Thresholds and expectation thresholds for larger p
University of Oxford（牛津大学）
该研究通过克隆族方法改进了Kahn-Kalai猜想，证明了阈值与期望阈值之间的关系。
2023-10-20 math.CO math.PR
The threshold for the constrained Ramsey property
给定图$G$、$H_1$和$H_2$，令$G\xrightarrow{\text{mr}}(H_1,H_2)$表示在$G$的每个边着色中存在$H_1$的单色副本或$H_2$的彩虹副本的性质。约束拉姆齐数，定义为最小$n$，使得$K_n\xrightarrow{\text{mr}}(H_1,H_2)$，存在当且仅当$H_1$是星或$H_2$是森林。当$H_2$是森林时，我们确定属性$G(n,p)\xrightarrow{\text{mr}}(H_1,H_2)$的阈值，当阈值是$Ω(n^{-1})$时显式确定，否则隐式确定。
2022-07-11 math.CO
Further remarks on fractional vs. expectation thresholds
本文推广 DeMarco 和 Kahn 的方法，解决了 Talagrand 关于期望阈值与分数期望阈值相差常数因子猜想的另外几个特例。
2025-05-27 math.CO
On the anti-Ramsey threshold
本文研究二项随机图对固定稠密图 H 的反 Ramsey 性质，并确定其成为反 Ramsey 图的阈值，证明借助九龙树定理风格的图分解引理。
2025-01-06 math.CO
Some results on fractional vs. expectation thresholds
本文综述Talagrand猜想中期望阈值与分数期望阈值的关系，并证明该猜想的若干新特例。
2023-11-14 math.CO
On the anti-Ramsey threshold for non-balanced graphs
对于图$G$和$H$，如果$G$的任何正确边着色包含$H$的彩虹副本，则我们写为$G \overset{\mathrm{rb}}{\longrightarrow} H $，即，没有颜色出现一次以上的复制品。Kohayakawa、Konstadinyawa和最后一位作者证明了$G(n,p) \overset{\mathrm{rb}}{\longrightarrow}H$的阈值至多为$n^{-1/m_2(H)}$。以前的结果已经匹配的下界，这个反拉姆齐阈值的周期和完全图至少有5个顶点。Kohayakawa，Konstadinjiang和最后一位作者也提出了一个无限族的图$H$的反拉姆齐阈值是渐近小于$n^{-1/m_2(H)}$。在本文中，我们设计了一个框架，提供了一个更丰富，更复杂的家庭，包括所有以前已知的例子，这样的图。
2022-01-13 math.CO
A note on the uniformity threshold for Berge hypergraphs
图的Berge副本是通过任意扩大边而得到的超图。Grósz，Methuku和Tompkins在2020年证明了对于任何图$F$，存在一个整数$r_0=r_0(F)$，使得对于任何$r\ge r_0$，任何没有$F$的Berge拷贝的$r$ -均匀超图都有$o(n^2)$超边.最小的这种$r_0$被称为$F$的均匀性阈值，并且由$th(F)$表示。他们证明了$th(F)\le R(F,F')$，其中$R$表示非对角Ramsey数，$F'$是通过删除边从$F$获得的任何图。我们将这个界改进为$th(F)\le R(K_{χ(F)},F')$，并利用这个新的界对几类图精确地确定了$th(F)$.
