Experimentation and conjectures in the real Schubert calculus for flag manifolds
夏皮罗猜想在真正的舒伯特演算，而可能真正的格拉斯曼，未能举行旗流形，但在一个非常有趣的方式。我们对旗帜流形的夏皮罗猜想进行了细化，并提出了大规模（15.76千兆赫兹年）的计算实验来支持这一细化的猜想。我们还证明了在一些特殊情况下使用判别式的猜想，并建立不同的情况下的猜想之间的关系。
2005-11-22 math.AG
Certifiable Numerical Computations in Schubert Calculus
从舒伯特微积分的几何问题的传统公式，无论是在Plucker坐标或在舒伯特细胞提供的局部坐标，产生系统的多项式，通常是远离完整的交叉和（在局部坐标），通常超过2的程度。我们提出了一种替代的原始-对偶配方使用Schubert细胞的参数化的双格拉斯曼，其中的交叉点的Schubert品种成为完全交叉的双线性方程。这个公式使得舒伯特演算中的问题的数值验证成为可能。
2012-12-13 math.AG
General isotropic flags are general (for Grassmannian Schubert calculus)
我们表明，一般各向同性旗奇正交和辛群是一般的Schubert演算的经典格拉斯曼在Schubert细胞定义的这样的标志满足横向。这加强了Belkale和Kumar在arXiv：0708.0398中的结果。
2008-07-21 math.AG
Experimentation in the Schubert Calculus
舒伯特微积分的许多方面很容易在计算机上建模。这使得大规模的实验能够研究舒伯特演算中微妙和难以理解的现象。一个著名的网络的结构和结果在真正的舒伯特演算已经启发了这种持续的实验。关于舒伯特问题的内在结构，或称伽罗瓦群，一个同样丰富的故事也开始从实验中出现。这展示了在数学研究中使用计算机的新的可能性。
2013-08-15 math.AG
Schubert calculus and Gelfand-Zetlin polytopes
我们描述了一种新的方法，舒伯特演算完整的旗品种使用的体积多项式与Gelfand-Zetlin多面体。这种方法使我们能够通过多面体的相交面来计算舒伯特圈的交积。
2011-09-02 math.AG
Schubert calculus for algebraic cobordism
本文建立了完备旗簇G/B的代数配边环上Bott-Samelson分解的Schubert演算。
2010-06-04 math.AG math.KT
Positivity of Thom polynomials and Schubert calculus
本文讨论了映射奇点的Thom多项式、Lagrange Thom多项式和Legendrian Thom多项式的正性。我们表明，这些积极性来自舒伯特演算。
2016-10-08 math.AG math.AT
A congruence modulo four in real Schubert calculus with isotropic flags
我们以前得到了一个同余模4的真实的解决方案，许多舒伯特问题的平方格拉斯曼密切标志。在这里，我们认为舒伯特问题更一般的各向同性标志，并证明这一同余模4的最大类舒伯特问题，可以预期表现出这种同余。
2015-02-05 math.AG
The Algebra of Schubert Calculus
提出了一个灵活的统一的经典和量子舒伯特演算的框架。它是基于一个自然的组合方法依赖于Hasse-Schmidt扩展的某个家庭的成对交换自同态的无限自由Z-模M的外代数。
2004-05-09 math.AG
Descent-cycling in Schubert calculus
本文证明了广义旗流形G/B上Schubert演算的两个引理，并在普通旗流形GL_n/B的情况下，用下降和缺失子空间的组合和几何解释了它们.其中之一给出了舒伯特微积分的一种对称性，我们称之为下降循环。计算机实验表明，这些引理在n=5时足以确定所有GL_nSchubert演算，在n=6时可达99.97%。我们用它们来快速证明蒙克的规则。引理在Kac-Moody群G的等变（“double”）Schubert演算中也成立。
2000-09-11 math.AG math.CO
Positivity in equivariant quantum Schubert Calculus
证明了齐性空间G/P的（T-）等变量子上同调的一个正性结果，推广了Graham等变上同调的正性.
