的测地线是否可以用$\bcal_k$中的Bergman测地线来近似。对于任何极化的\kahler流形，近似是在$C^0$拓扑中。而Song-Zelditch证明了环面簇上环面不变度量的$C^2$收敛性。在这篇文章中，我们证明了一些$C^{\infty}$近似存在以及一个完整的渐近展开的主要极化阿贝尔簇。我们还得到了调和映射到$\bcal_k$的$C^\infty$完全渐近展开式，推广了Rubinstein-Zelditch关于复曲面簇的工作.
Projective connections arise from equivalence classes of affine connections under the reparametrization of geodesics. They may also be viewed as quotient systems of the classical geodesic equation. After studying the link between integrals of the (classical) geodesic flow and its associated projective connection, we turn our attention to 2-dimensional metrics that admit one projective vector field, i.e. whose local flow sends unparametrized geodesics into unparametrized geodesics. We review and discuss the classification of these metrics, introducing special coordinates on the linear space of …
Local high-degree polynomial integrals of geodesic flows and the generalized hodograph method
针对二维曲面测地流的动量高次多项式第一积分问题，将其转化为半 Hamilton 拟线性偏微分方程组，并利用广义速端曲线法构造了次数3、4、5的局部可积示例。
Kähler Soliton Surfaces Are Generically Toric
本文证明四维 Kähler 梯度 Ricci 溶液在一般假设下具有环形对称性。
Contact magnetic geodesic and sub-Riemannian flows on $V_{n,2}$ and integrable cases of a heavy rigid body with a gyrostat
本文研究了在$V_{n,2}$上$SO(n)$不变度量的磁流形和子黎曼流形的可积性，并将其应用于重刚体带陀螺仪的可积情形。
Completely integrable torus actions on complex manifolds with fixed points
证明了如果全纯$n$维紧环面作用在复维数为$n$的紧连通复流形上有不动点，则该流形等变双全纯为光滑环面簇.
Chaotic Geodesics in Carnot Groups
对角线上有1的实4 × 4上三角矩阵群具有左不变的次黎曼（或卡诺-卡拉西奥多里）结构，其基本分布对应于超对角线。我们证明了相应的次黎曼测地流是不完全可积的。这提供了具有不可积测地线流的卡诺群（分次幂零李群，其生成子空间支持不变的次黎曼结构）的第一个例子。我们应用这一结果来证明，中心化相应的二次“量子”哈密顿在通用包络代数为这个群体是“尽可能小”。
Closed manifolds admitting metrics with the same geodesics
本文的目的是给出关于具有相同测地线的不同度量流形的拓扑的最新结果。我们强调的作用，理论的可积系统在获得这些结果。
On four-dimensional three-webs with integrable transversal distributions
对于四维（非等斜测地线）三腹板W（3，2，2），横截分布$Δ$由腹板的挠率张量定义.一般来说，这个分布是不可积的。给出了其可积的充要条件，证明了具有可积分布$Δ$的网W（3，2，2）的存在性定理.证明了对于具有可积分布$Δ$的网W（3，2，2），$Δ$的积分曲面$V^2$在某个仿射联络丛的仿射联络中是全测地的.他们还考虑了一类网W（3，2，2），其中$Δ$的积分曲面$V^2$相对于相同的仿射联络测地线平行，以及一类网，其中被$V^2$上的W（3，2，2）的叶理切割的二维网W（3，2，1）是六边形的。他们证明存在定理的网站后一类以及网站的子类是上述两个类的交集。作者还建立了本文所考虑的三个网络之间的关系。
We study invariant Nijenhuis $(1,1)$-tensors on a homogeneous space $G/K$ of a reductive Lie group $G$ from the point of view of integrability of a Hamiltonian system of differential equations with the $G$-invariant Hamiltonian function on the cotangent bundle $T^*(G/K)$. Such a tensor induces an invariant Poisson tensor $Π_1$ on $T^*(G/K)$, which is Poisson compatible with the canonical Poisson tensor $Π_{T^*(G/K)}$. This Poisson pair can be reduced to the space of $G$-invariant functions on $T^*(G/K)$ and produces a family of Poisson commuting $G$-invariant functions. We give, in Lie algebra…
Hamiltonian torus actions on symplectic orbifolds and toric varieties
在本文的第一部分，我们建立了一个基础，进一步工作的哈密顿作用的辛orbifolds。最重要的是，我们证明了轨道形式的阿贝尔连通性和凸性定理。在第二部分中，我们证明了紧辛orbifolds与完全可积环面行动的分类凸简单的合理多面体与一个正整数附加到每个方面，所有这样的orbifolds是代数环面品种。
Toric anti-self-dual 4-manifolds via complex geometry
本文利用扭量对应给出了扭量空间上复曲面反自对偶共形类的芽与由诱导作用决定的某些全纯数据之间的一一对应。从全纯数据恢复度量导致经典问题的规定0-上链的Cech上边界的椭圆曲线覆盖的两个环。类承认卡勒代表的描述，每个这样的类包含一个圈的卡勒指标。这给出了纯量平坦卡勒曲面的新局部例子，并概括了乔伊斯的工作，乔伊斯考虑了与环面作用量正交的分布是可积的情况。
Bergman approximations of harmonic maps into the space of Kahler metrics on toric varieties
本文将Song-Zelditch关于复曲面簇上Kahler度量空间中测地线的结果推广到复曲面簇上Kahler度量空间中任何带边界的紧致黎曼流形的调和映射.我们证明了调和映射方程总是可解的，并且这种映射在C^2拓扑中可以近似为Bergman度量空间中的调和映射。特别地，WZW映射，或者等价地，齐次蒙格-安培方程在流形与黎曼曲面的乘积上的解，其边界为S^1，允许这样的近似。我们还证明了Kahler势空间上的Eells-Sampson流在Legendre变换下转化为辛势空间上的通常热流。
Integrability of geodesic flows and isospectrality of Riemannian manifolds
我们构造了一对紧致的八维两步黎曼流形$M$和$M'$，它们对于函数上的Laplace算子是等谱的，并且使得$M$具有Liouville意义下的完全可积测地线流，而$M'$没有.此外，对于这两个流形，我们分析了单位切丛的子流形的结构给出了极大连续家庭的闭测地线一般的速度场。这些子流形的结构反映了上述（非）可积性。另一方面，它们的维数大于$M$中的拉格朗日环面的维数，这表明了一种简并性，这可能解释了波不变量在这里不能区分可积系统和不可积系统的事实。最后，我们证明了$M$，不变的8维环面是由封闭测地线叶状的单位切丛中是稠密的，并且$M$和$M'$都满足所谓的干净相交假设。
Convolutions are fundamental elements in deep learning architectures. Here, we present a theoretical framework for combining extrinsic and intrinsic approaches to manifold convolution through isometric embeddings into tori. In this way, we define a convolution operator for a manifold of arbitrary topology and dimension. We also explain geometric and topological conditions that make some local definitions of convolutions which rely on translating filters along geodesic paths on a manifold, computationally intractable. A result of Alan Turing from 1938 underscores the need for such a toric isome…
On Local Description of Two-Dimensional Geodesic Flows with a Polynomial First Integral
本文构造了具有多项式首次积分的二维度量的多参数族。这样的可积测地线流描述的解决方案的一些半哈密顿流体动力学型系统。我们发现这个系统有无穷多个守恒律和交换流。这个过程允许我们提出无限多个特定的度量的广义速端图方法。
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