The Polytope of Dual Degree Partitions
Amitava Bhattacharya, Shmuel Friedland, Uri N. Peled
我们确定了单图在$n$顶点上的所有对偶度划分的凸包的极值点和面。
We determine the extreme points and facets of the convex hull of all dual degree partitions of simple graphs on $n$ vertices.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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The polytope of degree partitions
一个单图的度划分是它的度序列按弱降序重新排列。度划分（度序列）的多面体是所有固定长度的度划分（度序列）的凸包。我们认为度序列多面体是度划分多面体的对称化，度划分多面体是度序列多面体的非对称部分。度序列多面体是一个研究得很好的对象，其面数，体积和格点数的公式（生成函数）已知。研究了度划分多面体，确定了度划分多面体的极值点、边和面。特别地，n个顶点上的度划分多面体具有2^{n-1}个极值点。
Partitions of the polytope of Doubly Substochastic Matrices
本文给出了三种不同的划分方法，分别利用行和、列和、元素和子亏格来划分双次随机矩阵的多面体。然后刻画了每类凸子多面体的极值点。还给出了这三种剖分的子多面体的极值点之间的关系。
Numerical Sets, Core Partitions, and Integer Points in Polytopes
我们研究了数值集和整数分区之间的对应关系，从而导致同时核心分区和某个多面体的整数点之间的双射。我们使用这种对应证明组合结果的核心分区。对于小的a值，我们给出了相应于数值半群的（a，b）-核划分数的计算公式。我们还研究了给定钩子集的划分数。
IDP for 2-Partition Maximal Symmetric Polytopes
本文提出证明对称多面体整数分解性质的框架，并据此证明位于 $\mathbb{R}^3$ 超平面中的 $2$-划分极大多面体满足 IDP，关键在于证明特定多项式集合具有饱和 Newton 多面体。
Residue formulae for vector partitions and Euler-MacLaurin sums
给定一个有限的向量集，它跨越一个格，并位于一个实向量空间的半空间中，对于这个向量空间中的每个向量$a$，可以关联一个多面体，该多面体由集合中向量的非负线性组合组成，其总和为$a$。这个多面体称为$a$的分割多面体。如果$a$是整数，这个多面体包含一个有限的一组格点对应于非负整数线性组合。与积分$a$相关联的划分多面体是有理凸多胞体，并且任何有理凸多胞体都可以规范地实现为划分多面体。我们考虑的问题，计算的数目的格点在分区多面体，或者，更一般地说，计算的指数-多项式函数的值的总和在这样的多面体的格点。我们给出了明确的公式，这些数量使用的概念，由于Jeffrey-Kirwan的多维剩余。我们表明，特别是，这些数量对$a$的依赖是指数多项式的“大邻域”的商会。我们的方法依赖于一个定理的分离变量的生成函数，或更一般地说，周期性的亚纯函数与极点的安排仿射超平面。
Flow polytopes of signed graphs and the Kostant partition function
我们建立了与符号图相关的流多面体的体积与Kostant分拆函数之间的关系。这种关系的一个特殊情况，即当图是无符号的，已经详细研究了巴尔多尼和Vergne使用技术的残留物。与他们的方法相比，我们提供了完全组合的证据，灵感来自Postnikov和斯坦利的工作流多面体。作为一类特殊的流多面体，我们研究了Chan-Robbins-Yuen多面体。受$A_n$型的体积公式$\prod_{k=1}^{n-2} Cat(k)$的启发，其中$Cat(k)$是$k$第卡塔兰数，我们引入了$C_{n+1}$型和$D_{n+1}$ Chan-Robbins-Yuen多面体以及与它们的性质有关的有趣的图解。