2004-07-14 math.AG math.RT
Schubert calculus and cohomology of Lie groups. Part I. 1-connected Lie groups
设$G$是一个具有极大环面$T$的紧的$1$-连通李群.基于旗流形$G/T$ [15]上的Schubert演算，我们对所有$G$一致地构造了积分上同调环$H^{\ast}(G)$.
2015-09-10 math.AG math.AT
Lower Bounds in Real Schubert Calculus
我们描述了一个大规模的计算实验，研究结构的真实解决方案的密切的舒伯特问题的实例的数量。本研究揭示了舒伯特问题的计算数量的实际解决方案不同地表现出非平凡的上界，下界，差距，和一个同余模4。我们提出了一个家庭的舒伯特问题，在每个格拉斯曼，并证明其密切的例子有观察到的下界和差距。
2013-08-20 math.AG
Newton Binomial Formulas in Schubert Calculus
本文证明了Schubert微积分中的牛顿二项式公式，用以确定给定分歧因子支撑在给定不同点上的射影直线上的基点自由线性级数的个数。
2008-09-15 math.AG math.CO
Schubert calculus from polyhedral parametrizations of Demazure crystals
舒伯特演算的一种方法是将舒伯特类实现为具体的组合对象，如舒伯特多项式。通过A型满旗簇的上同调环与Gelfand-Tsetlin多面体的多面体环的鉴别，Kiritchenko-Smirnov-Timorin将每个Schubert类实现为约化（对偶）Kogan面的和。在本文中，我们明确地描述弦参数化的相反Demazure晶体，这给了一个自然的推广减少对偶Kogan面。我们还涉及到减少Kogan面与Demazure晶体使用有丝分裂算子的理论，并应用这些意见发展的Schubert演算辛Gelfand-Tsetlin多面体的理论。
2020-08-11 math.AG math.CO math.RT
Quantum Schubert calculus for smooth Schubert divisors of $F\ell_n$
School of Mathematics, Sun Yat-sen University（中山大学数学学院）；Department of Mathematics and Statistics, University of Ottawa（渥太华大学数学与统计系）；Department of Mathematics, The University of Hong Kong（香港大学数学系）
研究完全旗簇 $Fl_n$ 的光滑舒伯特除子 $X$ 的量子舒伯特演算，给出其量子上同调的博雷尔型环表示，通过几何论证推导量子谢瓦莱公式，证明其量子舒伯特多项式与 $Fl_n$ 的相同。
2026-07-17 math.AG
Rational functions and real Schubert calculus
我们挑出余维2的子空间的舒伯特演算的一些问题，具有的性质，所有的解决方案是真正的，提供的数据是真实的。我们的论点探讨余维2和有理函数的一个变量的子空间之间的连接。
2004-07-23 math.AG math.CV
Schubert calculus on Newton-Okounkov polytopes
完备旗簇的Newton-Okounkov多面体可以转化为Schubert演算的凸几何模型。也就是说，我们可以用多面体的面的线性组合来表示舒伯特圈，使得圈的交积对应于面的集合论交（只要后者是横截的）。我们解释了一般框架，并调查了这种方法在A，B和C类型中的具体实现。
2018-12-11 math.AG
The connection between representation theory and Schubert calculus
本文描述了一般线性群的表示论与经典Schubert微积分在Grassmannian上的直接联系，这种联系是通过特征类的Chern-Weil理论实现的.我们还解释了为什么类似的结构不给其他李群相同的结果。
2013-09-06 math.AG math.RT
A congruence modulo four in real Schubert calculus
本文在2 m-空间中m-平面的格拉斯曼算子上建立了实Schubert微积分中模4的同余。这种全等性适用于朗斯基映射的纤维，并推广到我们所说的对称舒伯特问题。这加强了通常的同余模2的数量真正的解决方案的几何问题。它还给出了由拓扑度为零的映射的纤维给出的几何问题的例子，但其中每个纤维包含实点。
