Quasihomogeneity of isolated singularities and logarithmic cohomology
Michel Granger, Mathias Schulze
利用对数微分复形的一阶微分在奇点上支撑的上局部上同调中诱导的映射的内射性刻画了孤立奇点的拟齐性.
We characterize quasihomogeneity of isolated singularities by the injectivity of the map induced by the first differential of the logarithmic differential complex in the top local cohomology supported in the singular point.
机构、总结、中文摘要均由AI分析而来，可能存在错误，请以论文正文为准。
继续探索
Higher cotangent cohomology of rational surface singularities
余切上同调群T^1和T^2在形变理论中起着重要的作用，第一个是无限小形变的空间，而障碍物落在第二个中。许多工作已经做了合理的曲面奇点的维数计算。对于这样的奇性，我们给出了i>2的群T^i的显式维数公式。
Cotangent cohomology of rational surface singularities
我们证明了对于所有有理曲面奇点Y，n阶余切上同调群（n >=2）的生成元个数是相同的.对于一大类有理曲面奇点，包括商奇点，这个数也是维数。对于它们，我们得到了相应的Poincare级数的一个显式公式。
Hodge-Witt cohomology and Witt-rational singularities
我们证明了在完满域上的正常有限同分向量之间的纯不可分的射影变换的维特向量层（和维特标准层）的高阶直像的模挠的消失。为此，我们表明，相对Hodge-Witt上同调承认一个行动的对应。作为一个应用，我们定义维特理性奇点，形成一个更广泛的类比理性奇点。特别是，有限的对偶有维特有理奇点。此外，我们还证明了一个光滑的适当格式的Witt向量上同调的挠部分是一个双有理不变量。
Lattice cohomology and the embedded topological type of plane curve singularities
本文提出解析格上同调这一约化曲线奇点新不变量，证明其对不可约平面曲线奇点是完备嵌入拓扑不变量，并在多分支情形下与整Seifert形式比较。
A remark on singularities of primitive cohomology classes
格林和格里菲思引入了几个与正规函数相关的奇点概念，特别是与中维本原霍奇类相关的奇点。在本文中，通过使用更基本的方面的分解定理，我们定义的整体和局部奇点与原始的中维上同调类，并通过使用相对硬Lefschetz定理，我们表明，这些奇点检测的整体和局部平凡的原始类。在最后一节中，我们写了一个经典的归纳论点有关霍奇猜想的本地非零的原始类。
Analytic lattice cohomology of surface singularities
我们构造了解析格上同调与任何复法曲面奇异性的解析型。它是芽的几何亏格的范畴化，只要链环是有理同调球面。它是拓扑格上同调的解析类比，只要它是有理同调球面，它就与芽的连接有关。这种拓扑格上同调是Seiberg-Witten不变量的范畴化，并且在理论上与Heegaard Floer上同调同构.我们比较了这两个格上同调：在一些简单的情况下，他们一致，但在一般情况下，分析上同调是敏感的分析结构。我们期待着与变形理论的深刻联系。我们提供了几个基本属性和关键的例子，我们制定了几个示意图和问题。这是一个系列的第一篇文章，在这个系列中，我们发展了奇点的解析格上同调。
Analytic lattice cohomology of surface singularities, II (the equivariant case)
我们构造的等变解析格上同调与解析型的复正常表面的奇异性时，链接是一个合理的同源球。它是胚芽的等变几何亏格的分类。这是拓扑格上同调的分析类比，与芽的链接有关，并由自旋$^c$ -链接的结构索引（这是Seiberg-Witten不变量的分类，并且在理论上它与Heegaard Floer上同调同构）。
The cohomology of line bundles of splice-quotient singularities
我们提供了几个结果拼接商奇点：所有“自然”线丛的第一上同调维数的组合表达式，线丛相对截面维数的等变Campillo-Delgado-Gusein-Zade型公式（证明了等变的、整除的多变量希尔伯特级数是拓扑的），解析函数-芽的因子的组合描述，并由其分解图给出了奇点重数的表达式。此外，我们建立了一个新的公式的Seiberg-Witten不变量的任何有理同调球奇异链。
On the cotangent cohomology of rational surface singularities with almost reduced fundamental cycle