A Polynomial Time Algorithm for Vertex Enumeration and Optimization over Shaped Partition Polytopes
我们考虑{ \em Shaped Partition Problem}，将实$k$ -空间中给定的$n$划分为$p$部分，以最大化一个任意目标函数，该目标函数对每个部分中的向量之和是凸的，且每个部分中的元素个数受到任意约束.为了解决这个问题，我们研究了{ \em Shaped Partition Polytope}作为解的凸包。成形分割问题捕获了${\cal N}{\cal P}$ -困难问题，例如最大割问题和旅行商问题，并且成形分割多面体可以具有指数级多个顶点和面，即使当$k$或$p$是固定的。与此相反，我们表明，当$k$和$p$是固定的，在$n$的顶点数是多项式，所有的顶点可以枚举和优化问题解决的强多项式时间。解释，我们表明，任何形状的分区多面体有$O(n^{k{p\choose 2}})$顶点，可以列举在$O(n^{k^2p^3})$算术运算，任何形状的分区问题是可解的$O(n^{kp^2})$算术运算。
Flow polytopes of partitions
流动多面体的最新进展表明，许多有趣的家庭与产品的体积公式。这些产品公式都证明了使用分析技术。我们的工作打破了这种模式。我们为每个分区形状$λ$和净流向量${\bf a}\in \mathbb{Z}^n_{> 0}$定义了一系列密切相关的流多面体$\mathcal{F}_{(λ, {\bf a})}$。在每一个这样的家庭，我们证明了有一个多面体（在某种意义上的限制），这是一个产品的缩放单纯形，解释他们的产品体积。我们还表明，在一个固定的家庭$\mathcal{F}_{(λ, {\bf a})}$的所有多面体的组合类型是相同的。当$λ$是阶梯形，${\bf a}$是全一向量时，后一结果是第一作者与Morales和Rhoades的一个定理的特例，它表明Tesler多胞形的组合型是单形的乘积.
Parking Function Polytopes
本文研究了停车函数多面体的几何和组合结构，引入了二进制和倾斜二进制划分，并给出了简单停车函数多面体的h多项式显式公式。
Number of Vertices of the Polytope of Integer Partitions and Factorization of the Partitioned Number
$n$的整数划分的多面体是相应的$n$维整数点的凸包。它的顶点是重要的，因为每个分区是它们的凸组合。计算结果显示了$v(n),$的有趣的特点，多面体的顶点数：它的图有一个锯齿形的最高峰在素数$n$的。我们用N计数的偶数$n$的大量分区来解释$v(n)$的形状。大都会和公关部斯坦这些分区是另外两个分区的凸组合。我们发现$n$被3整除也减少了$v(n),$的值，这是由三个而不是两个其他的凸组合的分区所造成的，并刻画了任意整数多面体中这样的整数点的凸表示。为了接近总理$n$现象，我们使用一个特定的整数分类，并证明了图的$v(n)$分层到层对应的结果类。我们的主要猜想是$v(n)$依赖于$n.$的约数集。我们还初步论证了循环群上Gomory主角多面体的顶点数具有类似于$v(n).$的特征
The $δ$-vectors of reflexive polytopes and of the dual polytopes
设$δ(\mathcal{P})$是维数为$d$的自反多面体$\mathcal{P} \subset \mathbb{R}^d$的$δ$ -向量，$δ(\mathcal{P} ^\vee)$是对偶多面体$\mathcal{P}^\vee \subset \mathbb{R}^d$的$δ$ -向量.一般情况下，$δ(\mathcal{P})=δ(\mathcal{P}^\vee)$不成立。本文给出了自反多胞形的一个高维构造，其$δ$ -向量等于对偶多胞形的$δ$ -向量.特别地，我们考虑了自反多面体和对偶多面体是单模等价的情况。
Constructing Self-Dual Chiral Polytopes