2013-12-02 math.AG
Double transitivity of Galois Groups in Schubert Calculus of Grassmannians
研究了格拉斯曼算子上经典Schubert演算中伽罗瓦群的双传递性.我们证明了2-平面和3-平面上的格拉斯曼算子上的所有舒伯特问题都有双传递的伽罗瓦群，就像所有只涉及特殊舒伯特条件的舒伯特问题一样。利用这些结果给出了2-平面Grassmannian上的Schubert问题具有包含交错群的伽罗瓦群的新证明。我们还研究了Gr（4，8）上每个Schubert问题的伽罗瓦群，发现每个伽罗瓦群要么包含交错群，要么是非本原的置换群，因而不能是双传递的.这些非本原的例子表明，我们的结果是Schubert问题双传递性的最好的可能的一般结果。
2014-12-14 math.AG math.CO
Multiplicity-free Schubert calculus
本文给出了Grassmannian Schubert类的重数-自由积的一个非递归的组合刻划.这回答了W. Fulton和J. Stembridge的结果。
2007-07-13 math.AG math.CO
On the coproduct in affine Schubert calculus
复约化群的仿射旗簇的上同调是仿射格拉斯曼上同调的余模。本文在（环面-等变）上同调和K-理论中给出了仿射Schubert类关于仿射Stanley类和有限Schubert类的余积的正公式。作为应用，我们证明了第二作者的仿射Schubert多项式的单项式正性。
2020-09-20 math.AG math.CO
Branching Schubert calculus and the Belkale-Kumar product on cohomology
2006年，Belkale和Kumar定义了一个关于旗簇上同调的新积，并利用这个新积给出了复约化群的特征锥问题的改进解。本文将Belkale-Kumar积推广到分支Schubert演算的情形。分支舒伯特演算的研究试图理解旗簇的等变嵌入上同调的诱导映射。我们的工作的主要应用是一个紧凑的制定的解决方案的分支特征锥问题。
2009-09-04 math.AG
Oriented Schubert calculus in Chow-Witt rings of Grassmannians
我们应用以前的计算Chow-Witt环的格拉斯曼开发一个面向模拟的经典舒伯特演算。从而得到了Chow-Witt环和扭Witt群的环结构的完整的图解描述。在舒伯特演算的算术改进中，解子空间的重数是编码附加方向信息的二次型。我们还讨论了几个应用程序，如Chow-Witt版本的符号计数平衡子空间的Fehér和Matszangosz。
2018-08-22 math.AG math.AT
Two Murnaghan-Nakayama rules in Schubert calculus
Murnaghan-Nakayama规则表示Schur函数与Schur函数基础上的牛顿幂和的积。我们建立了Schubert多项式的Murnaghan-Nakayama规则的一个版本和Grassmannian的量子上同调环的一个版本。这些规则计算舒伯特循环与来自陈特征标的重言式类的所有交集。
2016-06-06 math.AG math.CO
Schubert Calculus via Hasse-Schmidt Derivations
自由模的外代数上的一个自然的Hasse-Schmidt导子将格拉斯曼$G_k(\CC^n)$的（小量子）上同调环实现为秩为$n$的自由模的外代数上的一个算子环。经典的Pieri公式可以解释为特殊Schubert圈关于楔积的Leibniz规则。
2005-04-14 math.AG
$k$-Schur functions and affine Schubert calculus
这本书是对仿射舒伯特演算和$k$ -舒尔函数的研究现状的阐述。本文是基于一系列的讲座，在一个名为“仿射舒伯特微积分”，发生在2010年7月在多伦多，安大略省的菲尔兹研究所研讨会。本研究的故事分为三个部分：1。$k$ -Schur函数入门2.斯坦利对称函数和彼得森代数3.仿射舒伯特演算
2013-10-24 math.AG math.CO
Multiplicity of critical points of master functions and Schubert calculus
