Crosscap Numbers of Two-component Links
Gengyu Zhang
我们将2-分量连杆的横截面数定义为界定连杆的连接的、非可定向曲面的第一贝蒂数的最小值。本文讨论了2-分支链的交叉数的一些性质。
We define the crosscap number of a 2-component link as the minimum of the first Betti numbers of connected, non-orientable surfaces bounding the link. We discuss some properties of the crosscap numbers of 2-component links.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
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Crosscap numbers and the Jones polynomial
我们给出了交错链环的交叉数（不可定向亏格）的双边线性界。我们的估计往往是准确的，我们用它们来计算crosscap数为几个无限家庭的交替链接和几个交替结多达12个交叉点。我们还讨论了我们的结果的非交替链接类的推广。
Linear Bounds of the Crosscap Number of Knots
本文证明了强交错tangle的Conway和的交叉cap数存在类似的双边界，并找到了Jones多项式系数与交叉cap数独立增长的链环族，证明了这两个线性界无法推广到所有链环。
Crosscap numbers of alternating links via state codes
本文提出通过状态代码计算交替链接的无向生成数和交叉数，并计算了不同交叉点数的链接和结的这些值，发现了一些新规律。
Average crosscap number of a 2-bridge knot
本文通过状态图条件刻画无向亏格与交叉帽数相等，利用连分数和递推给出2-桥纽结平均无向亏格与平均交叉帽数的精确公式，并证明其极限为0。
Immersed Möbius bands in knot complements and representatives of $\mathbb{Z}_2$-homology classes
我们研究了3维浸入crosscap数的一个结，这是一个不可定向的模拟浸入Seifert属。我们研究了具有浸入交叉数为1的纽结，证明了一个纽结具有浸入交叉数为1的充要条件是它是一个非平凡的$(2p,q)$ -环面纽结或$(2p,q)$ -索纽结.我们表明，与定向的情况下，浸入的crosscap数可以不同于嵌入的crosscap数由任意大的金额，并且它是既不低于也不高于4维crosscap数。然后，我们使用这些结构来找到，对于任何$n\geq 2$，一个有向的3-流形$Y_n$和类$α_n \in H_2(Y_n;\mathbb{Z}_2)$，使得$α_n$可以表示为浸入式$\mathbb{RP}^2$，但任何嵌入式代表的$α_n$有一个组件$S$与$χ(S) \leq 1-n$。
Three-component link homotopy
本文构造三分量链环同伦不变量及相应区分工具，证明同像链环映射未必链环同伦，并推广至环形与n分量情形。
Link-homotopy classes of 4-component links and claspers
如果两个链通过一系列自交叉变化和环境同位素相互转化，则它们是链同伦的。Levine用大量的代数运算对4-分量连杆的连杆同伦类进行了分类。我们使用Habiro的抱茎理论修正了结果。新的分类给出了更多的对称性和示意性的观点，链接同伦类的4个组成部分的链接。作为应用，我们给出了4-分量链的链同伦类的几个新子集，这些子集按可比不变量分类，并给出了判定给定两个链是否同伦的算法。
A two component link with Alexander polynomial one is concordant to the Hopf link
四维手术是用来证明一个两个组件链接与亚历山大多项式是拓扑一致的霍普夫链接。
Concordance to links with an unknotted component
我们构造任意多个组件的链接，其中每个组件是切片，但不协调的任何链接，甚至一个unknotted组件。我们使用的唯一工具来自Alexander模块。
Classification of $n$-component Brunnian links up to $C_n$-move
我们给出了$n$ -组件链接到$C_n$ -move的分类.为了证明这一分类，我们刻画了Brunnian环，并证明了Brunnian环是平凡环与Milnor环的带和的环境同位素。
Heegaard Floer homology of L-space links with two components
我们计算不同版本的链接弗洛尔同调$HFL^{-}$和$\widehat{HFL}$的任何$L$ -空间链接两个组件。主要方法是计算滤波链复形的$h$函数，该复形由$L$ -空间链的每个子链的Alexander多项式确定。作为应用，证明了任何2-分量$L$ -空间链环的Thurston多面体和Thurston范数都由链环和链环分量的Alexander多项式显式确定.