2021-10-30 math.CO
Thresholds vs. expectation thresholds for non-spanning graphs
Carnegie Mellon University（卡内基梅隆大学）
研究构造了小图，其包含阈值与分数期望阈值的顺序不同，证明了存在常数c>0，使得对于任意m≤n，存在图H满足v_H=m且p_c(H)大于q_f(H)乘以c log^{1/2}(v_H)。
2026-01-30 math.CO
Down-set thresholds
我们阐明了阈值和期望阈值之间的关系。定性地，我们的主要结果表明，存在下集与多项式的差距之间的阈值和期望阈值，特别是，对数差距预测的Kahn-Kalai和Talagrand（最近证明的公园-范和Frankston-卡恩-纳拉亚南-公园）关于up-sets不适用于下集。定量地，我们表明，任何收集$[n]$上的图$[n]$，覆盖家庭的所有三角形自由图$[n]$满足不等式$\sum_{G \in \mathcal{G}} \exp(-δe(G^c) / \sqrt{n}) < 1/2$的一些普遍的$δ> 0$，这基本上是最好的可能。
2023-02-02 math.CO math.PR
Efficiently finding low-sum copies of spanning forests in zero-sum complete graphs via conditional expectation
对于一个固定的正$ε$，我们证明了存在一个常数$C_ε$，它具有以下性质：给定具有$c(E(K_n))=0$的完全图$K_n$的一个$\pm1$ -边标号$c:E(K_n)\to \{ -1,1\}$，以及最大度$Δ$的$K_n$的一个生成森林$F$，可以在多项式时间内确定$K_n$中的$F$的同构副本$F'$，其中具有$|c(E(F'))|\leq \left(\frac{3}{4}+ε\right)Δ+C_ε.$。期待
2021-02-22 math.CO
Rainbow powers of a Hamilton cycle in G(n,p)
本文研究随机边染色图 $G_{n,p}$ 中 Hamilton 圈幂的彩虹出现阈值，证明其与无染色情形仅差常数因子，且证明需使用最少颜色数的 $(1+\varepsilon)$ 倍。
2023-09-21 math.CO
Threshold Ramsey multiplicity for paths and even cycles
图$H$的Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_n$的边的任意二染色包含$H$的单色副本的最小整数$n$。虽然这个定义只要求$H$的一个单色副本，但通常情况下，完全图的$r(H)$顶点上的每个两边着色都包含$H$的许多单色副本。在$K_{r(H)}$的所有两种着色上的这种拷贝的最小数目将被称为$H$的阈值拉姆齐多重性。解决一个问题的Harary和普林斯，谁是第一个系统地研究这个数量，我们表明，有一个积极的常数$c$，使阈值拉姆齐多重路径或甚至循环$k$顶点至少是$(ck)^k$。这个界限紧到常数$c$。我们证明了一个类似的结果奇数周期的配套文件。
2022-08-07 math.CO
Chromatic thresholds for pairs of graphs
Mathematics Institute, University of Warwick（华威大学数学研究所）；Extremal Combinatorics and Probability Group (ECOPRO), Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院极值组合与概率研究组）；Departament de Matemàtiques, Universitat Politècnica de Catalunya (UPC)（加泰罗尼亚理工大学数学系）；School of Mathematics and Statistics, Ningbo University（宁波大学数学与统计学院）
研究图对的色阈值问题，确定当图中无红H1或蓝H2副本时，色数有界的最小度密度。3色图对的色阈值取五个值之一，由普通色阈值和嵌入C5型Ramsey配置决定。
2026-05-11 math.CO
Graded Expectations: Betti numbers and anti-lecture hall compositions of random threshold graphs
本文研究了多项式环的门限图、多项式环的$2$ -线性理想的乘积的贝蒂数和反讲堂合成之间的一一对应关系。特别是，我们建立新的明确的组合映射这些类的对象之间的期望值的贝蒂数和反讲堂组成对应的随机阈值图计算。
2021-02-02 math.AC math.CO
Thresholds and expectation-thresholds of monotone properties with small minterms
