Recently, it has been observed that a sparse trigonometric polynomial, i.e. having only a small number of non-zero coefficients, can be reconstructed exactly from a small number of random samples using Basis Pursuit (BP) or Orthogonal Matching Pursuit (OMP). In the present article it is shown that recovery by a BP variant is stable under perturbation of the samples values by noise. A similar partial result for OMP is provided. For BP in addition, the stability result is extended to (non-sparse) trigonometric polynomials that can be well-approximated by sparse ones. The theoretical findings are illustrated by numerical experiments.
对于多元三角多项式，我们从离散化的角度研究了卷积与相应的de la Vallee Poussin核。换句话说，我们用离散测度代替归一化勒贝格测度，这样既保持了卷积性质，又提供了积分范数的采样离散化。我们证明，在两个变量的情况下，斐波那契点集提供了一个理想的（在秩序的意义上）的解决方案。我们还表明，Korobov点集提供了一个次优（对数因子）的任意数量的变量的解决方案。
Sparse approximation of data-driven Polynomial Chaos expansions: an induced sampling approach
在前向不确定性量化（UQ）领域中的一个开放问题是形成仅具有关于随机输入的分布的不完全信息的不确定性的准确评估的能力。另一个挑战是有效地利用有限的训练数据进行复杂工程问题的UQ预测，特别是高维随机参数。我们解决这些挑战相结合的数据驱动的多项式混沌扩展与最近开发的预处理稀疏近似方法的UQ问题。在这个两步过程中的第一个任务是使用（Ahlfeld et al. 2016）中开发的程序，使用随机输入的有限数量的统计矩来构建“任意”多项式混沌扩展基。第二步是一个新的程序，通过$\ell^1$最小化，以量化的前向不确定性的影响稀疏近似。为了提高预处理的$\ell^1$最小化问题的性能，我们从所谓的诱导分布中采样，而不是从原始的未知概率测度中使用Monte Carlo（MC）采样。我们证明了测试问题，诱导抽样是一个有竞争力的，往往更好的选择相比，从渐近最优的措施（如平衡测度），当我们有不完整的信息分布的抽样。我们证明了能力的诱导抽样算法通过稀疏表示有限的数据上的检验函数，和随机杨氏模量的Kirchoff板弯曲问题。
Sampling on energy-norm based sparse grids for the optimal recovery of Sobolev type functions in $H^γ$
Hausdorff-Center for Mathematics（豪斯多夫数学中心）；Vietnam National University, Hanoi, Information Technology Institute（越南国家大学河内分校信息技术研究所）；Friedrich-Schiller-University Jena（耶拿弗里德里希·席勒大学）
A generalized sampling and preconditioning scheme for sparse approximation of polynomial chaos expansions
Computer Science Research Institute, Sandia National Laboratories（桑迪亚国家实验室计算机科学研究所）；Scientific Computing and Imaging (SCI) Institute and Mathematics Department, University of Utah（犹他大学科学计算与成像研究所及数学系）；Institute of Computational Mathematics and the Chinese Academy of Sciences（中国科学院计算数学研究所）