在[MV]中，定义了与sl_{N+1}相关的主函数的临界点与C[x]中具有给定分歧性质的子空间之间的对应关系.在本文中，我们表明，这些对应实际上是计划理论同构的适当计划。给出了主函数的临界点轨迹的重数与Schubert演算中重数的关系。
2005-05-03 math.AG math.QA
Experimentation and conjectures in the real Schubert calculus for flag manifolds (extended abstract)
夏皮罗猜想在真正的舒伯特演算不成立旗流形，但在一个非常有趣的方式。在这个扩展的摘要中，我们给出了旗流形的猜想的改进，并提出了大量的实验（超过12千兆赫兹年），支持我们改进的猜想。我们还建立了不同情况下的猜想之间的关系，并描述了一些新的现象，发现在这个实验。
2005-02-02 math.AG
On Two Algebraic Realizations of Schubert Calculus
研究复格拉斯曼流形上舒伯特演算的两种代数实现，即通过作用于舒尔多项式的微分算子和作用于外代数的顶点算子，利用玻色子 - 费米子对应建立统一框架，关联舒伯特演算与多种数学理论。
2026-07-09 math.AG math.CO math.RT
A primal-dual formulation for certifiable computations in Schubert calculus
University of Notre Dame（圣母大学）；University of Nebraska at Kearney（内布拉斯加大学基尔尼分校）；Texas A&M University（德克萨斯农工大学）
本文提出了一种新的对偶形式，用于在示性类计算中通过Smale的α理论进行数值计算的验证。
2015-03-20 cs.NA math.AG math.NA
Equivariant Quantum Schubert Calculus
研究了格拉斯曼的T-等变量子上同调。证明了一类等变量子Littlewood-Richardson系数为零，这意味着一个等变量子Pieri规则.在等变的情况下，这意味着一个算法来计算等变量子Littlewood-Richardson系数。
2004-06-03 math.AG math.CO
Eigenvalues, invariant factors, highest weights, and Schubert calculus
我们描述了最近的工作Klyachko，Totaro，Knutson和陶，其特征值的埃尔米特矩阵的总和，和分解的张量积表示的$GL_n(\mathbb{C})$。我们解释了相关的应用，以不变的因素，产品的矩阵，交叉格拉斯曼品种，和奇异值的总和和产品的任意矩阵。
2000-03-27 math.AC math.AG math.RT
Quantum Schubert Calculus
本文给出了经典Giambelli公式和Pieri公式在复Grassmannian量子上同调下的形式。
1997-05-29 alg-geom math.AG
Numerical Schubert Calculus in Macaulay2
Macaulay 2软件包NumericalSchubertCalculus提供了格拉斯曼上Schubert问题的数值计算方法。它实现了Pieri同伦算法和Littlewood-Richardson同伦算法。每个算法在这个包中都有两个独立的实现。一个是在Macaulay 2的脚本语言中使用NumericalAlgebraicGeometry包，另一个是在PHCPack的编译代码中。
2021-05-10 math.AG
On multiplicity-free skew characters and the Schubert Calculus
本文对对称群的无重数斜特征标进行了分类。此外，我们表明，舒伯特演算是等价的斜字符在以下意义上：如果我们分解的两个舒伯特类的产品，我们得到相同的，如果我们分解一个斜字符，并取代不可约字符的舒伯特类的“逆”分区（定理4.2）。
2007-11-19 math.AG math.CO math.RT
On equivariant quantum Schubert calculus for G/P
我们给出了一般李型完备旗簇的环面等变量子上同调的Z^2-滤子代数结构和“量子到经典”原理，推广了Leung和第二作者的早期工作。我们还提供了等变量子Schubert演算的各种应用，包括李型A的任何部分标志簇的等变量子Pieri规则。
2015-06-02 math.AG math.AT math.CO
Root-theoretic Young diagrams and Schubert calculus II
