关于Gorenstein $h$ -向量的二次项和Stanley的一个猜想
On the degree two entry of a Gorenstein $h$-vector and a conjecture of Stanley
摘要：
本文建立了具有任意基柱度$e$和余维$r$的Gorenstein $h$ -向量的二次项$h_2$的（非平凡）下界.特别是，当$e=4$，这是Gorenstein $h$ -向量的形式$h=(1,r,h_2,r,1)$，我们的下限允许我们证明一个猜想斯坦利的数量级的最小值，说$f(r)$，即$h_2$可能承担。事实上，我们表明，$$\lim_{r\to \infty} {f(r)\over r^{2/3}}= 6^{2/3}.$$在一般情况下，我们想知道是否我们的下界是尖锐的所有整数$e\geq 4$和$r\geq 2$。
英文摘要：
In this note we establish a (non-trivial) lower bound on the degree two entry $h_2$ of a Gorenstein $h$-vector of any given socle degree $e$ and any codimension $r$. In particular, when $e=4$, that is for Gorenstein $h$-vectors of the form $h=(1,r,h_2,r,1)$, our lower bound allows us to prove a conjecture of Stanley on the order of magnitude of the minimum value, say $f(r)$, that $h_2$ may assume. In fact, we show that $$\lim_{r\to \infty} {f(r)\over r^{2/3}}= 6^{2/3}.$$ In general, we wonder whether our lower bound is sharp for all integers $e\geq 4$ and $r\geq 2$.
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