通过计算余切空间$T^{1}$和$T^{2}$的一般维数公式中的修正项，证明了一类有理曲面奇点的余切空间的维数公式.我们得到了有理曲面奇点$X$的对偶图不包含特定类型的构形时，修正项为零，这推广了Theo de Jong关于有理行列式曲面奇点的修正项$c(X)$为零的一个结果.特别地，我们的结果意味着$c(X)$是零的Riemenschneiders拟行列式有理曲面奇性，这也推广了结果的qoutient奇性。
Weights on cohomology, invariants of singularities, and dual complexes
在本文中，我们提取自然不变量的奇异通过使用Deligne重量过滤上同调的例外纤维的决议，也对相交上同调的链接。我们的主要目标是研究和给出自然界的直接图像的微分形式的权重。这些界限可以明确的各种标准类，如合理的，孤立的正常科恩-麦考利和环面奇点，并导致这些奇点的拓扑结构的强限制。本文的第二个目标是使权重过滤和相关的构造更容易获得。因此，我们试图使介绍有点自我包含。这是取代我们早期的预印本arXiv：0902.4234。
Symplectic cohomology of compound Du Val singularities
我们计算辛上同调Milnor纤维的某些复合杜瓦尔奇，承认小分辨率使用同调镜像对称。我们的计算提出了一个新的猜想，存在一个小的决议有很强的影响辛上同调，反之亦然。我们还利用我们的计算给出了奇点的联系的接触不变量，从而区分了$S^2 \times S^3$的连通和上的许多切触结构。
Structural properties of the lattice cohomology of curve singularities
本文研究约化曲线奇点的格上同调，证明其约化上同调权分次非正、H^0模结构可判定Gorenstein性，且平面曲线奇点的H^0决定其重数。
The intuitive definition of Du Bois singularities
证明了对于具有Du Bois奇点的投射簇，其结构层的凝聚上同调群与奇异上同调群的相应Hodge分支重合的条件等价.
Hodge theory of degenerations, (II): vanishing cohomology and geometric applications
本文研究孤立超曲面奇点的加权谱和消失上同调，揭示其对光滑化极限混合Hodge结构的作用，并应用于紧化与镜像对称中的多类奇点。
Cohomology of ideals in elliptic surface singularities
本文研究了二维正常奇点的正常还原数，证明了椭圆奇点的正常还原数为二，并探讨了非有理奇点的Gorenstein性质与$p_g$-理想的关系。
Noncommutative resolutions and intersection cohomology for quotient singularities
对于一类对称栈$\mathcal{X}$的好模空间$X$，我们定义了非交换基序$\mathbb{D}^{\text{nc}}(X)$，它可以看作是$X$的交上同调的简化.这些基模是$X$的奇点$\mathbb{D}(X)\subset D^b(\mathcal{X})$的非对易分解的和。范畴$\mathbb{D}(X)$是$V//G$的奇点的非交换分解对于$V$的整体模拟，其中$V$是由Špenko-Van den Bergh构造的约化群$G$的对称表示。
Local cohomology of Du Bois singularities and applications to families
本文研究了DuBois奇点的局部上同调模。设$(R,m)$是局部环，证明了若$R_{red}$是Du Bois环，则对每个$i$，$H_m^i(R)\to H_m^i(R_{red})$是满射环.我们发现这个结果有许多应用。例如，我们回答一个问题的科瓦奇和第二作者的科恩-麦考利财产的杜波依斯奇点。我们得到了$Ext$的内射性的结果，这些结果在特征$0$中为Eisenbud-Mustata-Stillman的问题提供了实质性的部分答案，并且这些结果可以被看作是Kohen-Macaulay Du Bois簇的Kodaira消灭定理的推广.我们证明结果集理论的科恩-Macaulayness的定义理想的杜波依斯奇点，这是特征$0$模拟结果的辛格-瓦尔特和回答他们的一些问题。我们延长结果Hochster-Roberts之间的关系Koszul上同调和局部上同调的$F$ -内射和杜波依斯奇点，见Hochster-Roberts。我们还证明了稠密$F$ -内射型的奇点变形。
Pure Hodge structure on the $L_2$-cohomology of varieties with isolated singularities
设$V$是具有孤立奇点的复射影簇.设光滑部分由射影嵌入引入度量。然后我们发展了$L_2$调和理论，构造了$V$的$L_2$ -上同调的纯Hodge结构.当$V$的维数为2时，我们在它的$L_2$形式的层复形上加上一个上同调的Hodge结构.