一个抽象多面体是手征的，如果它的自同构群在旗上有两个轨道，使得相邻的旗属于不同的轨道。手性多面体的例子仍然很少，并且很少有构造可以创建具有特定性质的手性多面体。在本文中，我们展示了如何建立自对偶手征多面体混合结构的多面体。
Totally symmetric self-complementary plane partition matrices and related polytopes
本文建立从全对称自补平面分拆到magog矩阵的双射，研究其计数性质，并分析相关多胞体的极点、不等式、顶点与面。
Counterexample to a conjecture of Ziegler concerning a simple polytope and its dual
Ziegler的“Lectures on Polytopes”中的问题4.19断言，每个简单的$3$维多面体都具有这样的性质，即它的对偶可以被构造为原始简单多面体的顶点子集的凸包。在本文中，我们陈述了这个猜想的一个高维类似物，并提供了维数$d \geq 3$的一族反例。
Volume, facets and dual polytopes of twinned chain polytopes
设$(P,\leq_P)$和$(Q,\leq_Q)$是具有$|P|=|Q|=d$的有限偏序集，$\mathcal{C}(P) \subset \mathbb{R}^d$和$\mathcal{C}(Q) \subset \mathbb{R}^d$是它们的链多面体. $P$和$Q$的孪生链多面体是格多面体$Γ(\mathcal{C}(P),\mathcal{C}(Q)) \subset \mathbb{R}^d$，它是$\mathcal{C}(P) \cup (-\mathcal{C}(Q))$的凸包。已知孪生链多面体是具有整数分解性质的Gorenstein Fano多面体。本文研究了孪生链多面体的组合性质。首先，我们将给出孪生链多面体的体积公式的基础偏序集。其次，我们将确定的方面，支撑超平面的孪生链多面体的基础偏序集。最后，我们将提供孪生链多面体的对偶多面体的顶点表示。
Dual Lattice Functions of Polytopes
研究通过有理多面体支撑函数指数的离散拉普拉斯变换定义对偶格函数，证明其可估值，乘以环面形式成指数多面体典范形式，推动环面多面体研究，是正几何离散化第一步。
On the neighborliness of dual flow polytopes of quivers
在本说明中，我们调查在何种条件下的对偶流多面体（以下简称为“对偶流多面体”）的一个dummy是k-相邻的，一般的重量附近的典型重量。对于这样的权重，我们提供了k的下界，仅取决于底层图的边连通度。在典型的重量的情况下，实际上是通用的，我们明确地确定一个顶点表示的双流多面体。最后，我们专门研究我们的结果的情况下，完全的，二部箭图，我们表明，规范的重量确实是通用的，并能够提供一个改进的限制k。因此，我们能够产生许多新的高维k-邻域多面体的例子。
Newton polytopes of dual Schubert polynomials
本文完整刻画了对偶舒伯特多项式的支撑集，为Huh等人2022年证明的M-凸性提供了初等替代证明，并进一步组合刻画了其牛顿多面体的顶点。
Diameter and Automorphisms of Gelfand-Tsetlin Polytopes
我们确定了与整数划分$λ.$相关联的任何Gelfand-Tsetlin多面体GT $_λ$的1-骨架的直径和组合自同构群
A note on the exact partition polytope of Frieze and Teng
本文指出Frieze和Teng提出的精确划分问题的整数线性规划松弛可能产生退化多面体，并研究了退化条件，给出了最小退化实例及等价非退化实例，同时说明可通过预处理避免退化。
The distribution of roots of Ehrhart polynomials for the dual of root polytopes of type C
本文研究了维数为$d$的C型根多面体的对偶的Ehrhart多项式，记为$C_d^*$ .证明了$C_d^*$的Ehrhart多项式的根具有相同的实部$-1/2$，并证明了$C_d^*$对$d=1,2,\cdots$的Ehrhart多项式具有交错性.