L-space surgeries on 2-component L-space links
在本文中，我们分析了两个组成部分的L-空间链接的L-空间手术。我们表明，如果一个手术系数是负的L-空间手术，那么相应的链接组件是一个unknot。如果链路允许非常负的（即$d_{1}, d_{2}\ll0$）L空间手术，则它是Hopf链路。我们还提供了一种方法来表征环面链接$T(2, 2l)$通过观察一个L-空间手术$S^{3}_{d_{1}, d_{2}}(\mathcal{L})$与$d_{1}d_{2}<0$上的一个2组件L-空间链接与未打结的组件。对于某些2分量L-空间链，我们给出了L-空间手术集的明确描述。
Instanton Floer homology for two-component links
对于整同调球中两个分量的任何链环，我们定义了一个瞬子弗洛尔同调，它的欧拉示性数是链环中两个分量之间的环绕数.我们把这种弗洛尔同调与纽结的克朗海默-姆洛卡瞬子弗洛尔同调联系起来。我们还表明，在3-球面的两个组件的链接，弗洛尔同调不消失，除非链接是分裂的。
Identifying the Canonical Component for the Whitehead Link
在本文中，我们确定拓扑的典型组成部分的$SL_2(\mathbb{C})$字符簇的Whitehead链接补。
Note on surface-link of trivial components
该研究拓展了平凡分支球面链的带状性结论，证明单非球面分支的闭定向不连通曲面的平凡F-链均为带状曲面链，且多非球面分支时存在基本群同构的带状与非带状平凡F-链。
Exceptional surgeries on components of two-bridge links
在本文中，我们给出了一个完整的分类例外Dehn手术的一个组成部分的双曲双桥链接在3球。
Intrinsically Linked Graphs with Knotted Components
我们构造一个图G，使得G到R^{3}的任何嵌入都包含两个分量的非分裂链，其中至少一个分量是非平凡结。此外，对于任意m < n，我们生成一个图H，使得H的每个嵌入都包含一个非分裂的n个分量链，其中至少m个分量是非平凡的结点。然后，我们把我们的注意力转向完全图，并表明，对于任何给定的n，每一个嵌入的足够大的完全图包含两个组件链接的环绕数是一个非零倍的n。
The link surgery modules of 2-component L-space links
本文利用Koszul对偶性重新阐述并扩展了二元L空间链接链接手术模块的计算方法。
Self $C_2$-equivalence of two-component links and invariants of link maps
我们利用链接映射的Kirk不变量$S^2\sqcup S^2\to S^4$及其由Koschorke和Kirk-Livingston提出的变化形式来推导经典链接的结果。也就是说，我们给出了一个新的证明的Nakanishi-Ohyama分类的两个组件的链接在$S^3$到$Δ$ -链接同伦。我们还证明了其版本的字符串链接，这是由于（在一个略有不同的形式）弗莱明-安原。证明不使用Clasper理论。
Quasi-ribbon but non-ribbon surface-link of trivial components
本文提出准带状表面结的概念，并通过构造方法证明了某些特定条件下的表面结具有非带状性质，基于Cochran猜想的正解。
Concordance to links with unknotted components
我们表明，有链接的各个组成部分是一致的unknot，但不一致的任何链接unknotted组件。我们给出了拓扑范畴中的例子，以及拓扑切片的光滑范畴中的例子。我们还给出了概括的规定亚历山大多项式的组件。主要工具是复盖环演算、有理纽结协调理论的代数不变式和Heegaard弗洛尔同调的修正项。
Canonical components of character varieties of arithmetic two bridge link complements
确定了算术二桥环群的SL_2-特征标簇的典范分支。
CF-moves for virtual links
