Nambu-泊松括号综述

泊松括号的可积性

Integrability of Poisson brackets

我们证明了各种关于泊松括号的可积性概念都是等价的，并给出了积分泊松流形的精确障碍。我们描述的集成作为一个辛商，在泊松西格玛模型的Cattaneo和费尔德的精神。对于正则泊松流形，我们用辛面积的变化来表示障碍物。作为这些结果的应用，我们证明了泊松流形允许一个完全的辛实现当且仅当它是可积的。我们还讨论了子流形的积分和Poisson流形的Morita等价。

Nambu-Poisson和李代数胚的非反对称形式

Non-antisymmetric versions of Nambu-Poisson and Lie algebroids

我们表明，一个可以跳过的斜对称性假设的Nambu-泊松括号的定义。换句话说，满足莱布尼茨规则和n元版本的雅可比恒等式的光滑函数代数上的n元括号必须是反对称的。一个类似的结果适用于非反对称版本的李代数胚。

关于方便设定下部分Nambu-Poisson结构的综述

A survey on partial Nambu-Poisson structures in the convenient setting

本文综述了方便设定下部分Nambu-Poisson结构的性质及其在无穷维空间中的应用

便捷流形上的部分Nambu-泊松结构

Partial Nambu-Poisson structures on a convenient manifold

本文研究了便捷流形上部分Nambu-泊松结构的扩展及其极限问题。

流体动力型相容泊松括号

Compatible Poisson brackets of hydrodynamic type

本文讨论了流体动力学型相容泊松括号的一些一般性质，特别是：（1）基于Nijenhuis张量的相容性的不变微分几何判据，（2）可对角化情形下相容泊松括号的带谱参数的Lax对;（3）该问题与欧几里得空间中具有非平凡变形的保持Weingarten算子的曲面类的关系。

奇Jacobi流形与Loday-Poisson括号

Odd Jacobi manifolds and Loday-Poisson brackets

本文在奇Jacobi超流形上的光滑函数代数上构造了一个非斜对称的Poisson括号。我们把这种类泊松括号称为Loday-Poisson括号。我们研究了奇Jacobi结构和Loday-Poisson结构的Hamilton向量场之间的关系。此外，我们证明了Loday-Poisson括号满足Leibniz规则的非交换产品来自同调向量场。

Poisson流形上的双括号结构

Double bracket structures on Poisson manifolds

在具有黎曼度量的Poisson流形上，我们构造了一个向量场，它推广了定义在半单李代数上的双括号向量场。在正则辛叶上，我们将构造正规度量的一个推广，使得限制在辛叶上的上述向量场是关于这个度量的梯度向量场。

嵌入伪黎曼曲面的泊松括号几何

The geometry of embedded pseudo-Riemannian surfaces in terms of Poisson brackets

Arnlind，Hoppe和Huisken展示了如何用嵌入坐标的泊松括号来表示嵌入黎曼流形的曲面的高斯曲率和中曲率。我们推广这些表达式的伪黎曼设置和推导的情况下，曲面嵌入在$\R^m$不定度量的显式公式。

流体动力学型相容非局部泊松括号及其相关的可积族

Compatible nonlocal Poisson brackets of hydrodynamic type, and integrable hierarchies related to them

本文有效地构造了与相容非局部流体动力学型泊松括号相关的可积双Hamilton族。为了达到这个目的，首先解决了一种特殊类型的水动力相容非局部泊松括号的标准形问题。

关于Filippov代数胚与乘法Nambu-Poisson结构

On Filippov algebroids and multiplicative Nambu-Poisson structures

讨论了线性Nambu-Poisson结构与Filippov代数之间的关系，定义了Filippov代数胚，它是李代数胚的n元推广。我们还证明了描述李群上乘法Nambu-Poisson结构的结果.特别地，我们证明了单李群不允许n阶大于2的乘法Nambu-Poisson结构。

具有对合函数族的泊松括号

Poisson brackets with prescribed family of functions in involution

众所周知，关于泊松括号的对合函数在完全可积系统理论中具有特殊的作用。在Poisson流形上寻找与给定函数$h$对合的函数无关的函数是该理论的一个基本问题，并且对于由$h$定义的运动方程的显式积分非常有用.在本文中，我们提出了我们的研究结果的逆，可以这么说，问题。通过发展一种类似于P. Damianou和F. Petalidou，具有指定Casimirs的泊松括号，Canad. J. Math.，2012，第64卷，991-1018，为了建立具有规定的Casimir不变量的泊松括号，我们构造了一种算法，该算法产生具有给定的对合函数族的泊松括号。我们的方法使我们能够建设性地处理双汉密尔顿结构，因此也使我们能够处理在这样的框架中出现的完全可积系统。