设$N$是一个有限集，设$p \in (0,1)$和$N_p$表示$N$的一个随机二项子集，其中$N$的每个元素都以概率$p$独立地属于该子集。这在$N$的幂集上定义了产品度量$μ_p$，其中对于$\mathcal{A} \subseteq 2^N$ $μ_p(\mathcal{A}) := Pr[N_p \in \mathcal{A}]$。本文研究了上闭族$\mathcal{A}$，其中$\mathcal{A}$中的所有极小集的大小至多为$k$，对某个正整数$k$ .我们证明了这样一个家庭$μ_p(\mathcal{A}) / p^k $是一个递减函数，这意味着一个统一的边界上的粗糙度的阈值，这样的家庭。我们还证明了一个结构定理，使识别$\mathcal{A}$要么大量的子家庭$\mathcal{A}_0$的第一时刻的方法给出了一个很好的近似其措施，或一个子家庭，可以很好地近似家庭的所有最小集的大小严格小于$k$。最后，利用线性规划的对偶性，我们将（分数）期望阈值和概率阈值联系起来。这与Kahn和Kalai的阈值猜想有关。
2014-09-24 math.CO
Graph Decompositions at the Expectation Threshold
本文证明退化度受限的图可分解为常数块，每块包含阈值与期望阈值同阶，去除了最大度假设，并给出结构扩展和统一分解界。
2026-09-22 math.CO math.PR
Upper bounds on probability thresholds for asymmetric Ramsey properties
给定两个图$G$和$H$，我们研究了随机图$G_{n,p}$（$n$顶点上的具有边概率$p$的二项随机图）对于哪些函数$p=p(n)$以概率$1-o(1)$满足它的每个边的红-蓝着色包含$G$的红色副本或$H$的蓝色副本.在假设两个图中密度较大的一个满足一定的平衡条件的情况下，我们证明了该性质阈值的一般上界。我们的结果部分证实了第一作者和Kreuter的猜想，并与早期的下界结果建立了确切的数量级的阈值的情况下，其中$G$和$H$是完全图的任意大小。在我们的证明中，我们提出了一种替代所谓的删除方法，这是由Rödl和Rucienski在他们的研究对称拉姆齐性质的随机图（即情况$G=H$），并已被用于许多证明类似的结果。
2016-02-12 math.CO
Exact threshold and limiting distribution for non-linear Hamilton cycles
本文研究 Erdős–Rényi 随机超图中 Hamilton $\ell$-圈数量的极限行为，按 $\ell\geq3$ 与 $\ell=2$ 给出集中、Poisson、对数正态及混合分布，并确定非线性 Hamilton 圈的精确出现阈值。
2025-01-06 math.CO math.PR
Random cliques in random graphs and sharp thresholds for $F$-factors
我们表明，对于每个$r\ge 4$，在一个密度范围内延伸到，并稍微超过，阈值的$K_r$ -因子，$K_r$的副本在随机图$G(n,p)$随机分布，在（单侧）的意义上说，他们形成的超图包含一个副本的二项式随机超图几乎完全正确的密度。因此，Jeff Kahn最近在Shamir的超图匹配问题中给出的阈值的渐近锐界意味着$G(n,p)$的阈值包含一个$K_r$ -因子。案件$r=3$是更困难的，并已解决了安妮卡海克尔。我们还证明了相应的结果$K_r^{(t)}$ -因素随机$t$ -一致超图，以及（在某些情况下较弱）的推广，取代$K_r$由某些其他（超）图。
2022-06-09 math.CO math.PR
A reformulation of the discrete Convexity Conjecture via $k$-thresholds
Georgia Institute of Technology（佐治亚理工学院）；New York University（纽约大学）；French National Center for Scientific Research (CNRS)（法国国家科学研究中心）
该研究引入k-阈值概念，将Talagrand离散凸性猜想重新表述为k-阈值与期望阈值的比较关系，通过归约定理确定固定图k-阈值，证明k=2适用于部分生成图性质，还建立了低简并度目标图类的对应比较关系。
2026-08-12 math.CO math.PR
Sharp thresholds for spanning regular graphs
设$d\geq 3$为常数，$F$为$[n]$上的$d$ -正则图，对称性不多.根据并界，同构于$F$的$G(n,p)$中存在生成子图的概率阈值至少为$p^*(n)=(1+o(1))(e/n)^{2/d}$ .我们给出了一个严格的边界上的$F$的边缘扩展，保证$F$的副本的出现的概率阈值具有相同的数量级的$p^*$。我们还证明，在这个界限的轻微加强，概率阈值是渐近等于$p^*$。特别地，它证明了Kahn，Narayanan和Park关于Hamilton圈的平方包含的尖锐阈值的猜想。这也意味着，对于$d\geq 4$和（渐近地）几乎所有的$[n]$上的$d$ -正则图$F$，$p(n)=(e/n)^{2/d}$是$F$ -包含的一个尖锐的阈值。
2023-03-09 math.CO math.PR
Thresholds for constrained Ramsey and anti-Ramsey problems
本文确定了受限Ramsey和反Ramsey问题的阈值，解决了当H1为星图且H2非森林时的受限Ramsey性质，并将反Ramsey的0-陈述归结为着色条件以求得特定图族的阈值。