我们继续从[Searles-Yong '13]中研究根论Young图（RYDs）。在[Knutson-Purbhoo '11]之后，我们提供了$GL_n$ Belkale-Kumar乘积的RYD公式，并且我们将[Buch-Kresch-Tamvakis '09]的非极大各向同性Grassmannian的Schubert簇的索引集翻译为RYD。然后，我们使用这个翻译，以证明[Searles-Yong '13]的经典（co）伴随品种的舒伯特演算的RYD公式符合[Buch-Kresch-Tamvakis '09]的Pieri规则，这是需要在（co）伴随公式的证明。
2013-11-12 math.AG math.CO
Excited Young diagrams and equivariant Schubert calculus
利用到环面不动点的局部化映射刻画了各向同性Grassmannian的环面等变上同调环.给出了这类齐性空间的等变Schubert类的两类公式。第一个公式涉及的组合对象，我们称之为“兴奋的杨氏”和第二个是书面的阶乘舒尔$Q$ -或$P$ -功能。作为应用，我们给出了等变Schubert类的Giambelli型公式。我们还给出了Schubert簇中奇点重数的组合公式和Pfiran公式。
2007-03-21 math.AG math.CO
Eigenvalues of products of unitary matrices and quantum Schubert calculus
利用量子Schubert微积分描述了酉矩阵乘积的可能特征值的不等式。相关的问题是存在的平坦连接的打孔两个球规定的完整性，和SU（n）的表示的融合产品的分解，在大的水平极限。在本文的第二部分中，我们探讨如何在各个方面的问题（对称性，因式分解）涉及到性质的Gromov-Witten不变量。
1997-12-14 alg-geom math.AG
Numerical Schubert Calculus via the Littlewood-Richardson Homotopy Algorithm
我们开发的Littlewood-Richardson同伦算法，它使用数值延拓计算解决方案的Schubert问题的格拉斯曼和几何Littlewood-Richardson规则的基础上。该算法的一个关键组成部分是我们的新的最佳制定舒伯特问题在当地Stiefel坐标方程组。我们的实现可以解决具有数万个解决方案的问题实例。
2020-07-03 cs.NA math.AG math.NA
A topological proof of the Shapiro-Shapiro conjecture
我们证明了Shapiro-Shapiro猜想在多项式的Wronskian上的推广，允许Wronskian有复共轭的根。我们根据Wronski映射的实根的个数对实Schubert胞腔进行分解，并定义了每个连通分支的方向。对于这种分解的每一部分，我们证明了限制Wronski映射的拓扑度是作为一个对称群特征标的一个评价给出的。在所有根都是实根的情况下，这意味着限制Wronski映射是拓扑平凡的覆叠映射;特别地，这给出了Shapiro-Shapiro猜想的一个新证明。
2021-07-08 math.AG
The Secant Conjecture in the real Schubert calculus
我们制定割线猜想，这是一个推广的夏皮罗猜想格拉斯曼。它断言，如果定义舒伯特簇的标志沿着有理正态曲线的不相交区间割线，则在格拉斯曼数中舒伯特簇的交集横截于所有实点。我们目前的理论证据，以及在一个太赫兹年的计算中获得的计算证据，我们讨论了我们观察到的一些现象，在我们的数据。
2012-01-24 math.AG
Mixed Eulerian numbers and Peterson Schubert calculus
假设$Φ$是一个根系。Postnikov引入并研究了混合$Φ$ -欧拉数。这些数字表示$Φ$ -超单形的混合体积。作为这些数的特殊化，可以得到通常的欧拉数、卡塔兰数和二项式系数。Berget-Spink-Tseng最近的工作给出了当$Φ$是$A$型时混合$Φ$ -欧拉数的一个简单计算.本文将混合$Φ$ -欧拉数与PetersonSchubert演算联系起来.利用这种联系，我们提供了一个计算Berget-Spink-Tseng的组合模型，该模型是Abe-Horiguchi-Kuwata-Zeng为Peterson-Schubert演算的目的而引入的左右图.本文还从PetersonSchubert微积分出发，导出了任意Lie类型下混合$Φ$ -Eulerian数的一个简单计算.