Oikawa定义了一种对虚结点的解结操作，称为CF-移动，并通过虚链接数和$n$-不变量对2-分量虚链接进行了分类，直到CF-移动。特别地，证明了CF移动表征了2分量奇数虚拟链路的虚拟环绕数中包含的信息。在本文中，我们扩展了这一结果进行分类奇虚拟链接和几乎奇虚拟链接与任意数量的组件CF-移动，使用虚拟环绕数。此外，我们扩展了Oikawa的$n$-不变量，并引入了两个3分量偶虚链路的不变量。使用这些不变量连同虚拟环绕数，我们分类的3分量甚至虚拟链接CF-移动。结果，提供了直到CF移动的3分量虚拟链路的分类。
On the most expected number of components for random links
我们考虑一个随机链，它被定义为从辫群上的随机游动得到的辫的闭包。对于这样的随机链路，由马继明计算出分量数的期望值。在本文中，我们确定的最期望的组件的数量为一个随机链接，并进一步考虑的最期望的划分的字符串的数量为一个随机辫子。
Links with nontrivial Alexander polynomial which are topologically concordant to the Hopf link
我们给出了无穷多个$2$ -分量链，这些链与Hopf链拓扑一致，但与任何具有平凡Alexander多项式的$2$ -分量链不光滑一致.我们的例子是两两不一致的。
Prime component-preservingly amphicheiral link with odd minimal crossing number
对每一个奇数$c\ge 21$，我们给出了一个具有最小交叉数$c$的准素分量-双螺旋环的例子.该链有两个分支，由一个非纽结和一个纽结组成，纽结是具有奇数最小交叉数的$(-)$ -双螺旋.我们称后者为{ \it Stoimenow结}。我们还表明，Stoimenow结是不可逆的亚历山大多项式。
Smooth concordance of links topologically concordant to the Hopf link
吉姆·戴维斯证明了一个2-分量链与一个亚历山大多项式链在拓扑上是一致的。在本文中，我们表明，有一个2-分量的链接与亚历山大多项式之一，有unknotted组件，并不顺利和谐的霍普夫链接，回答了一个问题的吉姆戴维斯。我们构建了无穷多个协调类的链接，并表明，他们有更强的性能不顺利和谐的Hopf链接与结绑在组件。
Nonribbon 2-links all of whose components are trivial knots and some of whose band-sums are nonribbon knots
存在一个非带状2-链环，它的所有分量都是平凡的2-纽结，并且它的一个带和是非带状2-纽结。
Characterization of non-self OU sequences of two-component link diagrams
本文研究了非自OU序列能提取的信息，并完全特征化了两组分链接图中非自OU序列的配对，特别针对交叉数不超过五的素链接进行了具体特征化。
The Benard-Conway invariant of two-component links
研究二元链环的Benard-Conway不变量，证明其等于对称化多变量链签名，并利用Chebyshev多项式计算(2,2n)扭链的不变量。
Links with surgery yielding the 3-sphere
对任意n \ge 2，我们给出了3-球面中n个分量的无限多不可分裂的链，这些链允许再次产生3-球面的非平凡手术，并且它们的分量是相互不同的双曲节. Berge和Kawauchi给出了具有这两个性质的双分量双曲链。我们也可以给出无穷多个具有这样性质的双曲隧道一号链路。
On C_n-moves for links
C_n移动是Habiro和Goussarov定义的链路上的局部移动，它可以被视为“高阶交叉变化”。我们使用Milnor不变量与重复索引提供了几个分类结果的链接C_n移动，在一定的限制。也就是说，我们给出了2-分量环、3-分量Brunnian环和n-分量C_3-平凡环的C_4-移动的分类，以及n-分量环同伦平凡Brunnian环的C_{n+1} -移动的分类。
Surgery on links with unknotted components and three-manifolds