2025-03-25 math.CO
Rainbow Thresholds
该研究扩展了期望阈值与实际阈值关联的突破性结果，纳入彩虹版本，推进了阈值理论在组合学中的应用。
2023-12-21 math.CO
On the threshold for the Maker-Breaker $H$-game
研究了随机图$G_{n,p}$的边集上的制造者-破坏者$H$ -对策。在这个游戏中，两个玩家，制造者和断路器，交替声称$G_{n,p}$的无人认领的边缘，直到所有的边缘被声称。如果Maker声称拥有固定图$H$的副本的所有边，则他获胜;否则，Breaker获胜。在本文中，我们表明，除了树和三角形，$H$ -游戏的阈值是由相应的拉姆齐性质的阈值$G_{n,p}$关于图$H$。
2014-01-17 math.CO
Asymmetric Ramsey Properties of Random Graphs for Cliques and Cycles
如果在每一个边着色$c: E(G) \to \{1,2\}$中，我们可以找到$F$的$1$着色的拷贝，或者$H$的$2$着色的拷贝，我们就说$G \to (F,H)$。著名的Kohayakawa-Kreuter猜想指出$G(n,p) \to (F,H)$性质的阈值等于$n^{-1/m_{2}(F,H)}$，其中$m_{2}(F,H)$由\[ m_{2}(F,H):= \max \left\{\dfrac{e(J)}{v(J)-2+1/m_2(H)} : J \subseteq F, e(J)\ge 1 \right\}. \]给出。本文证明了Kohayakawa-Kreuter猜想对每对圈和团的$0$ -陈述。
2020-10-22 math.CO math.PR
Concentration of the largest induced tree size of $G_{n,p}$ around the standard expectation threshold
Institute for Computer Science, Heidelberg University（海德堡大学计算机研究所）
本文研究了二项随机图$G_{n,p}$中最大诱导树大小的集中性，证明在特定$p$范围内，该大小无法围绕标准期望阈值集中。
2026-03-09 math.CO
Anti-Ramsey threshold of cycles
对于图$G$和$H$，令$G \overset{\mathrm{rb}}{\longrightarrow} H$表示对于$G$的每一个适当的边着色，在$G$中存在$H$的彩虹副本的性质。推广了Nenadov，Person，Škorić和Steger [J. Combin.理论系列B 124（2017），1 -38]，我们确定了任何给定长度$\ell \geq 4$的循环$C_\ell$的$G(n,p) \overset{\mathrm{rb}}{\longrightarrow} C_\ell$的阈值。
2020-06-03 math.CO
On Balanced Coloring Games in Random Graphs
考虑平衡的拉姆齐游戏，其中一个玩家有r种颜色，并且在每一步中，r条随机边出现在n个顶点上的初始空图中。玩家必须立即为每条边分配不同的颜色，她的目标是尽可能长时间地避免创建某个固定图F的单色副本。Achlioptas游戏类似，但玩家只有在创建一个F的副本时才会输。我们表明，有一个无限的家庭的非森林F的平衡拉姆齐游戏有一个不同的阈值比Achlioptas游戏，解决一个悬而未决的问题Krivelevich等人。我们还考虑了自然的顶点模拟这两个游戏，并表明他们的阈值一致的所有图F，在对比我们的结果的边缘的情况下。
2013-04-26 math.CO
Asymmetric Ramsey properties of randomly perturbed graphs
本文研究稠密图加入随机边后的非对称 Ramsey 阈值，确定多类新图对与密度范围的结果，并解决 $(K_t,K_s)$ 在 $t\geq s\geq 5$ 时的遗留情形。
2023-11-01 math.CO
$K_{r,s}$ graph bootstrap percolation
一个图$G$在$K_{r,s}$ -bootstrap过程中是可解的，如果我们可以按某种顺序添加$G$的所有缺失边，使得每条边创建$K_{r,s}$的新副本，其中$K_{r,s}$是完全二部图。研究了Erdens-Rényi随机图上的$K_{r,s}$ -自助渗流问题，确定了平衡$K_{r,s}$的渗流阈值为对数因子.这部分回答了Balogh、Bollobás和Morris提出的问题。我们还建立了一个一般的下界的渗流阈值为所有$K_{r,s}$，与$r\geq s \geq 3$。
2022-02-19 math.CO math.PR
Semidegree threshold for spanning trees in oriented graphs
Universidade Federal de Pernambuco（伯南布哥联邦大学）；Universidad de Chile（智利大学）
研究证明，当有向图的最小半度数满足一定条件时，能保证包含所有具有有限最大度数的有向树。
2026-08-24 math.CO
Threshold Ramsey multiplicity for odd cycles
