A matrix equation for association schemes
Laura M. Chihara, Dennis W. Stanton
{Let ${\Cal X}$是自对偶P-多项式关联方案。则最多有12个对角矩阵$T$，使得$(PT)^3=I$。此外，对这类格式（包括Hamming格式）的经典无限族的所有解进行了分类.
{Let ${\Cal X}$ be a self-dual P-polynomial association scheme. Then there are at most 12 diagonal matrices $T$ such that $(PT)^3=I$. Moreover, all of the solutions for the classical infinite families of such schemes (including the Hamming scheme) are classified.
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继续探索
Non-commutative association schemes and their fusion association schemes
给出了非交换结合方案具有融合结合方案的一个充分条件，并利用对称平衡广义权矩阵和广义Hadamard矩阵构造了非交换结合方案.然后，我们将该准则应用于这些非交换的关联方案，以获得对称融合关联方案。
A construction of pairs of non-commutative rank 8 association schemes from non-symmetric rank 3 association schemes
从一个秩为3的非对称结合方案构造了一对秩为8的非交换结合方案。对于配对，两个关联方案具有相同的特征表，但具有不同的Frobenius-Schur指标。这种情况类似于二面体群和8阶四元数群的配对。我们还确定了它们在有理数域上的邻接代数的结构。
Three-class association schemes from cyclotomy
我们给出了三类结合方案的三种构造，作为割圆方案的融合方案，其中两个是本原的
Every 4-equivalenced association scheme is Frobenius
对于一个正整数$k$，我们说一个结合方案$(Ω,S)$是$k$等价的，如果$S$的每个非对角元素都有价$k$。$k$ -等价比伪循环弱。当$k=2,3$和$4$等价结合方案是伪循环时，每个$k$等价结合方案都是Frobenius.本文证明了每一个$4$等价的结合方案都是Frobenius的.
Spherical embeddings of symmetric association schemes in 3-dimensional Euclidean space
本文对三维欧几里得空间中具有忠实球面嵌入的对称结合方案进行了分类。我们的结果是基于以前的研究与$m_1 = 3$原语关联方案。
A characterization of Q-polynomial association schemes
证明了对称结合方案是Q-多项式方案的一个充要条件。
On circular-arc graphs with association schemes
本文给出了一类方案为结合的圆弧图的一个刻划。此外，还刻画了所有圆弧图的结合方案，特别是证明了它们是Schurian的。
Reconstructing a generalized quadrangle from the Penttila-Williford $4-$class association scheme
Penttila和Williford从一个广义四边形和一个双对角子四边形构造了一个$4-$类结合方案。我们证明了一个具有适当参数并满足一些关于最大团的假设的结合方案一定是Penttila-Williford方案。
Wreath products and projective system of non Schurian association schemes
圈积是从两个关联方案构造一个关联方案的方法。我们确定了一个圈积的自同构群。我们证明了一个已知的结果，一个圈积是Schurian当且仅当两个组件是Schurian，这产生了大家庭的非Schurian结合计划和非Schurian $S$ -环。我们还研究了迭代圈积。证明了Martin和Stinson的核方案是一类结合方案的迭代圈积。迭代圈积给出了非Schurian结合方案的投影系统的例子，并给出了本原幂等元的明确描述。
Infinite family of nonschurian separable association schemes
构造了一类非schurian可分结合格式的无穷族。
Construction of rank $4$ self-dual association schemes inducing three partial geometric designs
针对B. Xu刻画的导出三个部分几何设计的秩4自对偶结合方案，本文给出其在阿贝尔2-群上作为Schur环的构造。
Association schemes all of whose symmetric fusion schemes are integral
在本文中，我们的目的是描述所有的结合方案的对称融合方案只有整数特征值，并分类从有限群的正则作用，通过采取其轨道。
Pseudocyclic association schemes and strongly regular graphs