证明了对三球面中的纽结进行积分运算得到的任何闭三流形M，总是可以由三分支链L上的积分运算构造而成，其中每个分支都是三球面中的非纽结.同样有趣的是，在同一个链环L上的无穷多个不同的积分运算可以给出相同的三流形M。
Linking numbers of Montesinos links
本研究针对蒙蒂西诺斯链环的环绕数计算问题，给出Tuler关于双分支有理链环绕数结论的简洁证明，提出有理链环绕数的数值算法，并借此得到蒙蒂西诺斯链环任意两分支的环绕数。
Linking numbers for handlebody-links
作为环绕数的推广，我们构造了一组二分量环体-环的不变数。这些数是与从一个分量的第一个同调群到另一个分量的补群的自然同态有关的初等因子。
Genera of two-component alternating links
本文研究双组分交替链接的生成数，提出一个统一量描述定向和非定向生成数，并通过splice序列和修正项确定其性质。
Measure of a 2-component link
一个二分量链接产生一个环面作为三个球体的两点配置空间中的分量节点的乘积。这个空间可以用余切丛和不定格拉斯曼丛来标识。我们表明，集成的绝对值的典型辛形式是等于面积的环面相对于伪黎曼结构，它达到最低限度，只有在“最佳”的霍普夫链接。
A table of $n$-component handlebody links of genus $n+1$ up to six crossings
环体链是嵌入三维空间的正亏格环体的并，它推广了经典纽结理论中的链的概念。本文考虑一类具有亏格为2的二次体和$n-1$实心环面$n>1$的二次体链.我们的主要结果是完整的分类，这样的天体链接与六个交叉点或更少，环境同位素。
The 27 possible intrinsic symmetry groups of two-component links
我们认为“内在”对称群的两个组成部分的链接$L$，定义为图像$Σ(L)$的自然同态从标准对称群$\MCG(S^3,L)$的产品$\MCG(S^3) \cross \MCG(L)$。这个群，首先由Whitten在1969年定义，直接记录了$L$是否与通过置换成分或反转方向从$L$获得的链接$L'$是同位素的;它是$Γ_2$的一个子群，所有这些操作的群。对于两个组件的链接，我们编目的27个可能的内在对称群，这代表了子群的$Γ_2$共轭。我们能够提供21个这些群体的主要，非分裂的例子;有些是经典的，有些是新的。我们将Thistlethwaite表中14个或更少交叉点的所有77，036个双曲双分量链路中每组出现的频率编入目录。我们还提供了一些新的信息，对称群的293个非双曲双分量链的14个或更少的交叉表中。
Intrinsically linked graphs and even linking number
我们研究内在链接图，我们要求每个嵌入的图不仅包含一个非分裂的链接，但一个链接，满足一些额外的属性。我们在本文中讨论的性质的例子是：一个两个组件链接lk（A，L）= k2 ^r，k不为0，一个非分裂的n-组件链接，其中所有的环绕数是偶数，或一个n-组件链接与组件L，A_i，其中lk（L，A_i）= 3 k，k不为0。与其他属性的链接也被考虑在内。对于给定的性质，我们证明了某个完全图的每个嵌入都包含一个具有该性质的链。完全图的大小由所讨论的性质决定。
On the number of components of twisted torus links
本文提出一种类似欧几里得算法的过程计算扭曲环面链环 $T(p,q;r,s)$ 的分支数，证明其分支数为 $\gcd(p,q,r,s)$ 的倍数，并据此验证了相关猜想。
Local moves for links with common sublinks
C_k-移动是涉及链接的（k+1）股的局部移动。如果这（k+1）条链属于一个链的相互不同的组成部分，则C_k-移动称为C_k^d-移动。由于一个C_k^d-移动保持了一条链路的所有k-分量子链路，我们考虑了相反的含义：两条具有公共k-分量子链路的链路是否由一个C_k^d-移动序列相关？我们表明，在某些假设下，答案是肯定的，并提供明确的反例更一般的情况下。特别地，我们考虑（n，k）-Brunnian链路，即n-分量链路，其k-分量子链路都是平凡的。我们证明了这类环可以通过C_k^d-移动变形为平凡环，从而推广了Habiro和Miyazawa-Yasuhara的一个结果，并推出了（n，k）-Brunnian环的有限型不变量的一些结果.