高阶Poisson括号与微分形式

Higher Poisson Brackets and Differential Forms

我们展示了泊松括号和辛形式之间的关系如何可以扩展到非齐次多向量场和非齐次微分形式（或伪微分形式）的情况。特别是，我们到达一个概念，这是一个推广的辛结构，并产生更高的泊松括号。我们还获得了建设Koszul型括号在此设置。

流体动力学型相容非局部泊松括号的Liouville标准形和可积族

Liouville canonical form for compatible nonlocal Poisson brackets of hydrodynamic type, and integrable hierarchies

我们解决了由常黎曼曲率度量生成的任意一对相容的流体动力学型非局部泊松括号的标准形的简化问题，从而得到了与所有相容的泊松括号相关的可积族的有效构造.

Nambu-Poisson流形的正则分布约化

Reduction of Nambu-Poisson manifolds by regular distributions

Ib $\acute{\text{a}}\tilde{\text{n}}$ ez等人研究了Nambu-Poisson流形按正则分布的Marsden-Ratiu约化定理，本文证明了除非分布为零，否则约化定理总是保证的.接下来，我们扩展更一般的Falceto-Zambon泊松约化定理Nambu-Poisson流形。最后，我们定义了Nambu-Poisson结构的规范变换，并证明了这些变换与约化过程是可交换的。

描述相容非局部流体动力学型泊松括号的方程的Lax对和Lame方程的可积约化

Lax pairs for the equations describing compatible nonlocal Poisson brackets of hydrodynamic type, and integrable reductions of the Lame equations

导出了流体动力学型相容非局部泊松括号的一般非奇异对的非线性方程组，并用逆散射问题的方法证明了这些方程组的可积性。对于这些方程，提出了具有谱参数的Lax对。此外，我们证明了一些特别重要的部分类的相容的非局部泊松括号的流体动力学类型的方程的可积性，特别是，最重要的情况下，当一个兼容的泊松括号是本地的情况下，也为兼容的泊松括号是由常数黎曼曲率的度量产生。

Poisson代数的场论推广

On Field Theoretic Generalizations of a Poisson Algebra

本文讨论了泊松代数到场论的几个推广，它们是用多动量变量正则地表示的。考虑微分形式上的分次Poisson括号和函数上的$(n+1)$元括号.微分形式上的泊松括号产生了Gerstenhaber代数的各种推广：非交换的（在Loday的意义上）和高阶的（在高阶分次莱布尼茨规则的意义上）。$(n+1)$ -ary括号满足Nambu括号的性质，包括"基本恒等式“，从而导致Nambu-Poisson代数。我们指出，在场论的背景下，Nambu括号与适当定义的协变类似的Hamilton函数确定了几个动力学变量的联合演变。

超空间中的外微分与Poisson括号

Exterior Differentials in Superspace and Poisson Brackets

它表明，两个定义的外微分在超空间中，给出相同的外部演算，但导致不同的结果时，适用于泊松括号。借助这些外微分，给出了从给定的确定格拉斯曼宇称的泊松括号到另一个括号的过渡的处方。它还表明，由此产生的括号导致推广的Schouten-Nijenhuis括号的情况下，超空间和括号的不同格拉斯曼宇称。它表明，在格拉斯曼奇外部微分的情况下，所产生的括号是括号上给出的外部形式。上面提到的过渡与应用到线性偶/奇泊松括号的奇外微分的使用，对应于半单李群，结果，分别在也是线性奇/偶括号自然连接的李超代数。后者包含BRST和反BRST电荷，可用于计算BRST算子上同调。

多辛场论中Poisson型的Poisson解

The Poisson Bracket for Poisson Forms in Multisymplectic Field Theory

我们提出了一个一般定义的泊松括号之间的微分形式出现在一阶经典场论的几何公式的扩展多相空间，更一般地说，精确的多辛流形。它是很好地定义了一定的一类微分形式，我们建议呼吁泊松形式，并把空间的泊松形式到一个李超代数。

关于齐次局部泊松括号的结构

On the structure of homogeneous local Poisson brackets

本文研究任意度为k的Dubrovin-Novikov括号，证明由其标准联络的常系数线性组合定义的k个联络均为平坦联络。

弱Poisson算子到形式代数的提升

Lifting a Weak Poisson Bracket to the Algebra of Forms

我们详细的建设弱泊松括号上的一个光滑流形M的子流形关于这个子流形的局部叶状。这样一个括号满足一个弱型Jacobi恒等式，但可以看作是叶理的叶空间上的一个普通泊松括号。然后我们将这个弱Poisson括号提升为奇切丛上的弱奇Poisson括号，解释为M上微分形式上的弱Koszul括号。这种提升是通过将弱泊松结构编码为扩展流形上的同伦泊松结构，并提升生成此结构的哈密顿函数来实现的。这种结构有直接的物理解释。对于一般的规范系统，子流形可以被看作是一个静止曲面或约束曲面，其叶理由规范轨道的叶理给出。通过这种解释，弱泊松结构的提升仅仅是产生系统的相应BRST算子的作用的提升。