设X是一个伪循环结合方案，其中所有非平凡关系都是具有相同特征值的强正则图。证明了X的第一特征矩阵的主部是对称设计的关联矩阵与全一矩阵的线性组合。无定形伪循环结合方案是这样的结合方案的例子，其相关的对称设计是平凡的。我们提出了几个非无定形的例子，这是分圆关联计划，或其融合计划。对称设计的特殊性质保证了进一步融合的存在，并且van Dam和作者发现的两个已知的4类非无定形结合方案以这种方式被恢复。我们还给出了GF（2^{21}）上的另一个7类伪循环非无定形结合方案和GF（2^{12}）上的一个5类伪循环无定形结合方案。
On uniform Higmanian association schemes
本文研究了具有两个非平凡抛物线的Higman关联方案的均匀条件，给出了必要充分条件并提供了Cayley方案的例子。
Functoriality of Bose-Mesner algebras and profinite association schemes
我们证明了取交换结合方案的本原幂等元集是从满射态射的交换结合方案范畴到满射部分函数的有限集范畴的函子。然后，我们考虑射影系统的交换结合计划的满射（我们称之为profinite的结合计划），其中玻色-梅斯纳代数的定义，并描述了Delsarte理论等计划。这是另一种将结合方案推广到无限集合上的方法，与Barg和Skriganov的方法有关。研究了$(t,m,s)$ -网与$(t,s)$ -序列之间的关系。我们从这个观点重新证明了Martin-Stinson的一些结果。
On intriguing sets of the Penttila-Williford association scheme
我们研究了Penttila和Williford（2011）引入的一个结合方案的有趣集合，这是他们构造既不是$P$ -多项式也不是$P$ -多项式方案的对偶的原始度量结合方案的基础。特别是，我们给出的例子和表征结果的四种类型的有趣的集，出现在这个计划。
On Wreath Products of One-Class Association Schemes
本文给出了一类结合方案的圈积的Bose-Mesner代数和Terwilliger代数的代数结构。
Partially metric association schemes with a multiplicity three
一个结合方案称为部分度量的，如果它有一个连接关系，其距离为2的关系也是该方案的关系。本文确定了重数为3的对称部分度量结合方案。除了与正则完全$4$ -部图有关的结合方案外，我们还得到了与柏拉图立体有关的结合方案、十二面体的二部双重结合方案以及与立方体的著名的$2$ -弧传递覆盖有关的三个结合方案：Möbius-Kantor图、Nauru图和Foster图F048 A.为了得到这一结果，我们还确定了重数为3且连接关系为3的对称结合方案。此外，我们构造了一个无限族的三次弧传递的$2$ -行走-正则图的特征值与重数为3，产生的非交换的结合计划的对称关系的价为3和一个特征值与重数为3。
Pseudocyclic and non-amorphic fusion schemes of the cyclotomic association schemes
我们构造了12个无限族的伪循环非变形结合方案，其中每个非平凡关系都是强正则图。这12个族中有3个族将反例推广到了A. V. Ivanov猜想，Ikuta和Munemasa [15]。
A spectral equivalent condition of the $P$-polynomial property for association schemes
给出了对称结合方案的$P$ -多项式性质的一个等价条件。
On separability of Tatra association schemes
本文证明了所有Tatra关联方案都是2-可分离的，即由其2维交数张量确定其同构类。
Directed strongly regular graphs and divisible design graphs from Tatra association schemes
本文提出通过Tatra关联方案的新参数构造有向强正则图和可除设计图，并研究其关联方案及同构性。
On $Q$-polynomial association schemes of small class
本文证明了一类至少为三的$Q$ -多项式结合方案的第三大或第二小对偶特征值的不等式。我们还刻画了第三类双紧$Q$ -多项式结合方案。我们的方法是基于三对角矩阵，并可以适用于距离正则图以及。
Association Scheme on Triples from the Unitary Group
本文研究了从有限幺正群作用于各向同性线所生成的三元组关联方案的结构与性质。
On few-class $Q$-polynomial association schemes: feasible parameters and nonexistence results
我们提出了表的可行参数的原始$3$类$Q$ -多项式的关联计划和$4$ -和$5$ -类$Q$ -二分关联计划（上高达$2800$，$10000$，和$50000$顶点，分别），伴随着一些不存在的结果，通过分析三重相交数的假定开放的情况下，获得这样的计划。
Association schemes with at most two nonlinear irreducible characters and applications to finite groups
一个结合方案的不可约特征标$χ$称为非线性的，如果$χ$的重数大于$1$。本文的主要结果给出了至多具有两个非线性不可约特征标的交换结合方案的一个刻划。这就给出了至多具有两个非线性不可约特征标的有限群的一个刻画。给出了一类至多具有两个非线性不可约特征标的非交换结合格式。