Clasper presentations of Habegger-Lin's action on string links
Habegger和Lin给出了链环的链环同伦类的一个分类，即弦链环模共轭和部分共轭作用的链环同伦类。本文计算了4-和5-分量弦链的部分共轭和共轭的作用，给出了4-和5-分量弦链的链同伦类的分类（表示）。作为一个应用程序，我们可以运行Habegger和Lin的算法，该算法确定给定的两个链接是否是4-和5-分量链接的链接同伦。
Colored Unlinking
在具有两个分量的链路中，有三种不同类型的交叉：第一分量中的自交叉、第二分量中的自交叉和分量之间的交叉。在本文中，我们将研究在不改变组件之间的交叉点的情况下，取消链接所需的最小交叉点更改数。我们限制我们的注意力解开两个组件链接与环绕数零和两个组件unknotted。我们提供的数据不超过10个交叉点的链接和一般结果不对称的组件之间的解链。
Amphicheiral links with special properties, I
给出了代数可分双半环链的Alexander多项式的必要条件。本文提出了一个猜想：代数可分的偶分量双曲线连杆的Alexander多项式为零。我们的必要条件和一些例子支持了这个猜想。
Lens space surgeries along certain 2-component links related with Park's rational blow down, and Reidemeister-Turaev torsion
我们研究了沿着两个不同的2-组分链节族的透镜空间手术，分别用$A_{m,n}$和$B_{p,q}$表示，它们与J. Park's（generalized）rational blow down.我们确定的系数$r$的打结组成部分的链接产生一个透镜空间的德恩手术。连接$A_{m,n}$仅通过已知的使用$r=mn$的手术产生透镜空间，并且意外地使用$r=7$用于$(m,n)=(2,3)$。另一方面，$B_{p,q}$通过无限多个$r$产生透镜空间。我们证明的主要工具是Reidemeister-Turaev挠，即具有组合欧拉结构的Reidemeister挠率。我们的结果可以推广到Alexander多项式与$A_{m,n}$和$B_{p,q}$相同的链路。
Multivariate Alexander quandles, VI. Metabelian groups and 2-component links
本文研究了多变量亚历山大淬火与可解群的关系，证明了其与链接群商群的同构性，并揭示了二链环的 medial 淬火与简化亚历山大不变量的联系。
Classification of $2$-component virtual links up to $Ξ$-moves
本文通过改进奇缠绕数和链环数，将Taniguchi等人关于$Ξ$-移动刻画虚纽结奇缠绕数的结果扩展，完成了$Ξ$-移动下$2$-分支虚链环的分类。
Surgery on links of linking number zero and the Heegaard Floer $d$-invariant
我们研究了具有环绕数为零的两分量L-空间链的Heegaard弗洛尔同调和各种相关的不变量（如$h$ -函数）。对于这样的链接，我们明确描述的$h$ -功能，Sato-Levine不变量和卡森不变量之间的关系。利用$h$ -函数给出了环绕数为零的两分量L-空间环上积分运算的Heegaard Floer $d$ -不变量的公式，推广了Ni和Wu的公式.因此，对于这样的链接与unknotted组件，我们的特点L-空间手术斜率的$ν^{+}$不变的结从吹下来的组件。我们给出了一个证明的绞不等式的$d$ -不变量的$+1$手术沿环绕数零链接，不同的交叉变化。我们还描述了边界上的光滑的四个属的链接的$h$ -功能，扩大以前的工作的第二作者，并使用这些边界来计算四个属的链接的几个例子。
Higher order Kirk invariants of link maps
本文定义了任意分支数链环映射的数值链环同伦不变量以推广 Kirk 不变量，利用 Milnor 高阶不变量要素从约化基本群提取，提供计算算法与检测示例，并用切割图组合理论证明。
Seifert matrices of Brunnian links
我们证明了$n$ -分量Brunnian链的Seifert矩阵的一些性质。特别地，我们给出了一个矩阵是2-分量Brunnian环的Seifert矩阵直到S-等价的充要条件.