2023-03-11 math.AG math.AT math.CO
Graham positivity of triple Schubert calculus
本文通过建立精细化 Graham 正性定理，证明 Samuel 关于三组变量中两个双 Schubert 多项式展开系数正性的猜想，并推出 Kirillov 关于斜除以差分算子作用于 Schubert 多项式正性的猜想。
2025-06-11 math.AG math.CO
$\hbar$-deformed Schubert calculus in equivariant cohomology, K-theory, and elliptic cohomology
在这篇综述论文中，我们回顾了最近的进展，在演算的陈-施瓦茨-麦克弗森，motivic陈，和椭圆类的经典舒伯特品种。这三个理论是它们各自的非常上同调理论中基本类概念的单参数（$\hbar$）变形。检查这三个类结合是合理的，他们的关系，奥肯科夫的稳定包络的概念。我们回顾公式的$\hbar$变形类起源于Tarasov-Varchenko权函数，以及它们的正交关系。因此，得到了Littlewood-Richardson型结构常数的显式公式。
2019-12-30 math.AG
Degree Bounds in Quantum Schubert Calculus
富尔顿和伍德沃德最近确定了格拉斯曼（小）量子上同调环中两个舒伯特类的积的展开中出现的$q$的最小度。我们提出了一个组合证明这一结果，并提供了一个替代的表征，这个最小程度的边缘钩公式的量子产品。
2001-12-13 math.AG math.CO
Numerical Schubert calculus
本文提出数值同伦算法求解舒伯特演算中的多项式方程组，通过外在和内在变形实现最优求解，并应用于控制理论。
1997-06-10 alg-geom cs.NA math.AG
The monotone secant conjecture in the real Schubert calculus
单调割线猜想假定了一类丰富的多项式系统，它们的所有解都是实数。这些系统来自于旗流形上的舒伯特演算，而单调割线猜想是格拉斯曼的夏皮罗猜想（Mukhin，Tarasov和Varchenko定理）的一个令人信服的推广。我们提出了这个猜想的一些理论证据，以及通过1.9太赫兹年的计算获得的计算证据，我们讨论了我们在数据中观察到的一些现象。
2014-10-19 math.AG
Experimentation at the Frontiers of Reality in Schubert Calculus
我们描述了一个通用的框架，大规模的计算实验，在数学中使用的计算机资源，在大多数数学系。这个框架是为了一个实验而开发的，这个实验有助于在真正的舒伯特演算中制定和测试公式。在非工作时间和大学休息时间，它在教学计算机实验室中使用机器，在其运行的前六个月内消耗了超过350千兆赫兹的计算，解决了超过11亿个多项式系统。
2009-11-20 math.AG
Nil-Hecke rings and the Schubert calculus
本文系统阐述Nil-Hecke代数技术在旗簇等变Schubert演算局部化方法中的应用，并将其推广至非晶体根系与旗簇（连通）K理论研究。
2023-10-02 math.AG math.CO
Combinatorial Aspects of Elliptic Schubert Calculus
本研究将旗流形舒伯特演算的两个组合结果推广到等变椭圆上同调，推导了椭圆舒伯特类的Billey型局部化公式与A型旗流形的pipe dream模型，还验证了其退化为K-理论时可还原经典公式。
2025-10-05 math.AG math.CO math.RT
Geometric positivity in the cohomology of homogeneous spaces and generalized Schubert calculus
我们描述了最近的工作，积极的描述齐性空间的上同调的结构常数，如格拉斯曼，退化和相关的方法。我们给出了这些规则的各种扩展，一些新的和抽象的，K-理论，等变上同调，等变K-理论，量子上同调。
2006-10-18 math.AG math.CO