Classification of partially metric Q-polynomial association schemes with $m_1 = 4$
我们用$m_{1} = 4$对Q-多项式结合方案进行了分类，这些方案关于最近邻关系是部分度量的。如果关联方案的方案图恰好是关系$R_2$的方案图的距离-2图，则关联方案是关于关系$R_1$的部分度量。
Bivariate $P$-polynomial association schemes
本研究定义了作为P-多项式结合方案推广的$(α,β)$型双变量P-多项式结合方案，证明其等价于一组交参数条件，发现诸多高秩结合方案属此类，并类似定义了双变量Q-多项式结合方案。
Full automorphism groups of association schemes based on attenuated spaces
衰减空间中给定维数的子空间集合具有对称结合格式的结构，它是Grassmann格式和双线性型格式的推广. In [K. Wang，J. Guo，F.李，基于衰减空间的关联方案，欧洲J. Combin。31（2010）297- 305]，计算其相交数。本文确定了它的全自同构群。
On a Compact Generalization of Association Schemes
本文提出紧致关联方案的概念，将其与超群框架结合，并通过谐波分析视角拓展了关联方案理论。
Four-class Skew-symmetric Association Schemes
一个结合方案称为斜对称的，如果它没有对称的邻接关系以外的对角。本文研究了4类斜对称结合方案。在J. Ma [On the nonexistence of skew-symmetric amorphous association schemes，submitted for publication]中，我们发现它们的特征标表分为三种类型。我们现在确定它们的交集矩阵。然后，我们确定的特征表和相交数的4类反对称伪循环结合计划，其中唯一已知的例子是分圆计划。从而回答了S. Y. Song [其对称化有两个类的交换结合方案，J. Algebras Combin. 5（1）47-55，1996]。刻画并分类了4类非本原斜对称结合方案。我们还证明了任何2类Johnson格式都不允许4类斜对称裂变格式。基于上述三种类型的特征表，生成可行参数的短列表。
Every nonsymmetric $4$-class association scheme can be generated by a digraph
该研究在特定假设下刻画了恰含一对非对称关系的交换结合方案的有向图生成条件，并应用该结论证明所有非对称4类结合方案都可由有向图生成，拓展了3类结合方案生成相关结论。
Association schemes obtained from the action of the general unitary group on isotropic vectors
本文研究了一般酉群在有限酉空间迷向向量集合上传递作用得到的无限族结合方案，计算了所有非平凡交换结合方案的参数并确定了其特征表。
On the Godsil -- Higman necessary condition for equitable partitions of association schemes
C. Godsil导出了一个关联方案的公平分割的必要条件，并注意到它可以用来表明某些公平分割不存在。在这个简短的说明中，我们证明，事实上，这个条件并不比著名的劳埃德定理更强。
On schurian fusions of the association scheme of a Galois affine plane of prime order
完全确定了素数阶Galois仿射平面结合概型的Schurian融合。
Character tables of association schemes based on attenuated spaces
衰减空间中给定维数的子空间的集合具有对称结合方案的结构，这种结合方案称为基于衰减空间的结合方案。基于衰减空间的结合格式是Grassmann格式和双线性型格式的推广，也是非二元Johnson格式的$q$ -模拟. Wang，Guo和Li计算了基于衰减空间的结合方案的相交数。利用Tarnanen，Aaltonen和Goethals的方法计算基于衰减空间的结合方案的特征标表。此外，我们还证明了基于衰减空间的结合方案包括作为特殊情况的$m$ -平坦结合方案，这是定义在一个有限域上的向量空间中的一个常数维的子空间的陪集的集合。
Nonexistence of Exceptional 5-class Association Schemes with Two $Q$-polynomial Structures
在[H. Suzuki，具有多个$Q$ -多项式结构的关联方案，J. Algebras Combin. 7（1998）181-196]，Suzuki给出了具有多个$Q$ -多项式结构的关联方案的分类，允许有五个类别的一个例外情况。在本文中，我们排除了这种情况的存在。因此，铃木的定理完全反映了著名的对应方案与多个$P$ -多项式结构，结果由于Eiichi Bannai和Etsuko Bannai在1980年。
Duality of translation association schemes coming from certain actions