Construction techniques for cubical complexes, odd cubical 4-polytopes, and prescribed dual manifolds
我们提供了一些新的建设技术，立方复合体和立方多面体，从而立方（六面体网格生成）。作为应用，我们得到了一个具有不可定向对偶流形的三次4-多面体的例子（一个克莱因瓶）。这证实了Hetyei（1995）的一个存在性猜想。更系统地证明了紧致2-流形到R^3 PL-中的每一个正规交叉余维浸入等价于三次4-多面体的一个对偶流形浸入。作为一个例子，我们得到了一个三次4-多面体与立方体的男孩的表面作为一个对偶流形浸入，并与一个奇数的方面。我们的显式示例有17718个顶点和16533个面。因此，我们得到了一个宇称变换操作的三维立体复合物（hexa网格），这解决了问题的埃普斯坦，瑟斯顿，和其他人。
Magic positivity for polar duals of pseudo-symmetric smooth Fano polytopes
本文证明了伪对称单纯反射多胞体的极对偶的Ehrhart多项式具有魔幻正性，并进一步证明伪对称光滑Fano多胞体的魔幻系数严格为正，从而得出其极对偶Ehrhart正且$h^*$-多项式实根且$\u03b3$-正，同时解决了Konoike关于循环对称边多胞体的问题。
Newton polytopes of dual $k$-Schur polynomials
本文通过递归生成半标准$k$-表的算法，证明以$k$-有界分拆为指标的对偶$k$-Schur多项式与同指标Schur多项式支撑集一致、共享饱和牛顿多面体，进而得到三类多项式的M-凸性。
Reconstructibility of matroid polytopes
我们指定了什么是一个多面体是从它的图或对偶图重建。我们引入了类的可重构性问题，即，可以从给定类内的（对偶）图确定多面体的面晶格。我们提供的例子是不能从他们的对偶图重建的立方多面体。此外，我们表明，拟阵（基地）多面体是不能重建从他们的图，而不是类重建从他们的对偶图，我们的反例包括超单形。此外，我们证明了拟阵多面体是类重构从他们的图，我们提出了一个$O(n^3)$算法，计算顶点的拟阵多面体从它的$n$ -顶点图。此外，我们的证明包括所有拟阵的同构基交换图的特征。
Counting integer points of flow polytopes
Baldoni-Vergne体积和Ehrhart多项式公式的流动多面体是显着的至少在两个方面。一方面，这些公式是根据Kostant分拆函数，将流多面体连接到表示论中基本的经典向量分拆函数。另一方面，Ehrhart多项式可以从流动多胞体的体积函数中读出。后者是值得注意的，因为整数多面体的Ehrhart多项式的首项是它的体积！Baldoni和Vergne通过留数证明了这些公式。为了揭示这些公式的几何性质，第二作者和Morales给出了体积公式的完全几何证明和Ehrhart多项式公式的部分母函数证明。本文的目的是对流多面体的Ehrhart多项式公式提供一个完全的几何证明。
Volume computation for polytopes and partition functions for classical root systems
本文给出了一种计算极点位于超平面上的有理函数的拉普拉斯逆变换值的算法。作为一个应用，我们提出了一个有效的计算经典根系的分拆函数。
Supplemental material to the article "Partitions of the triangles of the cross polytope into surfaces''
给出了一个构造性的证明，证明了k维交叉多面体β^k的2-骨架分解为亏格\leq 1的闭曲面，每个闭曲面具有一个传递自同构群，该群由β^k上的点传递Z_{2k} -作用给出.此外，我们还证明了对于每个k \equiv 1，5（6），（k-1）-单形的2-骨架是高度对称环面和默比乌斯带的并集.