Characteristic Cohomology I: Singularities of Given Type
对于一个变种$\mathcal{V}, 0 \subset \mathbb C^N, 0$的芽，一个$\mathcal{V}$类型的奇点$\mathcal{V}_0$由一个芽$f_0 : \mathbb C^n, 0 \to \mathbb C^N, 0$给出，该芽在适当的意义上横切于$\mathcal{V}$，使得$\mathcal{V}_0 = f_0^{-1}(\mathcal{V})$。对于这些奇异性，我们引入“特征上同调”来捕捉$\mathcal{V}$的拓扑结构对$\mathcal{V}_0$的拓扑结构的贡献，对于Milnor纤维（对于$\mathcal{V}, 0$的超曲面），以及$\mathcal{V}_0$的补充和链接（在一般情况下）。Milnor纤维和补的特征上同调是Milnor纤维和补的上同调的子代数。对于固定的$\mathcal{V}$，它们在$\mathcal{V}$型奇点范畴上是函子的。此外，对于$\mathcal{V}_0$的链环，在特征为0的域上存在链环的上同调的特征上同调子群。Milnor纤维和补体的特征上同调在定义芽$f_0$的$\mathcal K_{\mathcal{V}}$等价下是不变的。对于在$H$的$f_0$的$\mathcal K_{H}$ -等价下的链路不变量，定义了$\mathcal V, 0$的方程。我们给出了一个涉及“消失紧模…
The vanishing cohomology of non-isolated hypersurface singularities
我们采用反常的消失循环表明，每一个减少的上同调群的Milnor纤维，除了前两个，可以计算从限制的消失循环复杂的只有奇异地层具有一定的下界的尺寸。几何结果的指导下，我们交替使用附近和消失的循环函子，通过迭代切片通用超平面的Milnor纤维上同调的信息。这些导致的描述约化上同调群，除了顶部的两个，在消失的上同调的附近部分。我们用它来计算明确的最低（可能是非平凡的）消失上同调群的Milnor纤维。
Lattice cohomology of normal surface singularities
对任何负定的铅垂3-流形M，我们从它的铅垂图构造一个分次Z[U]-模.对于有理同调球，这在理论上等于奥兹瓦特和萨博的希高-弗洛尔同调，但它有更多的结构。如果M是一个复杂的奇异环节，那么规范化的欧拉特征可以与解析不变量进行比较。本文利用这个新对象讨论了Seiberg-Witten不变猜想。
Affine Varieties, Singularities and the Growth Rate of Wrapped Floer Cohomology
在本文中，我们给出了以下问题的部分答案：哪些接触流形是contactomorphic孤立复奇点的链接？哪些辛流形对光滑仿射簇是辛同构的？我们将用来区分这种流形的不变量称为包裹Floer上同调的增长率。利用这一不变量，我们证明了：如果Q是单连通流形，其单位余切丛与孤立奇点的链环是接触同构的，或者其余切丛与光滑仿射簇是辛同构的，那么M一定是有理椭圆的，因此它的贝蒂数一定有一定的界.
Symplectic cohomology of quasihomogeneous $cA_n$ singularities
本研究计算了孤立拟齐次$cA_n$奇点Milnor纤维的辛上同调，借此区分其链环的接触流形结构，为Evans和Lekili的猜想提供了新证据。
Topology of Singularities on Algebraic Loop Spaces
研究了由\emph{algebraic formal loops}空间产生的简单无穷维奇点的拓扑。我们证明，在一些简单的情况下，附近的循环上同调的闭路空间上的函数的自然模拟消失，并进一步表明，上述上同调的适当重整化版本产生一个简单的（非零）的结果。
Chen-Ruan cohomology of ADE singularities
研究了具有横向ADE奇点的轨道褶皱的阮氏\textit{cohomological crepant resolution conjecture}.在$A_n$ -情形下，我们计算了Chen-Ruan上同调环$H^*_{\rm CR}([Y])$和量子修正上同调环$H^*(Z)(q_1,...,q_n)$ .前者是在一般情况下实现的，后者则要达到一些附加的、技术上的假设。在$A_1$ -情形下，我们构造了$H^*_{\rm CR}([Y])$和$H^*(Z)(-1)$之间的显式同构，验证了阮氏猜想.在$A_n$ -情况下，没有为$q_1=...=q_n=-1$定义族$H^*(Z)(q_1,...,q_n)$。这意味着该猜想应稍作修改。在$A_n$ -情形下提出了一个新猜想，并通过构造一个显式同构在$A_2$ -情形下证明了该猜想.