平移结合方案是由有限群在满足一定自然条件的有限阿贝尔群上的作用构造的。它还表明，仅仅存在的映射从有限群到自己发送每个元素在他们的群体，其“伴随”需要的自对偶构造的关联计划。文中给出了Hamming格式和半双线性型格式的例子。将这一构造进一步推广到两个有限群作用于同一有限阿贝尔群的结合方案的对偶性。这是一个例子提供了弱汉明计划。
Characterizations of regularity for certain $Q$-polynomial association schemes
证明了具有$a_1^*=0$和互无偏基（MUB）的对称设计的联结系统是三重正则结合方案。本文用Krein数刻画了对称设计的联结系统的三重正则性。证明了极大MUB携带一个四重正则结合方案，并用参数刻画了MUB的四重正则性。
A new semidirect product for association schemes
本文给出结合概型的半直积的一个新定义，推广了Bang，Hirasaka和Song的工作.我们定义了一个方案在另一个方案上的作用，并证明了如何利用这样的作用来构造满足一定技术条件的所有半直积。
A two-fold cover of strongly regular graphs with spreads and association schemes of class five
我们考虑一类非本原结合方案，这类方案是具有扩展的强正则图的二重覆盖。它将被证明，一个强正则图的一个扩展的双重覆盖提供了一个五类裂变计划的非本原计划的第四类。
Roux schemes which carry association schemes locally
研究Roux方案的构造与特性，证明其邻域诱导关联方案的性质，并展示64等角线在C^8中的唯一性。
On the Terwilliger algebras of quasi-thin Schurian association schemes
本文给出拟薄结合方案为三重传递的充要条件，并由此构造无穷多新的三重传递结合方案族。
Divisible design digraphs and association schemes
利用斜平衡的广义权矩阵和广义Hadamard矩阵构造了可除设计有向图。交换和非交换的关联计划被附加到所构造的可分设计有向图。
Non-symmetric class $2$ association schemes obtained by doubling of skew-Hadamard matrices are non-schurian
利用斜Hadamard矩阵可以得到一个非对称类$2$结合方案。本文从$n$阶的斜Hadamard矩阵出发，通过二重构造构造了$2n$阶的斜Hadamard矩阵，并构造了$2n-1$阶的非对称类$2$结合方案.我们将证明，如果$n$大于或等于$8$，则用这种方法得到的结合方案永远不会是schurian的。
On spherical designs obtained from $Q$-polynomial association schemes
我们刻画了本原幂等元$E_1$将$Q$ -多项式结合方案嵌入特征空间的映象是一个关于Krein数的球形$t$ -设计.证明了$P$ -和$Q$ -多项式格式作为球面设计的强度是有界的。
Extended double covers of non-symmetric association schemes of class $2$
本文给出了由$2$类的非对称结合方案构造$3$类的非对称结合方案的方法。这种构造是作为完全图的对映双覆盖的泰勒图的构造的非对称模拟。我们还提到了我们的建设如何与Pasechnik介绍的加倍。
Group-case commutative association schemes and their character tables
导致对原始交换结合方案的分类作为最终目标，Bannai和他的一些学校一直试图 * 确定（原始）交换结合方案的主要来源，* 收集已知的组情况下原始交换结合方案，* 计算他们的特征表在过去的二十年。它们的特征表的建立是系统研究这类关联模式和分类这类模式的重要的第一步。在这次演讲中，我们简要地回顾了在这一研究方向取得的进展，并列出了一些开放的问题。
On tight $4$-designs in Hamming association schemes
我们完成了Hamming结合方案$H(n,q)$中紧$4$ -设计的分类，即，强度紧正交表$4$，自从Noda（1979）的一个结果以来一直是公开的。为此，我们在$H(n,q)$中构造了一个紧$4$ -设计的关联方案，并分析了它的三重相交数，得出了在所有开放情况下不存在的结论。
Modular Terwilliger algebras of association schemes
我们定义了结合方案的模Terwilliger代数，正特征域上的Terwilliger代数，并考虑了基本性质。给出了模Terwilliger代数非半单的一个条件。我们证明了Johnson格式的Terwilliger代数的维数依赖于系数场的特征。我们还举了一些其他的例子。
On Terwilliger $\mathbb{F}$-algebras of quasi-thin association schemes
Hanaki在[3]中定义了交换单位环上结合方案的Terwilliger代数。本文将域$\mathbb{F}$上的结合概型的Terwilliger代数称为结合概型的Terwilliger $\mathbb{F}$ -代数，并研究拟薄结合概型的Terwilliger $\mathbb{F}$ -代数.作为主要结果，我们确定了拟薄结合方案的Terwilliger $\mathbb{F}$ -代数的$\mathbb{F}$ -维数、半单性、Jacobson根和代数结构.我们也得到了一些独立利益的结果。