图$H$的Ramsey数$r(H)$是使得完全图$K_n$的边的任意二染色包含$H$的单色副本的最小$n$。阈值Ramsey多重性$m(H)$则是在$K_{r(H)}$的所有双边缘着色上取得的$H$的单色拷贝的最小数目。这一概念的研究最早是由Harary和Prins在近50年前提出的。在另一篇论文中，作者证明了存在一个正的常数$c$，使得具有$k$顶点的路径或甚至圈的阈值Ramsey重数至少为$(ck)^k$，这紧到$c$的值。在这里，使用不同的方法，我们表明，同样的结果也适用于奇数圈与$k$顶点。
2021-09-20 math.CO
On the Second Kahn--Kalai Conjecture
对于任何给定的图$H$，我们感兴趣的是$p_\mathrm{crit}(H)$，最小的$p$，使得Erdens-Rényi图$G(n,p)$包含一个概率至少为$1/2$的$H$的副本。Kahn和Kalai（2007）指出，$p_\mathrm{crit}(H)$被一个更简单的“子图期望阈值”$p_\mathrm{E}(H)$赋予对数因子，$p_\mathrm{E}(H)$是最小的$p$，使得对于每个子图$H'\subseteq H$，Erdens-Rényi图$G(n,p)$至少包含$H'$的\emph{in expectation} $1/2$拷贝。$p_\mathrm{E}(H) \le p_\mathrm{crit}(H)$是平凡的，所谓的“第二Kahn-Kalai猜想”指出$p_\mathrm{crit}(H) \lesssim p_\mathrm{E}(H) \log e(H)$其中$e(H)$是$H$中的边数。在这篇文章中，我们提出了一个自然的修改$p_\mathrm{E, new}(H)$的Kahn-Kalai子图的期望阈值，我们表明是夹在$p_\mathrm{E}(H)$和$p_\mathrm{crit}(H)$。新定义$p_\mathrm{E, new}(H)$基于以下简单观察：如果$G(n,p)$包含$H$的拷贝，而$H$包含$H'$的\emph{many}拷贝…
2022-09-07 cs.DM math.CO math.PR
Exact minimum codegree thresholds for $K_4^-$-covering and $K_5^-$-covering
给定两个$3$ -图$F$和$H$，$H$的$F$ -覆盖是$H$中的$F$的副本的集合，使得$H$的每个顶点包含在它们的至少一个副本中。设{ $c_2(n,F)$ }是最大整数$t$，使得每个最小余度大于$t$的3-图都有一个$F$ -覆盖.本文回答了Falgas-Ravry和Zhao（SIAM J. Discrete Math.，2016）通过确定{ $c_2(n, K_4^-)$ }和{ $c_2(n, K_5^-)$ }的精确值，其中$K_t^-$是$t$顶点上的完全$3$ -图，其中一个边被移除。
2020-02-02 math.CO
On $K_{2,t}$-bootstrap percolation
给定两个图$G$和$H$，如果可以按某种顺序连接$G$的所有不相邻的顶点对，使得每一步都创建一个新的$H$副本，则称$G$在$H$ -bootstrap过程中是并行的. Balogh，Bollobás和Morris在2012年研究了完全图$H$的Erdens-Rényi模型中$H$ -自举渗流的阈值，并提出了完全二部图$H=K_{s,t}$的类似问题。本文给出了$K_{2, t}$ -Bootstrap逾渗阈值的上、下界。此外，还导出了$K_{2, 4}$ -自举逾渗的门限函数.
2018-06-27 math.CO
A Proof of the Kahn-Kalai Conjecture
本文证明了 Kahn-Kalai 期望阈值猜想，建立了递增性质的阈值与期望阈值之间的对数因子上界关系，解决了组合数学中的一个重要公开问题。
2023-04-13 cs.DM math.CO math.PR
Sharp thresholds for Ramsey properties of strictly balanced nearly bipartite graphs
对于一个给定的图$F$，我们考虑具有$F$的Ramsey性质的（有限）图$G$族，即具有如下性质的图$G$的集合：$G$的边的每一个双着色产生$F$的单色副本。对于$F$是一个三角形，Friedgut，Rödl，Rucibrski和Tetali（2004）建立了随机图中Ramsey性质的尖锐阈值。我们得到了这个结果的一个简单的证明，它扩展到更一般的一类图$F$，包括所有的周期。这个证明是基于Friedgut（1999）的锐阈值准则，以及最近由Saxton和Mesason，Balogh，Morris和Samotij开发的超图中独立集的容器方法。这个证明建立在Friedgut等人最近的一些工作上，他们为范德瓦尔登定理建立了一个类似的结果。
2016-11-29 math.CO
Threshold for Steiner triple systems
我们证明，以高概率$\mathbb{G}^{(3)}(n,n^{-1+o(1)})$包含一个生成Steiner三元系的$n\equiv 1,3\pmod{6}$，建立指数的阈值概率存在的Steiner三元系。我们还证明了拉丁方的类似定理。我们的研究结果来自一种新的自举方案，该方案利用迭代吸收以及Frankston，Kahn，Narayanan和Park建立的阈值和分数期望阈值之间的联系。