Jacobi和Plucker之后的Poisson括号

Poisson brackets after Jacobi and Plucker

我们构造了一个解为Jacobi椭圆函数的三维系统的辛实现和双哈密顿公式。我们推广这个系统和相关的泊松括号更高的维度。这些更一般的系统是由射影空间中的直线参数化的。对于这些秩为2的Poisson括号，Jacobi恒等式仅在Pl”ucker关系成立时才满足。其中两个泊松括号是相容的，当且仅当射影空间中相应的直线相交。我们提出了几个这样的系统的例子。

辛流形上的广义泊松括号

Generalized n-Poisson brackets on a symplectic manifold

在辛流形上研究了一族与辛形式的幂有关的广义泊松括号.极端情况与哈密顿和刘维尔动力学有关。它表明，狄拉克括号可以得到以类似的方式。

微分形式代数上偶辛形式的Poisson括号

Poisson brackets of even symplectic forms on the algebra of differential forms

给定流形上的辛形式和伪黎曼度量，定义了微分形式代数上的非退化偶Poisson括号，并研究了它的性质。建立了与Koszul-Schouten括号的比较。

奇怪的泊松括号

Queer Poisson brackets

本文给出了巴拿赫流形$M$上构造泊松括号$\{\cdot,\cdot\}$的方法，其中$\{f,g\}$在某点$m\in M$的值可能依赖于光滑函数$f,g\colon M\to{\mathbb R}$的高阶导数，而不仅仅依赖于一阶导数，因为在所有的有限维流形上都是如此.我们讨论了这方面的具体例子，以及对早期研究的影响泊松几何的巴拿赫流形。这些括号是主张巴拿赫流形上任何泊松括号的莱布尼茨性质将暗示该括号的泊松张量的存在的反例。

微分形式代数体括号的变形与Poisson流形

Deformation of algebroid bracket of differential forms and Poisson manifold

从微分形式的代数体括号出发，构造Poisson流形$(M,π)$的切丛$T^*M$上的代数体括号族$[\cdot,\cdot]_{c,v}$.我们使用这些括号来生成切丛$TM$上的泊松结构。接下来，在$M$的情况下，配备了双哈密顿结构$(M,π_1, π_2)$，我们将展示如何构建另一个家庭的泊松结构。此外，我们提出了如何找到这些结构的Casimir函数，我们讨论了一些特殊的例子。

Geometry of inhomogeneous Poisson brackets, multicomponent Harry Dym hierarchies and multicomponent Hunter-Saxton equations

We introduce a natural class of multicomponent local Poisson structures $\mathcal P_k + \mathcal P_1$, where $\mathcal P_1$ is a local Poisson bracket of order one and $\mathcal P_k$ is a homogeneous Poisson bracket of odd order $k$ under assumption that is has Darboux coordinates (Darboux-Poisson bracket) and non-degenerate. For such brackets we obtain the general formulas in arbitrary coordinates, find normal forms (related to Frobenius triples) and provide the description of the Casimirs, using purely algebraic procedure. In two-component case we completely classify such brackets up to the …

精确多辛流形上Poisson括号的一般构造

A general construction of Poisson brackets on exact multisymplectic manifolds

本文解决了在经典场论的多辛公式框架下泊松括号的定义这一长期存在的问题。新的括号运算可应用于任意次数的形式。相关的例子进行了讨论和重要的性质与证明概述。

离散标量值Poisson括号的分类

On classification of discrete, scalar-valued Poisson Brackets

我们解决的问题，分类离散微分几何泊松括号（dDGPBs）的任何固定顺序的目标空间的尺寸1。证明了这些Poisson括号（PB）与某些射影超曲面的交点一一对应。此外，通过离散的Miura型变换，它们可以约化为标准Volterra格的立方PB。最后，改进了一个格点固结方法，得到了一类新的非退化的向量值一阶dDGPs，它们可以在容许Lie-Poisson群理论的框架下考虑.

标量多维Dubrovin-Novikov括号的Poisson上同调

Poisson cohomology of scalar multidimensional Dubrovin-Novikov brackets

本文计算了具有$D$自变量的Dubrovin-Novikov型标量泊松括号的Poisson上同调.我们发现$D>1$的第二和第三上同调群是一般非零的。因此，与$D=1$情况相反，多变量情况下的变形理论是不平凡的。