Meander knots and links
本文引入曲流节、二分量曲流链和多分量曲流链的概念，从最多16个交叉点的开放曲流中导出曲流节和曲流链的不同族。我们还定义了半曲流纽结（或有序高斯码纽结）及其乘积。
Genus-zero links with prescribed knots as components
研究三维流形中纽结同痕类成为零亏格链环分支的条件，通过满足共轭类要求实现，对\(M = \mathbb S^3\)还控制环绕数，用4 - 亏格代替3 - 亏格时有类似结果，仅指定两个纽结同痕类。
A computational study of the number of connected components of positive Thompson links
大约十年前，沃恩·琼斯提出了一种方法，从汤普森群$F$的元素中产生结，后来扩展到布朗-汤普森群$F_3$。在这篇文章中，我们定义了一种方法来产生排列的$F$和$F_3$的元素，我们称之为汤普森排列。每个汤普森置换的轨道数与链路的连通分量数一致。我们探讨了固定\emph{width}和\emph{height}的$F_3$的正元素，并在数值实验的基础上给出了一些说明。为了定义汤普森排列，我们需要为从$F$和$F_3$的元素产生的每个链接分配一个方向。我们证明了所有的定向链接都可以用这种方式产生。
Alexander polynomials and hyperbolic volume of arborescent links
我们实现了一个给定的（monic）亚历山大多项式的（纤维）双曲树结和链接的任何数量的组件，并通过无穷多个这样的链接至少4个组件。因此，一个马勒措施最小化多项式，如果它存在，实现为亚历山大多项式的纤维双曲连杆的至少2个组件。对于给定的多项式，我们也给出了纽结/链环的最小双曲体积的一个上界，反之，我们构造了任意大体积的纽结，这些纽结是树状的，或者给定自由亏格至少为2。
Graph-valued invariants of virtual and classical links and minimality problem
本文构造了一个杆件为单杆件的双杆件广义Kuperberg括号。我们考虑了一个新的几何复杂性，这样的链接，并建立在一个强意义上的图的极小。
Lifting Milnor Invariants for 3-Component Links
本文定义了三分支链环L的整数值不变量序列γ^k(L)，证明其在协边和弱协边下不变，并提升了某些Milnor不变量，通过引入Kojima-Yamasaki η-不变量的三分支类比h(L)来建立该结果，应用包括当指定分支的Alexander多项式平凡时的弱协边分类，以及刻画在B^4中边界连续嵌入圆盘且补空间基本群为ℤ的纽结。
Khovanov homology and cobordisms between split links
本文研究了Khovanov函子对四维曲面连接的（不）灵敏性。我们证明了如果$L$和$L'$是分裂链，并且$C$是$L$和$L'$之间的配边，即不相交的并$L$的组分和$L'$的组分之间的配边（但可能是连接的），则由$C$诱导的Khovanov同源性的图谱完全由由$C$的各个组分诱导的图谱确定，并且不检测件.作为推论，我们证明了一个强同伦带协调（即，其互补序列可以仅用1-和2-柄构建的一致性）诱导了对Khovanov同源性的注入，这推广了第二作者和Zemke的结果。此外，我们表明，一个非分裂的链接不能带状一致的分裂链接。
Generalization of the Conway-Gordon theorem and intrinsic linking on complete graphs
Conway和Gordon证明了对于每个顶点数为6的空间完全图，其所有组成的二分量链的环绕数之和为奇数; Kazakov和Korablev证明了对于任意顶点数大于6的空间完全图，其所有组成的二分量哈密尔顿链的环绕数之和为偶数。本文证明了对于顶点数大于6的空间完全图，所有二分量Hamilton链上的环绕数的平方和都是由所有三角形-三角形组成链上的和来确定的.作为应用，我们证明了如果顶点数足够大，则每个空间完全图都包含一个二分量Hamilton链，其环绕数的绝对值是任意大的.最后给出了直线空间完全图的一些应用。
Smoothly slice boundary links whose derivative links have nonvanishing Milnor invariants
我们给出了一个三分量光滑切片边界链的例子，其每个分量具有亏格1的Seifert曲面，使得边界链Seifert形式的任何代谢物由Seifert曲面上的3条曲线表示，这些曲线形成具有非零Milnor三重环绕数的链。我们也给了一个概括的m-组件的链接和更高的Milnor不变量。我们证明了我们的例子是丝带和所有的丝带链接的边界切片。
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