A note on modular Terwilliger algebras of association schemes
令$p$表示素数。本文主要研究文[3]中定义的结合概型的模Terwilliger代数。定义了结合概型的模Terwilliger代数的准素模，并确定了它的直至同构的所有合成因子。然后利用模Terwilliger代数的一些性质刻画了$p'$ -价结合方案.给出了结合概型模Terwilliger代数的一些推论。
Symmetric Bush-type generalized Hadamard matrices and association schemes
定义了阿贝尔群上的Bush型广义Hadamard矩阵，构造了有限域$\mathbb{F}_q$（$q$为素幂）的加群上的对称Bush型广义Hadamard矩阵.然后，我们展示和研究的关联计划从这样的广义阿达玛矩阵。
Near-factorizations in association schemes
本文研究结合方案中的 $\lambda$ 重 $(s,t)$ 近因子分解，建立基本性质与参数界，完全刻画 2 类方案，构造多种方案实例，并证明某些方案不存在此类分解。
Reconstructing a generalized quadrangle with a hemisystem from a $4-$class association scheme
在2013年，van Dam，Martin和Muzychuk从一个$(t^2,t)$，$t$奇数阶的GQ构造了一个度量的$Q-$对极$4-$类结合方案。在本文中，我们用它的Krein阵列来刻画这个方案。所使用的技术涉及三重相交数介绍的Coolsaet和Jurišić。
Self-orthogonal codes from equitable partitions of association schemes
本文给出了一种利用结合方案的公平划分构造自正交码的方法。应用这种方法，我们从一些距离正则图构造了自正交码。得到的一些代码是最佳的。此外，我们引入了自正交子空间码的概念。我们表明，在一定条件下，公平的分区的关联计划产生这样的自正交子空间码，我们给出了一些例子，从距离正则图。
Strongly regular decompositions and symmetric association schemes of a power of two
对任意正整数$m$，将$2^{2m}(2^m+2)$顶点上的完全图分解为$2^m+1$交换强正则图，从而得到$2^{m+2}-2$类的对称结合方案.此外，对称结合方案的特征矩阵的显式确定。作为应用，导出了强正则图的交换强正则分解的特征矩阵。
Amorphic association schemes with negative Latin square type graphs
应用偏差集、二次型的结果以及Brouwer和Van Dam的最新结果，构造了第一个已知的负拉丁方型图的无定形结合方案，其基础集是一个非初等交换2-群.给出了Hamilton的一个结果的简单证明，推广了Brouwer的结果.我们使用多个不同的二次型来构造具有大量类的无定形结合方案。
Further Results on the Pseudo-$L_{g}(s)$ Association Scheme with $g\geq 3$, $s\geq g+2$
与$g\geq 3, s\geq g+2$的$L_{g}(s)$关联方案不可避免地是伪$L_{g}(s)$关联方案。相反，尽管伪$L_{g}(s)$关联方案的$s^2$处理可以形成一个$L_{g}(s)$关联方案，但它并不总是$L_{g}(s)$关联方案。主要是因为包含伪$L_{g}(s)$关联方案的两个第一关联处理的基数$s$的集合是非唯一的。对于拉丁方$\mathbf{L}$的阶$s$是否为素数幂，本文提出了两个新的条件，以扩充包含$\mathbf{L}$的$POL(s,w)$.已知只要满足Bruck的\cite{brh}条件$s\geq \frac{(s-1-w)^4-2(s-1-w)^3+2(s-1-w)^2+(s-1-w)}{2}$，$POL(s,w)$就可以扩展为$POL(s,s-1)$.本文利用$L_{w+2}(s)$结合方案的六个性质，完全改进了Bruck条件.最后给出了几个例子来说明结果的应用。
An Algorithmic Approach to the Extensibility of Association Schemes
与高度t的预超方案相关联的关联方案被称为可扩展到高度t。Smith（1994，2007）证明了一个d阶的结合方案X=（Q，Γ）：= |Q|是Schurian的当且仅当X可扩展到高度（d-2）。在这项工作中，我们将关联方案X的最大高度t_max（X）形式化为最大正整数，使得X可扩展到高度t（我们还包括t_max（X）= \infty的可能性，其等效于t_max（X）\ge（d-2））。直观地说，最大高度提供了一个自然的度量，衡量一个关联方案与舒里亚方案的接近程度。为了计算最大高度，我们引入了关联模式扩展算法。在输入阶为d：= |Q|的关联方案X=（Q，Γ）和使得1 \le t \le（d-2）的整数t时，关联方案扩展算法在时间d^（O（t））中判定方案X是否可扩展到高度t。特别地，如果t是固定常数，则关联方案扩展算法的运行时间是X阶多项式。关联方案扩展算法被用来证明所有阶数不超过26的非Schurian关联方案都是完全不可扩展的，即它们不能扩展到一个正高度。通过结合方案的张量积，后一结果给出了完全不可扩展的结合方案的无限族的大量例子。
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