Cohomology of natural line bundles on generic normal surface singularities
设$\mathcal{T}$为任意可分辨图，$(X, 0)$为一般复解析法曲面奇点，$\tilde{X}$为与之对应的一般可分辨图，确定例外曲线上支持的有效整数圈$Z$和任意Chern类$Z' \in L'$.在这篇文章中，我们的目标是计算上同调数$h^1(\mathcal{O}_{Z}(Z'))$。请注意，这种情况下$Z'_v < 0, v \in |Z|$讨论了\cite{NNA2}，其中的主要定理是，在这种特殊情况下，这些上同调数等于上同调数的通用线丛在$\text{Pic}^{Z'}(Z)$然而，条件$Z'_v < 0, v \in |Z|$是至关重要的证明，如果没有这个假设的声明是远远不真实的。本文利用\cite{R}中的相对一般线丛和相对一般解析结构的技巧，给出了计算自然线丛$h^1(\calO_{Z}(Z'))$在一般奇点下的上同调数的组合算法.
Macdonald formula for curves with planar singularities
我们推广麦克唐纳公式的希尔伯特计划的上同调曲线上的点从平滑曲线的曲线与平面奇点：我们联系的希尔伯特计划的上同调的紧雅可比的曲线。新的公式是一个后果的一个更强的身份之间的某些反常层定义的家庭曲线满足温和的条件。证明了Ngo紧化Jacobian的支撑定理的一个重要应用，并将该定理推广到此类族的相对Hilbert方案。因此，我们推广的部分Weil拓扑的Hilbert-zeta函数的曲线与平面奇点。
Mixed Hodge structures on the intersection homotopy type of complex varieties with isolated singularities
最近由Chataur-Saralegui-Tanré发展的交上同调的同伦处理将一个“反常代数模型”与每一个拓扑伪流形联系起来，将Sullivan的有理同伦的表述扩展到交上同调。在这种情况下，有一个概念的“相交形式”，衡量消失的梅西产品的相交上同调。本文研究了具有孤立奇点的复射影簇的反常代数模型。我们赋予这样的不变量与自然的混合霍奇结构。这使我们能够证明一些相交形式的结果，大家庭的复杂的投影品种，如孤立的表面奇点和品种的任意尺寸与普通的孤立奇点。
Characteristic Cohomology II: Matrix Singularities
令$\mathcal{V} \subset M$表示奇异$m \times m$复矩阵的任何种类，其可以是一般的、对称的或反对称的（$m$偶），或$m \times p$矩阵，在这种矩阵的相应空间$M$中。对于任何一个$\mathcal{V} \subset M$的“矩阵奇点”，“$\mathcal{V}$型“的$\mathcal{V}_0$被定义为$\mathcal{V}_0 = f_0^{-1}(\mathcal{V})$通过胚$f_0 : \mathbb C^n, 0 \to M, 0$（适当地横向于$\mathcal{V}$）。在本文的第一部分中，我们引入了关于Milnor纤维（对于$\mathcal{V}$是超曲面）和补和环（在一般情况下）的$\mathcal{V}$型奇点$\mathcal{V}_0$的特征上同调的概念。我们确定在这里的特征上同调矩阵奇点在所有这些情况下。对于这些奇异性，我们在另一篇论文中证明了Milnor纤维和补有“紧模型子流形”，这是经典的对称空间的意义上的嘉当。我们证明了特征子代数是外代数（或在一种情况下，外代数上的两个生成元上的模）在一个显式生成元集上的像。当$f_0$中含有一种特殊类型的“展开风筝映射”时，我们给出了利用消失紧模型识别特征子代数中的一个外子代数的“检测准则“。这将适用于Milnor光纤、补体和链路。
Analytic lattice cohomology of isolated curve singularities
我们构造了任意复孤立曲线奇异点$(C,o)$的格上同调${\mathbb H}^*(C,o)=\oplus_{q\geq 0}{\mathbb H}^q(C,o)$和分次根${\mathfrak R}(C,o)$.每个${\mathbb H}^q(C,o)$都是一个${\mathbb Z}$分级的${\mathbb Z}[U]$模块。${\mathbb H}^*(C,o)$的欧拉特征是$(C,o)$的δ不变量。的建设是基于多变量希尔伯特系列的多重过滤提供的估值的规范化。几个例子进行了讨论，例如Gorenstein曲线（其中一个额外的对称性建立），平面曲线（特别是牛顿非退化的），普通PDMATHAMT元组。我们还证明了孤立曲线奇点的平坦变形$(C_t,o)_{t\in ({\mathbb C},0)}$诱导了一个显式的零度分次${\mathbb Z}[U]$ -模态射${\mathbb H}^0(C_{t=0},o)\to {\mathbb H}^0(C_{t\not=0},o)$，以及在分次根${\mathfrak R}(C_{t\not=0},o)\to{\mathfrak R}(C_{t=0},o)$水平上的零度分次（图）映射。在处理的变形函子，我们需要第二次建设的格上同调的系统的线性子空间安排与上述过滤。