2022-05-03 math.CO
The perturbation threshold of degenerate graphs
Beijing Institute of Technology（北京理工大学）；KAIST（韩国科学技术院）；Institute for Basic Science (IBS)（基础科学研究院）
该研究确定了退化图在随机图中的存在阈值，证明了在特定条件下，随机图与原图的并集几乎必然包含目标退化图的副本。
2026-02-25 math.CO
The list-Ramsey threshold for families of graphs
本文对Rödl-Ruciński定理进行双重推广，证明图族列表着色版本的拉姆齐性质与经典拉姆齐性质阈值相同，扩展到有限图族并证实Kohayakawa-Kreuter猜想特例，还给出Rödl-Ruciński定理0-陈述的简短自包含证明。
2024-11-21 math.CO
On the co-degree threshold for the Fano plane
给定一个3-图H，设\ex_2（n，H）表示n个顶点上的3-图的最小余度的最大值，其中n个顶点上的3-图不包含H的一个副本.设F表示Fano平面，它是3-图\{axx '，ayy'，azz '，xyz'，xy 'z，x' yz，x 'y' z '\}。Mubayi证明了\ex_2（n，F）=（1/2+o（1））n，并证明了对于充分大的n，\ex_2（n，F）= \floor{n/2}.利用一个非常复杂的准随机性论证，Keevash证明了Mubayi的猜想。在这里，我们给出了一个简单的证明Mubayi的猜想使用一类3-图，我们称之为环。我们还确定了环族的Turán密度。
2013-06-23 math.CO
Two questions of Erdős on hypergraphs above the Tur{á}n threshold}
对于普通图，已知任何边数大于$K_s$的Tur{á}n数的图$G$都必须包含$K_s$的几个副本和$K_{s+1}^-$的一个副本，$K_{s+1}^-$是在$s+1$顶点上有一条缺失边的完全图. Erdens问，对于$s$顶点上的完全3-一致超图$K^3_s$，是否也有同样的结果。在本说明中，我们表明，$n$的小值，$G$中的顶点数，答案是否定的$s=4$。对于第二个属性，即包含一个${K^3_{s+1}}^-$，我们表明，对于$s=4$的答案是否定的，以及所有大的$n$，通过证明的Tur{á}n密度的${K^3_5}^-$是大于$K^3_4$。
2011-11-24 cs.DM math.CO
Sharp Thresholds for Factors in Random Graphs
本文将 Riordan 和 Heckel 的耦合方法扩展至任意严格 1-平衡图，获得了随机图中存在 $F$-因子的锐阈值，并证实了 Rucínski 三十年前的猜想。
2025-08-12 math.CO math.PR
A sharp version of Talagrand's selector process conjecture, with applications to rounding fractional covers and Bernoulli Sudakov minoration
University of Chicago（芝加哥大学）；Institute for Advanced Study（高等研究院）
本文证明了Talagrand选择子过程猜想的锐化版本，统一加强该猜想与Kahn-Kalai猜想，并应用于分数覆盖取整及一般正选择子过程的Sudakov下界原理。
2026-09-09 cs.DM math.CO math.PR
The degree and codegree threshold for linear triangle covering in 3-graphs
给定两个$k$ -一致超图$F$和$G$，我们称$G$有一个$F$ -覆盖，如果$G$中的每个顶点都包含在$F$的一个副本中.对于$1\le i \le k-1$，设$c_i(n,F)$是使得每个具有$δ_i(G)> c_i(n,F)$的$n$ -顶点$k$ -一致超图$G$有一个$F$ -覆盖的最小整数.覆盖问题已经由Falgas-Ravry和Zhao [Codegree thresholds for covering 3-uniform hypergraphs，SIAM J. Discrete Math.，2016年]。去年，Falgas-Ravry，Markström和Zhao [Triangle-degrees in graphs and tetrahedron coverings in 3-graphs，Combinatorics，Probability and Computing，2021]渐近确定$c_1(n, F)$当$F$是广义三角形。本文给出了当$F$是线性三角形$C_6^3$时$c_2(n, F)$的精确值，并渐近确定了$c_1(n, F)$，其中$C_6^3$是顶点集为$\{v_1,v_2,v_3,v_4,v_5,v_6\}$，边集为$\{v_1v_2v_3,v_3v_4v_5,v_5v_6v_1\}$的3-一致超图.