Radon Partitions of Random Gaussian Polytopes
本文提出概率框架研究随机高斯点的Radon划分，通过定义Radon多面体编码划分信息，推导概率表达式，并为Reay松弛Tverberg猜想提供新视角。
On self-duality and unigraphicity for $3$-polytopes
针对刻画仅含一种自对偶3-多面体实现的度序列的问题，本文改进并新设计了线性时间算法，基于径向图操作构造对应自对偶3-多面体，解决了该特定情形的度序列刻画难题。
Dual matroid polytopes and internal activity of independence complexes
壳序是理解胞腔复形不变量的普遍工具。人们已经做出了大量的努力来开发技术，以确定给定的复合体何时是可壳的。然而，经验证据表明，有些炮击命令比其他命令好。在这篇文章中，我们探讨了这种现象的情况下，拟阵独立复合。基于对偶拟阵多面体的可壳性与独立复形之间的一种新的关系，我们提出了一种系统的方法来研究和比较不同的壳阶。我们解释了我们的新工具如何重铸和深化各种经典的结果，以几何语言，并建议新的approxistics解决两个老的approxitures由于西蒙和斯坦利。此外，我们提出了免费提供的软件，可用于实验这些新的几何思想。
Generalized Pitman-Stanley polytope: vertices and faces
本文研究 Pitman-Stanley 多胞体的推广，证明其可实现为网格图的流多胞体，并给出顶点刻画、顶点数多项式及面数与生成函数公式。
Improved Decomposition Bounds for Partition Polytopes and Odd-Covers
该研究改进了分划多面体组合直径与欧拉图奇覆盖规模的上界，两者的证明均基于最大度4图的线性荫度相关结论。
On the connected (sub)partition polytope
本文研究了图的连通k-子划分多面体的面结构及分离问题的计算复杂性，提出并验证了多项有效不等式，并通过实验验证其实用性。
Dual Mixed Volume
本文提出多面体序列的对偶混合体积有理函数，揭示其与伴随多项式、典范形式、混合细分及 Cayley 多面体的关系，并在结合多面体中再现平面 $\phi^3$ 树级标量振幅。
Simplicial complexes Alexander dual to boundaries of polytopes
本文用组合的方法处理Gale图。该解释允许描述单纯复形，这是亚历山大对偶的单纯多面体的边界，更一般地说，一般多面体的神经复合体。本文结合N.Yu.Erokhovets的最新结果证明了：凸多胞体的Buchstaber不变量$s(P)$等于1当且仅当$P$是金字塔.在一般情况下，我们描述了一个程序来构建多面体与$s_R(P)>k$。这种构造具有纯粹的组合结果。我们还将Gale对偶应用于双分次贝蒂数和多面体的f-向量的研究。
Nef-partitions arising from unimodular configurations
自反多面体已经从组合学、交换代数和代数几何的角度进行了研究。自反多面体$\mathcal{P}$的nef-划分是分解$\mathcal{P}=\mathcal{P}_1+\cdots+\mathcal{P}_r$，使得每个$\mathcal{P}_i$是包含原点的格多面体。Batyrev和van Straten给出了一种组合方法，用于显式构造由nef-划分得到的Calabi-Yau完全相交的镜像对。本文利用Gröbner基技巧，给出了一个由幺模组态产生的nef-划分的大族.
Toric manifolds with degenerate dual variety and defect polytopes
在对偶射影空间中，对对偶簇不是超曲面的射影环面流形进行了分类。在环面几何和凸几何之间的标准字典下，它们对应于某些凸Delzant整数多面体P，我们称之为亏多面体。使用几何分类，我们给出了详细的描述，缺陷多面体，并证明了它们的特点是消失的组合不变量，表示为c（P）。我们进一步证明了一个相关的不变量，c*（P），是非负的，任何简单的凸整多面体。
Inscribed Tverberg-Type Partitions for Orbit Polytopes
本文拓展Tverberg定理相关研究，证明对r阶群的忠实满维正交表示，ℝᵈ中t(r,d)-d个点的一般集可划分为r个子集，其凸包各取一点能构成等距群含该群的凸d多面体的顶点，且点数最优，涵盖平面正r边形等多种情形。
Oriented Matroid Circuit Polytopes
研究由定向拟阵的带符号回路等产生的多面体，给出图形定向拟阵等相关多面体的维度，明确 A 型相关多面体的面结构、埃尔哈特级数，研究对称群对其作用，揭示这些多面体的多种性质及关联。
The Stable Marriage Polytope is Box-Totally Dual Integral