The analytic lattice cohomology of isolated singularities
我们关联（在一个较小的假设下）到任何解析孤立奇点的尺寸$n\geq 2$的“解析格上同调”${\mathbb H}^*_{an}=\oplus_{q\geq 0}{\mathbb H}^q_{an}$。每个${\mathbb H}^q_{an}$都是一个分级的${\mathbb Z}[U]$模块。它是延伸到更高的维度的“解析格上同调”定义的正常表面奇异性与合理的同源球链接。这最新的一个是分析模拟的“拓扑格上同调"的链接正常的表面奇异性，这在理论上是同构的Heegaard Floer上同调的链接。该定义使用了奇点$(X,o)$的良好分辨率$\widetilde{X}$。然后证明了解的选择与解的选择无关，并证明了${\mathbb H}^*_{an}$的欧拉特征是$h^{n-1}({\mathcal O}_{\widetilde{X}})$。在超曲面加权齐次奇点的情况下，我们将其与第一区间的Hodge谱数联系起来。
Isolated hypersurface singularities, spectral invariants, and quantum cohomology
本文利用 Floer 理论的谱不变量研究孤立超曲面奇点与量子上同调环的关系，在半单假设下证明了奇点必为 $A_m$ 型，并揭示了 $A_m$-配置对 Hofer 几何的影响及 Dehn 扭曲减小谱不变量的结论。
On quantum cohomology of Grassmannians of isotropic lines, unfoldings of $A_n$-singularities, and Lefschetz exceptional collections
本文的研究对象是辛迷向Grassmannian环$\text{IG}(2, 2n)$的大量子上同调环。我们证明了这些环是正则的。特别地，通过“通有光滑性”，我们得到了$\text{IG}(2, 2n)$的大量子上同调的通有半单性的概念性证明。此外，通过克劳斯·赫特林的一般结果，这些环的正则性意味着它们具有孤立超曲面奇点的描述，在这种情况下，我们证明它是$A_{n-1}$型的。通过同调镜像对称猜想，这些结果表明在$\text{IG}(2, 2n)$上的相干层的导出范畴中存在一个非常特殊的完全例外集。亚历山大·库兹涅佐夫在附录中构建了这样一个集合。
Inseparable maps on $W_n$-valued local cohomology groups of non-taut rational double point singularities and the height of K3 surfaces
本文研究非平凡有理双重点奇点，计算Frobenius等不可分映射在$W_n$值局部上同调群上的作用，并证明K3曲面的高度与其RDP同构类相关。
Rational cohomology tori
研究了正规紧Kähler空间的有理上同调环与复环面的有理上同调环同构的情形。我们称之为有理上同调环面。我们分类，到三维，那些合理的奇点。然后，我们给限制的程度上的阿尔巴尼亚态射和简单的因素的阿尔巴尼亚品种的合理上同调环面的一般类型（因此投影）与合理的奇点。它们的性质与一般型、最大Albanese维数和全纯欧拉示性数为零的光滑射影簇的双有理几何有关。最后，我们构建了一系列的例子。
L-infinity pairs and applications to singularities
在特征为零的域上，具有上同调约束的变形问题都由一个微分分次李代数和一个模组成的对控制。不幸的是，这些对通常是无限维的。我们表明，每一个上同调约束的变形问题是由一个典型的有限维L-无穷对控制。作为第一个应用，我们证明了，对于没有权零1-上同调类的复代数簇，包含常数层的秩1局部系统的上同调跳跃轨迹的分量是环面。这对基本群施加了限制。这同样适用于链路和Milnor光纤。
On a resolution of singularities with two strata