2022-12-07 math.CO
Rainbow Hamilton cycles in random graphs and hypergraphs
设$H$是边着色超图。我们说$H$包含一个超图$S$的\emph{rainbow}副本，如果它包含一个$S$的同构副本，并且所有边都是不同的颜色。我们考虑以下设置。通过将$[n]$的每个$k$ -子集以概率$p$相加，并从$[c]$中均匀、独立地随机分配一种颜色，得到一个随机边着色的随机超图$H\sim \mathcal H_c^k(n,p)$.作为第一个结果，我们表明，一个典型的$H\sim \mathcal H^2_c(n,p)$（即，一个随机边着色图）包含一个彩虹Hamilton圈，如果$c=(1+o(1))n$和$p=\frac{\log n+\log\log n+ω(1)}{n}$。这是渐近最好的可能的两个参数，并改善了弗里兹和Loh的结果。其次，基于McDiarmid的一个巧妙的耦合思想，我们提供了一个通用的工具，用于解决与在随机图/超图中找到“漂亮的边着色”结构有关的问题。我们通过两个有趣的应用来说明这种说法的普遍性。在一个应用程序中，我们表明，一个典型的$H\sim \mathcal H^k_c(n,p)$包含一个超图$S$的彩虹副本，只要$c=(1+o(1))|E(S)|$和$p$是（乘法常数）的$S$的副本包含的属性的阈值函数。在第二个应用中，我们证明了一个典型的$G\sim \mathcal H_{c}^2(n,p)$包含$(1-o(1))np/2$边不相交的…
2015-06-09 math.CO
Small rainbow cliques in randomly perturbed dense graphs
对于两个图$G$和$H$，如果$G$具有其边的每个\emph{proper}着色产生$H$的\emph{rainbow}副本的性质，则写作$G \stackrel{\mathrm{rbw}}{\longrightarrow} H$。我们研究了随机扰动稠密图的\emph{anti-Ramsey}性质的阈值，这些图是$G \cup \mathbb{G}(n,p)$形式的并集，其中$G$是一个$n$ -顶点图，其边密度至少为$d >0$，$d$独立于$n$。在一篇配套文章中，我们证明了属性$G \cup \mathbb{G}(n,p) \stackrel{\mathrm{rbw}}{\longrightarrow} K_\ell$的阈值是$n^{-1/m_2(K_{\left\lceil \ell/2 \right\rceil})}$，无论何时$\ell \geq 9$。对于较小的$\ell$，阈值表现得更不稳定，而对于$4 \le \ell \le 7$，它们显著向下偏离上述捕获\emph{large}集团阈值的美学形式。特别是，我们表明，$\ell \in \{4, 5, 7\}$的阈值分别为$n^{-5/4}$，$n^{-1}$和$n^{-7/15}$。对于$\ell \in \{6, 8\}$，我们将阈值确定为指数中的$(1 + o(1))$因子：它们分别为$n^{-(2/3 +…
2022-07-15 math.CO
On a problem of M. Talagrand
本文讨论了M的一个猜想的一个特例。Talagrand关于有限集$V$的子集的递增族$\mathcal F$的“阈值”的两个概念。完整的猜想意味着“分数期望阈值猜想”的等价性，由于Talagrand和最近证明的作者和B。Narayanan的“期望阈值猜想”以及第二作者和G.卡莱这里讨论的猜想说，存在一个固定的$L$，如果对于给定的$\mathcal F$，$p\in [0,1]$允许$λ:2^V \rightarrow \mathbb R^+$与\[ \mbox{$\sum_{S\subseteq F}λ_S\ge 1 ~~\forall F\in \mathcal F$} \]和\[ \mbox{$\sum_Sλ_Sp^{|S|} \le 1/2$} \]（a.k.a. $\mathcal F$是弱$p$ -小），则$p/L$允许这样的$λ$在$\{0,1\}$中取值（$\mathcal F$是$(p/L)$ -小）。Talagrand在单例支持$λ$时证明了这一点，并建议在双例支持$λ$时证明这一点，作为一个更具挑战性的测试案例。目前的工作提供了这样的证明。
2021-05-23 math.CO
On Topological Minors in Random Simplicial Complexes
对于随机图，包含问题考虑的概率是一个二项式随机图$G(n,p)$包含一个给定的图作为子结构。当要求图作为拓扑子式时，即，对于给定图的子部分的副本，众所周知，（锐）阈值是$p=1/n$。我们考虑一个自然类似的高维随机复杂的这个问题$X^k(n,p)$，首先由科恩，科斯塔，法伯和Kappeler研究$k=2$。改进以前的结果，我们表明，$p=Θ(1/\sqrt{n})$是（粗）阈值包含任何固定的完整的$2$ -复杂的细分。对于高维$k>2$，我们得到$p=O(n^{-1/k})$是包含固定$k$维复形的细分的阈值概率的上界.