本文证明稳定婚姻多面体是盒完全对偶积分的，结合已有结论推出Rothblum的稳定婚姻系统为盒完全对偶积分，丰富了组合优化中多面体对偶积分性质的研究。
Self dual reflexive simplices with Eulerian polynomials
格多面体$\mathcal{P}$称为自反的，如果它的对偶$\mathcal{P}^\vee$是格多面体。$\mathcal{P}$与$\mathcal{P}^\vee$单模等价的性质一般不成立，事实上很少有这样的多面体的例子。本文引入一个新的自反单形$Q_n$，它具有这个性质.此外，我们证明了$Q_n$的$δ$多项式是欧拉多项式，并证明了一个正规的，标志的，幺模三角剖分的存在性。
The Random Edge Simplex Algorithm on Dual Cyclic 4-Polytopes
利用随机边截规则的单纯形算法对n个面的对偶循环4-多面体的任意实现所需的时间不超过O（n）。这甚至适用于一般抽象目标函数（AOF）/非循环唯一汇方向（AUSO）。该方法可用于两个多边形乘积的类似结果。相比之下，我们证明了随机小平面的随机规则在对偶循环4-多面体上是缓慢的，即存在随机小平面至少需要Ω（n^2）步的AUSO。
Answers to questions about medial layer graphs of self-dual regular and chiral polytopes
本文解答了自对偶4维多胞体中间层图与其覆盖Cayley图关系的未决问题，给出首批无极性的{3,q,3}型非真自对偶手性多胞体实例，证明p=3时Cayley图s-弧传递度不高于中间层图，并构造了一族{6,q,6}型正则多胞体满足Cayley图顶点稳定子更大。
Self-Polar Polytopes
自极多面体是凸多胞体，其等于其极集的正交变换。这些多面体首先由Lovász研究，作为建立球面上距离图的色数的一种手段，它们也可以用来构造具有任意高色数的无三角形图。我们调查的存在，建设，面部结构，和实际应用中的自极性多面体，以及这些多面体的地方在更广泛的自对偶多面体。
Self-dual binary codes from small covers and simple polytopes
我们通过小覆盖理论探讨了简单多面体和自对偶二进制码之间的联系。我们首先证明了简单$n$ -多面体$P^n$上的小覆盖$M^n$产生Kreck-Puppe意义下的自对偶码当且仅当$P^n$是$n$ -可着色的且$n$是奇数的.然后，我们展示了如何描述这样的自对偶二进制码的组合信息的$P^n$。此外，我们可以从任意简单的$n$ -多面体$P^n$定义一族二进制码$\mathfrak{B}_k(P^n)$，$0\leq k\leq n$.我们将给出$\mathfrak{B}_k(P^n)$是自对偶码的一些充要条件。我们对这种二进制码的研究的一个副产品给出了一些新的方法来判断一个简单的$n$ -多面体$P^n$是否是$n$ -可着色的相关的二进制码$\mathfrak{B}_k(P^n)$。此外，我们还证明了从一个$3$ -可着色的简单$3$ -多面体得到的自对偶二元码的最小距离总是$4$ .
On cosmological polytopes, their canonical forms and their duals
本文提出通过最大和近最大管束构造双宇宙多面体的三角剖分，并给出了宇宙多面体标准形式的新表达式。
The Ehrhart series of alcoved polytopes
本文提出通过 alcove 的特定壳化顺序计算任意 alcoved 多胞体的 Ehrhart 级数的方法，并揭示了 Early 的装饰有序集合划分与超单纯形 $\Delta_{2,n}$ 壳化顺序之间的关联。
Root polytope and partitions
给定一个晶体学约化的根系和由根系生成的晶格元素v，我们研究了将v表示为根的和所需的根的最小数目|v|，称为v的长度。这个数与表示根的凸包的线性泛函有关;映射v --> |v|证明是分段拟线性的，其中拟线性域是这个凸包的小平面上的圆锥。为了证明这种关系，我们研究了根在刻面上生成的么半群的整闭包。我们还研究了正长度，即写一个元素所需的正根的最小数目，并且我们证明了长度的两个概念对于类型A和C是一致的。
On combinatorics of Voronoi polytopes for perturbations of the dual root lattices
关于平行六面体的Voronoi猜想认为，对于每个将欧几里德$d$维空间平移拼接的凸多胞体$P$，存在一个$d$维格，使得$P$与该格的Voronoi多面体仿射等价. Voronoi猜想仍然是开放的一般情况下，但它是已知的，一些组合的限制，面对结构的$P$确保Voronoi猜想成立$P$。本文证明了：若$P$是$\mathsf{D}_d^*$，$\mathsf{E}_6^*$，$\mathsf{E}_7^*$或$\mathsf{E}_8^*=\mathsf{E}_8$或它们的小扰动之一的Voronoi多面体，则强意义下组合等价于$P$的平行六面体满足Voronoi猜想.