设$X$是一个复的不可约的拟射影簇，$π:\widetilde X\to X$是$X$的奇点的奇点的分解.假设$X$的奇异轨迹${\text{Sing}}(X)$是光滑的，导出映射$π^{-1}({\text{Sing}}(X))\to {\text{Sing}}(X)$是允许纤维上同调扩张的光滑纤维化，并且$π^{-1}({\text{Sing}}(X))$在$\widetilde X$中有负法丛。本文给出了$π$分解定理的一个非常简短而明确的证明，提供了一种利用$\widetilde X$和$π^{-1}({\text{Sing}}(X))$的上同调来计算$X$的交上同调的方法.我们的结果适用于特殊的舒伯特品种的两个阶层，即使$π$是非小的。并对$\mathbb P^5$的某些具有一维奇异轨迹的超曲面进行了研究。
A resolution of singularities for Drinfeld's compactification by stable maps
Drinfeld的相对紧化在自守层理论中起着基础性的作用，它的奇点以交上同调的形式编码表示论信息。我们引入了一个奇点的分解，它由从曲线的节点变形到扭曲旗簇的稳定映射组成。作为应用，我们证明了Drinfeld紧化上的扭交上同调层在$G$ -丛的模栈上在相对于其亏格充分反占优的点上是泛局部非循环的.
Deformations of log canonical and F-pure singularities
我们引入了一个提升性质的局部上同调，这导致了一个统一的治疗的对偶复杂的平坦态射与半对数正则，杜波依斯或F-纯纤维。因此，我们得到，在所有3种情况下，相对对偶复形的上同调层是平坦的，并与基变化交换。我们还得到了几个后果的变形半对数正则，杜波依斯和F-纯奇点。
The geometric genus of hypersurface singularities
利用路格上同调，给出了具有有理同调球面链的复法曲面奇点的几何亏格的概念性拓扑刻画，该刻画对所有超孤立和Newton非退化超曲面奇点都是一致有效的.
An injectivity theorem with multiplier ideal sheaves of singular metrics with transcendental singularities
本文的目的是建立一个推广到具有超越（非代数）奇异厄米度量和乘子理想层的伪有效线丛的内射性定理。作为应用，我们得到了一个Nadel型消灭定理.为了证明这一点，我们研究了调和形式关于一族正则度量的渐近性态，并利用dbar-上同调与检查{C}ech-上同调之间的de Rham-Weil同构给出了dbar-方程解的L2-估计.
Invariants of the singularities of secant varieties of curves
本文研究光滑射影曲线的 $k$-平面割线簇的奇点不变量，计算了任意曲线的交点上同调，并证明有理正规曲线的所有割线簇均为满足 Poincaré 对偶的有理同调流形，同时计算了最大非平凡割线簇的邻近圈与消没圈。
Orbifold Cohomology of ADE-singularities
本文研究了具有横向ADE奇点的轨道褶皱的阮氏"上同调收缩分解猜想"（见数学AG/0108195）。设[Y]是这样的一个orbifold，Y是它的粗模空间，Z是Y的临界分辨.继阮[math. AG/0108195]之后，我们利用Z的Gromov-Witten不变量，得到了上同调环H ^*（Z）的一个变形.所得的环族将被表示为H ^*（Z）（q_1，.，q_n），其中q_1，.，q_n是复参数。在A_n情形下，我们计算了轨道重上同调环H ^*_{orb}（[Y]）和族H ^*（Z）（q_1，.，q_n）。前者是在一般情况下实现的，后者是一个明确的猜想Gromov-Witten不变量，这是根据额外的技术假设进行验证。在A_1情形下，我们构造了H ^* orb}（[Y]）与H ^*（Z）（-1）之间的一个显式同构，验证了阮氏猜想.在A_2情形下，族H ^*（q_1，q_2）对于q_1 = q_2 =-1没有定义，所以猜想应稍加修改.然而，我们给出了H ^*_{orb}（[Y]）和H ^*（Z）（q_1，q_2）之间的显式同构，其中q_1 = q_2是单位的本原三次根，从而证明了阮猜想的略有修改的版本。很自然地可以猜想，在A_n情形下，H ^*_{orb}（[Y]）同构于H ^*（Z）（q_1，.，q_n），其中q_1 =.= q_n是单位元的（n +1）次本原根。
Cohomology pairings on singular quotients in geometric invariant theory