2015-05-04 cs.DM math.AT math.CO
Random triangles in random graphs
在最近的一篇论文中，Oliver Riordan表明，对于$r \ge 4$和$p$，只要达到并略大于$K_r$因子的阈值，由$G(n,p)$中的$K_r$的副本形成的超图包含具有$π\sim p^{r \choose 2}$的二项式随机超图$H=H_r(n,π)$的副本。对于$r=3$，他给出了一个稍弱的结果，其中密度在随机超图减少了一个常数因子。最近，Jeff Kahn提出了一个关于所有$r \ge 3$的Shamir超图匹配问题的阈值的渐近界。根据Riordan的结果，这立即意味着$r \ge 4$的$G(n,p)$中$K_r$ -因子的阈值的渐近锐界。在本文中，我们通过修改Riordan的论证来解决缺失的情况$r=3$。这意味着Kahn的结果也暗示了$G(n,p)$中三角形因子的一个严格界。
2018-07-20 math.CO
The covering threshold of a directed acyclic graph by directed acyclic subgraphs
设$H$是一个有向无圈图，不是一个根星图.已知存在常数$c(H)$和$C(H)$，使得以下对于完全有向图$D_n$成立。最多有$D_n$的$C\log n$有向无环子图覆盖$D_n$的每个$H$ -拷贝，而少于$c\log n$的$D_n$有向无环子图不覆盖所有$H$ -拷贝。在这里，这种二分法得到了相当大的加强。设${\vec G}(n,p)$表示随机有向图。$H$的{ \em分数荫度}是$a(H) = max \{\frac{|E(H')|}{|V(H')|-1}\}$，其中最大值在$H$的所有非单例子图上。如果$a(H) = \frac{|E(H)|}{|V(H)|-1}$，则$H$为{ \em完全平衡}。完全图，完全多部图，圈，树，事实上，几乎所有的图都是完全平衡的。证明了：1）设$H$是一个$h$顶点和$m$边都不是根星的dag.对于每个$a^* > a(H)$都存在$c^* = c^*(a^*,H) > 0$使得几乎必然$G \sim {\vec G}(n,n^{-1/a^*})$具有这样的性质：$G$的至多$c^*\log n$个有向无环子图的每个集合$X$不覆盖$G$的所有$H$ -拷贝.此外，存在$s(H) = m/2 + O(m^{4/5}h^{1/5})$，使得以下更强的断言对于任何这样的$X$成立：在$G$中存在$H$ -拷贝，其具有不超过$s(H)$的由$…
2022-05-22 math.CO
The codegree threshold of $K_4^-$
$3$ -图$F$的余度阈值$\mathrm{ex}_2(n, F)$是最小$d=d(n)$，使得$n$上的每个$3$ -图（其中每对顶点至少包含在$d+1$边中）包含$F$的一个副本作为子图.本文研究了当$F=K_4^-$，$4$上的点有$3$边的$3$ -图时的$\mathrm{ex}_2(n, F)$.利用标记代数技巧，证明了$n$充分大时，则$\mathrm{ex}_2(n, K_4^-)\leq (n+1)/4$ .这解决了肯定的一个猜想内格尔从1999年。此外，我们还得到了一个稳定性结果：对于每个近极值配置$G$，在同一顶点集上存在一个拟随机竞赛图$T$，使得$G$在编辑距离上接近$3$ -图$C(T)$，其边是$T$的循环定向三角形.对于$n$的无穷多个值，我们进一步能够精确地确定$\mathrm{ex}_2(n, K_4^-)$，并表明基于锦标赛的构造$C(T)$对于$n$的这些值是极值的。
2022-12-20 math.CO
Powers of Hamilton cycles of high discrepancy are unavoidable
Pósa-Seymour猜想断言，$n$顶点上的每一个最小度至少为$(1 - 1/(r+1))n$的图都包含一个Hamilton圈的$r^{th}$幂。Komlós，Sárközy和Szemerédi著名的证明了猜想大$n.$的概念出现在许多领域的数学，包括图论。在这种情况下，图$G$与其边的$2$ -着色一起给出。然后要求在$G$中找到具有大差异的给定子图的副本，即，其明显多于一半的边缘为一种颜色。对于$r \geq 2,$，我们确定的最小程度阈值需要找到$r^{th}$功率的汉密尔顿循环的大差异，回答了一个问题所提出的Balogh，Csaba，Pluhár和Treglown。值得注意的是，对于$r \geq 3,$，这个阈值近似匹配Pósa-Seymour猜想的最小度要求。
2022-08-26 math.CO
Vertex Ramsey properties of randomly perturbed graphs
Freie Universität Berlin（柏林自由大学）；Berlin Mathematical School（柏林数学学院）；University of Birmingham（伯明翰大学）
研究向稠密图中添加随机边后，所得图以高概率成为(F,H)_v-Ramsey所需随机边数，其中至少一个图为团。
2026-06-23 math.CO