A note on palindromic $δ$-vectors for certain rational polytopes
设P是含有原点的凸多胞体，其对偶是格多胞体. Hibi的回文定理告诉我们，如果P也是格多面体，则P的Ehrhart $δ$ -向量是回文的。也许不太为人所知的是，当P是有理数时，一个类似的结果也成立。我们提出了一个基本的格点证明这一事实。
Vertex Posets, Monotone Path Polytopes, and Chow Polynomials
研究通过顶点关系构造格，并证明其Chow多项式与对称的单调路径多面体的h多项式一致，揭示了格不变量与多面体结构之间的关系。
On the maximum dual volume of a canonical Fano polytope
我们给出了一个多面体P* 的体积vol（P*）的一个上界，该多面体P* 是一个d维格多面体P的对偶，在每个维d上都有一个内部格点.这个界限，用西尔维斯特序列表示，是尖锐的，并且是通过一个特定的自反单形的对偶来实现的。我们的结果暗示了d维自反多面体体积的一个尖锐的上界。转化为复曲面几何，这给出了一个尖锐的上界的反正则度$(-K_X)^d$的d维复曲面范簇X在最坏的典型奇异。
Semi-reflexive polytopes
多面体$P$的Ehrhart函数$L_P(t)$通常仅针对整数膨胀变元$t$定义。通过允许任意实数作为参数，我们也可以检测到整数点进入（或离开）$P$的分数膨胀的多面体，从而给出更多关于多面体的信息。然而，有一些多面体只获得$t$的整数值的新整数点;也就是说，这些多面体满足$L_P(t) = L_P(\lfloor t \rfloor)$。我们称之为半自反多面体。在本文中，我们给出了这些多面体的超平面描述的一个特征，我们使用这个特征来证明一个多面体是自反的当且仅当它和它的对偶都是半自反的。
Strongly self-dual polytopes
本文研究强自对偶多面体，证明三维中一个面定义L型多面体，给出23顶点非L型实例，并证明少于九顶点仅五个ssd-多面体，其中四个由Lovász方法构造，第五个由直径梯度流算法找到。
Residue polytopes
本文为层级图定义留数多胞体，证明其在有序划分加粗下具有面包含相容性，并给出平凡划分下留数多胞体的全部面结构，用于描述黎曼面族退化时阿贝尔微分空间的极限。
Unconditional reflexive polytopes
一个凸体是无条件的，如果它关于所有坐标超平面中的反射对称。在本文中，我们研究无条件格多面体的几何，组合和代数性质。特别是，我们刻画了完美图的无条件自反多面体。作为一个典型的例子，我们研究了带符号的Birkhoff多面体。此外，我们还构造了Gale-dual多面体对，并明确地描述了来自偏序集的无条件自反多面体的Gröbner基
Affine stresses: the partition of unity and Kalai's reconstruction conjectures
本文提出了Kalai重构猜想的高维推广，证明了仿射$i$-应力空间在特定条件下决定仿射$1$-应力空间，并建立了仿射应力的单位分解定理。
Capacity bounds on integral flows and the Kostant partition function
本文研究类型A的Kostant配分函数的渐近性质，借助Lorentzian多项式、Gurvits容量方法及Lidskii公式改进下界并给出新的双侧界，解决了O'Neill和Yip的猜想。
Polytopes and posets associated to preorders
本文引入并研究有限集上预序定义的预序多面体，从格点计数角度推广了树形多面体，证明了其作为格多面体的对偶性，给出了归一化体积的组合解释以及Ehrhart多项式和h*多项式的公式。
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