本文将给出几何不变理论代数的交上同调中的互补维数的交上同调类的配对公式，其中半稳定性不一定与稳定性相同（尽管我们对作用作了一些较弱的假设）。我们还给出了公式相交配对的决议的奇异性（或更准确地说，部分决议，因为orbifold奇异性是允许的）的conjecents。
The McKay correspondence for isolated singularities via Floer theory
利用Floer理论证明了孤立奇点的广义McKay对应。给定SL（n，\C）中有限子群G的孤立奇点\C^n /G和任意的可分解性Y，证明了正辛上同调SH+（Y）的秩是G的共轭类数，共轭类上年龄分次的两倍是SH+（Y）上的\Z -Conley-Zehnder指标分次.由于全辛上同调的一个零结果，使得SH_+（Y）自然同构于普通上同调H（Y）。在附录中，我们构造了一个新的过滤的辛链复形的任何非精确凸辛流形，它产生的Morse-Bott谱序列和正辛上同调的建设。
The null-cone and cohomology of vector bundles on flag manifolds
研究了半单代数群通过对角伴随作用作用在其李代数的多个副本上的零锥。我们证明了零锥在SL 3情形下具有有理奇点。我们观察到的例子，零锥是不正常的，一般情况下，零锥的正规化不具有合理的奇异性。这是通过计算旗簇上某些向量丛的上同调来实现的。
On the singularities of the theta divisors on Jacobians
研究了非超椭圆曲线雅可比行列式上θ因子的交上同调。
$L^2$-sheaves of holomorphic functions and $n$-forms on complex spaces with isolated singularities
设$X$是具有孤立奇点的纯维$n$的埃尔米特复空间。本文给出了$X$上具有Dirichlet边界条件的平方可积全纯$n$ -形式的标准层的自然分解.作为应用，我们得到了$L^2$ - $\bar{\partial}$ -上同调的一个显式光滑模型，包括$\bar{\partial}$ -闭（全纯）$L^2$ -函数层的自然分解.
Quantum cohomology of the Hilbert scheme of points on A_n-resolutions
本文确定了与A_n型奇点有关的表面分解点的Hilbert方案的等变量子上同调的两点不变量。编码这些不变量的算子表示为仿射李代数\hat{gl}（n+1）在其基本表示上的作用。假设一定的非简并性猜想，这些算子决定了量子上同调环的完整结构。证明了量子上同调与A_n x P^1的Gromov-Witten/Donaldson-Thomas理论之间的关系。最后，我们讨论了相关量子微分方程的单值性质，并推广到D型和E型奇点。
Lyubeznik's invariants for cohomologically isolated singularities
在这份说明中，我给出了一个描述Lyubeznik的局部上同调不变量的某个自然类的局部环，即具有相同的局部上同调消失，因为人们期望从一个孤立奇点。这加强了Bondu和我在数学AG/0406265中的结果，同时在某种程度上简化了证明。通过实例进一步指出了这些不变量在正特征约简下的不良行为。
Complexes of differential forms and singularities: The injectivity theorem
本文证明了对于具有(m-1)-Du Bois奇点的代数簇，从m阶Du Bois复形的Grothendieck对偶到其零阶上同调sheaf的Grothendieck对偶的自然映射在上同调上是单射的，验证了Popa, Shen和Vo的猜想G。
Differential forms on varieties with pre-$k$-rational singularities
本文针对具有预k-有理奇点的复代数簇，比较两类紧支上同调群的混合霍奇结构，研究其微分形式相关概念，重点考察Du Bois复形分次部分的深度。
Homological mirror symmetry for Milnor fibers of simple singularities
我们证明了同调镜像对称的米尔诺纤维的简单奇点的尺寸大于1，这是在arXiv：1806.04345中的猜想1.5的对数法诺情况。证明是基于矩阵分解和Calabi-Yau完成之间的关系。作为应用，我们给出了一个明确的计算的Hochschild上同调群的派生$n$ -预投射代数的Dynkin的一个$n \geq 1$，和辛上同调群的Milnor纤维的任何单奇点在任何尺寸大于1。
Derived Stratifications and Arithmetic Intersection Theory for Varieties with Isolated Singularities
本文针对带孤立奇点的簇，用导出几何等工具建立分层德拉姆理论，统一拓展相关理论框架，并填补Ohsawa证明的缺口，验证Cheeger-Goresky-MacPherson猜想的相关结论。
Brill-Noether problem on splice quotient singularities and duality of topological Poincaré series
本文研究了平滑曲线的Brill-Noether问题在法向曲面奇异情况下的类比。在下列情况下，我们确定了Picard群$\pic^{l'}(\tX)$中不含固定分支的线丛的$h^1$的最大可能值：对于某些特殊的Chern类，如果$\tX$是一个拼接商奇点$(X, 0)$的分解，则$h^1$为$l'$;对于任意的Chern类，如果是加权齐次奇点，则$(X, 0)$为$(X, 0)$.基于这个问题，我们对所有的陈类$l'$定义了\emph{virtual cohomology numbers} $h^1_{virt}(l')$，使得$h^1_{virt}(0)$是正则化的Seiberg-Witten不变量，推广了作者和A. Némethi在\cite{LNNdual}中，对于虚上同调数。
Q_l-cohomology projective planes from Enriques surfaces in odd characteristic
给出了具有孤立ADE-奇点和数值平凡奇特征典范丛的Q_l-上同调射影平面的完全分类。这导致了一个美丽的关系与某些恩里克表面平行的情况下，特征零，但显示有趣的微妙之处。
Nilpotence of Frobenius action and the Hodge filtration on local cohomology
一个$F$ -幂零局部环是一个局部环$(R, \mathfrak{m})$，它的素特征由Frobenius作用在它的局部上同调模$H^i_{\mathfrak{m}}(R)$上的幂零性定义。如果特征零的奇异性的模$p$约化是$F$-对于几乎所有的$p$都是幂零的，则称其为$F$-幂零类型。本文给出了三维$F$ -幂零型正规孤立奇点的Hodge理论解释。在分次的情况下，这产生了这些奇异性的表征方面的除子类群和布劳尔群。
The cohomology of framed moduli spaces and the coordinate ring of torus fixed points of quotient singularities
本文证明了射影平面上的带框模空间的上同调环与 $\mathbb{C}^{2n}/((\mathbb{Z}/r\mathbb{Z})\wr S_n)$ 的环面不动点坐标环作为分次向量空间同构，并在附录中通过不同方法建立了分次代数同构，支持 Hikita 猜想。
Milnor monodromies and mixed Hodge structures for non-isolated hypersurface singularities
研究了非孤立超曲面奇异性的Milnor monodromies，证明了对于Monodromies的某些特征值，Milnor纤维的约化上同调群集中在中等程度上.作为这个结果的应用，我们给出了它们的Jordan标准形的某些部分的显式公式。
Lattice cohomology and Seiberg-Witten invariants of normal surface singularities
法曲面奇点理论的主要问题之一是理解它们的几何和拓扑之间的关系。格上同调是研究与连通负定铅垂图G相关联的铅垂3-流形M的拓扑性质的重要工具。当M被实现为奇点环时，即当G是奇点的良好分解图时，它将拓扑性质与解析性质联系起来。它的计算基于\Z^s的格点的（Riemann-Roch）权，其中s是G的顶点数.论文的第一部分将这个格的秩减少到图的坏顶点的数量。通常，M的几何/拓扑结构是由这些“坏”顶点精确编码的，它们的数量度量了管道图离理性图的距离。在第二部分中，我们确定了以下三个对象：垂直3-流形的Seiberg-Witten不变量，其拓扑Poincare级数的周期常数，以及等变多元Ehrhart多项式的系数。为此，我们从管道图构造了相应的多面体，以及H_1（M，\Z）的作用，并发展了Ehrhart理论。减少的效果也出现在多变量拓扑庞加莱级数的水平，简化相应的多面体和Ehrhart理论以及。最后给出了详细的计算和算例。
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